GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_6

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Aula 6
Posições relativas entre ponto e circunferência
Se tivermos um ponto P(x, y) e uma circunferência λ, de centro C(a, b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e λ são:
1 O ponto pertence à circunferência: Nesse caso, as coordenadas do ponto devem satisfazer à equação da circunferência, e a distância entre P e C é igual ao raio.
2 O ponto é interno à circunferência. Nesse caso, a distância do ponto ao centro é menor que o raio.
3 O ponto é externo à circunferência. Nesse caso, a distância do ponto ao centro é maior que o raio.
Para construirmos a equação da circunferência, tanto normal quanto a reduzida, partimos da afirmação que: d(P, C) = r.
Então: 
No 1o caso: P pertence a λ 
Isto ocorre se, e somente se, d(P, C) = r
No 2o caso: P é interior a λ 
Isto ocorre se, e somente se, d(P, C) < r
No 3o caso: P é exterior a λ 
Isto ocorre se, e somente se, d(P, C) > r
Exemplo 1:
Vejamos qual é a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação (λ) x2 + y2 – 6x + 5 = 0.
Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto P, temos: 
32 + 22 – 6 × 3 + 5 = 9 + 4 – 18 + 5 = 18 – 18 = 0.
Então, P pertence à circunferência.
Exemplo 2:
Vejamos qual é aposição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de equação (x + 1)2 + (y + 4)2 = ( 5)2.
Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto P, temos:
(-2 + 1)2 + (-3 + 4)2 – ( 5)2 = 1 + 1 – 5 = -3 < 0
Então, P é interno à circunferência.
Posições relativas entre reta e circunferência
Uma reta (s) ax + by + c = 0 e uma circunferência (λ) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 podem assumir três possíveis posições. A determinação destas posições é feita pelo número de soluções do sistema:
Resolvendo o sistema podemos encontrar:
Duas soluções. Então a reta e a circunferência são secantes.
Uma solução. Então a reta é tangente à circunferência.
Nenhuma solução. Então a reta é exterior à circunferência.
Podemos ainda determinar a posição entre reta e circunferência sem resolver a equação do segundo grau encontrada na resolução do sistema. Basta conhecermos seu discriminante (Δ) e teremos definido o número de soluções do sistema:
Δ > 0 ↔ duas soluções ↔ reta e circunferência secantes.
Δ = 0 ↔ uma solução ↔ reta e circunferência tangentes.
Δ < 0 ↔ sem solução ↔ reta e circunferência exteriores.
Vamos agora analisar cada uma destas situações:
1) A reta t é secante à circunferência:
Nesse caso, a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor que o raio. A reta e a circunferência têm dois pontos comuns.
2) A reta t é tangente à circunferência:
Nesse caso, a distância entre o centro da circunferência e a reta é igual ao raio. A reta e a circunferência têm um único ponto comum.
3) A reta t é exterior à circunferência:
Nesse caso, a distância entre o centro da circunferência e a reta é maior que o raio. A reta e a circunferência não têm ponto comum.
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Exercícios
Determine as posições dos pontos A (2, 1); B (-4, 1) e C (-2, 0) em relação à circunferência cuja equação é x2 + y2 + 2x + y – 24 = 0.
Encontre a posição do ponto A (1, 2) em relação à circunferência de equação: x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0.
Determine k de modo que o ponto A (2, 5) seja interior à circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 5y + k = 0.
Determine a posição do ponto P (-2, 3) em relação à circunferência 
x2 + y2 – 12x + y + 5 = 0.
Determine a posição da reta y = 2x + 1 em relação à circunferência de equação x2 + y2 + 3y - 4 = 0.
Qual é a posição da reta 4x + 3y = 0 em relação à circunferência 
x2 + y2 + 5x – 7y – 1 = 0 ?
Qual é a posição da reta 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência 
x2 + y2 – 2x = 0.
Encontre as coordenadas dos pontos onde a circunferência 
x2 + y2 + 2x + 4y – 8 = 0 intercepta a reta cuja equação é 3x + 2y + 7 = 0.
Determine o comprimento da corda determinada pela reta x – y = 0 sobre a circunferência (x + 3)2 + (y – 3)2 = 36.
Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da reta x – 2y = 0 com a circunferência x2 + y2 = 5.