Aula sobre MRUV

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Aula sobre MRUV 
1- Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
Diferentemente do MRU, o movimento retilíneo uniformemente variado- também conhecido 
por MRUV-, demonstra que a velocidade varia uniformemente em razão ao tempo. O Movimento 
retilíneo uniformemente variado (MRUV) pode ser definido como um movimento de um móvel em 
relação a um referencia ao longo de uma reta, na qual sua aceleração é sempre constante . Diz-se 
que a velocidade do móvel sofre variações iguais em intervalos de tempo iguais. No MRUV a 
aceleração média assim como sua aceleração instantânea são iguais. 
Obs: A aceleração instantânea refere-se a um determinado intervalo de tempo “t” considerado, 
definida matematicamente por; α=limΔt->0=Δv/Δt. Para o estudo da cinemática no ensino médio não é 
especialmente necessária sabermos a conceituação matemática de aceleração instantânea, uma 
vez que envolve limites assim como diferenciais que só são vistos na maioria das vezes no ensino 
superior em relação aos cursos de exatas. Basta sabermos o cálculo da aceleração média, pois 
ambas no MRUV são iguais como mencionado acima. 
2- Função da velocidade determinada no MRUV 
Para obtermos a função velocidade no MRUV devemos relembrar e aplicar o conceito de aceleração 
média. 
αm=ΔV/Δt 
 Δv: Variação de velocidade 
 Δt: Variação de tempo 
Vejamos o exemplo a seguir. 
1) Um carro encontra-se parado em uma rodovia federal devido uma colisão de 2 veículos que estão 
impedindo o tráfego normal na pista. Imediatamente os 2 veículos são retirados da pista e a mesma 
é liberada. O condutor do carro que estava parado então acelera o carro (pisa no acelerador), depois 
de passados 5s o velocímetro do carro marca 30 km/h. Qual foi a aceleração média do carro? 
 
αm=ΔV/Δt 
30 km/h=8,33m/s 
αm=8,33-0/5 
αm=1,66m/s2 
Então, considerando como o exemplo acima o móvel com velocidade inicial v0 no instante t0=0s e 
num instante posterior adquire uma velocidade v num instante de tempo t, temos: 
α=ΔV/Δt 
α=V-Vo/t-to 
Como t0=0s, segue 
a=V-V0/t 
Isolando V, 
V=V0+at 
 
3. Movimento acelerado e retardado 
Movimento acelerado: tomemos como exemplo a função v=15+2t. Sabemos que sua velocidade 
inicial é v0=15m/s e a aceleração constante do movimento é igual a 2m/s
2, podemos perceber que 
qualquer valor para t positivo ou igual a 0 (t≥0)a velocidade sempre será positiva,logo o movimento é 
acelerado. 
Movimento retardado: tomemos como exemplo a função v=-6+2t. Sabemos que sua velocidade 
inicial é vo=-6m/s e sua aceleração constante é a=2m/s
2,podemos perceber que para 0≤ t<3 o 
movimento é retardado, e para t=3 a velocidade do móvel se anula, assim sendo para t>3 o móvel 
muda de sentido passa de retardado para acelerado. 
2) Exemplo 
A velocidade de uma partícula varia de acordo com a função v=4+8t.Pede-se 
 a) A velocidade inicial da partícula 
 b) A aceleração da partícula 
 c) A velocidade da partícula no instante t=2s 
 d) A variação de velocidade nos 4 primeiros segundos 
Resolução 
a) Como V=vo+at ,temos v=4+8t ,então vo=4m/s 
b) Sua aceleração é constante característica do MRUV,a=8m/s2 
c) V=4+8.2=20m/s 
d) V4= 4+8.4=36m/s ; Então ΔV= V4-V0=36-4=32m/s 
4. Função Horária do MRUV 
Sabendo-se que a aceleração no MRUV permanece constante podemos calcular a variação do 
espaço de um móvel no decorrer do tempo. 
S=So+Vot+at
2/2 
A fórmula acima constitui uma função quadrática (2ºgrau). 
3)Vejamos um exemplo rápido. 
Determine a velocidade inicial o espaço inicial e a aceleração do móvel uma vez que o mesmo 
encontra-se em MRUV seguindo a função S=20-2t+t2 
Resolução 
Como S=So+Vot+at
2/2,temos 
So=20m 
V0=-2m/s 
a= 1x2=2m/s2 
 
5. Equação de Torricelli 
Se substituirmos a equação V=vo+at na equação S=So+Vot+at
2
/2, teremos a equação de Torricelli 
V2=v0
2+2αΔs 
4) Exemplo: 
Um determinado veiculo em certo instante, possui uma velocidade de 20m/s. A partir deste instante 
o condutor do veiculo acelera seu carro constantemente em 4m/s2.Qual a velocidade que o 
automóvel terá após ter percorrido 130m. 
Resolução: 
Aplicando a equação de Torricelli, temos 
V2=v0
2+2αΔs 
V
2
=20
2
+2.4.130 
V2=400+1040 
V2=1440 
V=38m/s 
6. Encontro de dois corpos usando a velocidade relativa 
 
É possível determinar o tempo de encontro usando a velocidade relativa. 
 
Para determinar o tempo necessário para ocorrer o encontro deve-se operar da seguinte forma: 
- determina-se a velocidade relativa entre os corpos; 
- determina-se o deslocamento relativo, que é a distância entre eles; 
- determina-se o tempo aplicando a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
Considere dois corpos A e B numa mesma trajetória retilínea. Quais as condições necessárias para 
ocorrer o encontro deles? 
São necessárias duas condições satisfeitas: 
- estarem na mesma posição e 
- no mesmo instante 
 
SA = SB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1- Dois carros, A e B, de dimensões desprezíveis, movem-se em movimento uniforme e no mesmo 
sentido com velocidades iguais a 20 m/s e 15 m/s, respectivamente. No instante t = 0, os carros 
encontram-se nas posições indicadas na figura. 
 
Determine: 
a) depois de quanto tempo A alcança B; 
b) em que posição ocorre o encontro. 
 
Resolução: 
 
a) Primeiro escreve-se a função horária da posição de cada corpo: 
S = So + v.t 
SA = 30 + 20.t 
SB = 180 + 15.t 
 
Agora se igualam as funções: 
SA = SB 
30 + 20.t = 180 + 15.t 
5.t = 150 
t = 30 s 
 
b) Para determinar a posição do encontro, deve-se substituir o valor do instante de encontro em uma 
das funções horárias. Usando a função horária do espaço de A, tem-se: 
SA = 30 + 20.t 
SA = 30 + 20. 30 
SA = 630 m 
 
Os corpos levam 30 s para se encontrarem na posição 630 m. 
 
 
2- Duas cidades, A e B, distam entre si 400 km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à 
cidade B; no mesmo instante, parte do B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os móveis P e Qexecutam 
movimentos uniformes e suas velocidades escalares são de 30 km/h e 50 km/h, respectivamente. A 
distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale: 
a) 120 
b) 150 
c) 200 
d) 240 
e) 250 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
Primeiro escreve-se a função horária da posição de cada corpo: 
 
S = So + v.t 
SP = 0 + 30.t 
SQ = 400 - 50.t (não esquecer que o movimento é retrógrado ® V < 0) 
 
Agora se igualam as funções: 
SP = SQ 
30.t = 400 - 50.t 
80.t = 400 
t = 5 h 
 
Para determinar a posição do encontro, deve-se substituir o valor do instante de encontro em uma 
das funções horárias. 
SP = 30.t = 30 . 5 = 150 km 
 
Alternativa B 
 
Exercício resolvido 
 
Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades constantes 
VA = 100 km/h e VB = 80 km/h, respectivamente. 
a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A? 
b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre 
até que A alcance B? 
 
Resolução 
a) O módulo da velocidade do caro B em relação ao carro A é: 
 
 vR| = | vB - vA | 
|vR| = |80 - 100| 
|vR| = 20 km/h =20/3,6 m/s 
 
b) O deslocamento relativo é a distância entre eles: 
DSR = 600 m 
 
O tempo para ocorrer o encontro é: 
DSR = |vR| . t 
600 = 20/3,6 . t 
t = 108 s 
 
Resposta: O módulo da velocidade do carro B em relação ao carro A é 20 km/h e o tempo para que 
o carro A alcance o carro B é 108 s 
 
7. Equação de Torricelli e Velocidade média 
 
A equação de Torricelli permiteque seja possível determinar a velocidade do móvel ou o seu 
deslocamento ou a sua aceleração sem que seja conhecido o tempo de movimento. 
Para isso, pode-se novamente iniciar determinando a área do gráfico v x t: 
 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
1. Um trem corre a uma velocidade de 20m/s quando o maquinista vê um obstáculo 50m à sua 
frente. A desaceleração mínima que deve ser dada ao trem para que não haja choque é de: 
a) 4m/s2 
b) 2m/s2 
c) 1m/s2 
d) 0,5m/s2 
e) 0 
 
Resolução: 
 
Retirando os dados do texto, tem-se: 
vo = 20 m/s 
v = 0 
S = 50 m 
 
Como não se conhece o tempo de movimento, aplica-se a equação de Torricelli. 
v2 = vo
2 + 2.a.S 
 
0 = 202 + 2 . a . 50 
-100 a = 400 
a = -4 m/s2 
 
Alternativa A 
 
 
2. Uma partícula inicialmente em repouso passa a ser acelerada constantemente à razão de 
3,0m/s2no sentido da trajetória. Após ter percorrido 24m, sua velocidade é: 
a) 3,0m/s 
b) 8,0m/s 
c) 12m/s 
d) 72m/s 
e) 144m/s 
 
Resolução: 
 
Retirando os dados do texto, tem-se: 
vo = 0 
a = 3 m/s2 
S = 24 m 
 
Como não se conhece o tempo de movimento, aplica-se a equação de Torricelli. 
v2 = vo
2 + 2.a.S 
 
v2 = 02 + 2 . 3 . 24 
v2 = 144 
v = 12 m/s 
 
Alternativa C 
 
 
8. Velocidade média no MRUV 
 
Aproveitando o gráfico v x t pode-se observar: 
 
 
 
 
 
 
No movimento uniformemente variado, a velocidade média é igual à média da velocidade. 
 
Exercícios resolvidos 
 
Um trem de 120m de comprimento se desloca com velocidade escalar de 20m/s. Esse trem, ao 
iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo completamente dela 10s após, com 
velocidade escalar de 10m/s. O comprimento da ponte é de: 
a) 150m 
b) 120m 
c) 90m 
d) 60m 
e) 30m 
 
Resolução: 
 
Retirando os dados do texto, tem-se: 
vo = 20 m/s 
v = 10 m/s 
t = 10 s 
Ctrem = 120 m 
 
Para determinar o comprimento da ponte, deve-se calcular o deslocamento do trem para a travessia 
da ponte. Como não se conhece a aceleração do movimento, aplica-se a equação da velocidade 
média. 
 
 
O deslocamento do trem é igual ao seu comprimento mais o comprimento da ponte: 
Ctrem + Cponte = 150 m 
120 + Cponte = 150 
Cponte = 30 m 
 
Alternativa E 
 
9. Gráficos do MRUV 
 
O movimento de um corpo pode ser descrito por uma função horária, mas também se pode usar 
diagramas. Para isso é importante conhecer as características de cada função. 
 
Gráfico da velocidade em função do tempo (v x t) 
 
A função horária da velocidade de um MRUV é dada por v = vo + a.t, que é uma função do primeiro 
grau. Então a representação gráfica é uma reta de inclinação não nula. 
 
 
 
 
 
Observe que no gráfico I a função é crescente e neste caso a aceleração é positiva. No gráfico II, a 
função é decrescente e a aceleração é negativa. 
 
Lembrando que em todo gráfico v x t a área delimitada pelo eixo dos tempos e a reta representativa 
é numericamente igual ao deslocamento ΔS, entre dois instantes t1 e t2. 
 
 
Outra propriedade importante do gráfico v x t, é o da inclinação da reta. 
O ângulo  que a reta do gráfico v x t forma com um eixo horizontal é tal que sua tangente é 
numericamente igual à aceleração do corpo, também denominada coeficiente angular da reta ou 
declividade da reta. 
 
 
 
Gráfico da aceleração em função do tempo (a x t) 
 
A principal característica do MUV é possuir a aceleração constante. Assim, seu gráfico é uma reta 
paralela ao eixo t. 
 
 
A propriedade desse gráfico é que entre dois instantes quaisquer t1 e t2, a variação de velocidade ΔV 
é numericamente igual à área. 
 
 
Gráfico do espaço em função do tempo (S x t) 
 
A função horária do MUV é uma função do segundo grau S = So + vo.t + at²/2, então a 
representação gráfica será uma parábola. Quem determina se a concavidade da parábola é para 
cima ou para baixo é o sinal da aceleração (a). 
 
 
Análisando o gráfico observa-se que no vértice da parábola ocorre a inversão no sentido do 
movimento concluindo que a velocidade do corpo é nula. 
 
 
 
Analisando mais profundamente o gráfico S x t, tem-se: 
 
 
 
Gráfico com a concavidade voltada para cima  a > 0. 
- O ponto onde a curva toca o eixo S corresponde ao espaço inicial So . 
- Nos instantes t1 e t2 o corpo passa pela origem dos espaços (S = 0). 
- No instante t2 o corpo inverte o sentido de seu movimento (v = 0). 
- Do instante 0 até t2 – o espaço diminui, o movimento é retrógrado (v < 0) e retardado, pois a e V 
tem sinais contrários (a > 0 e V < 0). 
- Após t2 – o espaço aumenta, o movimento é progressivo (v > 0) e acelerado, pois a e V tem mesmo 
sinal (a > 0 e V > 0). 
 
 
Gráfico com a concavidade voltada para baixo  a < 0. 
- O ponto onde a curva toca o eixo S corresponde ao espaço inicial So . 
- No instante t2 o corpo passa pela origem dos espaços (S = 0). 
- No instante t1 o corpo inverte o sentido de seu movimento (v = 0). 
- Do instante 0 até t1 – o espaço aumenta, o movimento é progressivo (v > 0) e retardado, pois a e V 
tem sinais contrários (a < 0 e V > 0). 
- Após t1 – o espaço diminui, o movimento é retrógrado (v < 0) e acelerado, pois a e V tem mesmo 
sinal (a < 0 e V < 0).