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Aula PRA Topografia

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sen α = 
BC
AB
 = 
hipotenusa da medida
)( alfa a oposto cateto do medida α
 → sen α = 
a
c
 
sen β = 
BC
AC
 = 
hipotenusa da medida
)( beta a oposto cateto do medida β
 → sen β = 
a
b
 
cos α = 
BC
AC
 = 
hipotenusa da medida
)( alfa a adjacente cateto do medida α
 → cos α = 
a
b
 
cos β = 
BC
AB
 = 
hipotenusa da medida
)( beta a adjacente cateto do medida β
 → cos β = 
a
c
 
tan α = 
AC
AB
 = 
)( alfa a adjacente cateto do medida
)( alfa a oposto cateto do medida
α
α
 → tan α = 
b
c
 
tan β = 
AB
AC
 = 
)( beta a adjacente cateto do medida
)( beta a oposto cateto do medida
β
β
 → tan β = 
c
b
 
 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
tan 40° = 
30
x
 
0,839 = 
30
x
 
x = 30 * 0,839... 
x = 25,17 m 
cos α = 
.
..
hipo
adjcat
 
cos 40° = 
L
30
 
0,766 = 
L
30
 
L = 30 / 0,766... 
L = 39,16 m 
Outra opção, seria aplicar o 
Teorema de Pitágoras: 
 
L2 = 302 + 25,172... 
L2 = 900 + 633,53... 
L2 = 1533,53... 
L = ...53,1533 
L = 39,16 m 
 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
tan 25° = 
82,89
x
 
0,466 = 
82,89
x
 
x = 89,82 * 0,466... 
x = 41,88 m 
cos α = 
.
..
hipo
adjcat
 
cos 25° = 
L
82,89
 
0,906 = 
L
82,89
 
L = 89,82 / 0,906... 
L = 99,11 m 
 
sen α = 
.
..
hipo
opocat
 
sen 20° = 
25,88
y
 
0,342 = 
25,88
y
 
y = 88,25 . 0,342... 
y = 30,18 m 
cos α = 
.
..
hipo
adjcat
 
cos 20° = 
25,88
x
 
0,939 = 
25,88
x
 
x = 88,25 * 0,939... 
x = 82,93 m 
Conforme as medidas vão 
sendo descobertas, a 
possibilidade de usar outras 
relações matemáticas, também 
surge como opção de solução. 
 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
tan 10° = 
00,90
x
 
0,176 = 
00,90
x
 
x = 90,00 . 0,176... 
x = 15,87 m 
cos α = 
.
..
hipo
adjcat
 
cos 10° = 
L
00,90
 
0,984 = 
L
00,90
 
L = 90,00 * 0,984... 
L = 91,39 m 
 
2
10,5251
2
21,10502
2
20,1364599,3142
mA
A
A
=
−
=
−
=
mP
P
LLLLP
91,316
)39,91()25,88()11,99()16,39(
)14()43()32()21(
=
+++=
−+−+−+−=
TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 1 
Aula – Cálculo de Áreas 
As áreas podem ser calculadas por diversos métodos: 
• método gráfico – apenas para fins de estimativa (a poligonal é traçada em escala numa 
folha de papel milimetrado, onde são contados os quadrado dentro da poligonal); 
• método geométrico e trigonométrico - neste processo a área a ser avaliada é dividida 
em figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final será 
determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas; 
• método de coordenadas dos vértices (ou coordenadas totais). 
Método Geométrico: 
Exemplo: 
Calcular a área da poligonal abaixo pelo método geométrico. 
 
 
 
 Dividindo-se a poligonal em figuras geométricas conhecidas (nesse caso, retângulo e 
triângulos) e calculando as áreas dessas figuras, temos: 
TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 2 
 
 
Portanto: 
 
TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 3 
Método de Coordenadas dos Vértices: 
Um método bastante útil para o cálculo de áreas de propriedades é o método de 
coordenadas, conhecido como Método de Gauss. Hoje, quase todos os cálculos de áreas são feitos 
por computadores e a grande maioria dos programas é escrita usando o método de coordenadas. 
As coordenadas de um ponto em particular são definidas como as distâncias medidas para 
aquele ponto a partir de um par de eixos mutuamente perpendiculares – eixos x e y (sistema 
cartesiano). A origem (0,0) pode ser colocada em um dos vértices da poligonal ou em qualquer outro 
ponto conveniente, porém, ela é frequentemente localizada em um ponto de modo que todo o 
levantamento fique dentro do primeiro quadrante (NE), para que não haja coordenadas negativas. 
Assim, o ponto mais a oeste é assumido sobre o eixo y (ordenadas) e, consequentemente, as 
coordenadas x de todos os vértices serão positivas. O ponto mais ao sul é considerado sobre o eixo x 
(abcissas) e, desta forma, todas as coordenadas y são positivas. 
Seguindo os passos abaixo, é possível rapidamente calcular a área interna de uma poligonal: 
a) escolher um par de eixos (x,y) com um ponto de origem (0,0) – preferencialmente o eixo 
y passando pela estaca mais a oeste e o eixo x pela estaca mais ao sul; 
b) determinar as coordenadas (x,y) de cada uma das estacas – (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3)... ; 
c) colocar os pares ordenados na forma de proporção: 
)...(
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
==== 
Obs.: no final, sempre repete-se a fração inicial 
d) multiplica-se o numerador e o denominador da fração vizinha, em cruz, sendo o sentido 
da esquerda para a direita, convencionado como positivo e, da direita para a esquerda, 
negativo; 
)...(
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
==== 
(x1.y2) + (x2.y3) + (x3.y4) + ... (x4.y1) 
- (x1.y4) ... - (x4.y3) - (x3.y2) - ... (x2.y1) 
e) realiza-se a subtração destas multiplicações, com resultado na forma de módulo (valor 
sempre positivo), dividindo-se o resultado por dois, obtém-se assim a área da poligonal. 
Exemplo: 
Usando a mesma poligonal do exemplo anterior, calcular sua área pelo método das 
coordenadas. 
 
+ - 
TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 4 
 
 
2
)()()()()()()()( 1443322114433221 xyxyxyxyyxyxyxyxA
⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅
= 
 
2
)00()400200()800500()700300()300400()0800()200700()5000( ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅
=A
 
2
0000.80000.400000.210000.1200000.1400 −−−−+++
=A 
 
2
000.690000.260 −
=A 
 
2
000.430−
=A 
 
2000.215 mA =

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