Aulas_Probabilidade e Estatistica

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Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 1
UNIVERSIDADE CATÓLICA DO SALVADOR 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDILSON MACHADO DE ASSIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador - Ba 
Janeiro – 2004 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
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Índice 
1. Introdução ...........................................................................................................................4 
1.1 Conceitos da disciplina .................................................................................................4 
1.2 Bibliografia para o curso...............................................................................................4 
2. Probabilidade ......................................................................................................................6 
2.1 Experimento..................................................................................................................6 
2.2 Experimentos aleatórias ................................................................................................6 
2.3 Espaço amostral ............................................................................................................6 
2.3 Evento ...........................................................................................................................6 
2.3 Tipos de Eventos...........................................................................................................7 
2.4 Probabilidade ................................................................................................................7 
2.5 Definições de Probabilidade .........................................................................................8 
2.6 Teoremas de probabilidade...........................................................................................9 
2.6.1 Teorema 1 de probabilidade : Soma de probabilidades .........................................9 
2.6.2. Teorema 2 de probabilidade : Eventos complementares ....................................10 
2.6.3. Teorema 3 de probabilidade : Produto de probabilidades ..................................10 
2.6.4. Teorema 4: Teorema de probabilidade condicional............................................10 
2.6.5. Teorema de probabilidade total ..........................................................................11 
2.6.5. Exercícios de fixação .........................................................................................12 
2.7. Técnicas de contagem................................................................................................16 
2.7.1. Regra da multiplicação. ......................................................................................16 
2.7.2. Permutação..........................................................................................................16 
2.7.3 Combinação. ........................................................................................................17 
2.7.4 Exercícios.............................................................................................................17 
2.7.5. Exercícios de fixação ..........................................................................................18 
2.8. Variáveis aleatórias....................................................................................................19 
2.8.1. Tipos de variáveis aleatórias...............................................................................19 
2.8.2. Distribuição de Probabilidade de uma variável discreta.....................................19 
2.8.3. Distribuição de Probabilidade de uma variável contínua ...................................20 
2.8.4. Exercícios de fixação ..........................................................................................21 
2.8.5. Características das distribuições .........................................................................22 
2.8.6. Tipos de Distribuições de Probabilidade ............................................................23 
2.9. Distribuição binomial ................................................................................................24 
2.9.1. Exercícios de fixação ..........................................................................................25 
2.10. Distribuição de Poisson ...........................................................................................28 
2.10.1. Exercícios de fixação ........................................................................................29 
2.11. Distribuição Normal ................................................................................................31 
2.12. Tabelas de Distribuição Normal ..............................................................................34 
2.13. Exercícios de fixação ...............................................................................................37 
2.14. Práticas.....................................................................................................................37 
3. Estatística ..........................................................................................................................48 
3.1. Organização de dados ................................................................................................48 
3.2. Dados brutos ..............................................................................................................48 
3.3. Ramos e folhas...........................................................................................................48 
3.4. Rol de dados...............................................................................................................49 
3.5. Tabela de freqüências de dados agrupados................................................................50 
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3.5.1. Número de classes (K) ........................................................................................50 
3.5.2. Amplitude Total (At) .........................................................................................50 
3.5.3. Amplitude do intervalo de classe (h) .................................................................51 
3.5.4. Tabela de freqüências de dados agrupados.........................................................51 
3.5.5. Resumo de Distribuição de Freqüências............................................................53 
3.5.6. Exercícios de fixação ..........................................................................................54 
3.6. Apresentação gráfica Excel .......................................................................................54 
3.7. Medidas de Posição ...................................................................................................63 
3.8. Medidas de Tendência Central ..................................................................................64 
3.8.1. Dados isolados ....................................................................................................64 
3.8.2. Dados agrupados.................................................................................................67 
3.8.3. Exercícios de fixação ..........................................................................................72 
3.9. Separatrizes ................................................................................................................73 
3.9.1. Exercícios de fixação ..........................................................................................74 
3.10. Relações entre moda, mediana e média ...................................................................75 
3.11. Medidas de Dispersão ..............................................................................................773.11.1. Dados isolados ..................................................................................................77 
3.11.2. Dados agrupados...............................................................................................79 
3.11.3. Exercícios de fixação ........................................................................................82 
3.12. Regressão simples....................................................................................................84 
3.12.1. Correlação.........................................................................................................86 
3.12.2. Coeficiente de determinação R²........................................................................87 
3.12.3. Exemplo de regressão linear .............................................................................89 
3.13. Regressão linear por transformações .......................................................................90 
3.13.1. Função potência ................................................................................................90 
3.13.2. Função exponencial ..........................................................................................91 
3.13.3. Função hipérbole (I)..........................................................................................93 
3.13.4. Função hipérbole (II) ........................................................................................95 
3.13.5. Exercícios de fixação ........................................................................................96 
3.14. Regressão múltipla...................................................................................................97 
3.14.1. Diferenças entre regressão simples e múltipla..................................................98 
3.14.2. O valor R2. ........................................................................................................99 
3. 14.3. Exemplo de ajustamento linear múltiplo do tipo: Y = b0 + b1X1 + b2X2......100 
3.15. Cuidados importantes sobre predição de valores de y:..........................................101 
3.16. Números índices ....................................................................................................101 
3.16.1. Índice agregado simples (IAS).......................................................................103 
3.16.2. Média aritmética simples dos índices de preços relativos (M) .......................103 
3.16.3. Índice de Laspeyres ou método do ano base (IL) ...........................................104 
3.16.4. Índice de Paasche ou método do ano determinado (IP)..................................104 
3.16.5. Índice de Fisher (IF) .......................................................................................104 
3.16.7. Exercícios de fixação ......................................................................................106 
3.17. Práticas...................................................................................................................106 
4. Bibliografia .....................................................................................................................111 
 
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1. Introdução 
 
A incerteza é inerente à maioria das atividades desenvolvidas pelo homem. Em 
engenharia civil a incerteza está presente na não-homogeneidade dos materiais, nas 
resistências físicas dos componentes estruturais e nas solicitações. A estatística tem o papel 
de auxiliar o futuro engenheiro na compreensão da aleatoriedade e nas correlações entre 
eventos e variáveis 
 
A disciplina de Probabilidade e Estatística tem como principais objetivos: 
 
• Apresentar os principais teoremas de probabilidade e suas aplicações 
• Apresentar as principais distribuições de probabilidade e suas aplicações 
• Apresentar métodos para organizar conjuntos de dados e calcular suas medidas 
• Apresentar métodos para comparar conjuntos de dados por meio de suas medidas 
• Apresentar métodos para realizar regressões entre variáveis 
 
1.1 Conceitos da disciplina 
 
Probabilidade: 
É um motivo ou indício que deixa presumir a verdade ou a possibilidade de um fato 
ocorrer. 
 
Estatística é a parte da matemática em que se investigam: 
• os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população ou 
sobre uma coleção de seres quaisquer 
• e os métodos de tirar conclusões ou predições com base nesses dados. 
 
1.2 Bibliografia para o curso 
 
A bibliografia está divida em bibliografia básica e complementar. 
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Bibliografia básica: 
 
DOWNING, Douglas e CLARK, Jeffrey. Business Statistics. New York 1992. Estatística 
Aplicada. Traduzido por Alfredo Alves de Farias, Editora Saraiva, 2000. 
MEYER, Paul L. Probabilidades. 
SPIEGEL, M. R. Probabilidade e estatística. McGraw-Hill. 
 
Bibliografia complementar: 
 
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 
KARMEL, P. H. Estatística geral e aplicada para economistas. 
LIPSCHUTZ, S. Probabilidade. Makron Books. 
LOURENÇO Filho, R. de C. B. Controle Estatístico da Qualidade. 
MARTINS, G. de A. e DONAIRE, D. Princípios de estatística. 
SILVA, P. A. L. da. Princípios dos Métodos Estatísticos: conceitos, modelos e aplicações 
no Excel. Rio de Janeiro, Editora Universitária Santa Úrsula, 1998. 
SPIEGEL, M. R. Estatística. McGraw-Hill. 
SUMMERS, G. W. e PETERS, W. S. Análise estatística e processo decisório. 
TOLEDO, G. L. e OVALLE, I. I. Estatística básica. Atlas. 
 
A título de informação recomenda-se a leitura informativa de dissertação de 
mestrado abaixo: 
 
Assis, E. M. de. Otimização do intervalo de substituição dos pneus de uma frota de 
aeronaves Brasília EMB-120. MEP/ UFBa. 
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2. Probabilidade 
 
Para iniciar o estudo da probabilidade é necessária a compreensão dos seguintes 
conceitos: 
 
• Experimento 
• Espaço amostral 
• Evento 
• Eventos dependentes 
• Eventos independentes 
• Probabilidade 
• Distribuições de probabilidade 
• Experimento e espaço amostral 
 
2.1 Experimento 
 
Experimento é um procedimento claramente definido que conduz a um resultado. A 
realização de um experimento é chamada tentativa, e cada tentativa tem o seu resultado. 
 
2.2 Experimentos aleatórias 
 
Experimentos aleatórios são experimentos onde não é possível prever o resultado, 
embora sejam conhecidos todos os resultados possíveis. 
 
2.3 Espaço amostral 
 
Espaço amostral “S” é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório 
 
2.3 Evento 
 
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Evento é o subconjunto do espaço amostral tal que todos os elementos a este pertencente 
satisfaçam a uma regra comum. 
 
A especificação de um evento pode ser feita pela regra que os elementos satisfazem ou 
pela enumeração de todos os seus elementos. Seja, por exemplo, um lançamento de um 
dado. Tem-se: 
• Espaço amostral - S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
• Evento - A={Número mostrado menor que quatro} ou A={1, 2, 3} (este é apenas 
um dos vários eventos possíveis) 
A seguir outros exemplos de: Experimento / Espaço amostral / Um evento: 
a) Lançar um dado e ver o número mostrado / S={1,2,3,4,5,6} / A={n.menor que 
4}={1,2,3} 
b) Lançar duas moedas e observar as faces / S={CaCa,CaCo,CoCa,CoCo} / B={no 
mínimo uma cara}={CaCa,CaCo,CoCa} 
c) Lançar duas moedas e contar o número de caras / S={0, 1, 2} / C={nenhuma}={0} 
 
2.3 Tipos de Eventos 
 
Evento independente é o evento no qual a sua ocorrência não afeta a chance de 
ocorrência de outro. Ex.: Lançamentos dedados ou moedas honestos. Nestes eventos 
quaisquer que tenham sido os resultados anteriores, estes não afetarão o próximo resultado. 
 
Evento dependente é o evento em que a sua ocorrência afeta a do outro. Ex.: Retirada, 
sem reposição, de uma carta de ouros de um baralho; os eventos ser homem e ser careca. 
Em tais eventos, os resultados anteriores afetarão o próximo resultado. 
 
2.4 Probabilidade 
 
Probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1 que indica a chance de ocorrência 
de um evento quando o experimento a este associado é executado. 
 
A probabilidade de um evento A ocorrer é indicada na forma: P(A) 
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Se o evento A não pode ocorrer então se escreve: P(A) = 0 
Se existe certeza na ocorrência de A então se escreve: P(A) = 1 
 
Exemplos de probabilidades: 
• P({moeda mostra cara})=0.5 
• P({dado mostra “5”})= 1/6 
 
Note que: 0 ≤ P(Evento qualquer) ≤ 1, 
 P(S)=1 e P(∅)=0 
 
2.5 Definições de Probabilidade 
 
1 - Se um experimento pode ocorrer de N maneiras e se o evento “A” pode ocorrer em 
“n” destes testes então a probabilidade de “A” ocorrer é : P(A) = n / N. Probabilidade 
calculada pelo método de análise de experimento (Dado, moeda...) 
 
2 - Se um evento com atributo “A” ocorre n vezes em N experimentos, então para 
valores grandes de N, P(A) se aproxima de n / N. Probabilidade calculada pelo método de 
freqüência relativa (Confiabilidade e CQ) ( ) lim ( / )NP A n N→∞= 
 
Neste momento, é conveniente definir os seguintes conceitos: 
• População é todo o conjunto de seres animados ou inanimados em estudo 
• Amostra é parte da população a ser analisada. 
 
“Quando se deseja colher informações sobre um ou mais aspectos de um grupo grande 
ou numeroso, verifica-se, muitas vezes, ser praticamente impossível fazer um levantamento 
do todo. Daí a necessidade de investigar apenas uma parte dessa população ou universo. O 
problema da amostragem é, portanto, escolher uma parte (ou amostra), de tal forma que ela 
seja a mais representativa possível do todo e, a partir dos resultados obtidos, relativos a essa 
parte, poder inferir, o mais legitimamente possível, os resultados da população total, se esta 
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fosse verificada (pesquisa censitária).” Trecho extraído de CARREIRO, População e 
Amostra disponível em www.edilson.eng.br na seção Metodologia da Pesquisa Científica. 
 
2.6 Teoremas de probabilidade 
 
O estudo da probabilidade é baseado em teoremas. Os teoremas devem organizar a 
forma de raciocinar e indicar a direção a seguir na solução de problemas. De maneira geral 
pode-se afirmar que a aplicação correta dos teoremas é a parte mais importante as solução. 
 
Teorema é uma proposição que, para ser admitida ou se tornar evidente, necessita 
de demonstração. Desta forma, cada teorema testado com um exemplo 
 
2.6.1 Teorema 1 de probabilidade : Soma de probabilidades 
 
Se A e B são eventos em um espaço amostral, então 
P(A ou B)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P (A ∩ B) 
 
 
Obs. 1 - Se A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, P(A ∩ B)=0 tem-se: 
P(A ou B)=P(A)+P(B) 
 
Obs. 2 - Se A1, A2,...Ak são eventos mutuamente exclusivos então: 
P(A1 ∪ A2 ∪...∪ Ak)=P(A1)+ P(A2)+...+ P(Ak) 
 
Exercícios: 
1. Quando um par de dados é arremessado qual a probabilidade dos números 5 ou 6 
serem mostrados? 
A 
B
S
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2. Quando um par de dados é arremessado qual a probabilidade da soma ser menor que 
4 ou um dos números ser 4? 
 
2.6.2. Teorema 2 de probabilidade : Eventos complementares 
 
Se A e Ac são eventos complementares, isto é, são mutuamente exclusivos e juntos 
compõem o espaço amostral, então: 
P(Ac)=1 - P(A) 
 
 
 
Exemplo: 
• Quando uma moeda é arremessada duas vezes qual a probabilidade de que no 
mínimo uma cara apareça? 
 
 
2.6.3. Teorema 3 de probabilidade : Produto de probabilidades 
 
Se A e B são eventos independentes então: 
P(A ∩ B)=P(A).P(B) 
Exemplos: 
• Uma urna contém 7 bolas pretas e 5 brancas se são retiradas 2 bolas com reposição 
qual a probabilidade de que ambas sejam pretas? 
• Arremessados dois dados, E1 é o evento em que a soma é 6, em E2 a soma é 7 e F é 
o evento em que o primeiro número é 3. i) E1 e F são independentes? ii) E2 e F são 
independentes? 
 
2.6.4. Teorema 4: Teorema de probabilidade condicional 
 
S
A
Ac 
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A probabilidade condicional de um evento A dado que um outro evento B tenha 
ocorrido (no mesmo espaço amostral) é P(A\B). Este valor é a fração do espaço que 
pertence a A e B tomada em relação a B. 
P(A\B) = P(A ∩B)/P(B) “P de A dado que B” 
 
 
Exercício (probabilidade condicional) 
 Encontre a probabilidade de que a soma de dois dados lançados dê 6 dado que um dos 
números é 1. 
 
Teorema de probabilidade condicional 
 
Se não é conhecida a relação de dependência entre os eventos A e B tem-se: 
P(A ∩ B) = P(A\B).P(B). 
 
O valor desta fórmula reside no fato de que algumas vezes só se conhece a 
probabilidade de um evento “A “ condicionada à ocorrência de “B” 
 
Exercício 
• Quando um par de dados é arremessado qual a probabilidade do total ser menor que 
6 e um dos números ser 3 ou 4 
 
2.6.5. Teorema de probabilidade total 
 
Algumas vezes o espaço amostral é particionado em sub-eventos (Bk) que são 
mutuamente exclusivos, ou seja, (Bi ∩ Bj) = ∅ e juntos compõem o espaço amostral. 
A 
B
S
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Então as probabilidades do evento de interesse (A) condicionadas às partições são usadas 
para obter a probabilidade de ocorrência do evento no espaço amostral. 
 
 
 
 
P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + P(A∩B3) + P(A∩B4) + P(A∩B5) + P(A∩B6) 
 
Ou seja 
 
P(A) = P(A\B1).P(B1) + P(A\B2).P(B2) + P(A\B3).P(B3) + P(A\B4).P(B4) + P(A\B5).P(B5) + 
P(A\B6).P(B6) 
 
Exercício 
Na Escola de Engenharia da Universidade de Bradley os alunos estão distribuídos 
como: 26% eng. Elétrica, 25% eng. Mecânica, 19% eng. de Manufatura, 18% eng. Civil e 
12% eng. Industrial. 
Sabe-se também que: 5% de elétrica, 10% de mecânica, 4% de manufatura, 8% de 
civil e 45% de industrial são estudantes mulheres. Se um estudante é aleatoriamente 
escolhido, qual a probabilidade de que seja uma mulher? 
 
2.6.5. Exercícios de fixação 
 
01. Um engenheiro está começando 2 novos projetos. Existe alguma incerteza sobre o 
estado de conclusão de cada trabalho. Em um ano cada trabalho pode estar concluído, ter 
conclusão parcial ou estar incompleto. Denote estas situações como a,b e c respectivamente 
para cada trabalho. 
B1 
B2 
B3 B5 
B6 B4 
A 
S
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a) Descreva o espaço amostral para o estado de conclusão para os projetos. 
b) Calcular a probabilidade de pelo menos um projeto ter sido concluído. 
 
02. Um experimento consiste em arremessar dois dados e observar os números de 
ambos. Um evento E ocorre se a diferença entre dois números é maior que 3.Mostre os 
elementos de E enumerando-os e pelo diagrama de Venn. Qual a probabilidade da 
ocorrência do evento E ? 
 
03. A armação abaixo é composta de três barras “a”, “b” e “c”. As probabilidades de 
cada uma das barras “a”, “b” e “c” se romperem são: P(A)=5%, P(B)=4% e P(C)=3%. 
Sabendo que a estrutura se rompe se pelo menos uma barra se romper calcule a 
probabilidade da estrutura desmoronar. 
 
 
 
04.Agregados para construção são fornecidos por duas diferentes companhias. A 
companhia A despacha 600 carregamentos por dia, dos quais 3% não satisfazem às 
especificações de qualidade. A companhia B despacha 400 carregamentos por dia, dos 
quais 1% não está atendendo aos padrões de qualidade. 
a) Qual a probabilidade de que um carregamento tomado ao acaso venha da companhia A? 
b) Qual a probabilidade de que um carregamento tomado ao acaso não passe no controle de 
qualidade? 
c) Se um carregamento de agregado não passou no controle de qualidade, qual a 
probabilidade de que este tenha vindo da companhia A? 
a
b
c
F
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Resp.: a) 60%; b) 2,2%; c)81,8% 
 
05. A poluição do ar em uma cidade é causada principalmente por descargas industrial e 
automotiva. Nos próximos 5 anos, as chances de controlar estas duas fontes poluentes são 
75% e 60% respectivamente. 
 
Assuma que se apenas uma das fontes poluentes for controlada com sucesso, a 
probabilidade de controlar a poluição do ar é 80%. 
 
a) Qual a probabilidade de sucesso no controle da poluição do ar nos próximos 5 anos 
b) Se nos próximos 5 anos a poluição do ar não está controlada, qual a probabilidade 
de que isso tenha sido inteiramente causado por falha no controle da poluição 
automotiva? 
Considere que há independência estatística entre os controles das poluições automotiva e 
industrial. 
Resp.: a) 81% b)16% 
 
06. Em uma construção de um prédio, a conclusão da obra requer a conclusão sucessiva 
de uma série de atividades. 
Considere: E = {escavação completa em tempo previsto} P(E)=0.80 
 F = {fundação completa em tempo previsto} P(F)=0.70 
 S = {superestrutura completa em tempo previsto} P(S)=0.90 
Assumindo independência estatística entre estes eventos calcule as probabilidades dos 
seguintes eventos: 
a) I = {projeto totalmente completo em tempo previsto}. 
b) G = {escavação completa em tempo previsto e no mínimo uma das outras duas 
operações não completas em tempo}. 
c) H = {apenas uma das três operações completas em tempo}. 
Resp.: a) 50,4%; b) 29,6%; c) 20,4% 
 
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07. O suprimento de água para uma cidade vem de dois reservatórios a e b. Dada a 
variabilidade das chuvas por ano, o total de água de cada reservatório pode exceder ou não 
exceder a capacidade normal . Assuma que A é o evento em que a água no reservatório a 
excede a capacidade normal e B o mesmo para a o reservatório b. São conhecidas as 
seguintes probabilidades : P(B)=0.8, P(A∩B)=0.6, P(Ac|Bc)=0.7. Em adição, as 
probabilidades de que a cidade tenha abastecimento satisfatório de água se apenas um 
reservatório excede a capacidade, se ambos reservatórios excedem e se nenhum dos 
reservatórios excede são 0.7, 0.9 e 0.3 respectivamente. Qual a probabilidade da cidade ter 
abastecimento satisfatório de água? 
 
08. Quando um par de dados é arremessado qual a probabilidade de que o número do 
primeiro dado seja 1 ou o total seja menor que 4? (Responda usando os teoremas) 
 
09. A figura mostra duas rodovias interestaduais I1 e I2 que convergem em I3. Assuma 
que I1 e I2 têm capacidades iguais, contudo na hora de pico, algo diferente acontece tal 
que: 
 
I1={Tráfego excessivo em I1} P(I1)=10% 
I2={Tráfego excessivo em I2} P(I2)=20% 
P(I1 | I2)=50% P(I2 | I1)=100% 
 
 
 
Considere que a capacidade de I3 é igual a de I1 e I2 e que quando I1 ou I2 têm tráfego 
excessivo I3 também o terá. Ainda que nem I1 nem I2 tenham tráfego excessivo I3 pode tê-
lo com 20% de probabilidade. 
 
Qual a probabilidade de que I3 tenha tráfego excessivo? 
I1 
I2
I3
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10. Veículos que chegam a um cruzamento são observados. O número de veículos que 
viram à direita é o dobro dos que viram à esquerda e o número de veículos que seguem em 
frente é a metade dos que viram à esquerda. a) Defina os eventos; b) Qual a probabilidade 
de que um veículo vire à esquerda? c) Qual a probabilidade de que um carro siga em 
frente? d) Qual a probabilidade de que o carro vire à direita, dado que fará uma curva? 
 
2.7. Técnicas de contagem 
 
Em todos os exemplos anteriores, o número de eventos foi contado manualmente. 
Algumas vezes contar tais eventos é complicado ou mesmo impossível. 
 
2.7.1. Regra da multiplicação. 
 
 Se uma operação pode ser feita de n1 maneiras e outra pode ser feita de n2 maneiras 
então as duas operações podem ser feitas juntas de n1 x n2 maneiras. 
 
Exemplos 
• Quantos grupos de dois sendo um homem e uma mulher pode ser feitos com 5 
homens e 4 mulheres? 
• Quantas palavras de 4 letras são possíveis com A,B,I,J,K se cada letra pode ser 
usada uma vez? E se a última tiver de ser uma vogal? 
 
2.7.2. Permutação. 
 
Permutação é um arranjo de todo ou parte de um conjunto de objetos. O número de 
permutações de n objetos tomados em grupos de r é: 
( ),
!
!n r
nP
n r
=
−
 
Onde x!=x.(x-1).(x-2)...1 e 0!=1 
 
O exemplo a seguir mostra a demonstração de que 0!=1: 
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10! 10 9 8!
8! 8!
× ×
= que pode ser reescrito como: ( ) ( ) ( ) ( )8 2 ! 8 2 8 2 1 8 !
8! 8!
+ + × + − ×
= . 
Generalizando tem-se: 
(n+k)! / n! = (n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n+2)(n+1) 
Admita agora n = 0, logo: 
 k! / 0! = (k)(k-1)(k-2)...(2)(1) = k! 
Conseqüentemente 0!=1 
 
Exemplos: 
a) Calcule o número de permutações de três objetos a b c (P3,3) : abc, acb, bac, bca, 
cab, cba. 
b) Calcule o número de permutações dos objetos a b c em grupos de 2: ab, ac, ba, bc, 
ca, cb. 
 
 
2.7.3 Combinação. 
 
É um grupo de certo número de objetos tomados de um conjunto. Não importa a 
posição dos objetos no grupo. Cuidado, abc e acb são duas permutações diferentes mas 
compõem uma mesma combinação. O número de combinações de n objetos distintos 
tomados em grupos de r é: 
,
!
!( )!n r
n nC
r r n r
 
= = 
− 
 
2.7.4 Exercícios 
 
a) Quantos números de 3 dígitos podem ser formados usando 0,1,2,3,4,5 se cada dígito 
é usado apenas uma vez? 
 
b) Quantos times de 5 jogadores podem ser formados com 10 jogadores? 
 
c) Quantas comissões de três elementos são formadas com 2 mulheres e 1 homem em 
um grupo de 4 mulheres e 6 homens? 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 18
 
2.7.5. Exercícios de fixação 
 
01. De um grupo de 8 pessoas, quantas comissões podem ser formadas com 3 delas? 
 
02. De quantas maneiras uma comissão formada de 3 homens e 3 mulheres pode ser 
escolhida dentre um grupo de 7 homens e 5 mulheres? 
 
03. Suponha que uma urna A contendo 7 bolas numeradas de 1 a 7. De quantas 
maneiras podemos retirar, primeiro 2 bolas, depois 3, e por último 2. 
 
04. De quantas maneiras podemos dividir 9 brinquedos entre 4 crianças, se a mais nova 
deve receber 3 e cada uma das outras , 2 brinquedos? 
 
 
05. Ache n, se: 
 i) Pn,2 = 72 
 ii) Pn,4 = 42.Pn,2 
 
06. Todo ano em uma universidade, uma delegação de 4 estudantes é selecionada para 
assistir a reunião da Associação Nacional dos Estudantes. 
 i) de quantas maneiras a delegação pode ser escolhida, se há 12 estudantes 
elegíveis? 
 ii) de quantas maneiras, se dois dos estudantes elegíveis são casados e somente 
assistirão juntos a reunião? 
 
07. Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada 
rodada ele perde ou ganha R$10,00. Ele inicia o jogo com R$10,00. O jogo só pode ser 
encerrado na 5ª rodada, se perder todo o dinheiro, ouse atingir um montante de R$40,00. 
Ache o número de maneiras nas quais o jogo pode se desenrolar? 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 19
2.8. Variáveis aleatórias 
 
Variável aleatória é uma variável que assume um valor aleatório. O próximo valor não 
pode ser previsível com certeza. 
Exemplos: 
a) Número mostrado por um dado arremessado 
b) Número de coroas (H) quando uma moeda é arremessada 3 vezes 
c) O peso de um recém nascido num hospital 
d) A altura de um adulto 
e) Número de arremessos necessários para uma moeda dar 3 caras (T) consecutivas. 
 
2.8.1. Tipos de variáveis aleatórias 
 
Variável aleatória discreta é uma variável que assume um número contável de valores. 
Exemplos a); b); e). Muitas vezes as variáveis aleatórias discretas estão associadas a valores 
inteiros. 
 
Variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir um número infinito de 
valores. Exemplos c); d). Neste caso a quantidade de valores é incontável. A variável 
aleatória contínua está associada muitas vezes a valores reais. 
 
2.8.2. Distribuição de Probabilidade de uma variável discreta 
Seja X uma variável discreta. A função p(x) é definida como função massa de 
probabilidade (fmp) e tem as propriedades: 
a) p(x) = P(X=x) 
b) b) p(x) ≥ 0 para qualquer x 
c) ∑x p(x) = 1 é claro pois P(S)=1 (a soma das probabilidades de todos os valores 
possíveis é um) 
 
Exercício 
• Uma variável aleatória X denota o número de coroas quando uma moeda é 
arremessada 3 vezes. Encontre a função massa de probabilidade 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 20
Representação gráfica desta fmp
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0 1 2 3
x
p(
x)
 
 
2.8.3. Distribuição de Probabilidade de uma variável contínua 
 
O método para descrever variáveis aleatórias discretas não funciona para variáveis 
contínuas. Infinitos valores são possíveis para estas variáveis contínuas e a probabilidade 
delas assumirem exatamente um valor específico é zero. Desta forma as probabilidades não 
podem ser tabuladas. 
 
Função densidade de probabilidade 
Se X é uma variável aleatória contínua a função f(x) é chamada f.d.p. e tem como 
propriedades: 
) ( ) 0 qualquer que seja x
) ( ) 1 pois a área sob a curva =1
) ( ) ( )
b
a
a f x
b f x dx
c P a X b f x dx
≥
=
≤ ≤ =
∫
∫
 
 
 
Exercício 
• Uma variável aleatória X tem a fdp abaixo: 
 0,01.x 0≤ x≤10 
f(x) = 0,01.(20-x) 10≤ x≤20 
 0 outro caso 
Responda: 
a) Verifique se f(x) é uma fdp válida 
b) Encontre P(5≤ x≤10) 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 21
2.8.4. Exercícios de fixação 
 
01. Suponha um espaço amostral S constituído de 4 eventos S = (A, B, C, D). Qual(is) 
das funções abaixo descreve(m) uma função massa de probabilidade em S? 
 
a) P(A) = 1 P(B) = 1 P(C) = 1 P(D) = 1 
 2 3 4 5 
 
b) P(A) = 1 P(B) = 1 P(C) = -1 P(D) = 1 
 2 4 4 2 
 
c) P(A) = 1 P(B) = 1 P(C) = 1 P(D) = 1 
 2 4 8 8 
 
d) P(A) = 1 P(B) = 1 P(C) = 1 P(D) = 0 
 2 4 4 
 
02. Uma companhia de seguros obtém a seguinte distribuição de probabilidade para 
acidentes dos seus assegurados no decorrer de um ano. A variável x denota o número de 
acidentes em um ano e p(x) é a respectiva probabilidade de ocorrência. Adotando a 
independência de acidentes em qualquer ano em relação aos anos anteriores, calcule as 
probabilidades de assegurados com exatamente: a) nenhum acidente em 4 anos; b) dois 
acidentes em dois anos. 
 
X 0 1 2 3 
P(x) 0,3 0,4 0,2 0,1
 
02. Se uma variável aleatória discreta X pode assumir os valores x = 0,1,2,3,4,5. 
Verifique se as expressões abaixo definem uma função de probabilidade. 
 a) p(x)=x/15; b)p(x)= (x-1)/9 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 22
03. A vazão de um certo rio em mil litros por minuto distribui-se conforme a figura ao 
lado, onde x representa o número de milhares de litros que circulam por minuto e f(x) é a 
respectiva função densidade de probabilidade. Calcule: 
a) O valor de a 
b) P(X≥150) 
c) Pretende-se construir um loteamento nas proximidades do rio e por questões de 
segurança este está definido em uma área que só é atingida quando ocorre uma vazão tão 
alta que a probabilidade desta ser superada é 2%. Qual é este valor de vazão? 
 
 
 
Exercícios com Excel 
04. Verifique se os exemplos abaixo são funções massa de probabilidade: 
a) p(x) = 1/x² para x=2,3...101 
b) p(x) = x/9 para x=0,1...4 
c) p(x) = (x-3)/4 para x=0,1...7 
d) p(x) = x²/14 para x=0,1,2,3 
 
2.8.5. Características das distribuições 
 
A distribuição de probabilidade descreve completamente o comportamento de uma 
variável aleatória. Contudo o mesmo pode ser feito por algumas medidas: 
Média µx 
É o centro de gravidade da distribuição é um parâmetro de localização. 
100 a 200
h=1/500 
x 
f (x) 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 23
 
 
 
Variância σx2 e Desvio padrão σx 
Mostram o quanto a distribuição está dispersa em torno da média. Quanto maior a 
variância ou o desvio padrão, mais alargado o formato da curva. 
 
 
 
 
 
2.8.6. Tipos de Distribuições de Probabilidade 
 
Distribuições são modelos matemáticos para descrever o comportamento de 
variáveis aleatórias. Tais modelos são usados em controle de qualidade e confiabilidade. 
Serão vistas as seguintes distribuições: 
• Binomial (discreta) 
• Poisson (discreta) 
• Normal (contínua) 
 
µµµµ1 µµµµ2 µµµµ3 µµµµ4 x
fdp(x) 
σσ 1 x 
fdp(x) 
σσ 2 σσ 3 σσ 4
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 24
2.9. Distribuição binomial 
 
Diz-se que a variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p se a função 
massa de probabilidade é : 
,
( ) . (1 ) , 0,1,...
!:
!( )!
x n x
n x
n
p x p p x n
x
n nOnde C
x x n x
−
 
= − = 
 
 
= = 
− 
 
 
A especificação de uma distribuição binomial é feita na forma : X~B(n;p) onde lê-
se X é uma variável aleatória de distribuição binomial com parâmetros n e p. 
 
Esta distribuição descreve a variável aleatória “X” que representa o número de 
sucessos “x” em “n” tentativas independentes, tendo cada tentativa com probabilidade “p” 
de sucesso e probabilidade “(1-p)” de fracasso. 
Da expressão tem-se: 
• Cn,x : Combinação de x sucessos em n tentativas 
• px : Probabilidade de x sucessos 
• (1-p)n-x : Probabilidade de n-x fracassos 
 
Medidas características 
 
Para a variável aleatória X ~ B( n ; p) tem-se: 
 
Média 
µx = n.p (número de tentativas vezes probabilidade de sucesso) 
 
Variância 
2 . .(1 )X n p pσ = − 
 
Desvio Padrão 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 25
. .(1 )X n p pσ = − 
 
Exemplos de Variáveis Aleatórias Binomiais 
 
a) X: Número de caras quando uma moeda honesta é lançada 10 vezes. X ~ B(10; 
1/2) 
b) Y: Número de cestas feitas por um jogador de basquete em 12 arremessos se sua 
média é 0.4 (cestas/arremesso) Y ~ B(12; 0,4) 
c) W: Número de produtos defeituosos em uma amostra de 20 unidades retirada de um 
grande lote que contém 2% de defeituosos W ~ B(20; 0,02) 
 
Comentários dos exemplos acima: 
a) Eventos são obviamente independentes 
b) É aceitável tomar os eventos como independentes 
c) Atenção: para um lote pequeno, a retirada sem reposição de um produto afeta a 
probabilidade do próximo ser defeituoso, mas para um lote grande comparado com o 
tamanho da amostra, pode-se desprezar a dependência e utilizar o modelo binomialExercícios 
 
• Uma amostra de 12 parafusos é retirada de uma linha de produção e inspecionada. 
Sabe-se que o processo produz 2% de defeituosos. Qual a probabilidade da amostra 
ter exatamente um defeituoso? Qual a probabilidade de não existir mais de um 
defeituoso? 
 
• Com base no exercício acima, qual a média, variância e o desvio padrão do número 
de defeituosos? 
 
 
2.9.1. Exercícios de fixação 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 26
1. Qual a probabilidade de obter três números primos em cinco jogadas de um dado? 
 
2. Jogando-se uma moeda honesta, qual a probabilidade de obter ao menos quatro caras 
em cinco jogadas? 
 
3. O Estado da Pensilvânia tem uma loteria diária. Cada noite é escolhido um número de 
três algarismos. Qual é a probabilidade de se obter um número inferior a 100, mais de 
cinco vezes em uma semana? 
 
4. Quantas vezes devemos jogar uma moeda para que a probabilidade de aparecerem ao 
menos duas caras seja superior a 1/2? 
 
5. Suponha que 10% da população sejam de canhotos. Escolhidas três pessoas 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de ao menos uma ser canhota? 
 
6. Qual é a probabilidade de dois dos próximos três presidentes dos Estados Unidos terem 
nascido em um domingo? 
 
7. Suponha que 2/5 da população tenham sangue tipo O+. Escolhidas aleatoriamente seis 
pessoas, qual a probabilidade de quatro delas terem sangue O+? 
 
8. Suponha que 45% dos Almeida no mundo sejam mulheres. De três Almeida escolhidos 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de ao menos dois serem mulheres? 
 
9. Um exame de múltipla escolha comporta 20 questões. Cada questão tem quatro 
respostas possíveis (com apenas uma certa). Há, assim, 0,25 de probabilidade de 
responder a uma questão corretamente, "por palpite". Qual a probabilidade de acertar ao 
menos 18 questões nessas condições? 
 
10. Suponha que você está na gerência de uma companhia de seguros. Você tem N 
segurados. Há uma probabilidade p = 0,05 de que determinado segurado solicite uma 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 27
indenização em um ano; nesse caso, a seguradora terá de pagar $1.000. A seguradora 
cobra um prêmio anual de $50 de cada segurado. Use Excel. 
 
i) Qual a média esperada para o lucro da seguradora? 
ii) Suponha que a seguradora tenha 20 clientes. Qual a probabilidade do seu lucro 
ser de $2000? De $1000 ? De $0? De -$1000? De -$2000? De -$3000? 
 
11. Você tem um convênio com uma grande empresa que lhe oferece trinta clientes por 
mês. Para se associar a esta empresa você gasta R$1680,00 mensais. Cada elemento do 
público alvo do seu negócio necessita de seus serviços com probabilidade p=0,2 e paga 
R$500,00 pela consulta. Qual a probabilidade deste empreendimento lhe causar 
prejuízo?Considere distribuição binomial. Use Excel. 
 
12. Suponha que você é o gerente de uma companhia de aviação que opera com aviões de 
200 lugares cada. Em média, 7% dos que fazem reserva não comparecem ao embarque. 
Parece desnecessário aceitar apenas 200 reservas para cada vôo, porque sempre restarão 
alguns assentos vagos. Você decide então arriscar, aceitando mais de 200 reservas. Se, 
entretanto, aparecerem efetivamente mais de 200 passageiros, haverá um problema 
sério. Suponha que você decidiu correr um risco de 5% de ter excesso de passageiros 
para o embarque em um vôo. Quantas reservas pode aceitar, mantendo em menos de 
5% a probabilidade de excesso? Dica: use EXCEL 
 
13. Suponha que você compareça a um exame com 100 questões do tipo verdadeiro-falso; 
você nada sabe sobre o assunto do exame, e vai responder as questões por adivinhação. 
Qual é a chance de acertar ao menos 75 questões? Use Excel. 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 28
 
 
2.10. Distribuição de Poisson 
 
Diz-se que a variável aleatória X segue a distribuição de Poisson (lê-se Poásson) se a 
sua fmp é : 
..( ) , 0,1,2...
!
! .( 1)( 2)..1
xep x x
x
x x x x
λ λ−
= =
= − −
 
 
A especificação de uma distribuição de Poisson é feita na forma : X~Po(λ) onde lê-
se X é uma variável aleatória de distribuição de Poisson com parâmetro λ. Esta distribuição 
só possui um parâmetro. 
 
Medidas características 
 
Para a variável aleatória X ~ Po(λ) tem-se: 
 
Média 
µx = λλ 
Variância 
2
Xσ λ= 
Desvio Padrão 
Xσ λ= 
 
Aplicações 
Esta distribuição é um bom modelo para descrever o comportamento das variáveis 
aleatórias nos seguintes exemplos: 
a) Número de nós por folha de madeira tratada 
b) Número de imperfeições por peça de tecido 
c) Número de acidentes por mês numa fábrica 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 29
d) Número de chamadas que chegam a uma central telefônica em u intervalo de 
tempo “t” 
e) Número de glóbulos sangüíneos visíveis ao microscópio num campo visível de área 
“A” 
 
Requisitos de um processo de Poisson 
 
1) Os números de eventos durante intervalos não sobre-postos de tempo ou área (ou outra 
grandeza) constituem variáveis aleatórias independentes 
 
2) A distribuição do número de eventos durante um intervalo (tempo ou espaço) depende 
apenas do comprimento do intervalo e não de seus pontos extremos 
 
3) Para pequenos intervalos, a probabilidade de ocorrência de um evento é diretamente 
proporcional ao comprimento do intervalo 
 
4) A probabilidade de ocorrência de dois ou mais eventos para intervalos infinitesimais é 
desprezível 
 
5) A condição inicial do processo é que o evento não ocorreu. No instante zero de tempo o 
evento ainda não ocorreu 
 
Exercícios: 
 
• Um digitador faz uma média de 3 erros por página. Qual a probabilidade de que ele 
digite uma página com menos de 2 erros? 
 
• Qual a média, variância e desvio padrão desta variável de Poisson? 
 
2.10.1. Exercícios de fixação 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 30
 
1) Seja X uma variável aleatória que representa o número de vezes que a palavra platypus 
é pronunciada num dia. Supondo que X tenha distribuição de Poisson com parâmetro 
λ=1/2, Quanto é P(X>1)? 
 
2) Se X é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ=10, quanto é P(1≤ X ≤ 3)? 
 
3) Registros históricos de tempestades se em uma cidade indicam que a na média 
ocorreram em quatro tempestades por ano nos últimos vinte anos. Assumindo que a 
ocorrência de tempestades é um processo de Poisson, qual a probabilidade de que não 
existam tempestades no próximo ano? Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 4 
tempestades no próximo ano? Qual a probabilidade de haver duas ou mais tempestades 
no próximo ano? 
 
4) Um pólo petroquímico tema média de 3 acidentes por mês. Qual a probabilidade de 
que não existam mais de 2 acidentes no próximo mês? Qual a probabilidade de que não 
haja incidentes nos próximos dois meses. Considere uma distribuição de Poisson. 
 
5) Considere uma fábrica de chocolates com amêndoas. A gerência da fábrica sabe que o 
número de amêndoas por tablete é uma variável aleatória de Poisson com média igual a 
1,5. a) Qual a probabilidade de haver pelos menos três amêndoas num tablete? b) Numa 
caixa com quatro tabletes qual a probabilidade de nenhuma amêndoa ser encontrada? 
 
6) Numa linha adutora de água de 60 Km de extensão, o número de vazamentos no 
período de um mês é em média 4. a) Qual a probabilidade de ocorrer, durante um mês, 
pelo menos um vazamento num setor de 3 Km de extensão? b) Qual a probabilidade de 
ocorrerem menos de 3 vazamentos durante um mês neste mesmo trecho de 3 Km? 
 
7) A probabilidade de que um certoevento aconteça pelo menos uma vez entre três 
experiências independentes entre si é 0,936. Ache: a) a probabilidade de ocorrência do 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 31
evento uma vez em uma experiência. b) a probabilidade de exatamente uma ocorrência 
em três experiências. 
 
2.11. Distribuição Normal 
 
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ se sua f.d.p. 
é: 
 
2(1/ 2)[( ) / ]1( ) .
2
xf x e µ σ
σ π
− −
= 
 
A especificação de uma distribuição normal é feita na forma : X~N(µ; σ2) onde lê-
se X é uma variável aleatória de distribuição normal com média µ e variância σ2. 
 
 
Medidas características 
 
Para a variável aleatória X~N(µ; σ2) tem-se: 
Média 
µ 
Variância 
2σ 
Desvio Padrão 
2σ σ= 
Gráfico da distribuição Normal de parâmetros µ = 0 e σ2 =1. 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 32
Gráfico da Ditribuição Nornal
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
f(x
)
 
 
Propriedades do gráfico: 
a) É assintótico ao eixo-x 
b) É simétrico à linha vertical em µ 
c) O máximo valor de f(x) ocorre em µ 
d) Os dois pontos de inflexão ocorrem à distância σ de cada lado de µ 
 
Aplicações 
A normal serve como aproximação para um grande número de distribuições. A maior 
parte das medidas é normalmente distribuída (KRISHNAMOORTHI,1992). Comprimentos 
de parafusos, diâmetros de furos, percentagens de impurezas são alguns exemplos. 
 
Problemas comuns 
 
Um dos problemas comuns é, uma vez conhecida a distribuição por meio da média e 
variância, encontrar a probabilidade de que a variável assuma valores dentro de um 
intervalo especificado. Exemplo X~N(20,9), P(10 ≤ X ≤ 15)=? 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 33
2
15
(1/ 2)[( 20) /3]
10
:
1(10 15) .
3 2
x
Solução
P X e dx
π
− −≤ ≤ = ∫ 
 
Não é fácil encontrar esta área. Para tal usa-se a padronização da variável aleatória. 
 
Para qualquer distribuição normal tem-se : 
P(µ- σ ≤ X ≤ µ+σ ) = 0.6827 
P(µ-2σ ≤ X ≤ µ+2σ ) = 0.9545 
P(µ-3σ ≤ X ≤ µ+3σ ) = 0.9973 
 
Variável normal padronizada 
 
A variável normal padronizada tem média 0 e variância 1. É expressa por Z~N(0,1). 
Existem várias tabelas que fornecem a área sob esta fdp entre -∞ e vários valores ”z”. 
Existe uma relação capaz de realizar a conversão entre qualquer distribuição normal e a 
distribuição padronizada permitindo um cálculo mais simples das áreas. 
 
A distribuição padronizada 
 
Se X ~ N(µ , σ2) então Z ~ X µ
σ
− ~ N(0 , 1) em outras palavras: se a variável X é 
normalmente distribuída com média µ e desvio padrão σ, então a função X µ
σ
− é a 
distribuição normal padrão. Resumindo: a operação “- µ” torna a média nula e a operação 
“/σ” torna o desvio padrão unitário. 
 
Exercícios 
1) Dado Z~ N(0,1) calcule: 
a) P(Z ≤ 2.62) 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 34
b) P(Z ≤ -1.45) 
c) P(Z > 1.45) 
d) P(-1.5 ≤ Z ≤ 2.5) 
e) “t” tal que P(Z≤ t)=0.0281 
f) “s” tal que P(Z>s)=0.0771 
g) “k” tal que P( -k ≤ Z ≤ k) = 0.9973 
 
2) Dado X ~ N(2.0 , 0.0025) calcule: 
h) P(X ≤ 1.87) 
i) P(X > 2.2) 
j) P(1.9 ≤ X ≤ 2.1) 
k) “t” tal que P(X>t)=0.05 
l) “k” tal que P(µ-Kσ ≤ X ≤ µ+Kσ)=0.9973 
 
3) Diâmetros de parafusos em uma grande linha de produção são normalmente distribuídos 
com média 0.25 cm e desvio padrão 0.01 cm. As especificações são 0.24 ± 0.02 cm. 
a) Qual a proporção de parafusos fora das especificações? 
b) Se a média do processo for movida para coincidir com o centro das 
especificações qual a proporção de defeituosos? 
 
4) Um fabricante de baterias substituirá qualquer bateria que pife antes de 3 anos. Sabe-se 
que a vida das baterias é normalmente distribuída com média 4 anos e desvio padrão de 
0.45 anos. 
a) Qual a percentagem de baterias que será substituída? 
b) Qual o desvio padrão para que menos de 2% das baterias fossem 
substituídas? (É difícil neste caso aumentar a média, mas o desvio padrão 
pode diminuir com algum esforço) 
 
2.12. Tabelas de Distribuição Normal 
 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 35
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 36
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 37
2.13. Exercícios de fixação 
 
01 Suponha que a duração em horas de vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2, 
tenham distribuições N(40,36) e N(45,9) respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver 
de ser usado por um período de 45 horas qual dos dispositivos deve ser preferido? 
 
02. O tempo de funcionamento de uma bateria de celular é normalmente distribuído 
com média de 200 horas e desvio padrão de 50 horas. Qual a fração de baterias que se 
espera que funcionem além de 300 horas? 
 
 
2.14. Práticas 
 
A seguir estão apresentadas as práticas em Excel. 
Prática 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
100
101
102
A B C D E F G
i Moeda
1 0
2 0
3 0
4 1
5 1
6 1
7 0
8 1
9 0
10 0
11 1
12 0
13 0
14 0
15 1
16 0
17 1
18 0
19 0
20 0
21 0
22 0
23 0
24 1
25 1
26 1
27 0
28 0
29 1
30 1
31 1
32 1
33 1
34 0
35 0
36 0
37 0
38 0
99 0
100 0
Prob 43
Prática 1 - Probabilidade
A) Esta prática faz a simulação do lançamento de 
moedas
Obs.: O suplemento ferramentas de análise deve 
estar instalado. Para instalar clique no menu 
ferramentas e depois em suplementos, marque 
então a caixa ferramenta de análise. Pressione OK
Roteiro:
1 - Célula A1: i
2 - Célula B1: Moeda
3 - Célula A2: 1
4 - Célula B2: =aleatórioentre(0;1)
Vamos considerar o resultado 1 como cara e o 
resultado 0 como coroa. A cada vez que a planilha 
calculada um novo número é gerado. Experimente 
pressionar F9. Note que a cada momento um novo 
número aleatório aparece
B) Simulação do lançamento de 100 moedas
5 - Célula A3: =A2 + 1
6 - Selecione a célula A3 e arraste até a linha 101
7 - Selecione a célula B2 e arraste até a linha 101
8 - Pressione F9 várias vezes 
C) Vamos estimar a probabilidade de uma moeda 
dar cara considerando os 100 lançamentos 
simulados
9 - Célula A102: Prob
10 - Célula B102: =soma(B2:B101)
11 - A célula B102 mostra a probabilidade em 
porcento. Pressione F9 várias vezes e tire suas 
conclusões.
38
Prática 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
100
101
102
A B C D E F G
i Dado
1 6
2 5
3 6
4 2
5 5
6 1
7 4
8 5
9 5
10 1
11 1
12 5
13 1
14 6
15 4
16 4
17 2
18 5
19 5
20 6
21 3
22 4
23 6
24 4
25 1
26 2
27 4
28 3
29 2
30 3
31 5
32 6
33 1
34 4
35 6
36 3
37 3
38 4
99 1
100 2
Dado=5 21
Prática 2 - Probabilidade
A) Esta prática faz a simulação do lançamento de 
dados
Obs.: O suplemento ferramentas de análise deve 
estar instalado. Para instalar clique no menu 
ferramentas e depois em suplementos, marque 
então a caixa ferramenta de análise. Pressione OK
Roteiro:
1 - Célula A1: i
2 - Célula B1: Dado
3 - Célula A2: 1
4 - Célula B2: =aleatórioentre(1;6)
A cada vez que a planilha calculada um novo 
número é gerado. Experimente pressionar F9. Note 
que a cada momento um novo número aleatório 
aparece
B) Simulação do lançamento de 100 dados
5 - Célula A3: =A2 + 1
6 - Selecione a célula A3 e arraste até a linha 101
7 - Selecione a célula B2 e arraste até a linha 101
8 - Pressione F9 várias vezes 
C) Vamos estimar aprobabilidade de um dado 
mostrar 5 considerando os 100 lançamentos 
simulados
9 - Célula A102: Dado=5
10 - Célula B102: =CONT.SE(B2:B101;"5")
11 - A célula B102 mostra a probabilidade em 
porcento. Pressione F9 várias vezes e tire suas 
conclusões.
39
Prática 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
100
101
102
103
104
105
A B C D E F G H I
Prática 3 - Teorema 1
i Dado1 Dado2 A B A e B A ou B
1 6 2 0 1 0 1
2 3 5 1 0 0 1
3 1 5 1 0 0 1
4 6 2 0 1 0 1
5 3 3 0 0 0 0
6 6 2 0 1 0 1
7 1 6 0 1 0 1
8 6 5 1 1 1 1
9 5 5 1 0 0 1
10 5 4 1 0 0 1
11 6 3 0 1 0 1
12 3 4 0 0 0 0
13 4 5 1 0 0 1
14 5 2 1 0 0 1
15 3 4 0 0 0 0
16 2 5 1 0 0 1
17 3 2 0 0 0 0
18 3 6 0 1 0 1
19 3 3 0 0 0 0
20 3 1 0 0 0 0
21 5 3 1 0 0 1
22 3 5 1 0 0 1
23 4 3 0 0 0 0
24 3 2 0 0 0 0
25 3 6 0 1 0 1
26 4 6 0 1 0 1
27 5 2 1 0 0 1
28 4 2 0 0 0 0
29 4 1 0 0 0 0
30 4 4 0 0 0 0
31 1 1 0 0 0 0
32 2 4 0 0 0 0
33 1 2 0 0 0 0
34 3 5 1 0 0 1
35 6 2 0 1 0 1
98 4 4 0 0 0 0
99 6 1 0 1 0 1
100 5 4 1 0 0 1
34 33 5 62
A B AeB AouB
62
Roteiro
Questão: Quando um par de dados é arremessado qual a 
probabilidade dos números 5 ou 6 serem mostrados?
Solução:
 A={número 5 é mostrado}
 B={número 6 é mostrado}
 1) Preencha as linhas 1 e 2 conforme a figura
 2) Célula A3: 1
 3) Célula B3: =ALEATÓRIOENTRE(1;6)
 4) Célula C3: =ALEATÓRIOENTRE(1;6)
 5) Célula D3: =SE((B3=5)+(C3=5);1;0)
 6) Célula E3: =SE((B3=6)+(C3=6);1;0)
 7) Célula F3: =SE((D3=1)*(E3=1);1;0)
 8) Célula G3: =SE((D3=1)+(E3=1);1;0)
 9) Selecione as células A3:G3, pressione o botão direito do 
mouse e arraste para baixo até a linha 102 e clique em 
preencher seqüência
10) Célula D103: =SOMA(D3:D102)
11) Copie a célula D103 para o intervalo E103:G103
12) Célula G105: =D103+E103-F103
13) Verifique os resultados de G105 e G103 e compare com os 
cálculos feitos em sala.
40
Prática 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
100
101
102
103
104
A B C D E F G H I
Prática 4 - Teorema 2
i Moeda1 Moeda2 A Ac
1 0 1 1 0
2 0 1 1 0
3 1 0 1 0
4 1 0 1 0
5 0 0 0 1
6 0 0 0 1
7 0 0 0 1
8 1 0 1 0
9 1 1 1 0
10 1 1 1 0
11 1 1 1 0
12 0 0 0 1
13 1 0 1 0
14 0 1 1 0
15 1 1 1 0
16 0 0 0 1
17 0 1 1 0
18 0 0 0 1
19 0 0 0 1
20 0 0 0 1
21 0 0 0 1
22 0 1 1 0
23 1 0 1 0
24 0 0 0 1
25 0 1 1 0
26 0 0 0 1
27 1 1 1 0
28 1 1 1 0
29 0 0 0 1
98 1 1 1 0
99 0 1 1 0
100 0 1 1 0
65 35
A Ac
Roteiro
Questão: Quando uma moeda é arremessada duas vezes qual 
a probabilidade de que no mínimo uma cara apareça?
Solução:
 A={no mínimo uma cara aparece}
 Ac={nenhuma cara aparece}
 1) Preencha as linhas 1 e 2 conforme a figura
 2) Célula A3: 1
 3) Célula B3: =ALEATÓRIOENTRE(0;1)
 4) Célula C3: =ALEATÓRIOENTRE(0;1)
 5) Célula D3: =SE((B3=1)+(C3=1);1;0)
 6) Célula E3: =SE((B3=0)*(C3=0);1;0)
 7) Selecione as células A3:E3, pressione o botão direito do 
mouse e arraste para baixo até a linha 102 e clique em 
preencher seqüência
 8) Célula D103: =SOMA(D3:D102)
 9) Copie a célula D103 para E103
10) Verifique os resultados de D103 e E103 e compare com os 
cálculos feitos em sala.
41
Prática 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
101
102
103
104
105
A B C D E F G H I
Prática 5 - Teorema 3
i Dado1 Dado2 E1 E2 F E1 e F E2 e F
1 1 3 0 0 0 0 0
2 6 5 0 0 0 0 0
3 4 5 0 0 0 0 0
4 5 5 0 0 0 0 0
5 2 5 0 1 0 0 0
6 5 1 1 0 0 0 0
7 4 5 0 0 0 0 0
8 2 5 0 1 0 0 0
9 4 3 0 1 0 0 0
10 5 1 1 0 0 0 0
11 5 4 0 0 0 0 0
12 3 1 0 0 1 0 0
13 6 2 0 0 0 0 0
14 1 5 1 0 0 0 0
15 2 4 1 0 0 0 0
16 2 5 0 1 0 0 0
17 2 6 0 0 0 0 0
18 4 3 0 1 0 0 0
19 3 3 1 0 1 1 0
20 6 6 0 0 0 0 0
21 5 5 0 0 0 0 0
22 5 2 0 1 0 0 0
23 4 1 0 0 0 0 0
24 2 4 1 0 0 0 0
25 2 6 0 0 0 0 0
26 3 6 0 0 1 0 0
27 4 6 0 0 0 0 0
28 1 5 1 0 0 0 0
29 3 5 0 0 1 0 0
30 2 5 0 1 0 0 0
31 1 4 0 0 0 0 0
32 3 6 0 0 1 0 0
33 5 4 0 0 0 0 0
99 3 5 0 0 1 0 0
100 2 1 0 0 0 0 0
0,15 0,21 0,19 0,03 0,05
E1 E2 F E1 e F E2 e F
0,0285 0,0399
Roteiro
Questão: Arremessados dois dados, E1 é o evento em que a 
soma é 6, em E2 a soma é 7 e F é o evento em que o primeiro 
número é 3. i) E1 e F são independentes? ii) E2 e F são 
independentes?
Solução:
 E1={soma dá 6} E2={soma dá 7} F={primeiro dado dá 3}
 1) Preencha as linhas 1 e 2 conforme a figura
 2) Célula A3: 1
 3) Célula B3: =ALEATÓRIOENTRE(1;6)
 4) Célula C3: =ALEATÓRIOENTRE(1;6)
 5) Célula D3: =SE((B3+C3)=6;1;0)
 6) Célula E3: =SE((B3+C3)=7;1;0)
 7) Célula F3: =SE(B3=3;1;0)
 8) Célula G3: =SE((D3=1)*(F3=1);1;0)
 9) Célula H3: =SE((E3=1)*(F3=1);1;0)
10) Selecione as células A3:H3, pressione o botão direito do 
mouse e arraste para baixo até a linha 102 e clique em 
preencher seqüência
11) Célula D103: =SOMA(D3:D102)/100
12) Copie a célula D103 para o intervalo E103:H103
13) Célula G105: =D103*F103
14) Célula H105: =E103*F103
15) Verifique os resultados das linhas 103 e 105 e compare com 
os cálculos feitos em sala. O que é possível concluir? Porquê?
42
Prática 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
A B C D E F G H
r/n 10
0 1
1 10
2 90
3 720
4 5040
5 30240
6 151200
7 604800
8 1814400
9 3628800
10 3628800
11 #NÚM!
12 #NÚM!
13 #NÚM!
14 #NÚM!
15 #NÚM!
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Roteiro
Permutação - Estudo do comportamento da função PERMUT()
1 - Preencha a linha 1 conforme mostrado
2 - Célula A2: 0
3 - Célula B2: =PERMUT($B$1;A2)
4 - Célula A3: =A2+1
5 - Arraste a célula A3 atá a linha 17
6 - Arraste a célula B2 até a linha 17
7 - Experimente vários valores na célula B1, por exemplo: 1,
2, 6, 9, 10, 15 quais as suas conclusões?
8 - Selecione as células de B2 até B17
9 - Clique em inserir gráfico
10 - Selecione o tipo Colunas
11 - Clique em Avancar
12 - Clique na aba Seqüência
13 - Clique na caixa de texto de rótulos do eixo das
categorias (X) (fica na parte inferior da tabela) e selecione
as células de A2 até A17 (veja que a caixa de texto agora
apresenta =Plan1!$A$2:$A$17 )
14 - Clique em Avançar
15 - Clique na aba Legenda e desmarque a caixa Mostrar legenda
16 - Clique Concluir
17 - Experimente vários valores na célula B1, por exemplo: 1,
2, 6, 9, 10, 15.Quais os valores de r que geram Pn,r iguais ?
Quais as suas conclusões?
43
Prática 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
A B C D E F G H
r/n 10
0 1
1 10
2 45
3 120
4 210
5 252
6 210
7 120
8 45
9 10
10 1
11 #NÚM!
12 #NÚM!
13 #NÚM!
14 #NÚM!
15 #NÚM!
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Roteiro
Combinação - Estudo do comportamento da função COMBIN()
1 - Preencha a linha 1 conforme mostrado
2 - Célula A2: 0
3 - Célula B2: =COMBIN($B$1;A2)
4 - Célula A3: =A2+1
5 - Arraste a célula A3 atá a linha 17
6 - Arraste a célula B2 até a linha 17
7 - Experimente vários valores na célula B1, por exemplo: 1,
2, 6, 9, 10, 15 quais as suas conclusões?
8 - Selecione as células de B2 até B17
9 - Clique em inserir gráfico
10 - Selecione o tipo Colunas
11 - Clique em Avancar
12 - Clique na aba Seqüência
13 - Clique na caixa de texto de rótulos do eixo das
categorias (X) (fica na parte inferior da tabela) e selecione
as células de A2 até A17 (veja que a caixa de texto agora
apresenta =Plan1!$A$2:$A$17 )
14 - Clique em Avançar
15 - Clique na aba Legenda e desmarque a caixa Mostrar legenda
16- Clique Concluir
17 - Experimente vários valores na célula B1, por exemplo: 1,
2, 6, 9, 10, 15.Quais os valores de r que geram Cn,r iguais ?
Quais as suas conclusões?
44
Prática 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
A B C D E F G H I J
n 5
p 0,5
x p(x)
0 0,03125
1 0,15625
2 0,3125
3 0,3125
4 0,15625
5 0,03125
6 #NÚM!
7 #NÚM!
8 #NÚM!
9 #NÚM!
10 #NÚM!
11 #NÚM!
12 #NÚM!
13 #NÚM!
14 #NÚM!
15 #NÚM!
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Roteiro
Vamos estudar o comportamento da distribuição binomial
1 - Célula A1: n
2 - Célula B1: 5
3 - Célula A2: p
4 - Célula B2: 0,5
5 - Célula A3: x
6 - Célula B3: p(x)
7 - Célula A4: 0
8 - Célula B4: =COMBIN($B$1;A4)*$B$2^A4*(1-$B$2)^($B$1-A4)
9 - A célula B4 exibe o resultado de p(0): 0,03125
10 - Célula A5: =A2+1
11 - Selecione a célula A5 e arraste até a linha 19
12 - Selecione a célula B4 e arraste até a linha 19
Vamos criar um gráfico de barras para mostrar o comportamento
da distribuição binomial
13 - Selecione as células B4:B19
14 - Clique: Inserir => Gráfico
15 - Selecione o tipo Colunas
16 - Clique: Avancar >
17 - Clique na aba Seqüência
18 - Clique na caixa de texto de rótulos do eixo das categorias
(X) (fica na parte inferior da tabela)
19 - Selecione as células A4:A19 (veja que a caixa de texto
agora apresenta =Plan1!$A$4:$A$19 )
20 - Clique: Avançar >
21 - Clique na aba Legenda
22 - Desmarque a caixa Mostrar legenda
23 - Clique: Concluir
24 - Experimente vários valores para as células B1 e B2, quais
as suas conclusões?
B1 3 8 8 15
B2 0.5 0.5 0.7 0.5
Qual dos casos apresenta menor desvio padrão?
Qual a influência na mudança de 0.5 para 0.7 no valor de B2?
Quais os valores de x que geram p(x) iguais ?
45
Prática 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
A B C D E F G H
Lambda 2
x p(x)
0 0,135335
1 0,270671
2 0,270671
3 0,180447
4 0,090224
5 0,036089
6 0,01203
7 0,003437
8 0,000859
9 0,000191
10 3,82E-05
11 6,94E-06
12 1,16E-06
13 1,78E-07
14 2,54E-08
15 3,39E-09
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Roteiro
Vamos estudar o comportamento da distribuição de Poisson
1 - Célula A1: Lambda
2 - Célula B1: 2
3 - Célula A2: x
4 - Célula B2: p(x)
5 - Célula A3: 0
6 - Célula B3: =$B$1^A3/(EXP($B$1)*FATORIAL(A3))
7 - Célula A4: =A2+1
8 - Selecione a célula A4 e arraste até a linha 18
9 - Selecione a célula B3 e arraste até a linha 18
10 - Vamos criar um gráfico de barras para mostrar o
comportamento da distribuição de Poisson
11 - Selecione as células B3:B18 (lê-se B3 até B18)
12 - Clique em: Inserir => Gráfico
13 - Selecione o tipo Colunas
14 - Clique em: Avancar >
15 - Clique na aba: Seqüência
16 - Clique na caixa de texto de rótulos do eixo das
categorias (X) (fica na parte inferior da tabela)
17 - Selecione as células A3:A18 (veja que a caixa de texto
agora apresenta =Plan1!$A$4:$A$19 )
18 - Clique em: Avançar >
19 - Clique na aba: Legenda
20 - Desmarque a caixa: Mostrar legenda
21 - Clique em: Concluir
22 - Experimente vários valores para a célula B1, quais as
suas conclusões?
Célula B1: 2 4 6 8
Qual dos casos apresenta menor desvio padrão? O que ocorre com
a média?
46
Prática 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
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29
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31
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33
34
35
36
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38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
A B C D E F G H I J
Distribuição Normal
Média= 0
Desvio p= 1
x f(x) f(x)excel
-2,5 0,017528 0,017528
-2,4 0,022395 0,022395
-2,3 0,028327 0,028327
-2,2 0,035475 0,035475
-2,1 0,043984 0,043984
-2 0,053991 0,053991
-1,9 0,065616 0,065616
-1,8 0,07895 0,07895
-1,7 0,094049 0,094049
-1,6 0,110921 0,110921
-1,5 0,129518 0,129518
-1,4 0,149727 0,149727
-1,3 0,171369 0,171369
-1,2 0,194186 0,194186
-1,1 0,217852 0,217852
-1 0,241971 0,241971
-0,9 0,266085 0,266085
-0,8 0,289692 0,289692
-0,7 0,312254 0,312254
-0,6 0,333225 0,333225
-0,5 0,352065 0,352065
-0,4 0,36827 0,36827
-0,3 0,381388 0,381388
-0,2 0,391043 0,391043
-0,1 0,396953 0,396953
1,08E-15 0,398942 0,398942
0,1 0,396953 0,396953
0,2 0,391043 0,391043
0,3 0,381388 0,381388
0,4 0,36827 0,36827
0,5 0,352065 0,352065
0,6 0,333225 0,333225
0,7 0,312254 0,312254
0,8 0,289692 0,289692
0,9 0,266085 0,266085
1 0,241971 0,241971
1,1 0,217852 0,217852
1,2 0,194186 0,194186
1,3 0,171369 0,171369
1,4 0,149727 0,149727
1,5 0,129518 0,129518
1,6 0,110921 0,110921
1,7 0,094049 0,094049
1,8 0,07895 0,07895
1,9 0,065616 0,065616
2 0,053991 0,053991
2,1 0,043984 0,043984
2,2 0,035475 0,035475
2,3 0,028327 0,028327
2,4 0,022395 0,022395
2,5 0,017528 0,017528
f(x)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
Roteiro
Vamos estudar o comportamento da distribuição Normal
1 - Célula A1: Distribuição Normal
2 - Célula A2: Média=
3 - Célula B2: 0
4 - Célula A3: Desvio p=
5 - Célula B3: 1
6 - Célula A4: x
7 - Célula B4: f(x)
8 - Célula C4: f(x)excel
9 - Célula A5: -2,5
10 - Célula B5: =1/($B$3*(2*PI())^0.5)/EXP(((A5-
$B$2)/$B$3)^2/2)
Obs.:A célula B5 contém a expressão da f.d.p. normal:
11 - Célula A6: =A5+0,1
12 - Arraste a célula B5 até B6
13 - Selecione de A6:B6 e arraste até a linha 55
Vamos criar um gráfico de dispersão para mostrar o
comportamento da distribuição Normal
14- Selecione as células A5:B55
15 - Clique em: Inserir => Gráfico
16 - Selecione o tipo: Dispersão XY e clique no subtipo
"Dispersão com pontos de dados conectados por linha suaves sem
marcadores", ou seja: 2ªlinha e 2ªcoluna
17 - Clique em: Avancar >
18 - Clique em: Concluir
19 - Experimente estes valores para a célula B3: 0,1 0,5 1 e
1,2. O que ocorreu? Quais as sua conclusões?
20 - Coloque em B3: 0.5 e em B2 os seguintes valores: -0,5 0
0,5 e 1. O que ocorreu? Quais as sua conclusões?
21 - Célula C5 : =DIST.NORM(A5;$B$2;$B$3;FALSO)
22 - Selecione C5 e arraste para preencher até C55. Os
resultados devem iguais aos da fórmula digitada na forma
discreta.
2]/))[(2/1(.
2
1)( σµ
πσ
−−
=
xexf
47
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 48
 
3. Estatística 
3.1. Organização de dados 
 
Na primeira fase foi estudado o comportamento de distribuições estatísticas por meio do 
conhecimento de seus parâmetros. Muitas vezes, se possui um conjunto de dados que se 
quer descrever ou comparar com outro ou ainda usá-lo como referência comparando-o com 
um indivíduo. 
 
Exemplos de perguntas que poderão ser respondidas: 
a) Como estão as notas da turma T21? 
b) Qual a turma de melhor desempenho: T21 ou T22? 
c) Um certo aluno está entre os melhores ou piores? 
 
Para responder estas perguntas, o conjunto de dados deve ser organizado. 
 
3.2. Dados brutos 
 
Feita a coleta do dados originais, estes ainda não se encontram prontos para análise. A 
seguir são apresentadas as notas, entre 0 a 100, de uma turma de alunos. 
 
36 42 65 24 64 94 
45 83 72 80 67 93 
59 72 56 75 70 10 
 
Estes dados são chamados dados brutos. Organizados desta maneira, se consegue 
pouca informação observando a tabela. Até mesmo as determinações do máximo e do 
mínimo requerem um certo esforço. 
 
3.3. Ramos e folhas 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 49
 Ramos e folhas é uma forma engenhosa para descrever a distribuição de números 
de uma amostra. Criada por John Tukeyesta forma utiliza os próprios números. É mais 
fácil descrevê-lo por meio de um exemplo. 
 
 Note que os dados têm, todos eles, dois algarismos. O primeiro algarismo varia de 1 
a 9. Se fôssemos agrupar os dados, uma forma natural seria em dezenas. Faremos isto em 
uma figura. 
 
1 0 
2 4 
3 6 
4 2 5 
5 9 6 
6 5 4 7 
7 2 2 5 0 
8 3 0 
9 4 3 
 
3.4. Rol de dados 
 
Rol é uma lista em que os valores estão dispostos em ordem crescente ou 
decrescente. Pode ser apresentado em uma ou em várias colunas. 
 
10 24 36 42 45 56 
59 64 65 67 70 72 
72 75 80 83 93 94 
 
Vantagem 
Visualização mais ampla, percepção imediata dos extremos com menos esforço de 
concentração 
 
Desvantagem 
A análise se baseia em observações individuais (difícil comparar 2 grupos de 
dados). O problema se agrava se existirem muitos dados 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 50
 
3.5. Tabela de freqüências de dados agrupados 
 
Nestas tabelas, os valores são agrupados em classes. Para cada intervalo de classe são 
anotadas as quantidades de ocorrência da variável dentro de cada intervalo. 
 
Desvantagem 
Não figuram valores exatos de cada aluno não permitindo saber o valor mais alto ou 
mais baixo 
 
Vantagem 
Mostra a tendência de concentração de valores 
 
3.5.1. Número de classes (K) 
 
Classe é cada um dos grupos de valores. O número de classes deve ser escolhido 
com base na natureza e na unidade dos dados. 
 
Existem várias formas de estimar tal número. Aqui será usada a regra de Sturges 
 
K =1+3,3 log n 
K = 1+3,3 log 18 = 5,142399267 ≅ 6 
 
Onde k é o número de classes e n é o número de observações. Para este caso, n=18 
k = 5,14 ≅ 6 note que é necessário aproximar para um inteiro e julgar se este valor é 
adequado. Vamos convencionar que a aproximação será sempre para mais. 
 
3.5.2. Amplitude Total (At) 
 
Amplitude Total é a diferença entre o maior e o menor valor. 
 
At = Maior – Menor 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 51
Maior valor = 94 
Menor valor = 10 
At = 100 - 12 = 84 
 
3.5.3. Amplitude do intervalo de classe (h) 
 
Amplitude do intervalo de classe é o comprimento de cada classe. É recomendável 
construir tabelas com intervalos iguais, ou se desiguais, múltiplos entre si (x 2, x 5 ou x 
10). 
h = At / K 
h = 84 / 6 = 14 
 
3.5.4. Tabela de freqüências de dados agrupados 
 
Tabela de freqüências 
j Classes fj frj frj % 
F j 
"Abaixo 
de" 
Fj 
"Acima 
de" 
Frj 
"Abaixo 
de" 
Frj 
"Acima 
de" 
Frj% 
"Abaixo 
de" 
Frj% 
"Acima 
de" 
1 10 |-| 24 2 0,111 11,1% 2 18 0,111 1,000 11,1% 100,0%
2 24 -| 38 1 0,056 5,6% 3 16 0,167 0,889 16,7% 88,9% 
3 38 -| 52 2 0,111 11,1% 5 15 0,278 0,833 27,8% 83,3% 
4 52 -| 66 4 0,222 22,2% 9 13 0,500 0,722 50,0% 72,2% 
5 66 -| 80 6 0,333 33,3% 15 9 0,833 0,500 83,3% 50,0% 
6 80 -| 94 3 0,167 16,7% 18 3 1,000 0,167 100,0% 16,7% 
 ΣΣΣΣ 18 1,00 100% 
 
Intervalos de classe 
 
Os intervalos de classe podem ser fechados ou abertos em cada extremidade. 
Observe o exemplo a seguir 
 
0 -| 10 = ] 0 ; 10 ] 
0 |- 10 = [ 0 ; 10 [ 
0 |-| 10 = [ 0 ; 10 ] 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 52
0 - 10 = ] 0 ; 10 [ 
 
fj - Freqüência simples absoluta 
 
É o número de observações correspondente à cada classe. Note que Σ fj = n 
 
frj - Freqüência simples relativa 
 
É a proporção de ocorrências da variável aleatória tomada em relação ao total, ou 
seja, pode ser entendida em muitos casos como a probabilidade da variável aleatória estar 
em cada intervalo de classe. (frj =fj / n). 
 
Fj “abaixo de” - Freqüência acumulada absoluta abaixo de 
 
É a soma do valor da freqüência simples absoluta “j” com as freqüências simples 
absolutas até “j”. Mostra quantas observações existem até determinada classe, incluindo a 
própria. Esta coluna é sempre crescente. 
 
Fj “acima de” - Freqüência acumulada absoluta acima de 
 
É a soma do valor da freqüência simples absoluta “j” com as freqüências simples 
absolutas além de “j”. Mostra quantas observações existem além de determinada classe. 
incluindo a própria. Esta coluna é sempre decrescente. 
 
Frj “abaixo de” - Freqüência acumulada relativa abaixo de 
 
É a soma do valor da freqüência simples relativa “j” com as freqüências simples 
relativas até “j”. Mostra a proporção de observações existentes até determinada classe, 
incluindo a própria. Aproxima-se a P(X ≤ x) para um grande número de observações o que 
constitui uma ferramenta de análise importante. 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 53
Frj “acima de” - Freqüência acumulada relativa acima de 
 
É a soma do valor da freqüência simples relativa “j” com as freqüências simples 
relativas além de “j”. Mostra a proporção de observações existentes acima de determinada 
classe, incluindo a própria. Aproxima-se a P(X ≥ x) para um grande número de 
observações o que constitui uma ferramenta de análise importante. 
 
3.5.5. Resumo de Distribuição de Freqüências 
 
a) Listar os dados brutos 
b) Criar o ramos e folhas 
c) Ordenar os dados criando um rol 
d) Calcular o número de classes (k) 
e) Calcular a amplitude total (At) 
f) Calcular a amplitude do intervalo de classe (h) 
g) Determinar os limites de classe como preferencialmente inteiros 
h) Construir as colunas 
 
3.5.6. Cálculo de probabilidades 
O estimação das probabilidades a partir da tabela de distribuição é feita 
simplesmente transcrevendo os valores obtidos, somando-os ou por meio de interpolação 
quando for necessário, isto é, para valores que não coincidem com os valores limites dos 
intervalos de classe. 
 
Exemplo: 
P(24 < X ≤ 38) = 0,056 
P(38 < X ≤ 66) = 0,333 
P(X ≤ 66) = 0,5 
P(X > 24) = 0,889 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 54
3.5.6. Exercícios de fixação 
 
01. A contagem de passes errados em jogos da seleção brasileira nos últimos 18 jogos é a 
lista de dados brutos abaixo. 
a) Monte a tabela de freqüência dos passes errados com as seguintes colunas de freqüência: 
simples absoluta, simples relativa, acumulada “abaixo de” e acumulada “acima de”. 
b) Qual a probabilidade de haver mais de 37 passes errados em um jogo qualquer? 
c) Qual a probabilidade de haver 93 passes errados ou menos em um jogo qualquer? 
Dados brutos : 23 70 80 39 76 96 103 76 63 73 33 40 26 98 107 51 46 87. 
 
02. Na construção de uma obra foram extraídos vinte corpos de prova e estes foram 
ensaiados à compressão. Os valores de resistência à compressão em que tais corpos de 
prova são destruídos nos ensaios estão em MPa na tabela de dados brutos abaixo (1MPa = 
1 000 000 N/m²). Pedem-se: 
a) Monte a tabela de freqüência dos resultados com as seguintes colunas de freqüência: 
simples absoluta, simples relativa, acumulada “abaixo de” e acumulada “acima de”. 
b) Qual a probabilidade de um corpo de prova, escolhido ao acaso, resistir a mais de 23 
MPa? Qual a probabilidade de que um corpo de prova resista a 35 MPa ou menos? 
Dados brutos 
15 19 32 27 17 
23 34 21 26 22 
30 30 15 39 22 
35 36 26 16 25 
 
3.6. Apresentação gráfica Excel 
 
Os gráficos permitem conseguir uma visualização imediata da distribuição. Os 
gráficos podem ser: 
 
Diagramas 
Gráficos que apresentam duas dimensões. 
 
Probabilidade e Estatística por Edilson Machado de Assis 
 55
 
 
 
Estereogramas 
Gráfico que representam volumes e são apresentados em 3 dimensões