Linearização de Modelos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
Disciplina: Modelagem e Simulação de Processos I – GEO18 
Professor: Fran Sérgio Lobato 
Tópico: Linearização de Modelos 
 
Define-se linearização como o processo de aproximação do comportamento de um modelo não linear 
(NL) nas vizinhanças de uma região de interesse (ver a Figura 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Linearização em torno do ponto de interesse x0. 
 
Base Matemática: Expansão em Série de Taylor 
 
Uma função f(x), contínua e diferenciável, pode ser aproximada em termos do ponto de referência x0: 
 
 
� �
0 0 0
2 32 3
0 0 0
0 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ...
1! 2! 3!
− − −
≅ + + + +
������� ������� �������
x x xNL L
L NL NL
x x x x x xdf d f d f
f x f x
dx dx dx
 
(1) 
 
Neste caso, se desejarmos uma aproximação linear (L) para a função f(x) (NL) devemos truncar a Eq.(1) 
nos termos lineares: 
 
 
� �
0
0 0( ) ( ) ( )≅ + −
�������
xNL L
L
df
f x f x x x
dx
 
(2) 
 
Assim, a Eq.(2) representa a aproximação linear da função f(x) em relação ao ponto de referência x0. 
 
Exemplo: aproxime a função x4 em torno do ponto x0=2. 
 
2
4 4 3 212(2)2 4(2) ( 2) ( 2) ...
2!
≅ + − + − +x x x 
 
Seja o modelo NL: 
 
 
�
� 0 0
( ) , ( )= =
NL
L
dx
f x x t x
dt
 (3) 
 
Neste caso, se aproximarmos a função f(x) em torno do ponto de referência xL 
 
 
�
� 0 0
( ) ( ) , ( )
=
= + − =
�������L
L L
x xL
L
L
dx df
f x x x x t x
dt dx
 
(4) 
 
OBS: O modelo linearizado é muitas vezes referido como modelo local (em xL). É usual representá-lo 
como desvio, escrevendo-o na forma de variável desvio, isto é, = −ɶ
L
x x x . 
 
 
 
 
y 
x 
Modelo Linear (L) 
Modelo 
Não-Linear (NL) 
x0 
Seja: 
 
 
( ) ( ) Modelo Linearizado
=
= + −
L
L L
x x
dx df
f x x x
dt dx
 (5) 
 
( ) Modelo Nao-Linear= ɶ
dx
f x
dt
 (6) 
 
Se xL é um estado estacionário, isto implica que, 
 
 
( ) 0= =L
L
dx
f x
dt
 (7) 
 
Subtraindo Eq.(7) de Eq.(5) obtêm-se 
 
 
( )− =L L
dxdx
f x
dt dt
( ) ( )
=
+ − −
L
L L
x x
df
x x f x
dx
 
 ( )
( )
=
−
= −
L
L
L
x x
d x x df
x x
dt dx
 
 
0 0
constante
, ( )
=
= = −
ɶ
ɶ ɶ
���L
L
x x
dx df
x x t x x
dt dx
 
(8) 
 
A Equação (8) representa o modelo linearizado em variável desvio ( ɶx ). 
 
Seja o sistema de equações diferenciais: 
 
 
1
1 1 2 1 0 10
2
2 1 2 2 0 20
( , ), ( )
( , ), ( )

= =

 = =

dx
f x x x t x
dt
dx
f x x x t x
dt
 (9) 
 
Determine o sistema linearizado em torno do ponto PL=(x1L,x2L). 
 
Aplicando a Série de Taylor e desprezando os termos não-lineares tem-se: 
 
 
1 1 1
1 1 1 2 2
1 2
( ) ( )
∂ ∂
≅ + − + −
∂ ∂L
L L
L LP
P P
dx f f
f x x x x
dt x x
 (10) 
 
Sabendo que 
 
 
1
1=
L
L
P
P
dx
f
dt
 (11) 
 
Subtraindo Eq.(10) de Eq.(11) obtêm-se: 
 
 
1 1
1
( )−
≅
L
L
P
d x x
f
dt
1 1
1 1 2 2 1
1 2
( ) ( )
∂ ∂
+ − + − −
∂ ∂ L
L L
L L P
P P
f f
x x x x f
x x
 (12) 
 
Definindo a variável desvio 1 1 1= −ɶ Lx x x : 
 
 
1 1 1
1 2
1 2
∂ ∂
≅ +
∂ ∂
ɶ
ɶ ɶ
L LP P
dx f f
x x
dt x x
 (13) 
 
Analogamente para a função f2, têm-se: 
 
 
2 2 2
1 2
1 2
∂ ∂
≅ +
∂ ∂
ɶ
ɶ ɶ
L LP P
dx f f
x x
dt x x
 (14) 
 
onde 2 2 2= −ɶ Lx x x é a variável desvio relacionada a x2. 
Em forma matricial pode-se escrever: 
 
 
 
1 1
1 2 10 11 1
0
20 22 22 2
1 2
constante
, ( )
∂ ∂ 
 ∂ ∂ −     = =       −∂ ∂     
 
∂ ∂ 
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
�������L
L
L
P
f f
x x x xx xd
x t
x xx xf fdt
x x
 
(15) 
 
OBS: O desenvolvimento acima representa um sistema onde apenas existem variáveis de estado. Na 
engenharia química, é comum trabalhar com variáveis de estado, variáveis manipuláveis e parâmetros. 
Neste caso, o sistema representado pela Eq.(15) é muito mais complexo, sendo reconhecido na literatura 
como modelo de estado de espaços. 
 
Exemplo: Seja o modelo 
 
 
1
2 1 1 0 10
2
1 2 2 0 20
( 1), ( )
( 3), ( )

= + =

 = + =

dx
x x x t x
dt
dx
x x x t x
dt
 (16) 
 
Determine: 
a) Qual(is) solução(ões) do estado estacionário? 
b) Classifique o modelo (linear ou não-linear). E caso seja pertinente, linearize o modelo no(s) 
ponto(s) obtido(s) na letra a.