Integral de Linha

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 8 - Integral de Linha
Disciplina: Func¸o˜es de Varia´veis Reais 2
Curso: Engenharia Ele´trica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
1. Calcule a integral de linha, onde C e´ a curva dada.
a)
∫
C
x+ y ds, C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
b)
∫
C
x ds, C : x = t3, y = t, 0 ≤ t ≤ 1.
c)
∫
C
xy ds, C e´ o segmento de reta que une os pontos (−1, 1) a (2, 3).
d)
∫
C
sen xdx, C e´ o arco da para´bola x = y4 de (1,−1) a (1, 1).
2. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superf´ıcie do cilindro
x2 + y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e x + y + z = 2, z ≥ 0. Se o
metro do zinco custa M reais, calcule o prec¸o total da pec¸a.
3. Calcule
∫
C
x
√
y dx + 2y
√
x dy, onde C consiste no menor arco do c´ırculo
x2 + y2 = 1 de (1, 0) a (0, 1) e no seguinte de reta de (0, 1) a (4, 3).
4. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as
−→
F (x, y) = (x2 − y2, 2xy) ao
mover uma part´ıcula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos
coordenados e pelas retas x = a e y = a (a > 0) no sentido anti-hora´rio.
5. Calcule
∫
γ
dx+ y dy + dz, onde γ e´ a curva de intersec¸a˜o do plano y = x com
a superf´ıcie z = x2 + y2, com z ≤ 2, sendo o sentido de percurso do ponto
(−1,−1, 2) para o ponto (1, 1, 2).
6. Calcule
∫
γ
2xdx + yzdy + 3zdz, onde γ e´ a para´bola
{
z = x2
y = 2
do ponto
A = (0, 2, 0) ao ponto B = (2, 2, 4).
7. Sendo
−→
F (x, y) = − y
x2 + y2
−→
i +
x
x2 + y2
−→
j e −→r (t) = cos(t)−→i + sen(t)−→j ,
0 ≤ t ≤ 2pi, calcule
∫
γ
−→
F .d−→r .
8. Calcule
∫
γ
−ydx + xdy, onde γ : [a, b] → R2 e´ uma curva de classe C1, cuja
imagem e´ a elipse
x2
4
+
y2
9
= 1, tal que, quando t varia de a ate´ b, γ(t) descreve
a elipse no sentido anti-hora´rio.
9. Calcule
∫
γ
−ydx+xdy, onde γ e´ uma curva cuja imagem e´ o triaˆngulo de ve´rtices
(0, 0), (2, 0) e (2, 1), orientada no sentido anti-hora´rio.
10. Considere a curva γ parametrizada por γ(t) = (et−1, sen
pi
t
), 1 ≤ t ≤ 2. Calcule∫
γ
−→
F .d−→r , onde −→F (x, y) = (2xcosy,−x2seny).
11. Determine se os campos vetoriais a seguir sa˜o ou na˜o conservativos:
(a)
−→
F (x, y) = (x− y)−→i + (x− 2)−→j .
(b)
−→
F (x, y) = (3 + 2xy)
−→
i + (x2 − 3y2)−→j .
12. (a) Se
−→
F (x, y) = (3 + 2xy)
−→
i + (x2 − 3y2)−→j , determine uma func¸a˜o f tal que−→
F = ∇f .
(b) Calcule a integral de linha
∫
γ
−→
F .d−→r , onde γ e´ a curva dada por
−→r (t) = etsent−→i + etcost−→j , 0 ≤ t ≤ pi.
13. Determine uma func¸a˜o ϕ tal que
−→
F = ∇ϕ e calcule
∫
γ
−→
F .dγ, onde:
(a)
−→
F (x, y) = y
−→
i + (x+2y)
−→
j e γ e´ a semi-circunfereˆncia superior que comec¸a
em (0, 1) e termina em (2, 1).
(b)
−→
F (x, y) = e2y
−→
i + (1 + 2xe2y)
−→
j e γ e´ a curva descrita pela func¸a˜o vetorial
−→r (t) = tet−→i + (1 + t)−→j , com 0 ≤ t ≤ 1.