Aula 3

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Propagação Eletromagnética
Prof. Daniel Humberto Garcia Espinosa
Unidade 2
Ondas planas nas fronteiras 
e em meios dispersivos
Ondas Planas Uniformes TEM Hamônicas
Unidade 2 – Ondas Planas em Meios Dispersivos
Em muitos casos, os cálculos envolvendo ondas eletromagnéticas ficam mais 
simples utilizando números complexos. Após a realização dos cálculos, basta tomar 
a parte real das grandezas (ou somá-las ao complexo conjugado) para obter valores 
que façam sentido físico.
O valor eficaz do campo elétrico e magnético das ondas planas uniformes TEM se 
propagando na direção z, expressos em forma complexa, são:
onde:
 
 
 
1
E⃗=E0 e
− jβ z x^ H⃗=
E0
η e
− jβ z y^
E0=E0 e
j θ0=
Em
√2
e j θ0
j=√−1 β=
2π
λ
η=√μϵ
Ondas Planas em Meios com Perdas
Unidade 2 – Ondas Planas em Meios Dispersivos
Em meios com perdas, a condutividade elétrica σ não é nula, e a densidade de 
corrente elétrica torna-se, segundo a Lei de Ohm:
Ao se trabalhar nas equações de Maxwell para encontrar as equações de onda, 
essa corrente agora deverá ser considerada. A equação abaixo
Deverá ser escrita como:
 
 
 
2
J⃗=σ E⃗
∇×H⃗= J⃗ +ϵ ∂ H⃗
∂ t ∇× H⃗=σ E⃗+ϵ
∂ H⃗
∂ t
Fica evidente que todas as equações agora dependerão do valor de σ.
Resolvendo as equações de Maxwell dessa forma, após alguma álgebra, 
chega-se às equações de onda para meios com perdas. Nas formas abaixo, essas 
equações são chamadas de equações de Helmholtz:
Com: coeficiente de propagação complexo
 e: permissividade complexa equivalente
∇ 2 E⃗−γ2 E⃗=0
∇ 2 H⃗−γ2 H⃗=0
γ= jω√ϵeμ
ϵe=ϵ− j σω
Ondas Planas em Meios com Perdas
Unidade 2 – Ondas Planas em Meios Dispersivos
A solução da equação de onda para o campo elétrico assume a forma:
O coeficiente de propagação comumente é escrito como:
Com - coeficiente de atenuação (Neper por metro ou Np/m)
 
E - coeficiente de fase (rad/m) (ou número de onda)
Utilizando a definição do coeficiente de propagação, chega-se às expressões:
 
 
 
3
E⃗=E0 e
−γ z x^
α=ω√ ϵμ2 [√1+( σωϵ )
2
−1]
1/2
γ=α+ jβ
α
β
β=ω√ ϵμ2 [√1+( σω ϵ)
2
+1]
1/2
Ondas Planas em Meios com Perdas
Unidade 2 – Ondas Planas em Meios Dispersivos
Além disso, a impedância intrínseca também pode ser escrita em forma complexa:
Sendo a defasagem entre o campo elétrico e o campo magnético:
 
 
 
 
4
η=√ μϵe
ϕ
|η|= √
μ
ϵ
[1+( σωϵ )
2
]
1/4
ϕ=1
2
arctan ( σωϵ)
η=|η|e j ϕ
Ondas Planas em Meios com Perdas
Unidade 2 – Ondas Planas em Meios Dispersivos
Como ficam as equações que descrevem as ondas em meios com e sem perdas:
Meio com perdas Meio sem perdas
Valor eficaz complexo: Valor eficaz complexo:
 
 
 
 
5
E⃗=E0 e
− jβ z x^
H⃗=
E0
η e
− jβ z y^
E⃗=E0 e
−γ z x^
H⃗=
E0
η e
−γ z y^
Valor real instantâneo: Valor real instantâneo:
E⃗ ( z , t)=Emcos(ω t−β z+θ0) x^
H⃗ (z , t )=
Em
η cos(ω t−β z+θ0) y^
E⃗ ( z , t)=Eme
−α zcos (ω t−β z+θ0) x^
H⃗ (z , t )=
Em
|η| e
−α z cos(ω t−β z+θ0−ϕ) y^
< P⃗ >=
Em
2
2η
z^< P⃗ >=
Em
2
2|η|
e−2α z cos ϕ z^
Vetor de Poynting médio: Vetor de Poynting médio:
Ondas Planas em Meios com Perdas
Unidade 2 – Ondas Planas em Meios Dispersivos
 
 
 
 
6
Exercício 11) Verifique como ficam todas as equações para meios com perdas 
quando fazemos σ = 0.
Exercício 12) Faça o gráfico de E(z,0) para meios com perda.
Exercício 13) A amplitude de uma onda eletromagnética plana uniforme harmônica 
no tempo se deslocando através de um meio não magnético com perdas em uma 
frequência de 5,2 MHz reduz em 25% a cada metro. O campo elétrico da onda leva 
o campo magnético em 300. Nestas circunstâncias, encontre (a) o coeficiente de 
propagação complexo da onda e (b) a permissividade relativa e a condutividade do 
meio.