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sen α = BC AB = hipotenusa da medida )( alfa a oposto cateto do medida α → sen α = a c sen β = BC AC = hipotenusa da medida )( beta a oposto cateto do medida β → sen β = a b cos α = BC AC = hipotenusa da medida )( alfa a adjacente cateto do medida α → cos α = a b cos β = BC AB = hipotenusa da medida )( beta a adjacente cateto do medida β → cos β = a c tan α = AC AB = )( alfa a adjacente cateto do medida )( alfa a oposto cateto do medida α α → tan α = b c tan β = AB AC = )( beta a adjacente cateto do medida )( beta a oposto cateto do medida β β → tan β = c b tan α = .. .. adjcat opocat tan 40° = 30 x 0,839 = 30 x x = 30 * 0,839... x = 25,17 m cos α = . .. hipo adjcat cos 40° = L 30 0,766 = L 30 L = 30 / 0,766... L = 39,16 m Outra opção, seria aplicar o Teorema de Pitágoras: L2 = 302 + 25,172... L2 = 900 + 633,53... L2 = 1533,53... L = ...53,1533 L = 39,16 m tan α = .. .. adjcat opocat tan 25° = 82,89 x 0,466 = 82,89 x x = 89,82 * 0,466... x = 41,88 m cos α = . .. hipo adjcat cos 25° = L 82,89 0,906 = L 82,89 L = 89,82 / 0,906... L = 99,11 m sen α = . .. hipo opocat sen 20° = 25,88 y 0,342 = 25,88 y y = 88,25 . 0,342... y = 30,18 m cos α = . .. hipo adjcat cos 20° = 25,88 x 0,939 = 25,88 x x = 88,25 * 0,939... x = 82,93 m Conforme as medidas vão sendo descobertas, a possibilidade de usar outras relações matemáticas, também surge como opção de solução. tan α = .. .. adjcat opocat tan 10° = 00,90 x 0,176 = 00,90 x x = 90,00 . 0,176... x = 15,87 m cos α = . .. hipo adjcat cos 10° = L 00,90 0,984 = L 00,90 L = 90,00 * 0,984... L = 91,39 m 2 10,5251 2 21,10502 2 20,1364599,3142 mA A A = − = − = mP P LLLLP 91,316 )39,91()25,88()11,99()16,39( )14()43()32()21( = +++= −+−+−+−= TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 1 Aula – Cálculo de Áreas As áreas podem ser calculadas por diversos métodos: • método gráfico – apenas para fins de estimativa (a poligonal é traçada em escala numa folha de papel milimetrado, onde são contados os quadrado dentro da poligonal); • método geométrico e trigonométrico - neste processo a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final será determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas; • método de coordenadas dos vértices (ou coordenadas totais). Método Geométrico: Exemplo: Calcular a área da poligonal abaixo pelo método geométrico. Dividindo-se a poligonal em figuras geométricas conhecidas (nesse caso, retângulo e triângulos) e calculando as áreas dessas figuras, temos: TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 2 Portanto: TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 3 Método de Coordenadas dos Vértices: Um método bastante útil para o cálculo de áreas de propriedades é o método de coordenadas, conhecido como Método de Gauss. Hoje, quase todos os cálculos de áreas são feitos por computadores e a grande maioria dos programas é escrita usando o método de coordenadas. As coordenadas de um ponto em particular são definidas como as distâncias medidas para aquele ponto a partir de um par de eixos mutuamente perpendiculares – eixos x e y (sistema cartesiano). A origem (0,0) pode ser colocada em um dos vértices da poligonal ou em qualquer outro ponto conveniente, porém, ela é frequentemente localizada em um ponto de modo que todo o levantamento fique dentro do primeiro quadrante (NE), para que não haja coordenadas negativas. Assim, o ponto mais a oeste é assumido sobre o eixo y (ordenadas) e, consequentemente, as coordenadas x de todos os vértices serão positivas. O ponto mais ao sul é considerado sobre o eixo x (abcissas) e, desta forma, todas as coordenadas y são positivas. Seguindo os passos abaixo, é possível rapidamente calcular a área interna de uma poligonal: a) escolher um par de eixos (x,y) com um ponto de origem (0,0) – preferencialmente o eixo y passando pela estaca mais a oeste e o eixo x pela estaca mais ao sul; b) determinar as coordenadas (x,y) de cada uma das estacas – (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3)... ; c) colocar os pares ordenados na forma de proporção: )...( 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 y x y x y x y x y x ==== Obs.: no final, sempre repete-se a fração inicial d) multiplica-se o numerador e o denominador da fração vizinha, em cruz, sendo o sentido da esquerda para a direita, convencionado como positivo e, da direita para a esquerda, negativo; )...( 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 y x y x y x y x y x ==== (x1.y2) + (x2.y3) + (x3.y4) + ... (x4.y1) - (x1.y4) ... - (x4.y3) - (x3.y2) - ... (x2.y1) e) realiza-se a subtração destas multiplicações, com resultado na forma de módulo (valor sempre positivo), dividindo-se o resultado por dois, obtém-se assim a área da poligonal. Exemplo: Usando a mesma poligonal do exemplo anterior, calcular sua área pelo método das coordenadas. + - TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 4 2 )()()()()()()()( 1443322114433221 xyxyxyxyyxyxyxyxA ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅ = 2 )00()400200()800500()700300()300400()0800()200700()5000( ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅ =A 2 0000.80000.400000.210000.1200000.1400 −−−−+++ =A 2 000.690000.260 − =A 2 000.430− =A 2000.215 mA =
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