GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_5

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Aula 5
Equação da circunferência
Vimos que cada reta tem sua equação, que cada ponto tem duas coordenadas e que há uma posição definida entre retas e pontos no plano cartesiano. Da mesma forma, veremos que cada circunferência possui uma equação com suas propriedades geométricas e que é possível determinar sua exata posição no plano cartesiano, bem como estabelecer relações com outras formas.
A “circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano, equidistantes de um ponto fixo”. A distância de qualquer ponto da circunferência ao centro O é constante e denomina-se raio.
A circunferência pode assumir diversas posições no plano. Dependendo das posições, ela terá uma equação específica.
Já estudamos a distância entre dois pontos, como: 
Como afirmamos pela definição anterior, que a distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência é sempre constante, podemos construir a equação da circunferência usando como argumento a distância entre dois pontos.
Dados um ponto P(x, y) pertencente a uma circunferência de centro O(a, b) e raio r, vamos determinar sua equação:
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 
Esta é a equação reduzida da circunferência de centro O(a, b) e raio r.
Para uma melhor compreensão do que acabamos de estudar, vamos determinar a equação de uma circunferência com centro no ponto O(–3, 1) e raio 3.
Temos a = – 3, b = 1 e r = 3. Usando a equação, vem:
Vamos agora determinar a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A (1, -2) e que passa pelo ponto P(2, 3).
Vimos em nossos estudos que r = d(P, A). Então, iniciamos calculando o raio da circunferência: 
Agora usaremos a equação e substituiremos as coordenadas do centro e o raio, assim:
Logo, a equação é a equação reduzida da circunferência em estudo.
Assim, conhecendo o centro e o raio da circunferência, poderemos construir sua equação. Observe:
Posição da circunferência no plano cartesiano
A circunferência pode assumir várias posições diferentes no plano cartesiano, determinando assim, equações particulares.
Equação Geral da Circunferência
Vamos voltar à forma geral da Equação reduzida da circunferência: . Desenvolvendo os dois produtos notáveis e agrupando os termos semelhantes, teremos:
Esta equação é conhecida como equação geral da circunferência com centro no ponto O (a, b) e raio r.
Assim, com os mesmos exemplos que usamos anteriormente, vamos determinar a equação geral de uma circunferência com centro no ponto O(-3, 1) e raio 3.
A equação geral da circunferência é:
Vamos agora determinar a equação geral da circunferência com centro no ponto A(1, -2) e que passa pelo ponto P(2, 3).
Reconhecendo uma equação de circunferência
Dada a equação , como podemos afirmar, com certeza, que se trata de uma equação de circunferência?
Vamos comparar a equação com sua forma geral:
Comparando termo a termo:
Podemos então afirmar que se trata de uma equação de circunferência, pois encontramos seu centro e seu raio.
Exercícios
Determine a equação reduzida da circunferência de centro em (2, 7) e raio igual a 2.
Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio r = 4.
Determine o centro e o raio da circunferência x2 + y2 + x – 2y + 16 = 0.
Verifique se a equação x2 + y2 – 6x – 8y + 25 = 0 é ou não equação de uma circunferência.
Verifique se a equação x2 + y2 + 12x – 36 = 0 é ou não equação de uma circunferência.