Integral Tripla

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 7- Integrais triplas
Disciplina: Func¸o˜es de Varia´veis Reais 2
Curso: Engenharia Ele´trica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
1. Calcule a integral iterada.
a)
∫ 1
0
∫ 2x
x
∫ y
0
2xyz dzdydx
b)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ y
0
ze−y
2
dxdydz
2. Encontre o volume do so´lidoW limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es z+x2 = 9,
y + z = 4, y = 0 e y = 4.
3. Calcule a integral tripla.
a)
∫ ∫ ∫
D
y dV , onde D e´ limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e
2x+ 2y + z = 4
b)
∫ ∫ ∫
D
xy dV , onde D e´ o so´lido tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0),
(0, 2, 0) e (0, 0, 3)
c)
∫ ∫ ∫
D
xz dV ,onde D e´ o so´lido tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (0, 1, 0),
(1, 1, 0) e (0, 1, 1)
d)
∫ ∫ ∫
D
x2ey dV , onde D e´ limitado pelo cil´ındro parabo´lico z = 1 − y2 e
pelos planos z = 0, x = 1 e x = −1
4. Use a integral tripla para determinar o volume do so´lido dado.
a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x+ y + z = 4
b) O so´lido limitado pelo cilindro y = x2 e pelos planos z = 0, z = 4 e y = 9
c) O so´lido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e pelos planos y + z = 5 e z = 1
5. Esboce o so´lido cujo volume e´ dado pela integral iterada
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 2−2z
0
dydzdx.
6. Calcule
∫ ∫ ∫
E
y dV , onde E e´ o so´lido que esta´ entre o cilindro
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4, acima do plano xy e abaixo do plano z = x + 2.
Represente geometricamente E = Dxyz.
7. Calcule a integral
∫ pi
3
0
∫ 2pi
0
∫ sec φ
0
ρ2senφ dρ dθ dφ.
8. Calcule
∫ ∫ ∫
E
√
x2 + y2 + z2 dV , onde E e´ limitado abaixo pelo cone φ =
pi
6
e acima pela esfera ρ = 2.
9. Calcule
∫ ∫ ∫
Dxyz
e(x
2+y2+z2)
3
2
dV , onde Dxyz = {(x, y, z) ∈ R
3 | x2 +
+y2 + z2 ≤ 1}.
10. Use coordenadas esfe´ricas para calcular o volume do so´lido que esta´ dentro da
esfera x2 + y2 + z2 = 4, acima do plano xy e abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
11. Use coordenadas cil´ındricas para calcular o volume do so´lido que esta´ dentro
tanto do cilindro x2 + y2 = 1 como da esfera x2 + y2 + z2 = 4.
12. Determine o volume do so´lido que esta´ entre o parabolo´ide z = x2+y2 e a esfera
x2 + y2 + z2 = 2.
13. Calcule
∫ ∫ ∫
E
x2dV , onde E e´ o so´lido que esta´ dentro do cilindro x2+y2 = 1,
acima do plano z = 0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.