05plano_no_espaco

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14 
O PLANO 
 
 
1.1 . E Q U A Ç Ã O G E R AL D O P L A N O 
 
 Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano  e )0,0,0( ,   nkcjbian um vetor 
normal (ortogonal) ao plano. O plano  pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos 
P(x,y,z) do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n . O ponto P pertence a  se, e somente se : 
0. 

APn
 
 
 
Tendo em vista que: 
0),,).(,,(: ),,,( ),,( 111111 

zzyyxxcbaficaequaçãoazzyyxxAPecban
 
ou: 
0)()()( 111  zzcyybxxa
 
 ou, ainda: 
0111  czbyaxczbyax
 
Fazendo: 
:,111 vemdczbyax 
 
0 dczbyax
. Esta é a equação geral ou 
cartesiana do plano . 
 
 Observações: a) Da forma com que definimos o plano, vimos que ele fica perfeitamente 
identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal 
cbacomacban ,, , ),,(  não 
simultaneamente nulos. Qualquer vetor 
,0, 

knk
é também vetor normal ao plano. 
 
 b) Sendo 
n
 um vetor ortogonal ao plano , ele será ortogonal a qualquer vetor 
representado no plano. Em particular, se 
21 vev
 são vetores não colineares, e paralelos ao plano, em 
virtude de 
n
 ser ortogonal, ao mesmo tempo, a 
21 vev
, tem-se: 
 21 vxvn
. 
 
A B 
 15 
 c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral 
0 dczbyax
 representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se 
um plano  é dado por: 
,05423:  zyx
um de seus vetores normais é: 
).4,2,3( 

n
 Este 
mesmo vetor 
n
 é também normal a qualquer plano paralelo a . 
 Assim, todos os infinitos planos paralelos a  têm equação geral do tipo: 
,0423  dzyx
na 
qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d está identificado quando se 
conhece um ponto do plano. 
 

Exemplos: 1º) Determinar a equação geral do plano 

 que passa pelo ponto A(2,-1,3), 
sendo 
)4,2,3( 

n
 um vetor normal a 

. 
 2º) Escrever a equação cartesiana do plano 

 que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é 
paralelo ao plano: 
.0632:1  zyx
 
 3º) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2,-
1,4) e B(4,-3,-2). 
 4º) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2) e é 
perpendicular à reta 








tz
ty
tx
r 21
34
:
. 
 
 
1.2 . DE T E R M I N A Ç ÃO D E U M PL A N O 
 
Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem 
outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) 
ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir apresentadas. 
 
Assim, existe apenas um plano que: 
1.) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 
21 vev
 não colineares. 
Neste caso: 
 21 vxvn
. 
 
 
 
 
 
2.) passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor 
v
 não colinear ao vetor AB . 
 Neste caso: 
;

 ABxvn
 
 16 
3.) passa por três pontos A, B e C não em linha reta. 
Neste caso: 
 ACxABn
 
 
4.) contém duas retas r1 e r2 concorrentes. 
Neste caso: 
 21 vxvn
, sendo 
21 vev
 vetores diretores de r1 e r2 ; 
 
 
5.) contém duas retas r1 e r2 paralelas. 
 
Neste caso: 
,211

 AAxvn
sendo 
1

v
um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1  r1 e A2  r2. 
 
 
 
 
 
 
 
6.) contém uma reta r e um ponto 
.rB
 
 Neste caso: 
 vdoABxvn sen,
um vetor diretor de r e A r. 
 17 
 
 Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor normal 
n
 
sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois 
vetores são chamados vetores-base do plano. 
 

Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto 
)4,3,1( A
e é 
paralelo aos vetores 
).1,1,1( )2,1,3( 21 

vev
 
 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos 
)1,2,1( )1,1,0();1,1,2( CeBA 
. 
 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta 
)1,2,3( 
3
4
: 





Bpontooe
y
x
r
. 
 
1.3 . PL A N O S PA R A L E L O S A O S E I XO S E A O S PL A N O S CO O R D E N A D O S 
Casos Particulares 
 
 A equação 
0 dczbyax
 na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano 
 ),,( sen, anormalvetorumcbando  . Quando uma ou duas das componentes de n são nulas, 
ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares. 
 
 
1 .3 .1 . Plano que passa pela or igem 
 
 Se o plano 
0 dczbyax
 passa pela origem: 
0 ,00.0.0.  déistodcba
 
Assim a equação: 
0 czbyax
representa a equação de um plano que passa pela origem. 
 
1.3 .2 . Planos Parale los aos Eixos Coordenados 
 
 Se apenas uma das componentes do vetor 
),,( cban 
 é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos 
coordenados, e, portanto, o plano 

é paralelo ao mesmo eixo: 
I) se 
xxcbna 0//0),,0(,0   e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: 
.0 dczby
 
 
A figura mostra o plano de equação: 
.0632  zy
 
 
 
 
 
 
 18 
 Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), 
respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao 
plano é 
),3,2,0(

n
pois a equação de

 pode ser escrita na forma: 
 
.06320  zyx
 
 
 Com raciocínio análogo, vamos concluir que: 
II) os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: 
;0 dczax
 
III) os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: 
.0 dbyax
 
 
 Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na equação indica 
que o plano é paralelo ao eixo desta variável. 
 As figuras seguintes mostram os planos 
,042: 03: 21  yxezx  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observações: a) A equação 
042  yx
, como vimos, representa no espaço 
3
 um plano 
paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 
2
, representa uma reta. 
 b) Se na equação 
0 ,0 0  byaxequaçãoadfizemosdbyax
 representa 
um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z. 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 .3 . Planos Parale los aos Planos Coordenados 
 
 Se duas das componentes do vetor normal 
),,( cban 
 são nulas, 
n
 é colinear a um dos vetores 
)1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( 

koujoui
,e, portanto, o plano 

 é paralelo ao plano dos outros dois 
vetores: 
 
I) se 
yxkcccnba 0//)1,0,0(),0,0(,0   e a equação geral dos planos paralelos ao 
plano x0y é: 
. :,0 ,0
c
d
zvemccomodcz 
 
Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y. 
A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4. 
 19 
 A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 
0400  zyx
 na qual vemosque qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e 
)1,0,0(

k
 é um vetor normal ao 
plano. 
 Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equação: 
z = z1. 
 Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: 
z = -3. 
 Com raciocínio análogo, vamos concluir que: 
II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; 
III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. 
As figuras abaixo mostram os planos 
2: ; 3: 21  xy 
 respectivamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 . CO N D I Ç Õ E S P AR A Q U E U M A RE T A E S T E J A C O N T I D A N UM P L A N O 
 
 Uma reta r esta contida num plano  se: 
 
I. O vetor diretor 
v
 de r é ortogonal ao vetor 
n
, normal ao plano ; 
II. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano. 
 20 
 
Obs.: uma reta r está também contida num plano  se dois pontos A e B pertencentes a r 
pertencem a esse plano. 
Exemplo 1: Verificar se a reta 








tz
ty
tx
r
23
1
2
:
 
está contida no plano 
0123:  zyx
. 
 
Solução: (a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se 
A
: 
 
 
00
01616
013.212.3
0123



 zyx
 
Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano . 
Mas só essa condição não é suficiente para garantir que 
r
. 
 
(b) Verificar se o 
 2,1,1 rv
 é ortogonal a 
 2,1,3n
 (vetor normal ao plano ). 
 
    04132,1,32,1,1  nvr
. Logo, 
rv
 é ortogonal a 
n
; 
 
Conclusão: Como 
rA
 e 
A
, e 
rv
 é ortogonal a 
n
, então podemos afirmar que a reta r 
pertence ao plano . 
Exemplo 2: Determinar os valores de m e n para que a reta 








tz
ty
tx
r
23
1
2
:
 
Esteja contida no plano 
012:  znymx
. 
 
1.5 . INT E R S E C Ç Ã O D E D O I S PL A N O S 
 
 A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a 
equação que define esta reta. 
 Sejam 
1
 e 
2
 planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 
1
 e 
2
 
resolveremos o sistema composto por suas equações. 
 
Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos 
0725:1  zyx
 e 
0433:2  zyx
. 
 
Solução: Montamos o seguinte sistema: 
 





0433
0725
zyx
zyx 
 
O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que 
atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a 
intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos. 
 21 
 Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os 
dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos 
de variável livre. 
 
Como fazer então: 
 








ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por
 equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminarem
zyx
zyx
0433
0725
 
 
y) caso (no variáveis das uma isolamosyx
zyx
zyx







032
0433
0725
 
 
32  xy
 
 
Agora substituímos 
32  xy
 na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema. 
Substituindo 
32  xy
 na equação 
0725  zyx
, teremos: 
 
07645
073225


zxx
zxx
 
Agora isolando z, teremos: 
139  xz 
 
As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos 
1
 e 
2
 serão: 





139
32
:
xz
xy
r
 
 
1.9 . INT E R S E Ç Ã O DE R E T A E P L A N O 
 
 A intersecção entre uma reta r e um plano  é um ponto, que chamaremos de I. Para 
determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS 
da reta r e pela equação do plano . 
 
Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta 
3
4
2
3
:




zy
xr
 com o plano 
09253:  zyx
. 
 
1º passo: obter as equações reduzidas da reta r. 
 
Neste exemplo faremos y e z em função de x. 
32
2
3



xy
x
y e 
43
3
4



xz
x
z 
 
Logo as equações reduzidas de r são: 





43
32
:
xz
xy
r
 
 22 
 
Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e , então suas coordenadas devem verificar as equações do 
sistema formado pelas equações de r e de : 








09253
43
32
zyx
xz
xy
 
 
Resolve-se este sistema substituindo 
32  xy
 e 
43  xz
 na equação 
09253  zyx
. 
 
   
0147
098615103
0943.232.5.3



x
xxx
xxx
 
2x 
 
Para 
2x
 
  32.2 y
 e 
  42.3 z
 
 
1y
 10z 
 
Logo I (-2, -1, -10) 
 
1.9.1. Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados 
 
(a) Seja o plano 
0632:  zyx
 
 
Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação 
do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com 
os eixos. Assim: 
 
I) Se y = z = 0, 
3062  xx
 e 
 0,0,31A
 é a interseção do plano 

 com o eixo dos x. 
II) Se x = z = 0, 
2063  yy
 e 
 0,2,01A
 é a interseção do plano 

 com o eixo dos y. 
III) Se x = y = 0, 
606  zz
 e 
 6,0,01A
 é a interseção do plano 

 com o eixo dos z. 
 
(b) Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 e z = 0, basta fazer, na equação do 
plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas outras duas variáveis e, 
assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então: 
 
z 
y 
x 
 0,2,02A
 
 6,0,03A
 
 0,0,31A
 
 23 
I) Se 
063,0  zyx
, a reta 





63
0
:1
yz
x
r
 é a interseção de  com o plano yOz. 
II) Se 
062,0  zxy
, a reta 





62
0
:1
xz
y
r
 é a interseção de  com o plano xOz. 
III) Se 
0632,0  yxz
, a reta 






2
3
2
0
:1 xy
z
r
 é a interseção de  com o plano xOy. 
 
 
Créditos: Prof. Simone Leal 
 
O PLANO EM R
3
 24 
 
 
1) 
 2,3,4) a
 
 2,9,1)b
 
 
2) kc
 
 
 1,2,0) d
 
 
2) 
0932  zyx
 
3) 
012  zyx
 
4) 
083  zyx
 
5) 
03244  zyx
 
6) 
0623  yx
 
7) 
042  zy
 
8) 
022  zx
 
9) 
3z
 
10) 
4y
 
11) 
06354  zyx
 
12) 
02  yx
 
13) 
0x
 
14) 
3z
 
15) 
042  zy
 
16) 
0252123  zyx
 
17) 
051012  zyx
 
18) 
0382  zyx
 
19) 
06345  zyx
 
20) 
021425  zyx
 
21) 
0222  zyx
 
22) 
0322  zyx
 
23) 
02  yx
 
24) 
0132  zyx
 
25) 
0326  zyx
 
26) 
0 yx
 
27) 
02  zy