GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_2

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA
Aula 2
Estudo dos pontos
Neste tópico vamos analisar os pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal em diversas situações:
Considerando a distância entre eles 
Quando falamos em distância entre dois pontos, vamos pensar em dois pontos distintos sobre a reta real, cuja distância é calculada mensurando o número de unidades que os separam.
Considerando as condições de alinhamento 
Três pontos podem estar sobre a mesma reta ou em retas distintas.
Considerando a simetria em relação aos eixos 
Um ponto possui três simetrias distintas no sistema de coordenadas.
Distância entre dois pontos na reta real
A distância entre dois pontos A e B, numa reta, é determinada pelo valor absoluto da diferença entre A e B, por isso a distância será sempre um número real não negativo, que representa o comprimento do segmento AB ().
Por exemplo, se quisermos a distância entre -3 e 5 sobre a reta real, basta fazermos a diferença entre os dois valores, isto é: -3 -5 = -8, cujo valor absoluto é 8. A distância entre -3 e 5 sobre a reta real é de 8 unidades.
Distância entre dois pontos de um plano
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por d(A, B), é a
medida do segmento de extremidade A e B.
Conhecidas as coordenadas dos dois pontos, podemos localizá-los num sistema cartesiano ortogonal e determinar assim a distância entre eles.
Vamos estudar três possibilidades. Para tanto indicaremos o ponto A (x1,y1) e o ponto B(x2,y2).
Exemplo:
Vamos calcular a distância entre os pontos A(-1, 4) e B(1, -3):
Ponto médio de um segmento
Dado um segmento de reta tal que A e B são pontos distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB.
Podemos concluir que dado um segmento de extremidades A(xA,yA) e B(xB, yB):
A abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades.
A ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades.
Exemplo:
Condição de alinhamento de três pontos
Concluímos que:
Simétrico de um ponto
Um ponto, no Sistema Cartesiano, possui três simetrias:
Em relação ao eixo Ox.
Em relação ao eixo Oy.
Em relação à origem.
Vamos exemplificar com o ponto A (2,3).
Chamamos de B o simétrico de A em relação ao eixo Ox  B (2,-3).
Então, sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se, seu determinante for igual a zero.
Chamamos de C o simétrico de A em relação ao eixo Oy  C (-2,3).
Chamamos de D o simétrico de A em relação à origem  D (-2,-3).
Observe na figura:
Exercícios
1 Encontre a distância entre os pontos A(2, -3) e B(1, -6).
2 A distância entre os pontos A(x, -3) e B(4, 2) é 8. Encontre o valor de x.
3 Encontre o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A(6, -5) e B(4, -1).
4 Sendo A(-2, 4) e B(-5, 6) as extremidades do segmento AB, encontre seu ponto médio.
5 Sendo A(4, 1) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(2, -7) o seu ponto médio, calcule as coordenadas do ponto B.
6 Calcule a área do triângulo de vértices A(3,4), B(5,-6) e C(-7,1).
7 Encontre o valor de y para que os pontos A(3,2), B(-4,x) e C(2,2) sejam colineares.
8 Encontre os três pontos de simetria do ponto A(-3,2).
9 Num sistema de coordenadas cartesianas, com suas unidades em centímetros, localizamos três pontos: A(-2, 3), B(3, -3) e C (6, 3). Una os três pontos formando um triângulo e calcule sua área em cm2.