AV2 - Calc_Numerico

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GABARITO DO PROFESSOR 
 
Questão 1: 1 – Um estudante de Cálculo Numérico está utilizando o método da bissecção para determinar 
o zero de uma função. Ele montou a tabela abaixo. Utilize os dados da tabela para responder às seguintes 
perguntas: 
( a )(0,6) Observe as colunas e cite corretamente 3 argumentos que auxiliam a demonstrar que a tabela está 
coerente. 
Cada resposta correta vale 0,2. Seguem argumentos corretos, mas se o estudante encontrou mais algum e 
está correto, será aceito. Quem escreveu somente sobre algumas linhas da tabela não acertou, pois aquelas 
linhas poderiam estar corretas e as outras não. Observe que enunciado já afirmava que a tabela está 
coerente, isso já facilitou em muito o trabalho do estudante. 
 
1. Em toda a tabela o sinal da f(a) é sempre oposto ao sinal da f(b). 
2. O erro está diminuindo com o aumento das iterações 
3. A f(x) está se aproximando de zero com o aumento das iterações 
 
Bastava escrever o que está acima. Seguem abaixo algumas explicações: 
1. Se em alguma linha os sinais de f(a) e f(b) fossem iguais, haveria alguma coisa errada, pois isso 
significaria que o zero da função estaria fora daquele intervalo. 
2. O erro diminuindo significa que estamos analisando cada vez intervalos menores. Isso está de 
acordo com o método, que baseia-se exatamente na sucessiva divisão do intervalo analisado. 
3. Isso significa que estamos convergindo para o zero da função. Se a f(x) está cada vez mais próxima 
do zero e em uma linha se afastasse de zero, então haveria algum erro. 
 
 
 
( b )(0,6) Determine o zero da função com erro menor ou igual a 10-6, com o menor número de iterações 
possível (atenção escreva o valor e o erro) 
 
A partir da 20ª iteração (inclusive) o erro ficou menor que 10-6, mas como foi pedido “com o menor número 
de iterações possível”, então vamos utilizar os dados da 20ª iteração: 
 
Zero da função = -0,487477303 ± 9,53674E-07 (até aqui 0,2) 
 
Escrevendo de outra forma: 
 
-0,487477303 ± 0,000000953674 
 
Observe que o erro aponta 9 na sétima casa decimal. Então, não faz sentido escrever os demais 
algarismos do erro e nem os demais algarismos do valor além da 7ª.casa. Arredondamos o valor e 
o erro. Quando arredondamos o erro o seu valor passa a ser 0,000001 que ainda está dentro do 
erro pedido ( menor ou igual a 0,000001) 
 
Zero da Função = -0,487477 ± 0,000001 
 
 
( c )(0,6) Para a interação acima determine o erro percentual. 
 
Aproveito essa questão para fazer alguns esclarecimentos. São os mesmos que fiz em várias aulas, mas 
aproveito aqui para reforçar. 
 
Nos livros e apostilas normalmente aparecem as fórmulas para os erros, onde x é o valor obtido por 
método numérico (aproximado) e “x” o valor exato. 
 
Observe, então que o erro obtido por um procedimento numérico é então x x− . 
 
 
 
Erro absoluto
Erro relativo
Erro percentual .100
x x
x x
x
x x
x
= −
−
=
−
=
 
 
Quando trabalhamos com método numérico NÃO SABEMOS o valor exato, então, para o cálculo do erro 
relativo e do erro percentual usamos no denominador o valor obtido pelo método numérico. Assim, 
ficamos com : 
 
 
 
Então o erro percentual no caso em questão será: 
 
0,000001Erro percentual .100 0,00020%
0,487477
= =
−
 
 
 
( d )(0,9) Para as interações 2, 3 e 4 faça a análise gráfica e confira os valores “a” e “b” que estão na tabela. 
 
Aqui o estudante deveria reproduzir a representação gráfica que fiz em todas as aulas. Não precisa usar 
régua e nem representar exatamente o meio do intervalo. Nessa representação os sinais que aparecem são 
os sinais das f(a), f(x) e f(b). “x” é o meio do intervalo, uma vez que pelo algoritmo da Bissecção x=(b+a)/2. 
Na iteração seguinte é analisado o intervalo que na iteração anterior tem os sinais das funções opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro absoluto
Erro relativo
Erro percentual .100
x x
x x
x
x x
x
= −
−
=
−
=
Iteração Representação Gráfica 
 
2 - + + 
 
 a = -0,5 x = -0,25 b = 0 
 
 - + + 
3 
 a = -0,5 x = -0,375 b = -0,25 
 
 - + + 
4 
 a = -0,5 x=-0,4375 b = -0,375 
 
 
 
 
( e )(0,6)determine os valores “a” e “b” da interação número 23. Justifique a escolha. Resposta sem 
justificativa terá valor nulo. 
 
Na iteração número 22 temos que: 
 f(a) tem sinal negativo 
f(x) tem sinal positivo 
f(b) tem sinal positivo 
 
Então na iteração seguinte (23) vamos analisar o intervalo cujos extremos tem sinais opostos, ou seja, o 
intervalo entre “a” e “x” da iteração número 22. Assim: 
 
Na iteração 23 a= -0,487478256 e b=-0,487478018 
 
OU UMA OUTRA FORMA DE JUSTIFICAR: 
 
Pelo algoritmo da Bissecção quando f(a).f(x) for menor que zero, então na iteração seguinte repete o “a” e o 
b será o “x” da iteração anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i a f(a) x f(x) b f(b) e f(a).f(x) 
1 -1 -12 -0,5 -0,125 0 1 0,5 1,5 
2 -0,5 -0,125 -0,25 1,265625 0 1 0,25 -0,158203125 
3 -0,5 -0,125 -0,375 0,841796875 -0,25 1,265625 0,125 -0,105224609 
4 -0,5 -0,125 -0,4375 0,434326172 -0,375 0,841796875 0,0625 -0,054290771 
5 -0,5 -0,125 -0,46875 0,1746521 -0,4375 0,434326172 0,03125 -0,021831512 
6 -0,5 -0,125 -0,484375 0,029949188 -0,46875 0,1746521 0,015625 -0,003743649 
7 -0,5 -0,125 -0,4921875 -0,046228886 -0,484375 0,029949188 0,0078125 0,005778611 
8 -0,4921875 -0,0462289 -0,48828125 -0,007817686 -0,484375 0,029949188 0,00390625 0,000361403 
9 -0,48828125 -0,0078177 -0,486328125 0,011146046 -0,484375 0,029949188 0,001953125 -8,71363E-05 
10 -0,48828125 -0,0078177 -0,487304688 0,001684285 -0,486328125 0,011146046 0,000976563 -1,31672E-05 
11 -0,48828125 -0,0078177 -0,487792969 -0,00306167 -0,487304688 0,001684285 0,000488281 2,39352E-05 
12 -0,487792969 -0,0030617 -0,487548828 -0,000687436 -0,487304688 0,001684285 0,000244141 2,1047E-06 
13 -0,487548828 -0,0006874 -0,487426758 0,000498739 -0,487304688 0,001684285 0,00012207 -3,42851E-07 
14 -0,487548828 -0,0006874 -0,487487793 -9,427E-05 -0,487426758 0,000498739 6,10352E-05 6,48046E-08 
15 -0,487487793 -9,427E-05 -0,487457275 0,000202254 -0,487426758 0,000498739 3,05176E-05 -1,90665E-08 
16 -0,487487793 -9,427E-05 -0,487472534 5,39969E-05 -0,487457275 0,000202254 1,52588E-05 -5,09029E-09 
17 -0,487487793 -9,427E-05 -0,487480164 -2,01354E-05 -0,487472534 5,39969E-05 7,62939E-06 1,89816E-09 
18 -0,487480164 -2,014E-05 -0,487476349 1,69311E-05 -0,487472534 5,39969E-05 3,8147E-06 -3,40913E-10 
19 -0,487480164 -2,014E-05 -0,487478256 -1,60207E-06 -0,487476349 1,69311E-05 1,90735E-06 3,22582E-11 
20 -0,487478256 -1,602E-06 -0,487477303 7,66452E-06 -0,487476349 1,69311E-05 9,53674E-07 -1,22791E-11 
21 -0,487478256 -1,602E-06 -0,487477779 3,03123E-06 -0,487477303 7,66452E-06 4,76837E-07 -4,85624E-12 
22 -0,487478256 -1,602E-06 -0,487478018 7,1458E-07 -0,487477779 3,03123E-06 2,38419E-07 -1,14481E-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. questão 
(1,5)Desenvolva a integração numérica pela regra do trapézio repetida com n=4 para resolver a 
integral abaixo. 
6
2
6 1
x
x
+
−
+
∫
 
 
A fórmula da integração numérica pela regra do Trapézio repetida estava na própria prova. Basta 
somente aplicar a fórmula:O intervalo de integração é -6 a 6. 
• Dividir esse intervalo em 4 partes: 
o [-6, -3] 
o [-3, 0] 
o [0, 3] 
o [3, 6] 
 
• Calcular a função em cada extremo de cada intervalo e depois somar. “a” e “b” são os extremos 
do intervalo de integração, então, pela fórmula, f(a) e f(b) entram uma vez na soma, ou seja, não 
são multiplicados por 2: 
6 3.2 6 3.20
36 1 9 1 36 1 9 1
− − + +
+ + + +
+ + + +
 
 
 Como se pode ver, os termos se cancelam e a integral é igual a zero. 
Dica 4: Arrumar os termos primeiramente e somente no final usar a calculadora. Aqui nem foi 
preciso usar a calculadora para verificar que a soma dos valores das funções dava zero e que 
portanto o resultado final ´é zero.Isso é muito importante porque nos permite “sentir” o que está 
acontecendo com os números. Nos permite errar menos também. 
Nesse caso é possível intuir rapidamente que há uma simetria da função em torno do zero. 
 
 
Dica 5: Em toda prova faça primeiro o que é mais fácil. 
 Esse ítem era o único trabalhoso da prova e isso foi falado por várias vezes em sala de aula. Na 
hora da prova eu ainda facilitei escrevendo no quadro a regra da cadeia e como se faz a derivada do 
produto de funções. Também foi avisado por várias vezes em sala de aula que derivada e integral 
não são tópicos de cálculo numérico e que o estudante já deve saber. Recomendei que fizessem 
treinamento em relação a isso. 
(1,2)Calcule o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual para essa aproximação. 
A fórmula do erro também foi dada na prova. Basta aplicar. Vamos calcular a derivada segunda da 
f(x): 
2 1/2 2 1/2 2 3/2
2
1[ .( 1) ] ( 1) .[ ( 1) .2 ]
21
d x d
x x x x x x
dx dxx
− − −
= + = + + − +
+
 
2
2 1/2 2 2 3/2
2 2 2 3
1( 1) .( 1)
1 ( 1) ( 1)
d x x
x x x
dx x x x
− −
= + − + = −
+ + +
 
2
2 3/2 2 3/2 2 2 5/2
2 2
1 3( 1) .2 2 .( 1) .[ ( 1) .2 ]
2 21
d x
x x x x x x x
dx x
− − −
= − + − + + +
+
 
 
2 3
2 3/2 3 2 5/2
2 2 2 3 2 5
3 33 ( 1) 3 .( 1)
1 ( 1) ( 1)
d x x x
x x x x
dx x x x
− −
= − + + + = − +
+ + +
 
 
Vamos trabalhar mais um pouquinho essa expressão para podermos estudar o seu comportamento. 
2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
d x x x x x
dx x x x x x x x x x x
= − = −
+ + + + + + + + + +
 
2 3 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 ( 1) 3 3 3 3
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
d x x x x x x x x
dx x x x x x x x
− + − − −
= = =
+ + + + + + +
 
 
2
2 2 2 2 2
3
1 ( 1) ( 1)
d x x
dx x x x
−
=
+ + +
 
 
Agora vamos ver o comportamento do módulo da derivada segunda da f(x) dentro do intervalo 
x=-6 a x =+6 
Observe que no denominador aparece “x” elevado ao quadrado, ou seja, seja “x” positivo ou 
negativo, o valor será o mesmo. Então: 
2 2 2 2 2 2
33
''( ) ''( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
xx f x f x
x x x x
−
= ⇒ − =
+ + + +
 
Assim, não precisamos nos preocupar com o sinal, vamos analisar a função de 0 a +6. 
Aqui você aplica a fórmula direto em sua calculadora. Você pode fazer uma tabelinha e escrever os 
valores, pois isso o ajudará a perceber o comportamento da função: 
 
x 3x x^2+1 RAIZ(x^2+1) |f"(x)| 
0 0 1 1 0 
1 3 2 1,414 0,530 
2 6 5 2,236 0,107 
6 18 37 6,083 0,002 
 
Com isso você percebe que a partir de x=1 o denominador cresce mais rápido do que o numerador, 
então a medida que “x” cresce a função decresce. E entre 0 e 1? 
Bem, para os nossos propósitos aqui, bastaria concluir que o valor máximo é para x=1, embora na 
realidade exista um valor intermediário entre 0 e 1 para o qual a f”(x) tenha valor máximo. 
Assim, o erro seria: 
3 3
2 2 2 2 2[ , ] [ 6,6]
12 3
max "( ) max
12 12.4 ( 1) ( 1)TR TRx a b x
h xE f x E
n x x∈ ∈ −
−
≤ ⇒ ≤
+ +
 
12.12
.0,53 9.0,53 4,8 5
4.4TR TR TR TR
E E E E≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤
 
 
Esse erro calculado é o erro absoluto. Não é possível nesse caso calcular os erros relativo e 
percentual porque o valor aproximado encontrado foi ZERO e não há divisão por ZERO. 
 
(1,5)Desenvolva o cálculo e responda: em quantas vezes deveríamos dividir o intervalo de 
integração para que o erro obtido com o método seja menor do que 10-4 
Vamos usar a fórmula do erro, só que agora a incógnita é o valor de “n”: 
 
3 3
2 2[ , ]
12
max "( ) 0,0001 0,53
12 12.TR x a b
hE f x
n n∈
≤ ⇒ ≤
 
 
Para não trabalharmos com inequação, vamos mudar o sinal de menor ou igual para igual e vamos 
encontrar “n” para erro igual a 0,0001. Como “n” está no denominador já sabemos que para erro 
menor que 0,0001, “n” terá que ser maior do que o “n” encontrado. Vejamos: 
3 2 2
2 2 2
2 2
12 12 12 .0,530,0001 0,53 0,53 10000.12 .0,53 763200
12. 0,0001
n n
n n
= = ⇒ = ⇒ = =
 
 
3ª. questão ( vale 3,0 ) 
Sabe-se que um tipo de Interpolação Polinomial é Interpolação de Lagrange, cujo polinômio 
escreve-se: 
0
( ) ( )
n
n i i
i
P x y L x
=
=∑ 
 
Faça a interpolação para os pontos (a) x=1,7; (b) x=2,9; (c) x=4,3 sabendo que 
i y L 
0 0 -3,6 
1 2 2,8.x 
2 5 9,7.x2 
3 7,7 11.x3 
4 9,8 5,4.x4 
5 11,3 3,3.x5 
 
 
Aqui é só aplicar a fórmula e a tabela. Para qualquer x, o polinômio fica: 
2 3 4 5P(x)= 2 . 2,8x + 5 . 9,7x + 7,7 . 11x + 9,8 . 5,4x + 11,3 .3,3x
 
 
 
2 3 4 5P(x)= 5,6x + 48,5x + 84,7x + 52,9x + 37,3x
 
 
Interpolar para os valores dados, significa substituir na fórmula acima “x” pelos valores dados: 
( a ) 
 
2 3 4 5P(x)= 5,6 . 1,7 + 48,5. 1,7 + 84,7. 1,7 + 52,9. 1,7 + 37,3 . 1,7 1537=
 
( b ) 
2 3 4 5P(x)= 5,6 . 2,9 + 48,5. 2,9 + 84,7. 2,9 + 52,9. 2,9 + 37,3 . 2,9 13881=
 
 
( c ) 
2 3 4 5P(x)= 5,6 . 4,3+ 48,5. 4,3 + 84,7. 4,3 + 52,9. 4,3 + 37,3 . 4,3 80567=
 
Formulário: 
Regra do Trapézio Repetida: ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ...
2
b
a
h nf x f a f b f c f d f e ≈ + + + + + ∫ 
[ ]
3
2
,
max "( )
12R x a b
hErro f x
n ε
≤