Álgebra abstrata

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Álgebra abstrata
Álgebra abstrata é a parte da Álgebra que estuda estruturas algébricas como grupos, anéis e corpos. O termo abstrata é utilizada para diferenciar da álgebra elementar estudada no colégio que tem a ver com operações de adição, multiplicação, etc. e regras para manipular variáveis e expressões algébricas.
Exemplos de estruturas algébricas são apenas uma operação binária são:
Semigrupos 
Monóides 
Quasi-Grupos 
Grupos 
Estruturas algébricas mais complicadas são:
Anéis e Corpos 
Espaços vetoriais 
Álgebras associativas e Álgebras de Lie. 
Na Álgebra universal, todas estas definições e fatos que se aplicam de forma geral a todos as estruturas algébricas são agrupados. Todas as classes de objeto acima, juntamente com uma noção própria de homomorfismo, formam categorias, e a Teoria de Categorias frequentemente fornece o formalismo para traduzir e comparar as diferentes estruturas algébricas.
http://tiosam.com/?q=%C3%81lgebra_abstracta
Em álgebra abstracta, uma estrutura algébrica consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas. Caso não existam ambiguidades, geralmente identifica-se o conjunto com a estrutura algébrica. Por exemplo, um grupo (G,*) refere-se geralmente apenas como grupo G.
Algumas estruturas algébricas são definidas com mais de um conjunto, por exemplo, um espaço vectorial tem dois conjuntos, um conjunto de vectores e outro de escalares.
Dependendo das operações e axiomas, assim as estruturas algébricas ganham os seus nomes.
O que se segue é uma lista parcial de estruturas algébricas:
Grupóide: um conjunto com uma única operação binária 
Quase-grupo: um grupóide no qual a divisão é sempre possível 
Laço1: um quase-grupo com um elemento neutro 
Semi-grupo: um grupóide associativo 
Monóide: um semigrupo com um elemento neutro 
Grupo: um monóide, no qual cada elemento tem um inverso ou, o que é equivalente, um laço1 associativo 
Grupo abeliano: um grupo que obedece a comutatividade 
Anel: um conjunto com uma operação de grupo abeliano definida como adição, junto com uma operação de semigrupo como a multiplicação, que satisfaça a distributividade 
Corpo2: um anel no qual os elementos não-zero formam um grupo abeliano sob multiplicação 
Reticulado: um conjunto com duas operações comutativas, associativas e idempotentes, que satisfazem a lei de absorção 
Álgebra booleana: um reticulado limitado, distributivo e complementado 
Nas estruturas seguintes, temos dois conjuntos, um deles (em princípio mais simples, chamado de conjunto de escalares) e outro mais complicado. Além das operações internas de cada conjunto, podemos ter operações conectando os dois conjuntos:
Módulo: M é um módulo sobre um anel A quando M é um grupo abeliano, e temos uma função de A x M em M, definida como multiplicação escalar, com regras que se parecem formalmente com a distributividade e a associatividade 
Espaço vectorial: um módulo sobre um corpo. Se V é um espaço vectorial sobre um corpo F, chamamos os elementos de V de vectores e os elementos de F de escalares 
Álgebra: um módulo ou espaço vectorial, junto com uma operação bilinear entre vectores definida como multiplicação 
Álgebra associativa: uma álgebra cuja multiplicação é associativa 
Álgebra comutativa: uma álgebra associativa cuja multiplicação é comutativa 
Álgebra de Kleene: duas operações binárias e um operador unitário, modelados em expressões regulares 
Conjunto: embora alguns matemáticos discordem, um conjunto pode ser considerado uma estrutura algébrica degenerada, com zero operações definidas sobre ela 
As proposições que se aplicam colectivamente a todas as estruturas algébricas são investigadas no ramo da matemática conhecido como álgebra universal.
As estruturas algébricas também podem ser definidas em conjuntos com estruturas não-algébricas adicionais, como os espaços topológicos. Por exemplo, um grupo topológico é um espaço topológico com uma estrutura de grupo tal que as operações de multiplicação e inversão são contínuas; um grupo topológico possui quer uma estrutura topológica, quer uma estrutura algébrica. Outros exemplos comuns são espaços vectoriais topológicos e grupos de Lie.
Cada estrutura algébrica tem a sua própria noção de homomorfismo, uma função que é compatível com a operação ou as operações dadas. Desta forma, cada estrutura algébrica define uma categoria. Por exemplo, a categoria dos grupos tem como objectos todos os grupos e como morfismos todos os homomorfismos desses grupos. Esta categoria, uma vez que é uma categoria concreta, pode ser vista como uma categoria de conjuntos com estrutura extra, no sentido teórico das categorias. Analogamente, a categoria dos grupos topológicos (com os homomorfismos contínuos de grupo como morfismos) é uma categoria de espaços topológicos com estrutura extra.
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Notas:
Terminologia duvidosa. Em inglês, recebe o nome de loop. 
Em inglês, recebe o nome de field. 
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