GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_3

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GEOMETRIA ANALÍTICA
Aula 3
Inclinação de uma reta
Até aqui tratamos de pontos no sistema cartesiano, agora analisaremos as retas. Da mesma forma como os pontos, as retas também podem assumir diversas posições no plano cartesiano. 
A análise desta posição é feita em relação ao eixo Ox. Chamaremos de α a medida do ângulo que a reta r forma com o eixo Ox. A medida α do ângulo é considerada desse eixo para a reta r, no sentido anti-horário, e denomina-se inclinação da reta r. 
Partindo da definição acima, vamos considerar quatro casos, onde o ângulo α é tal que: 
Se a reta r é paralela ao eixo x, dizemos que sua inclinação é zero, ou seja, α = 0°.
Se α é um ângulo agudo, então 
Se α é um ângulo reto, então α = 90º .
Se α é um ângulo obtuso, então 
.
Coeficiente angular de uma reta
Consideremos uma reta r que não é paralela ao eixo Oy e sua inclinação α.
Declividade ou coeficiente angular da reta r é o número real m que expressa a tangente de sua inclinação α, ou seja: m = tg α.
Assim, temos quatro casos a considerar, com 
 
Sempre é possível calcular o coeficiente angular m de uma reta a partir das coordenadas de dois de seus pontos:
1 Quando a reta é horizontal, isto é, paralela ao eixo Ox, α = 0° então m = 0.
2 Quando a reta é vertical, isto é, paralela ao eixo Oy, α = 90° então m= ∃.
3 Quando 0° < α < 90°, observe o procedimento a seguir:
No triângulo retângulo ABC, onde C é o ângulo reto, temos:
Exemplo:
Para ilustrar este assunto, vamos calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2, 3) e B(4, 7):
Então:
Vamos analisar o exemplo que acabamos de resolver para entendermos melhor o que significa m = 2 que acabamos de encontrar. Quando fazemos a diferença dos dois números do numerador estamos calculando Δy (delta y = diferença dos y) e no denominador calculamos Δx (delta x = diferença dos x). O quociente do Δy por Δx é o coeficiente angular. Verifique o que acabamos de estudar na figura a seguir:
Desta forma, Que é nosso coeficiente angular. Ou seja, é a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo . 
Qual é o ângulo, cuja tangente é 2? R: 63,43º aproximadamente. Sabemos então, que a reta está inclinada à direita, formando com o eixo Ox um ângulo de 63,43o.
O coeficiente angular de uma reta no plano cartesiano tem um sinal que varia conforme o quadrante onde o ângulo se encontra:
Equação da reta
Toda linha reta representa uma equação de primeiro grau, com duas variáveis (x e y). Portanto, dada uma reta r qualquer, podemos encontrar a equação que a determina.
No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos, ou dois de seus pontos.
Equação da reta quando são conhecidos um ponto P(X1, Y1) e o coeficiente angular M da reta
Um ponto P(x1, y1) e a inclinação m determinam uma reta r, no sistema cartesiano ortogonal. Considerando P(x, y) um ponto qualquer dessa reta, veremos que é possível chegar a uma equação, de incógnitas x e y, a partir dos números x1, y1 e m, que será chamada equação da reta r.
Pelo que estudamos no tópico anterior, sabemos que o coeficiente angular 
Sabemos também que tg α = m. Como conhecemos apenas um ponto da reta, podemos concluir que:
Exemplo:
Vamos supor que na figura da página anterior, o ponto conhecido seja A (1,3) e o coeficiente angular 2.
Usando a equação y – y1 = m(x – x1), temos
y – y1 = m(x – x1),
y – 3 = 2(x – 1)
y – 3 = 2x – 2
-2x + y – 1 = 0 ou:
2x – y + 1 = 0
A equação da reta é 2x – y + 1 = 0.
Equação da reta quando são conhecidos dois de seus pontos
Já sabemos, pelos estudos da geometria, que dois pontos distintos determinam uma reta, ou seja, dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa pelos dois pontos.
Vamos então considerar uma reta r, definida por dois de seus pontos A(x1, y1) e B(x2, y2). Consideremos ainda um ponto C(x, y) qualquer da reta r. Portanto, temos três pontos alinhados.
Estudamos que: “Sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) três pontos distintos são colineares ou estão alinhados, se e somente se, seu determinante for igual a zero”. 
Portanto, partindo desta afirmação poderemos encontrar a equação da reta cujos pontos foram fornecidos acima.
Como x1, x2, y1 e y2 são valores reais, podemos fazer:
Assim, teremos a equação da reta: ax + by +c = 0.
Para que você possa entender melhor, vamos fazer um exemplo. Consideremos os seguintes pontos de uma reta: A(1, 4); B(3, -3) e C(x, y). Como A, B e C estão alinhados, devemos ter:
Então, a equação da reta, conhecidos os pontos A(1, 4) e B(3, -3) é 7x + 2y – 15 = 0.
Toda reta do plano possui uma equação da forma: ax + by +c = 0, na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Escrita desta forma é chamada forma geral da equação da reta.
Existem alguns casos especiais de equação da reta:
a) A equação ax + by = 0 é a equação geral de uma reta que passa pela origem do
sistema cartesiano (c = 0).
b) A equação by + c = 0 é a equação geral de uma reta paralela ao eixo das abscissas,
isto é uma reta horizontal.
a) A equação ax + c = 0 é a equação geral de uma reta paralela ao eixo das ordenadas,
isto é uma reta vertical.
Equação reduzida da reta
A equação reduzida de uma reta r é determinada quando isolamos y da forma geral da equação. Observe:
Dada a equação geral da reta ax + by +c = 0, com a, b e c reais e fixos, ao isolarmos y, temos:
Então y = mx + n, é denominada forma reduzida da equação da reta r.
Exemplo:
Vamos determinar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(1, 4) e B(3, -3). Calculamos o coeficiente angular da reta:
Considerando o ponto A (1, 4), temos:
Vamos agora passar a equação 7x + 2y – 15 = 0 da sua forma geral para a forma reduzida:
Exercícios
1 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
a) A(-1, -3) e B(6, -1).
b) C(-2, -4) e D(3, 2).
c) E(9, -4) e F(1, -4).
d) G(-5, -3) e H(-4, 3).
2 Encontre o valor de a para que a declividade (m) da reta que passa pelos pontos
A(4, y) e B(1, 7) seja 4.
3 Dado α = 120º , obter o coeficiente angular da reta r.
4 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 11) e tem coeficiente angular 2.
5 Sabendo que uma reta tem uma inclinação de 45º e passa pelo ponto P(4, 3), determine sua equação.
6 Dados os pontos A (-1, 5) e B(7, 6), determine a equação da reta que passa por estes dois pontos.
7 Encontre a equação geral da reta com coeficiente angular m = 4 e passa pelo ponto P (5, -5).
8 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A (-4, -3) e tem coeficiente angular igual a 2,5.
9 Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (1, -1) e B (4, 4).
10 Dada a equação da reta - x - y - 3 = 0, determine seu coeficiente angular e linear.