Hiperboloide de Duas Folhas

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UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
CCT - CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E TELECOMUNICAÇÕES
HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
EDUARDO FALCHETTI SOVRANI
OSCAR ULLER
BLUMENAU / SC
2012
EDUARDO FALCHETTI SOVRANI
OSCAR ULLER
HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
Trabalho apresentado para avaliação na disciplina de Geometria Analítica do Curso de Engenharia Elétrica do Centro de Ciências Tecnológicas da Universidade Regional de Blumenau
Orientador(a): Ana Luísa Fantini Schmitt
BLUMENAU / SC
2012
HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
Superfície quádrica formada pelos Pontos P = (x,y,z) do espaço, cujas coordenadas satisfazem as equações apresentadas posteriormente.
Reconhecendo a equação reduzida da Hipérbole de duas folhas em passos
As variáveis (x, y e z) estão ao quadrado e o termo independente não é nulo;
Duas variáveis são negativas;
O eixo da hiperboloide é o mesmo da variável positiva;
Quando se tem dois planos perpendiculares a dois eixos, os traços formados nestes coincidem com hipérboles e, círculos ou elipses.
 Imagem ilustrando do quarto passo: formação de hipérboles e círculos
Eixo da hiperbolóide na variável positiva (x)
Divisões da equação
Quando a variável positiva for “z”:
2c = Distância entre os dois vértices;
2a = Comprimento da base no eixo X;
2b = Comprimento da base no eixo Y.
Quando a variável positiva for “y”:
2c = Comprimento da base no eixo Z;
2a = Comprimento da base no eixo X;
2b = Distância entre os dois vértices.
Quando a variável positiva for “x”:
2c = Comprimento da base no eixo Z;
2a = Distância entre os dois vértices;
2b = Comprimento da base no eixo Y.
Análise das seções (planos formados entre dois eixos que cortam a hiperbolóide)
Plano paralelo a XY:
O plano paralelo a XY que corta as folhas da hiperbolóide, tem-se em z como constante (z = k), resulta no seguinte sistema:
Tomando 
Como se pode perceber há a formação da equação de uma hipérbole com z = k, com focos:
 
Conclui-se:
 → Raios Focais
Plano paralelo a XZ:
O plano paralelo a XZ que corta as folhas da hiperbolóide tem-se em y como constante (y = k), resulta no seguinte sistema:
	
Tomando 
Como se pode perceber há a formação da equação de uma hipérbole com y = k, com focos:
 
Conclui-se:
 → Raios Focais
Plano paralelo a YZ:
O plano paralelo a XY que corta as folhas da hiperbolóide, tem-se em x como constante (x = k), resulta no seguinte sistema:
Como a primeira parte da equação é a soma de dois quadrados, esta só terá solução se:
 
Caso a condição anterior seja igual à zero (k² - a² = 0), a equação será:
O plano de corte será apenas x = a, com ponto de intersecção P = (a,0,0), e também para x = - a → P = (- a,0,0).
Caso a condição seja maior que zero (k² - a² > 0), a equação será:
Condições de k² - a² > 0;
Equações que representam uma elipse para x = k
Se b > c:
 
Conclui-se:
 → Raios Focais
Se c > b:
 
Conclui-se:
 → Raios Focais
Aplicações envolvendo a hiperbolóide de duas folhas
Superfícies refletoras hiperbólicas em telescópios:
Consideremos um espelho refletor com o formato de uma folha do hiperbolóide (gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo focal), sendo que a parte refletora está do lado de externo da hiperbolóide (parte côncava). 
Um raio de luz irradiado por uma fonte que incide no espelho e é refletido numa direção passando pelo “foco” da outra folha do hiperbolóide. Alguns telescópios denominados refletores usam um espelho hiperbólico secundário, além do refletor parabólico principal, para redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente. Sua construção foi proposta por Cassegrain em 1.672. Ela utiliza um segundo espelho refletor hiperbólico com seu “foco” coincidindo com o foco do espelho principal, de formato parabólico, conforme mostra a figura. Seu objetivo é fazer com que a imagem, após ser refletida, seja formada na posição do foco da outra folha do hiperbolóide. Existem algumas vantagens na montagem desse tipo de telescópio. O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que fica a 80 Km a noroeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.
Exercícios
Faça uma análise cuidadosa das seções planas da hiperbolóide de duas folhas: 
Uma hiperbolóide de duas folhas tem as seguintes propriedades:
Suas seções planas paralelas ao plano XY são círculos e elas ocorrem somente para interseção com planos z = k com |k| ≥ 4;
Tem a seguinte seção plana:
 
De a equação da hiperbolóide.
Exemplo de Gráfico da Hiperbolóide de Duas Folhas
Domínios
X → (-1,1)
Y → (-2,2)
Z → (-3,3)
Gráfico Gerado no programa Wolfram Mathematica.
Trabalho para Explanação sobre as Superfícies Quádricas
8
Acadêmicos:	Eduardo Falchetti Sovrani	Orientador(a): Ana Luisa Fantini Schmitt
	Oscar Uller	Disciplina: Geometria Analítica
		Engenharia Elétrica – 1ª Fase / 2012
REFERÊNCIAS
Bittencourt, Anderson; Cruz, Antônia; Portnoi, Marcos; Rossi, Nereu; Santana, Neilton. PRATA, BRONZE, ESTANHO: CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES NA ENGENHARIA ELÉTRICA. Disponível em: <http://www.reocities.com/ResearchTrian gle/4480/academic/academic-files/estanho-prata-bronze.html> Acesso em: 05 de Maio de 2012.
Sato, Jocelino. PROPRIEDADES REFLETORAS DAS CÔNICAS E APLICAÇÕES. Disponível em: < http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node16.html> Acesso em: 18 de Junho de 2012.
TELESCÓPIOS. Disponível em: <http://www.telescopiosastronomicos.com.br/refl etores.html> Acesso em: 18 de Junho de 2012.
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS. Disponível em <http://rymnd.110mb.com/wikinote s/cal3/quadric.htm> Acesso em: 18 de Junho de 2012.
Carvalho, Rita. HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS. Disponível em <http://www.ritaccs.pro.br/documentos/hiperboloidededuasfolhas50849.pdf> Acesso em: 18 de Junho de 2012.