GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_10

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Aula 10
PARÁBOLA NO PLANO
A parábola é a curva que dá origem aos espelhos paraboloides, muito usados nas antenas de TV, dos radares e da maioria dos telescópios ópticos.
Definimos a parábola como o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). Observe a figura:
Se A é um ponto da parábola, então a distância AF é igual à distância AB, sendo que B está sempre sobre a diretriz.
Vamos entender melhor este assunto conhecendo os elementos de uma parábola:
Observe que uma parábola separa os demais pontos do plano em duas regiões: uma, onde cada ponto tem distância ao foco menor que sua distância à diretriz (chamada região interior) e outra onde a distância de cada ponto ao foco é maior que a distância à diretriz (chamada região exterior).
Foco: É o ponto F.
Diretriz: É a reta d.
Eixo: É a reta e, perpendicular à diretriz conduzida pelo foco.
Vértice: É o ponto V, em que o eixo corta a parábola. Note que V é o ponto médio da distância
FH.
Parâmetro: É a distância p, do foco à diretriz.
Observe que . Todo ponto da parábola tem essa propriedade. E todo ponto do plano que possui essa propriedade pertence à parábola. O valor de c é a distância do foco ao vértice e é sempre positivo.
Equações da Parábola
A partir do foco F e da diretriz d podemos chegar à equação da parábola formada por
todos os pontos P (x, y) do plano tal que d(P, F) = d(P, d).
PRIMEIRO CASO – VÉRTICE NA ORIGEM
Vamos juntos interpretar o desenho:
O foco da parábola tem coordenadas .
A equação da diretriz perpendicular ao eixo e, é .
Assim sendo, chama-se equação reduzida da parábola à equação em que P(x, y), um
ponto qualquer da parábola é equidistante de F e de d. Isto é: d(P, F) = d(P, d).
Neste caso a equação é imediata, veja o desenvolvimento:
P ∈ parábola ⇔ d(P, F) = d(P, d).
Eliminando os termos semelhantes, chegamos à equação: y 2 = 2 p x.
Com o vértice na origem do sistema e o eixo contido em um dos eixos coordenados, na verdade, há quatro situações em que você deve conhecer a equação da parábola. Acabamos de ver uma delas. As demais são deduzidas de maneira análoga a esta que acabamos de apresentar.
Vamos ver outras equações da parábola com vértice na origem:
Parábolas com eixo horizontal:
Parábolas com eixo vertical:
Exemplo 1: Vamos determinar a equação da parábola que tem como diretriz a reta de equação y = -2 e como foco o ponto F(0, 2).
Observe que o vértice da parábola é o ponto V (0, 0). O problema em questão consiste
em determinar uma equação que seja satisfeita pelo conjunto de pontos P(x, y) equidistantes de reta y = -2 e do ponto F(0, 2).
Então:
Se a diretriz da parábola for y = 2 e o foco F(0, -2) a equação será x2 = -8y. Se a diretriz da parábola for x = 2 e o foco F(-2, 0) a equação será y2 = -8x.
SEGUNDO CASO – VÉRTICE QUALQUER
Determinar a equação da parábola que tem como diretriz a reta de equação x = -4 e
como foco o ponto F (6, 2).
Vamos representar a parábola em questão no sistema cartesiano.
Observe que o vértice é o ponto médio do segmento DF, onde D(-4, 2) e F(6, 2), então o vértice é:
V ((6-4)/2,(2+2)/2) = V (1,2)
Calculando a distância de V até F encontraremos o valor de c.
Ainda, podemos afirmar que d(P, F) = d(P, Q), assim:
Observe que na equação encontramos as coordenadas do vértice: xv = 1 e yv = 2 e
ainda o valor de c = 5.
Veja na equação a seguir:
A partir do foco e da diretriz é possível determinar o vértice V(xv, yv) e o valor de c e, daí, a equação da parábola e a posição correspondente.
Veja os casos possíveis:
Exemplo:
Encontrar a equação e as coordenadas do vértice da parábola que tem foco no ponto
F(1, 5) e a diretriz de equação y = -3.
De acordo com os dados do problema, vamos fazer o esboço da parábola:
Sabemos que o vértice é o ponto médio de FD, então:
Agora, calculando a distância VF encontraremos o valor de c:
Podemos assim escrever a equação solicitada pelo problema:
�
Exercícios
1 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0, -2) e cuja diretriz é a reta
y = 2.
2 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0, -5) e cuja diretriz é a reta
y = 5.
3 Obtenha a equação da parábola de foco F(-3, 0) e vértice V(0, 0).
4 Encontre as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação
x2 – 8y = 0.
5 Determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas de equações:
a) x2 = 10y
b) y2 = -7x
c) y2 – 6x = 0