Lista 3 Cálculo II

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA 
CURSOS DE ENGENHARIAS CIVIL E MECATRÔNICA 
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS - CÁLCULO II 
 
1. Nos exercícios abaixo, ache a derivada de segunda ordem das funções dadas: 
7x8x5xy)a 39 +++−= 3x5y)b −= 
( ) ( )32 1x1xy)c +−= d) xsenxy = 
2. Se ( ) ,exf x3−= obter ( )( )xf 100 . 
3. (FUVEST - Exame de transferência da USP - adaptado) Se ( ) ( ) xtgxsenxf 2 += , obtenha 
( )0''f . 
4. (FUVEST - Exame de transferência da USP - adaptado) Se ( ) ( )( )xlnlnxf = , obtenha ( )2e''f . 
5. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a 
equação 32 tt3x −= , em que x vem expresso em metros e t em segundos. 
a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? 
b) Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? 
c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos? 
6. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de 
movimento retilíneo é ( ) t2
t
1ts += , onde s é o deslocamento e t é o tempo. 
a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2? 
b) Qual é a equação da aceleração? 
7. Calcule as diferenciais das funções abaixo: 
 x5xy)a 4 += 
x1
xy)b
−
= 
 
2t1y)c −= ( )4u21
1y)d
+
= 
8. Encontre ∆y, dy e o dyyerro −∆= para os valores dados: 
 1x;5,0dx;xy)a 2 === 1x;001,0dx;
x2
1y)b 2 === 
 1x;1,0dx;
1x
1x2y)c −==
−
+
= 2x;4,0dx;x6y)d 2 −==−= 
9. Esboce num gráfico yedy,dx ∆ para os ítens a e d do exercício anterior. 
 
 
 
2 
10. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 
3 cm para 3,1 cm. 
11. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se 
que cada um de seus lados mede 1200 m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferenciais, 
determine o possível erro no cálculo da área do terreno. 
12. Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de 
lado. Depois que recebeu as placas, verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. 
Usando diferenciais, encontre o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. 
13. Use diferenciais para estimar os números: 
 1,36)a ( )697,1)b 
14. Calcule y ‘ das seguintes funções definidas implicitamente: 
 4yx)a 22 =− 1yx)b = 
 400y25x16)c 22 =+ 1yx)d =+ 
 1ysenxcos4)e = 2exln)f x
y
=+
−
 
15. Obtenha uma equação da reta tangente ao gráfico da equação no ponto indicado: 
 ( )4,3;25yx)a 22 −=+ ( )2,4;8yx)b −−= 
 ( )1,2;2xyx)c 2 += ( )2,1;2yxyx)d 22 −=+ 
 





−=−
4
9
,5;1
9
y
16
x)e
22
 ( )24,1;1
36
y
9
x)f
22
−=+ 
16. Determine as retas tangente e normal à circunferência de centro (2,0) e raio 2, nos pontos de 
abscissa 1. 
17. Aplicando as regras de L´Hospital, resolva os seguintes limites: 
1xx2
2xx2xlim)a 23
34
1x
−−
+−−
→
 
1x
xlnlim)b
1x −→
 
x5x7x
x6xlim)c 23
2
0x ++
+
→
 
xsen
eelim)d
xx
0x
−
→
−
 
1x7x
7x6xlim)e 3
2
x
−+
+−
∞+→
 
4x2x4
6x7lim)f 2
5
x +−
−
∞+→
 
3x x
xlnlim)g
∞+→
 
xtg
xsec1lim)h
2
x
+
−pi
→