Integral Dupla

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 6 - Integrais duplas
Disciplina: Func¸o˜es de Varia´veis Reais 2
Curso: Engenharia Ele´trica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
1. Calcule:
a)
∫ ∫
R
(xseny − yex) dxdy, onde R = [−1, 1]× [0, pi/2].
b)
∫ ∫
R
x
x2 + y2
dxdy, onde R = [1, 2]× [0, 1].
2. Determine:
a)
∫ ∫
D
y dA, onde D e´ a regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es y = x e y = x2,
com 0 ≤ x ≤ 2.
b)
∫ ∫
D
(x+ y) dA, onde D e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = x e y = ex, com
0 ≤ x ≤ 1.
3. Encontre o volume do so´lido limitado pelos cilindros x2+y2 = a2 e x2+z2 = a2.
4. Calcule
∫ ∫
D
y dA, onde D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + 4y2 ≤ 1}.
5. Use uma integral dupla para determinar o volume do so´lido abaixo do parabolo´ide
z = x2 + y2 e acima da regia˜o limitada por y = x2 e x = y2.
6. Calcule as integrais, para as regio˜es D indicadas
a)
∫ ∫
D
(x cos y) dA, D limitada por y = 0, y = x2 e x = 1
b)
∫ ∫
D
(x+ y) dA, D limitada por y =
√
x, y = x2
c)
∫ ∫
D
y3 dA, D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 2), (1, 1) e (3, 2).
d)
∫ ∫
D
xy2 dA, D limitada por x = 0 e x =
√
1− y2
e)
∫ ∫
D
(2x− y) dA, D e´ limitada pelo c´ırculo de centro na origem e raio 2.
7. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e fac¸a a mudanc¸a de ordem de integrac¸a˜o.
a)
∫
4
0
∫ √x
0
f(x, y) dydx
b)
∫
1
0
∫
4
4x
f(x, y) dydx
c)
∫
3
0
∫ √
9−y2
−
√
9−y2
f(x, y) dxdy
8. Calcular a a´rea das seguintes regio˜es R:
a) R delimitada pelas curvas y = x3, x+ y = 2 e y = 0.
b) R delimitada por y = ex−1, y = x e x = 0.
9. Determine o volume do so´lido dado
a) Abaixo do plano x+2y−z = 0 e acima da regia˜o limitada por y = x e y = x4
b) Abaixo da superf´ıcie z = xy e acima do triaˆngulo com ve´rtices em (1, 1), (4, 1)
e (1, 2).
10. Esboce a regia˜o cuja a´rea e´ dada pela integral e calcule-a.
a)
∫
2pi
pi
∫
7
4
r drdθ
b)
∫ pi
2
0
∫
4 cos θ
0
r drdθ
11. Calcule:
a)
∫ ∫
D
cos(x2 + y2) dA, onde D e´ a regia˜o acima do eixo x e dentro da circun-
fereˆncia x2 + y2 = 9
b)
∫ ∫
D
√
4− x2 − y2 dA, onde D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0}
12. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do so´lido dado.
a) Abaixo do parabolo´ide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9
b) Dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e a fora do cilindro x2 + y2 = 4
c) Uma esfera de raio a.
13. Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
a)
∫ a
−a
∫ √a2−y2
0
(x2 + y2)3/2dxdy
b)
∫
2
0
∫ √
4−y2
−
√
4−y2
x2y2dxdy
14. Envolvendo coordenadas polares, calcule:
a)
∫ ∫
D
ln(x2 + y2) dxdy, onde D e´ a regia˜o do primeiro quadrante situada
entre as circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
b)
∫ ∫
D
ex
2+y2 dA, com D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4,−x ≤ y ≤ x,
x ≥ 0}.
15. Use coordenadas polares para resolver a integral
∫
2
0
∫ √
8−x2
x
1
5 + x2 + y2
dydx.
16. Utilize a transformac¸a˜o dada para calcular a integral
a)
∫ ∫
R
(x − 3y)dA, onde R e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (2, 1) e
(1, 2); x = 2u+ v, y = u+ 2v.
b)
∫ ∫
R
xydA, onde R e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas retas
y = x e y = 3x e as hipe´rboles xy = 1, xy = 3; x =
u
v
, y = v.
17. Calcule a integral, efetuando uma mudanc¸a de varia´veis apropriada.
a)
∫ ∫
R
x− 2y
3x− ydA, onde R e´ o paralelogramo limitado pelas curvas x− 2y = 0,
x− 2y = 4, 3x− y = 1 e 3x− y = 8.
b)
∫ ∫
R
sen(9x2 + 4y2)dA, onde R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada
pela elipse 9x2 + 4y2 = 1.