Questões de matemática financeira resolvidas

Prévia do material em texto

Questões de matemática financeira resolvidas
          
  1-(FGV-SP) Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após  t meses, o montante relativo ao capital aplicado é dado por M(t)= C. 20,04.t, onde C >0. O menor  tempo possível  para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é:
a) 5 meses
b) 2 anos e 6 meses
c) 4 anos e 2 meses
d) 6 anos e  4 meses
Solução:   M= 4C   →  4C = C. 20,04.t
 cancelando  “c” →            4 = 20,04.t
                                         2 2 = 20,04.t
Igualando os expoentes →  2  = 0,04 t   →  t= 2/0,04  →  t= 50 meses
  
                                                 t= 4 anos e 2 meses      → alternativa C
2) Maria pretende contratar um investimento que consiste em 12 depósitos mensais, iguais e postecipados, que serão resgatados em 3 saques mensais de R$ 500,00, sendo o primeiro saque realizado 1 mês depois do último depósito. A taxa de remuneração composta do investimento é de 4% ao mês. O valor de cada depósito, em reais, sem considerar os centavos, será:
(A) 83.
(B) 92.
(C) 107.
(D) 120.
(E) 135.
Solução:
Como  a taxa de  remuneração é 4% am. , e serão  feitos 3  saques de  R$ 500,00, então temos que  calcular, qual deve ser o valor total ao final dos  12 depósitos, e que deve ser aplicado a 4% am,  que possibilite o resgate de R$ 500,00, sendo assim:
Total= 500(1/1,04)  + [500/(1,04)²] +  [500/(1,04)³] =  480,77 +  462,28 + 444,50 = 1387,55
 O  cálculo dos depósitos, pode  ser feito utilizando a expressão:
1387,55 = d + d(1,04) + ...+ d(1,04)11
1387,55 = d[1 + 1,04 +.....+ (1,04)11 ]
1387,55 = d(15,025)
d=1387,55/15,025  =>  d= 92,34   
alternativa  B
3) Um capital de R$ 4000,00, aplicado a juros compostos com capitalização semestral, produz, ao fim de 1 ano, o montante de R$ 5760,00. A taxa de juros nominal anual é:
a) 20%
b) 21%
c) 22%
d) 40%
e) 44%  
Solução:
 C= 4000   ;   M= 5760   ;  t= 1 ano     i= ?  taxa anual, capitalizada semestralmente:
                 M= C.( 1+ i/2)2t
              
            5760 = 4000.(1+ i/2)²
                (1+ i/2)² = 5760/4000
                (1 +i/2)² = 1,44
                 1 +i/2 =  √1,44
                 1 + i/2 = 1,2
                     i/2   = 1,2 -1
                     i/2  = 0,2
                       i  = 0,2 * 2
                       i  = 0,4   =>  i = 40%aa
                     alternativa  d
4)  Um empréstimo de R$ 4200,00, feito no período t=0, será pago em 7 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo (t=1), com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor. Para a devolução desse empréstimo, foram estudados 2 sistemas de amortização: 
 Sistema de Amortização Constante (Tabela SAC); 
 Sistema Francês de Amortização (Tabela PRICE). 
As prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante são menores do que a prestação calculada pelo Sistema Francês a partir do seguinte período: 
 a) 2
 b) 3 
 c) 4
 d) 5
 e) 6
Solução :
No sistema price a  prestação P é calculada através da expressão:  P=F/k
F= valor  financiado      ;  K = coeficiente que é função da taxa e do número de prestações, e  é calculado pela expressão:    K= [(1+i)n-1]/i.(1+i)n
Temos que  i= 4%am  =>  i= 0,04    e   n= 7
Substituindo :     K= [(1+0,04)7-1]/0,04.(1+0,04)7  
  
                          k= 6,00205
                         P = F/k    =>  P= 4200/6,00205    =>  P= 699,76    ( parcela fixa)
No sistema SAC, as prestações  são decrescentes: 
p1 = (4200/7) + 4% de 4200 = 600 +  168  = 768
p2=  600        + 4% de 3600 = 600+   144   = 744
p3 = 600        + 4% de 3000 = 600 + 120   =  720 
p4 = 600        +4%  de 2400 = 600 +  96    =  696
Portanto no período 4,  o  valor no sistema SAC  é menor que no sistema PRICE
Alternativa  C 
5)  Seja A1   o valor descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2   o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal. 
Parte superior do formulário
Se A1-A2  = R$ 96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número:
   a) múltiplo de 3.
   b) múltiplo de 4.
   c) múltiplo de 7.
   d) múltiplo de 13.
   e) primo.
Solução: Devemos entender a expressão: " valor descontado" como sendo o valor presente  ou ainda o valor líquido.
No desconto racional composto o valor presente (VP) é igual a:  VP= N/(1+i)t
Sendo  N= valor nominal  ou valor futuro  ;  i= taxa de desconto   e  t= tempo
A1 => VP = N/(1,1)²   =>  A1= N/1,21
No desconto comercial simples,  o  valor descontado é :  VP= N(1-i.t)
A2 =>  VP = N(1- 0.1x 2)  =>  VP= 0,8N 
Temos que:   A1- A2 = 96 
                       (N/1,21) - 0,8N = 96      (multiplicando toda expressão pro 1,21)
                        N -  0.968N = 116,16
                             0,032N=  116,16
                                       N= 116,16/ 0,032
                                       N= 3630
Por análise  a única alternativa  que é verdadeira , é  a alternativa A,  o valor nominal é  um múltiplo  de 3. 
6)  O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja:
(A) 5,0%.
(B) 5,5%.
(C) 6,0%.
(D) 6,5%.
(E) 7,0%.
 Solução:
  C= 2000  ,  i= 20% as  e  t= 6 meses => 1 período  , com  capitalização trimestral, sendo assim serão  feitas duas capitalizações,  ou seja  ,  n= 2. O montante composto é dado por:
 M= C(1+ i/n)n.t
 M= 2000 ( 1+ 0,2/2)² 
 M =2000(1+ 0,1)² 
 M= 2000.(1,1)²
 M= 2420 
Para obter o mesmo montante , no regime simples, com taxa bimestral,  temos:
 M= 2420   ;  t= 6 meses => 3 bimestres   e  i=?
       M= c(1+ i.t)
2420 =2000(1+i.3)
1+ i.3 = 2420/2000
1+ i.3 = 1,21
     i.3 = 1,21 -1   =>  i.3 = 0,21    =>  i= 0,21/3  =>  i= 0,07    => i= 7%ab
Alternativa "e" 
  
7)  Na compra de um imóvel, o contrato prevê o pagamento de uma parcela intermediária de R$ 28.000,00 dentro de um ano. Uma instituição financeira remunera os investimentos em sua carteira à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, livres de taxas e impostos. Nessa situação, considerando 1,2 como valor aproximado de 1,01512 , para obter o valor da parcela, o comprador do imóvel deverá investir hoje uma quantia que é inferior a R$ 23.300,00.
(   ) Certo      (   ) Errado
Solução:   Considerando o valor a ser investido hoje como sendo o capital (c), temos:
 M= C.( 1+ i)t
28000 = c(1,015)12 
   28000= 1,2.c
  c= 28000/1,2    =>  C= 23333,33
"errado" 
8)  (TCU-Analista de Finanças e Controle Externo)  O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00 e o
comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar à vista, a loja dá um desconto
de 20%. 0 mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta.
a) A melhor opção é o pagamento à vista.
b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento.
c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 192,00.
d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 210,00.
e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 252,00.
Solução:
Pagando à vista,  o valor da mercadoria é :  2400*(0,8) = 1920
Considerando que o mercado fianceiro paga  35%,  o comprador  precisa ter hoje, VP= 2400/(1,35) => VP= 1777,78
A diferença entre o valor a vista  e o valor presente (de acordo com a taxa do mercado financeiro)   é  igual  a:  1920 - 1777,78 =  142,22 ,  sendo assim:  aplicando essa diferença no mercado financeiro, com taxa de 35%,  o  comprador  possuirá , após um mês:  VF= 142,22*(1+ 0,35)  =>  VF= 142,22*1,35
VF= 191,99
Portanto a melhoropção é:  pagamento à prazo, e o lucro será de  $ 192,00
Alternativa  C
9) Considerando que uma pessoa tenha comprado um carro usado em 24 prestações mensais consecutivas e iguais a R$ 650,00 e que as prestações serão pagas a partir do mês seguinte da compra, julgue o item abaixo.
Se o vendedor tiver cobrado uma taxa de juros compostos de 2% ao mês e tomando 0,62 como valor aproximado de    1,02-24         , então o valor a vista do carro é  superior  a  R$ 12500,00.  
(  )  certo     (  ) errado
Solução:
Prestação: 650       ,  taxa= 2% am   e  número de parcelas= 24
  K= [(1+i)n-1]/i.(1+i)n
 K= [(1,02)24 -1)/[0,02*(1,02)-24]
K= [1- (1,02)-24]/0,02
K= [1- 0,62]/0,02   =>  K= 0,38/0,02   => K = 19    
  
Valor financiado = P * k  =>   Valor  financiado =  650*19     =>  Valor financiado=  12350
resposta: "errado" 
Parte inferior do formulário