ELT1 SAI371 Aula 09 Capacitores 17p rev0

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CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 
ELT1 – ELETRICIDADE APLICADA 1 
 
CAPACITORES 
 
INTRODUÇÃO 
Ao contrário do resistor, o capacitor e o indutor exibem seu comportamento 
característico apenas quando ocorrem variações de tensão ou corrente no circuito em 
que se encontram. Além disso, considerando-os ideais, não dissipam energia como o 
resistor, mas a armazenam de uma forma que podem retorná-la ao circuito sempre que 
necessário de acordo com o projeto deste. 
 
CAMPO ELÉTRICO 
Já foi visto que existe uma força de atração e repulsão entre dois corpos 
carregados e que há um campo elétrico que existe na região em torno de qualquer corpo 
carregado. Este campo elétrico é 
representado por linhas de campo, 
que serão traçadas para indicar a 
intensidade deste campo em 
qualquer ponto em torno do corpo 
carregado, ou seja, quanto maior a 
densidade das linhas de campo mais 
intenso é o campo elétrico. Na 
XFigura 1X, a intensidade do campo 
elétrico é maior na posição a do que 
na posição b porque as linhas de 
campo são mais densas em a do que 
em b. 
Figura 1 – Distribuição de linhas de campo em torno de uma 
carga positiva isolada. 
O fluxo por unidade de área (densidade de fluxo) é dado por: 
D
A
ϕ= (fluxo/unidade de área) [1] 
Onde φ é o campo elétrico e A é a área. Quanto maior a carga em 
coulombs, maior é o número de linhas de campo por unidade de área, 
independentemente do meio em que esta se encontra. Uma carga Q com o 
dobro do valor produzirá o dobro de linhas de campo por unidade de área 
(D). Portanto se podem considerar as duas grandezas como sendo 
equivalentes. Por definição, a intensidade de campo elétrico em um ponto é 
a força que atua em uma carga unitária positiva neste ponto, ou seja: 
F
Q
Ε = (newtons / coulomb) [2] 
A força exercida sobre uma carga positiva unitária Q2 igual a 1 C, por uma carga 
Q1 situada a r metros de distância, conforme determinada pela lei de Coulomb, é: 
9 21 2 1 1
2 2 2
k Q Q k Q 1 k QF F (k 9 1
r r r
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = → = = × ⋅0 N m / C) (newtons) [3] 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 1 
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A substituição da equação 3 na equação 2 para determinar a intensidade do 
campo elétrico à qual a carga Q1 estará sujeita em relação à carga Q2 de 1 C, conduz a: 
2
1
22
k Q r k Q
Q r
⋅ ⋅Ε = = 1 (newtons / coulomb) [4] 
A atração e repulsão entre cargas agora podem ser explicadas em termos do 
campo elétrico e suas linhas de força (ver XFigura 2X). Normalmente quanto mais 
próximas as cargas, maior a atração ou a repulsão entre elas devido ao aumento da 
intensidade do campo elétrico. 
 
Figura 2 – Distribuição de linhas de campo: (a) cargas de mesmo tipo; (b) cargas de tipos opostos. 
CAPACITÂNCIA 
Na XFigura 3X duas placas para-
lelas, feitas de um material 
condutor e separadas por um 
espaço vazio, estão conectadas a 
uma bateria por meio de um 
resistor e uma chave. Se as 
placas estão inicialmente des-
carregadas e a chave está aberta, 
nenhuma carga, positiva ou ne-
gativa, será encontrada nelas. 
Entretanto, no momento em que 
 
Figura 3 – Circuito simples de carga com duas placas. 
a chave é fechada, elétrons são atraídos da placa superior para o terminal positivo da 
bateria passando pelo resistor. Ocorrerá inicialmente um surto de corrente limitada pelo 
valor da resistência presente. A intensidade desta corrente diminuirá com o passar do 
tempo. Isso produz uma carga positiva na placa superior. Os elétrons são repelidos pelo 
terminal negativo em direção à placa inferior, pelo condutor inferior, com a mesma 
velocidade com que eles são atraídos pelo terminal positivo da bateria. Essa 
transferência de elétrons continua até que a diferença de potencial entre as placas seja 
exatamente igual à tensão da bateria O resultado final é uma carga positiva na placa 
superior e uma carga negativa na placa inferior, muito semelhantes, sob vários 
aspectos, às cargas esféricas da XFigura 2X(b). 
Este elemento, constituído apenas por duas placas condutoras paralelas, 
separadas por um material isolante (neste caso, o ar), é denominado capacitor. 
Capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar 
em suas placas, em outras palavras, é sua capacidade de armazenamento. 
Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for 
depositada em suas placas por uma diferença de potencial de 1 volt entre elas. 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 2 
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Na prática o farad é uma unidade muito grande para a maioria das aplicações; 
assim, é mais comum o uso do microfarad (10-6) ou picofarad (10-12). Expressa em 
forma de equação, a capacitância é definida por: 
QC
V
= (farads) [5] 
Onde: C = capacitância, em farads. Q = carga, em coulombs. V = tensão, em 
volts. 
Uma vista em corte das placas paralelas com a distribuição das linhas de campo 
aparece na XFigura 4X(a). O número de linhas de campo por unidade de área (D) entre as 
duas placas é bastante uniforme. Nas bordas, as linhas de campo apresentam uma 
deformação para fora das placas, este fenômeno é conhecido como efeito de borda, 
como mostra a XFigura 4X(b). Este efeito pode ser ignorado na maioria das aplicações 
práticas. 
 
Figura 4 – Distribuição de linhas de campo na região entre as placas de um capacitor: (a) incluindo o efeito de 
borda; (b) ideal. 
Se uma diferença de potencial de V volts é aplicada entre duas placas separadas 
por uma distância d, a intensidade do campo elétrico na região entre as placas é dada 
por: 
V
d
Ε = (volts/metro) [6] 
Diferentes valores de capacitância podem ser obtidos do mesmo par de placas 
paralelas inserindo-se certos materiais isolantes entre elas. Na XFigura 5X(a), foi colocado 
um material isolante entre as duas placas paralelas submetidas a uma diferença de 
potencial de V volts. Como o material é isolante, os elétrons não conseguem deixar 
seus átomos e migrar e migrar para a placa positiva. As partículas positivas (prótons) e 
negativas (elétrons) de cada átomo se deslocam, entretanto (como mostra a XFigura 
5X(b)), para formar dipolos. 
Quando os dipolos se alinham, como na XFigura 5X(a), o material está polarizado. 
Um exame mais minucioso do interior deste material polarizado indica que as 
partículas negativas e positivas dos dipolos adjacentes se cancelam (região sombreada 
na XFigura 5X(a)). Entretanto as cargas positivas na superfície mais próxima da placa 
negativa do capacitor e as cargas negativas na superfície mais próxima da placa 
positiva do capacitor não se cancelam, o que resulta no aparecimento de um campo 
elétrico no interior do isolante (Εdielétrico) na XFigura 5X(b). O campo elétrico total entre as 
placas é menor devido à inserção do dielétrico (Εtotal = Εar – Εdielétrico). 
Portanto o objetivo do dielétrico é criar um campo elétrico que opões ao campo 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 3 
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elétrico criado pelas cargas livres das placas. Por essa razão diz-se que o material 
isolante é um dielétrico. 
 
Figura 5 – Efeito dielétrico sobre a distribuição do campo na região entre as placas de um capacitor: (a) 
alinhamento dos dipolos no dielétrico; (b) componentes do campo elétrico entre as placas de um capacitor quando 
um dielétrico está presente. 
Com a colocação de diferentes matérias entre as placas do mesmo capacitor, 
diferentes quantidades de carga serão depositadas nas placas. Acontece que φ ≡ Q, de 
maneira que o dielétrico determina também o número de linhas de campo entre as duas 
placas e, conseqüentemente, a densidade de fluxo D, já que A não varia. 
A razão entre a densidade de fluxo e a intensidadedo campo elétrico no 
dielétrico é chamada de permissividade do dielétrico: 
Dε = Ε (farads/metro) [7] 
A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico permite o 
estabelecimento de linhas de campo no seu interior. Quanto maior este valor, maior a 
quantidade carga depositada nas placas e, conseqüentemente, maior a densidade de 
fluxo para uma área constante. 
Para o vácuo, o valo de ε (representado por εo) é 8,85 × 10-12 F / m. A razão entre 
a permissividade de qualquer dielétrico e a permissividade do vácuo é denominada 
permissividade relativa, εr: 
r
o
εε = ε [8] 
A permissividade relativa ou constante dielétrica é fornecida na XTabela 1X para 
alguns materiais dielétricos. 
Substituindo D e Ε na equação 7, tem-se: 
D A Q A Q
V d V d V A
ϕ ⋅ε = = = =Ε
d
⋅ mas, portanto, 
C d
A
⋅ε = e AC d= ε [9] 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 4 
QC
V
=
ou 
12
o r r
A AC 8,85 10
d
−= ε ⋅ ε = × ⋅ ε
d (farads) [10] 
Onde A é a área das placas em metros quadrados, d é a distância entre as placas 
em metros e εr é a permissividade relativa. 
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Tabela 1 – Permissividade relativa (constante dielétrica de várias substâncias) 
Dielétrico εr (valores médios) 
Vácuo 1,0 
Ar 1,0006 
Teflon 2,0 
Papel parafinado 2,5 
Borracha 3,0 
Mica 5,0 
Porcelana 6,0 
Baquelite 7,0 
Água destilada 80,0 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
1. Para o capacitor da XFigura 6X. 
a) Determinar a capacitância. 
b) Determinar a intensidade do 
campo elétrico entre as placas 
se 450 V forem aplicados nas 
placas. 
c) Determinar a carga resultante 
em cada placa. 
 
Solução: Figura 6 – Capacito do exemplo 1. 
a) 
2
12 12
o o 3
A 0,01mC (8,85 10 F / m) 59,0 10 F 59pF
d 1,5 10 m
− −
−= ε = × ⋅ = × =× 
 
b) 33
V 450V 300 10 V / m
d 1, 5 10 m−
Ε = = = ×× 
 
c) 12 9
QC Q C V 59,0 10 F 450V 26,55 10 26,55nC
V
− −= → = ⋅ = × ⋅ = × = 
 
RIGIDEZ DIELÉTRICA 
Tabela 2 – Rigidez dielétrica de alguns materiais 
Dielétrico Rigidez dielétrica (Volts/mm) εr 
Ar 2593 1,0006 
Titanato de bário e estrôncio 2593 7,5 
Porcelana 7874 6,0 
Óleo transformador 15748 4,0 
Baquelite 15748 7,0 
Borracha 27559 3,0 
Papel parafinado 51181 2,5 
Teflon 59055 2,0 
Vidro 118110 7,5 
Mica 196850 5,0 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 5 
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Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao 
dielétrico, quebrará ligações moleculares internas, permitindo a passagem de corrente. 
A tensão por unidade de comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para 
que haja uma condução em um dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é 
denominada tensão de ruptura. Quando a ruptura ocorre o capacitor passa a ter 
características muito semelhantes às de um condutor. Um exemplo típico de ruptura de 
dielétrico é o raio, que ocorre quando a diferença de potencial entre uma nuvem e a 
terra se torna tão grande que pode haver escoamento de carga de uma para outra pela 
atmosfera, que se comporta como o dielétrico. A rigidez dielétrica média para diversos 
dielétricos aparece na XTabela 2X. A permissividade relativa aparece entre parênteses para 
enfatizar a importância de considerar os dois fatores no projeto de capacitores. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
2. Determinar a tensão máxima que pode ser aplicada aos terminais de um capacitor de 
0,2 μF com área de placa de 0,3 m2. O dielétrico é a porcelana. Considerar uma 
relação linear entre a rigidez dielétrica e a espessura do dielétrico. 
Solução: 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 6 
12 3r
o r 12 12 6
8,85 AA 8,85 6 0,3C 8,85 10 d d 79,65 10 mm
d 10 C 10 0,06 10
− −
−
⋅ε ⋅ ⋅ ⋅= × ⋅ε → = = → = ×⋅ ⋅ ×
 
Rigidez dielétrica = 7874 V / mm. Portanto: 
37874V 79,65 10 mm 627,16V
mm
−⋅ × = 
 
CORRENTE DE FUGA 
No caso ideal ocorre o fluxo de elétrons em um dielétrico apenas quando a tensão 
de ruptura é alcançada. Na realidade, existem elétrons livres em todos os dielétricos 
devido a elementos de impureza no material. 
Quando é aplicada uma tensão en-
tre as placas de um capacitor, uma cor-
rente de fuga, devido aos elétrons livres, 
flui de uma placa para outra. Normal-
mente, esta corrente é tão pequena que 
pode ser ignorada na maioria das apli-
cações práticas. Este efeito é represen-
tado por um resistor em paralelo com o 
capacitor na XFigura 7X(a), cujo valor é, ti-
picamente, maior que 100 MΩ. Alguns 
tipos de capacitores, como os eletrolíti-
cos, têm correntes de fuga relativamente 
 
Figura 7 – Demonstração do efeito da corrente de fuga. 
altas. Quando carregados e depois desconectados do circuito, esses capacitores perdem 
a carga num tempo, na ordem de segundos, devido ao fluxo de cargas (corrente de 
fuga) de uma placa para a outra (ver XFigura 7X(b)). 
 
TIPOS DE CAPACITORES 
Assim como os resistores, todos os capacitores podem ser classificados em duas 
categorias; fixos e variáveis. 
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Como exemplo de construção, tem-
se na XFigura 8X um capacitor cerâmico. 
Uma base cerâmica é revestida dos dois 
lados com um metal, como o cobre ou a 
prata, funcionando como as duas placas. 
Os terminais são conectados às placas 
pelos eletrodos. Aplica-se em seguida, 
uma camada isolante de cerâmica ou plás-
tico sobre as placas e o dielétrico. Os ca-
pacitores cerâmicos possuem corrente de 
fuga muito baixa e podem ser usados em 
circuitos CA ou CC. Podem ser encontra-
dos na faixa de alguns picofarads até 2 μF 
e com tensões de trabalho até 5000 V. 
O capacitor eletrolítico é usado nor-
malmente nas situações em que capaci-
tância da ordem de um a milhares de 
microfarads são necessárias. São usados 
em circuitos CC porque apresentam boas 
características de isolamento quando a 
tensão é aplicada com certa polaridade, 
mas se comportam como um condutor 
quando a tensão é aplicada com a polari-
dade oposta. Mas, também existem capa-
citores eletrolíticos que podem ser usados 
em circuitos CA ou quando a tensão apli-
cada ao capacitor muda de polaridade por 
curtos períodos de tempo. 
A construção básica de um capaci-
tor eletrolítico consiste em um rolo de fo-
lha de alumínio com uma face revestida 
por óxido de alumínio, sendo o alumínio a 
placa positiva, e o óxido o dielétrico. Uma 
camada de papel ou gaze saturada de ele-
trólito é colocada sobre o óxido de alumí-
nio. Outra folha de alumínio sem o reves-
timento de óxido é então colocada sobre 
esta camada para formar a placa negativa. 
Na maioria dos casos, a placa negativa é 
 
Figura 8 – Capacitor de cerâmica multicamadas com 
terminais radiais 
Figura 9 – Capacitores eletrolíticos: (a) com terminais 
radias; (b) com terminais axiais. 
conectada diretamente ao invólucro de alumínio, que serve como terminal negativo 
para conexões externas. Devido ao tamanho do rolo de folha de alumínio, a área total 
desse capacitor é grande. E, devido ao uso de um óxido como dielétrico, a distância 
entre as placas é extremamente pequena. Outras especificações importantes dos 
capacitores eletrolíticos são a tensão de trabalho (tensão que pode ser aplicada entre os 
terminais do capacitor por longos períodos de tempo sem que ocorra ruptura) e a tensão 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 7 
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de pico (máxima tensão contínua que pode ser aplicada por curtos períodos de tempo). 
Os capacitores eletrolíticos possuem baixas tensões de ruptura e corrente de fuga 
relativamente elevadas. Podem ser encontrados em valores na faixa de alguns 
microfarads até milhares de microfarads e com tensão de trabalho de até 500 V 
A XFigura 10Xilustra outros tipos de capacitores, indicando suas principais 
características e aplicações. 
 
 
Eletrolítico miniatura axial Silver Mica
Eletrolítico miniatura radial
Papel de Mylar
Disco de cerâmica 
Usado em partida de motores 
Tântalo (sólido e úmido) 
Variável de ajuste
Montado em superfície (SMD) Variável de sintonia
Figura 10 – Diversos tipos de capacitores. 
MÉTODOS DE MARCAÇÃO 
Em geral o tamanho do capacitor é a primeira indicação do seu valor. As 
unidades menores são tipicamente em picofarads (pF) e as unidades maiores, em 
microfarads (μF). Nas unidades maiores a capacitância geralmente vem impressa no 
invólucro, juntamente com a tolerância e a máxima tensão de trabalho. Nas unidades 
menores é utilizado algum tipo de abreviação, como as que aparecem na XFigura 11X(a), 
o valor é reconhecido imediatamente como sendo em picofarads, sendo a letra ‘K’ um 
indicador de uma tolerância de ± 10 %. Frequentemente, a letra ‘K’ também pode ser 
interpretada como um multiplicador por 103, e a capacitância é lida como sendo de 
20000 pF ou 20 nF. No caso da XFigura 11X(b) a letra minúscula ‘n’ é uma indicação 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 8 
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clara de que esse capacitor é de 200 nF. A letra ‘J’ indica uma tolerância de ± 5 %. Para 
capacitores como o da XFigura 11X(c), os dois primeiros dígitos representam o valor da 
capacitância, enquanto o terceiro é o expoente da potência de 10 do multiplicador. O 
‘F’ representa a tolerância de ± 1 %. Na marcação da XFigura 11X(d), o multiplicador é o 
número’9’ que representa 0,1. Se fosse usado o número’8’ o multiplicador seria 0,01. 
Já a letra ‘M’ significa uma tolerância de ± 20 %. 
 
Figura 11 – Métodos de marcação para capacitores pequenos. 
TRANSIENTES EM CIRCUITOS CAPACITIVOS 
Serão analisados a tensão e a corrente 
no circuito mostrado na XFigura 12X, depois 
que a chave é fechada, dando início à fase de 
carga e, quando a chave é colocada na 
posição 2, que inicia a fase de descarga. 
 
Fase de Carga 
Colocando a chave na posição 1 faz 
com a bateria comece a remover elétrons da 
placa superior e depositá-los na placa inferior. 
A transferência de elétrons é muito rápida no 
Figura 12 – Circuito simples para carregar um 
capacitor. 
início, ficando mais lenta à medida que a tensão entre os terminais do capacitor se 
aproxima da tensão da bateria. Quando a tensão entre os terminais do capacitor se 
iguala à tensão da bateria, cessa o movimento de elétrons. Nesse momento, as placas 
terão uma carga dada por Q = C·VC = C·E. Um gráfico indicando o que acontece com a 
tensão e a corrente é mostrado na XFigura 13X. 
 
(a) (b) 
Figura 13 – (a) iC durante a fase de carga e (b) vC durante a fase de carga. 
Quando a chave é fechada em t = 0 s, a corrente salta para um valor limitado 
apenas pela resistência do circuito e em seguida começa a diminuir em direção a zero à 
medida que as placas se carregam. Na XFigura 13X(a) nota-se a rápida diminuição no 
valor da corrente, revelando que a quantidade de carga depositada nas placas por 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 9 
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unidade de tempo também decai rapidamente. Como a tensão entre as placas está 
relacionada diretamente à carga das placas pela equação vC = q / C, a rapidez com que a 
carga é inicialmente depositada nas placas resulta em um rápido aumento de vC (XFigura 
13X(b)). Nota-se que quando a taxa de escoamento de cargas diminui, a tensão aumenta 
mais devagar. Quando o fluxo de cargas cessar, a corrente será zero e a tensão não 
mudará mais de valor, indicando que a fase de carga terminou. Neste ponto o capacitor 
adquire características de um circuito aberto: existe uma tensão entre as placas sem que 
haja corrente entre elas. 
Nos circuitos de corrente contínua, os capacitores podem ser substituídos 
por circuitos abertos uma vez que a fase de carga tenha terminado. 
Já no momento em que a chave é fechada, pode-se concluir também que o 
capacitor se comporta nesse instante como um curto-circuito. A corrente de carga pode 
ser calculada pela seguinte equação: 
(t RC)
C
Ei e
R
−= ⋅ [11] 
O fator e-(t/RC) é uma função exponencial da forma e-x, em que x = -t/RC e e = 
2,71828... O fator RC na equação 11 é chamado constante de tempo do sistema e tem 
dimensão de tempo: 
QV Q VR C t
I V Q / t V
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 
Seu símbolo é a letra grega tau (τ) e sua unidade de medida é o segundo. Assim: 
R Cτ = ⋅ (segundos) [12] 
Substituindo τ = R·C na função exponencial e-t/RC, obtém-se e-t/τ. Portanto, 
decorrido uma constante de tempo, ou seja t = 1τ, a função exponencial vale e-1 = 
0,3679, isto é a função é igual a 36,79 % do seu valor máximo. Um gráfico universal de 
constantes de tempo é mostrado na XFigura 14X. Ele permite estimativas mais precisas do 
valor da função e-t para um número específico de constantes de tempo. 
Na equação 11 o valor máximo que a corrente iC pode alcançar é dado por E/R, 
pois, quando t = 0, o termo exponencial e-t/RC vale 1. Como mostra a XFigura 15X para 
valores crescentes de t os valores de iC diminuem e como o valor de iC é menor de 1 % 
do valor máximo após cinco constantes de tempo, supõe-se que, em um circuito 
capacitivo de corrente contínua, iC é praticamente zero após terem se passado cinco 
constantes de tempo na fase de carga. 
Já a tensão vC entre os terminais do capacitor durante a fase de carga é dada pela 
seguinte equação: 
(t RC)
Cv E (1 e
−= ⋅ − ) [13] 
Verifica-se que a tensão vC também possui um comportamento exponencial dado 
pela expressão (1 – e-t/RC), que também pode se vista na XFigura 14X. Note-se que a tensão 
nos terminais do capacitor aumenta na medida em que o tempo avança. 
O valor máximo que vC poderá alcançar é o valor multiplicativo na equação 13, 
isto é a tensão E. A XFigura 16X ilustra o comportamento de vC. 
Na verdade uma capacitância é também uma medida do quanto o circuito se opõe 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 10 
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à mudança da tensão entre os seus terminais. Quanto maior a capacitância, maior a 
constante de tempo e mais tempo será necessário para que a tensão atinja o valor final. 
 
Figura 14 – Gráfico universal de constantes de tempo. 
 
Figura 15 – iC em função de t durante a fase de carga. 
 
Figura 16 – vC em função de t durante a fase de carga. 
A tensão sobre o resistor, vR, no circuito da XFigura 12X é dada pela aplicação da 
lei de Ohm, o seja: 
(t RC) (t RC)
R R C R
Ev R i R i R e v E e
R
− −= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ → = ⋅ [14] 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
3. Determinar as expressões matemáticas para 
o comportamento transitório de vC, iC e vR 
para o circuito mostrado na XFigura 17X 
quando a chave é colocada na posição 1. 
Plotar as curvas de vC, iC e vR. Determinar 
também o tempo necessário para que iC seja 
aproximadamente zero e vC seja máximo. 
 
Figura 17 – Circuito do exemplo 3. 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 11 
CEFETSP – UNED CUBATÃO – SAI – 3º MÓDULO ELETRICIDADE APLICADA 1 
Solução: 
3 6
3
R C (8 10 ) (4 10 )
32 10 s 32ms
−
−
τ = ⋅ = × ⋅ × →
τ = × = 
 
Pela equação 13: 
(t RC)
C
3(t 32 10
C
v E (1 e )
v 40 (1 e
−
−− ×
= ⋅ − →
= ⋅ − )
 
Pela equação 11: 
(t RC)
C
3(t (32 10 )
C 3
33 (t (32 10 )
C
Ei e
R
40i e
8 10
i 5 10 e
−
−− ×
−− − ×
= ⋅ →
= ⋅×
= × ⋅
→ 
 
Pela equação 14: 
3(t RC) (t (32 10 )
Rv E e 40 e
−− −= ⋅ = ⋅ × 
 
As curvas são apresentadas ao lado. 
 
Uma vez que a tensão entre os terminais do capacitor se torna igual à tensão da 
bateria E, o capacitor estátotalmente carregado e permanece neste estado se não forem 
feitas mudanças no circuito. Se a chave do circuito da XFigura 17X for aberta, o capacitor 
conservará sua carga por um período de tempo determinado pela corrente de fuga. 
 
Fase de Descarga 
O circuito da XFigura 12X foi projetado para carregar e descarregar o capacitor. 
Quando a chave é colocada na posição 1, o capacitor se carrega com a tensão da fonte. 
Em qualquer instante do processo de carga, se a chave for movida para a posição 2, o 
capacitor começará a se descarregar com a mesma constante de tempo τ = RC. A tensão 
estabelecida pela carga entre os terminais do capacitor dá origem a uma corrente 
elétrica que eventualmente descarrega por completo o capacitor. Note-se que a corrente 
agora irá circular em sentido contrário, o que muda a polaridade da tensão entre os 
terminais de R. 
Se o capacitor for carregado até a tensão entre seus terminais ser igual á tensão 
da bateria, a equação para a tensão entre os terminais do capacitor, vC, na fase de 
descarga e, consequentemente sobre o resistor, vR, será a seguinte: 
(t RC)
C Rv v E e
−= = ⋅ [15] 
Durante a fase de descarga, a corrente iC também diminui com o tempo, de 
acordo com a seguinte equação: 
(t RC)
C
Ei e
R
−= ⋅ [16] 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 12 
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A descarga completa ocorre, 
para todos os efeitos práticos, após 
cinco constantes de tempo. Se a 
chave for alternadamente colocada 
nas posições 1 e 2 a cada cinco 
constantes de tempo, as curvas de 
vC, vR e iC terão o aspecto da XFigura 
18X. Como a polaridade de vC é a 
mesma nas fases de carga e descar-
ga, toda a curva está acima do eixo 
horizontal. A corrente iC muda de 
sentido quando o capacitor começa 
a se descarregar, produzindo um 
pulso negativo para a corrente e 
para a voltagem vR. 
Observa-se que a tensão vC 
nunca varia instantaneamente. 
Quando a fase de carga é 
interrompida antes de a tensão da 
fonte ser atingida, a tensão entre os 
terminais do capacitor é menor, 
sendo que a equação para a tensão 
de descarga terá a forma: 
(t RC)
C iv V e
−= ⋅ [17] 
onde Vi é a tensão no início da fase 
de descarga. A equação para a cor- 
Figura 18 – Ciclos de carga e descarga de um capacitor a cada 
cinco constantes de tempo. 
rente de descarga, iC, também é modificada simplesmente substituindo E por Vi. 
 
VALORES INICIAIS 
Até agora sempre foi considerado 
que o capacitor está completamente 
descarregado antes de ser fechada a 
chave. Caso exista uma tensão V = 
Q / C entre as placas no instante em 
que a chave é fechada, esta tensão é 
chamada de valor inicial da tensão, 
como mostra a XFigura 19X. Uma vez 
a chave fechada, começa a fase do 
transitório, que só termina para 
efeitos práticos, após cinco constan- Figura 19 – Regiões associadas a uma resposta transitória. 
tes de tempo. A região de valores relativamente fixos e que se segue à resposta 
transitória é denominada estado estacionário ou regime permanente, e o valor da tensão 
nessa região é denominado valor estacionário ou valor final. O valor estacionário é 
determinado substituindo-se o capacitor por um circuito aberto e determinando-se a 
tensão entre placas. Usando a equação para o transitório, uma equação para vC pode ser 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 13 
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escrita considerando todo o intervalo de tempo da XFigura 19X, ou seja: 
(t RC)
C i f 1v V (V V ) (1 e
−= + − ⋅ − ) [18] 
Entretanto, multiplicando e reagrupando os termos tem-se: 
(t RC)
C f i fv V (V V ) e
−= + − ⋅ [19] 
 
EQUIVALENTE DE THÉVENIN: τ = RTh·C 
Em algumas situações será necessário primeiro determinar o circuito equivalente 
de Thévenin do circuito externo ao capacitor. ETh será então a tensão da fonte E das 
equações anteriores e RTh será a resistência R. A constante de tempo será τ = RThC. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
4. Para o circuito da XFigura 20X: 
a) Determinar a expressão matemática para o comportamento transitório de vC e iC 
em função do tempo após o fechamento da chave (posição 1 em t = 0 s). 
b) Determinar a expressão matemática para o comportamento transitório de vC e iC 
em função do tempo se a chave for colocada na posição 2 em t = 9 ms. 
c) Desenhe as formas de onda de tensão e corrente, para os itens (a) e (b), no 
mesmo eixo. 
 
Figura 20 – Circuito do exemplo 4. 
Solução: 
a) Aplicando o teorema de Thévenin ao capacitor de 0,2 μF, obtém-se o circuito 
visto na XFigura 21X 
 
Figura 21 – Aplicação do teorema de Thévenin ao circuito da XFigura 20X. 
Th 1 2 3 Th
60 30R R || R R 10 R 30k
90
⋅= + = + → = Ω 
 
2
Th Th
2 1
R E 30 21E E 7 V
R R 30 60
⋅ ⋅= = → =+ +
O circuito equivalente de Thévenin com 
o capacitor recolocado no circuito é 
visto na XFigura 22X. 
Usando a equação 19 e fazendo Vi = 0 e 
Vf = ETh, tem-se: 
 
Figura 22 – Circuito equivalente de Thévenin do 
circuito da XFigura 20X. 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 14 
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(t RC)
C f i fv V (V V ) e
−= + − ⋅ → 3 6[t (30 10 0,2 10 )]Cv 7 7 e
−− × ⋅ ×= − ⋅
3t (6 10 )
Cv 7 (1 e
−− ×= ⋅ − ) 
Para a corrente: 
3 3(t RC) (t 6 10 ) 3 (t 6 10 )Th
C C3
E 7i e e i 0,233 10 e
R 30 10
− −− − × − −= ⋅ = ⋅ → = × ⋅×
× 
 
b) Em t = 9 ms 
3t (6 10 )
C
3 3[ 9 10 6 10 ]
C
[ 1,5]
C
v 7 (1 e )
v 7 (1 e
v 7 (1 e ) 5,44V
−− ×
− −− × ×
−
= ⋅ −
= ⋅ −
= ⋅ − =
) 
A corrente em t = 9 ms será: 
33 (t 6 10 )
C
3 [1,5]
C
i 0,233 10 e
i 0,233 10 e 0,052mA
−− − ×
− −
= × ⋅
== × ⋅ =
 
 
Usando a equação 19 com Vf = 0 e Vi = 
5,44 V 
(t R C)4C f i f
3 6[(t (10 10 0,2 10 )]
C
3[(t (2 10 )]
C
v V (V V ) e
v 0 (5,44 0) e
v 5,44 e
−
−− × ⋅ ×
−− ×
= + − ⋅
= + − ⋅
= ⋅
 
Pela equação 16, fazendo E = Vi tem-se: 
Figura 23 – Formas de onda para o circuito da 
XFigura 20X. 
3 3(t RC) [t 0,2 10 ] 3 [t 0,2 10 ]i
C C3
V 5,44i e e i 0,54 10 e
R 10 10
− −− − × − −= ⋅ = ⋅ = × ⋅×
× 
 
d) Ver XFigura 23X. 
 
A CORRENTE iC 
A corrente iC associada a uma capacitância C está relacionada à tensão entre os 
terminais do capacitor pela equação: 
C
C
dvi C
dt
= [20] 
Onde dvC / dt é uma medida da taxa de variação de vC em um curto período de 
tempo. Se não houver variação da tensão em um determinado momento, então: 
Cdv 0
dt
= e CC dvi C dt= = 0 
Portanto, se a tensão vC entre os terminais do capacitor não varia com o tempo, a 
corrente iC associada ao capacitor é nula. Essa equação também mostra que quanto mais 
rápida a variação da tensão entre os terminais do capacitor, maior a corrente resultante. 
 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 15 
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CAPACITORES EM SÉRIE E EM PARALELO 
Os capacitores, como os resistores, podem ser conectados em série e em paralelo. 
Um aumento nos valores de capacitância pode ser conseguido conectando os 
capacitores em paralelo, enquanto uma diminuição é obtida conectando-os em série 
No caso de capacitores conectados 
em série, a carga é a mesma em todos os 
capacitores (ver XFigura 24X): 
T 1 2Q Q Q Q= = = 3 [21] 
Aplicando a LKT ao longo da 
malha, tem-se: 
1 2E V V V= + + 3 , mas 
 
Figura 24 – Capacitores em série. 
QV
C
= , de forma que: 3T 1 2
T 1 2
QQ Q Q
C C C C
= + +
3
, usando a equação 21 e dividindo 
os dois lados por Q, tem-se: 
T 1 2
1 1 1
C C C C
= + +
3
1
 [22] 
No caso de capacitores em paralelo, tensão é a mesma entre os terminais de todos 
os capacitores e a carga total é a soma das cargas dos capacitores; 
T 1 2Q QQ Q= + + 3 [23] 
T 1 1 2 2 3 3C E C V C V C V⋅Sabe-se que Q = C·V, portanto: = ⋅ + ⋅ + ⋅
3
3
, mas 
. Assim 1 2E V V V= + +
T 1 2C C C C= + + [24] 
 
ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAPACITOR 
O capacitor ideal não dissipa a 
energia que lhe é fornecida, mas a 
armazena na forma de campo elétrico 
entre suas superfícies condutoras. A 
XFigura 25X mostra a variação com o 
tempo da tensão, corrente e potência 
associada a um capacitor durante a fase 
de carga; A curva da potência pode ser 
obtida, para cada instante, calculando-
se o produto da tensão pela corrente Figura 25 – Potência fornecida a um elemento capacitivo durante o transitório. 
nesse mesmo instante. A energia armazenada no capacitor está representada pela região 
sombreada abaixo da curva da potência. Usando cálculo integral, pode-se determinar a 
área sob a curva, obtendo-se o seguinte resultado: 
2
C
1W C
2
= ⋅ Cv (joules) [24] 
 
CAPACITÂNCIAS PARASITAS 
Existem capacitâncias chamadas de parasitas resultantes da existência de duas 
NOTAS DE AULA 9 – CAPACITORES – REV. 0 16 
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superfícies condutoras relativamente pró-
ximas. Dois fios condutores no mesmo 
circuito apresentam um efeito capacitivo, 
como mostra a XFigura 26X(a). Nos circuitos 
eletrônicos existem capacitâncias entre as 
superfícies de condução de um transistor, 
como ilustrado na XFigura 26X(b). 
Um outro componente ainda não 
estudado, denominado indutor, apresenta 
efeitos capacitivos entre suas espiras 
(XFigura 26X(c)). As capacitâncias parasitas 
podem causar sérios problemas se não 
forem consideradas no projeto de um 
circuito. 
 
Figura 26 – Exemplos de capacitâncias parasitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. 
Capítulo 10. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004. 
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