Complementos de Álgebra LinearATUALIZADO Unidade III
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Complementos de Álgebra LinearATUALIZADO Unidade III


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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
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Unidade III
5 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
5.1 Definição
Sejam U e V espaços vetoriais e T: U \u2192 V uma função, T é uma transformação linear se satisfaz as 
condições:
1) \u2200 a, b \u2208 U
 T (a + b) = T(a) + T(b)
2) \u2200 a \u2208 U, \u2200a \u2208 IR
 T (aa) = a T(a)
Também encontramos os termos aplicação linear ou função linear para indicar uma transformação 
linear.
5.1.1 Operador linear
Toda transformação linear do espaço, nele mesmo, recebe o nome de operador linear.
 Observação
Todo operador linear é uma transformação linear, mas nem toda 
transformação linear será um operador linear.
T linear e T: U \u2192 U então T é um operador linear
5.2 Algumas propriedades
Sendo T: U \u2192 V uma transformação linear temos:
1. T(0u) = 0v
(isto é, uma transformação linear leva zero de U em zero de V)
Note que: Se T(0u) \u2260 0v então T não é linear.
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Assim, para verificar se uma transformação é linear, devemos inicialmente calcular T(0u) daí:
- se T(0u) = 0v , nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição
- se T(0u) \u2260 0v concluímos que a transformação não é linear
2. \u2200a, b \u2208 U, \u2200a, b \u2208 IR
 T(aa + bb) = a T(a) + b T(b)
De modo geral temos:
3. \u2200a1, a2, ... , an \u2208 U, \u2200a1, a2, ...,an \u2208 IR
T n n(\uf061 \uf061 \uf061 \uf061 \uf061 \uf0611 1 2 a a a ) T(a ) T(a ) T(a )1 2 2 n 1 2 n\uf02b \uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b \uf02b\u2026 \u2026
Exemplos:
Verifique quais transformações são lineares:
a) F: IR2 \u2192 IR, F (x,y) = -x + 7y + 3
Calculando F(0,0) temos:
F(0,0) = 0 + 7 . 0 + 3 = 3 \u2260 0 (vetor nulo de IR) logo F não é linear.
b) T: IR2 \u2192 IR2, definida por T (x,y) = (x, 2x - y)
Calculando T (0,0) temos:
T(0,0) = (0, 2.0 - 0) = (0, 0); nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição de 
transformação linear.
(1) T (a + b) = T (a) + T (b), \u2200 a, b \u2208 IR2
Sejam a = (x, y) \u2208 IR2, b= (r, s) \u2208 IR2
T (a + b) = T (x + r, y + s) = ((x + r) , 2.(x + r) - (y + s)) =
= (x + r, 2x + 2r \u2013 y \u2013 s)
T(a) + T (b) = T (x, y) + T (r, s) = (x, 2x \u2013 y) + (r, 2r \u2013 s) =
= (x + r, 2x \u2013 y + 2r \u2013 s) = (x + r, 2x + 2r \u2013 y \u2013 s)
Logo T (a + b) = T (a) + T (b) e vale (1)
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(2) T (a a) = a T (a), \u2200 a \u2208 IR2 , \u2200 a \u2208 IR
Sejam a = (x, y) \u2208 IR2, a \u2208 IR
T(a . a) = T (a. (x, y)) = T (a x, a y) = (a x, 2 (a x) - (a y))
a . T(a) = a. T(x, y) = a. (x, 2x - y) = (a x, a (2x - y)) =
= (a x, 2(a x) - (a y))
Logo T (a . a) = a . T (a), e vale (2).
Portanto T é transformação linear.
c) T: IR3 \u2192 IR3, definida por T(x, y, z) = (x2, x + y, z)
Calculando T (0, 0, 0) temos:
T(0, 0, 0) = (02, 0 + 0, 0) = (0, 0, 0); nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição 
de transformação linear.
(1) T (a + b) = T (a) + T (b), \u2200 a, b \u2208 IR3
Sejam a = (x, y, z) \u2208 IR3 e b = (r, s, t) \u2208 IR3
T (a + b) = T (x + r, y + s, z + t) =
= ((x + r)2, x + r + y + s, z + t)
T (a) + T (b) = T (x, y, z) + T (r, s, t) =
= (x2, x + y, z) + (r2, r + s, t) =
= (x2 + r2, x + y + r + s, z + t)
Como (x + r)2 \u2260 x2 + r2 (em geral), segue que
T (a + b) \u2260 T (a) + T (b).
Logo, não vale a condição (1) e T não é transformação linear.
d) Seja T: IR3 \u2192 IR3 , linear dada por T (x, y, z) = (2x + z, y, 0) determinar a imagem dos vetores pela 
transformação
i) (1, -1, 2) ii) (2, 0, 1) iii) (0, 2, -1)
Devemos substituir as coordenadas dos vetores na expressão de T, assim
i) T (1, -1, 2) = (2.1 + 2, -1, 0) = (4, -1, 0)
ii) T (2, 0, 1) = (2. 2 + 1, 0, 0) = (5, 0, 0)
iii) T (0, 2, -1) = (2 . 0 + (-1), 2, 0) = (-1, 2, 0)
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e) Sendo que T é uma transformação linear de IR3 em IR3, determine T(x,y,z), dados T(1,0,2) = (1,1,2), 
T(0,1,1) = (0,-1,2) e T(0,0,1) = (0,0,1), e B base do IR3 B = {(1,0,2), (0,1,1), (0, 0,1)}.
Como B é base do espaço, podemos escrever qualquer vetor do IR3 como combinação linear dos 
vetores de B, assim temos:
(x,y,z) = a . (1,0,2) + b . (0,1,1) + c . (0,0,1)
multiplicando pelos escalares e somando os vetores vem:
(x,y,z) = (a, b, 2a + b + c)
daí temos o sistema
x a
y b
z a b c
\uf03d
\uf03d
\uf03d \uf02b \uf02b
\uf0ec
\uf0ed
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef 2
resolvendo o sistema encontramos a = x, b = y e c = z \u2013 2x \u2013 y
Guardamos estes resultados para aplicar depois.
Em T(x,y,z) vamos substituir o vetor (x,y,z) pela combinação linear dos vetores de B, assim temos:
T(x,y,z) = T (a . (1,0,2) + b . (0,1,1) + c . (0,0,1))
como a transformação é linear, utilizando a propriedade 3 do item 3.2 podemos escrever
T(x,y,z) = a . T (1, 0, 2) + b . T (0, 1, 1) + c . T (0, 0, 1)
Substituindo os dados do enunciado encontramos
T(x,y,z) = a . (1, 1, 2) + b . (0, -1, 2) + c . (0, 0, 1)
substituindo agora os resultados encontrados no sistema temos
T(x,y,z) = x . (1, 1, 2) + y . (0, -1, 2) + (z \u2013 2x \u2013 y) . (0, 0, 1)
Multiplicando pelos escalares e somando os vetores temos
T(x,y,z) = (x, x \u2013 y , 2x + 2y + z \u2013 2x - y), isto é,
T(x,y,z) = (x, x \u2013 y , y + z)
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 Saiba mais
Você pode encontrar mais exemplos de transformações lineares nos 
livros indicados em nossa bibliografia.
5.3 Núcleo
5.3.1 Definição
Seja T: U \u2192 V uma transformação linear. Chamamos de núcleo da transformação linear T o conjunto 
N(T), dado por
 N(T) = {a \u2208 U | T(a) = 0}
Notação: N(T) = Ker(T), (abreviatura da palavra inglesa Kernel)
Exemplos:
Determinar o núcleo das transformações lineares
1) F: IR2 \u2192 IR2 definida por F (x,y) = (x - y, y)
N (F) = {(x, y) \u2208 IR2 | F(x, y) = (0,0)}
F (x,y) = (x - y, y) = (0,0) \uf0de
\uf02d \uf03d
\uf03d
\uf0ec
\uf0ed
\uf0ee
x y
y
0
0
Resolvendo o sistema temos x = y = 0
Logo N (F) = {(0,0)}, (subespaço trivial ou nulo)
2) T: IR3 \u2192 IR3 dada por, T(x,y,z) = (0, y - x, x + z)
N(T) = {(x,y,z) \u2208 IR3 | T(x,y,z) = (0,0,0)}
T(x,y) = (0, y - x, x + z) = (0,0,0) \u21d2 
0 0
0
0
\uf03d
\uf02d \uf03d
\uf02b \uf03d
\uf0ec
\uf0ed
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
y x
x z
Resolvendo o sistema temos: y = x, z = -x e x qualquer (sistema possível e indeterminado)
Logo N (T) = {(x,y,z) \u2208 IR3 | y = x e z = -x}, isto é,
N (T) = {(x, x,-x) | x \u2208 IR}
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