Dicas Cálculo I

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1)
	
	Como se faz para verificar se um ponto (a,b) pertence ao gráfico de uma função y = f(x)?
	 
	 
	 
	 
	 
	Basta substituir x = a e y = b na expressão que define a função e verificar se a igualdade se mantém.
	 
	 
	Por exemplo, para verificar se o ponto (1,2) pertence ao gráfico da função y = 2x - 3, substituímos x = 1 e y = 2 na equação e observamos o resultado, ou seja,
	 
	 
	2 = 2(1) - 3
2 = 2 - 3
2 = -1 (Falso!)
	 
	 
	Portanto, o ponto (1,2) não pertence ao gráfico da função 
                                     y = 2x - 3.
	2)
	
	Como se faz para verificar se x = a pertence ao domínio de uma função y = f(x)?
	 
	 
	 
	 
	 
	Basta substituir x = a na expressão que define a função e verificar se é possível determinar o valor de y correspondente.
	 
	 
	Por exemplo, para verificar se x = 1 pertence ao domínio da função , substituímos x = 1 na equação e verificamos se é possível obter um valor para y, ou seja,
	 
	 
	
	 
	 
	Portanto, x = 1 não pertence ao domínio da função 
                                    
	3)
	
	Como se faz para verificar se y = b pertence a imagem de uma função y = f(x)?
	 
	 
	 
	 
	 
	Basta substituir y = b na expressão que define a função e verificar se é possível determinar um valor de x tal que y=f(x).
	 
	 
	Por exemplo, para verificar se y = 1 pertence a imagem da função , substituímos y = 1 na equação e efetuamos as operações necessárias para verificar se é possível encontrar um valor para x tal que y = f(x), ou seja,
	 
	 
	
	 
	 
	Portanto, y = 1 pertence a imagem da função
                                         
	4)
	
	Como se faz para verificar se o gráfico de uma função cruza uma assíntota horizontal?
	 
	 
	 
	 
	 
	Apenas para lembrar: uma reta y = b é uma assíntota horizontal para uma função y=f(x), se
                                        
	 
	 
	Por exemplo, para verificar se o gráfico da função 
                                    
cruza a assíntota horizontal y = 1, substituímos  y=1 na equação e efetuamos as operações necessárias para verificar se é possível encontrar um valor para x tal que y=f(x), ou seja,
	 
	 
	
	 
	 
	Portanto, o gráfico da função não cruza a assíntota horizontal y=1.
	 
	 
	 
	5)
	
	O fato de uma função y = f(x) não estar definida em x = a, significa que x = a é uma assíntota vertical para essa função?
	 
	 
	 
	 
	 
	Apenas para lembrar: uma reta x = a é uma assíntota vertical para uma função racional , se g(a) = 0 e
	 
	 
	
	 
	 
	Por exemplo, a função 
                                    
não está definida para x = 2, mas x = 2 não é uma assíntota vertical para a função, pois nenhuma das condições acima está satisfeita.
	6)
	
	Quais as condições para que uma função y = f(x) seja contínua em x = a?
	 
	 
	 
	 
	 
	Uma função y = f(x) é dita ser contínua em x = a se:
	 
	 
	
	 
	 
	Por exemplo, a função 
	 
	 
	                                   
	 
	 
	não é contínua em x = 2, pois .
	7)
	
	Como determinar o domínio e a imagem de uma função y = f(x) a partir do seu gráfico?
	 
	 
	 
	 
	 
	Para determinar o domínio de uma função y = f(x), a partir de seu gráfico, basta projetar todos os pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas e verificar qual o intervalo obtido pela projeção.
	 
	 
	 
	 
	 
	Para determinar a imagem de uma função y = f(x), a partir de seu gráfico, basta projetar todos os pontos do gráfico sobre o eixo das ordenadas e verificar qual o intervalo obtido pela projeção.
	 
	 
	 
	 
	 
	OBS: Um cuidado maior deve ser tomado, quando estiver trabalhando com funções descontínuas.
	 
	 
	 
	8)
	
	Qual é o comportamento que o gráfico de uma função deve ter para que ela tenha uma assíntota horizontal?
	 
	 
	 
	 
	 
	Para que uma função y = f(x) tenha uma assíntota horizontal y=b, o gráfico da função (os valores de y) deve se aproximar da reta y=b, quando x assume valores muito grandes positivos ou muito grande negativos.
	9)
	
	Qual é o comportamento que o gráfico de uma função deve ter para que ela tenha uma assíntota vertical?
	 
	 
	 
	 
	 
	Se uma função y = f(x) tem uma assíntota vertical x=a então, à medida que o gráfico se aproxima da reta x=a, função (y) vai assumir valores muito grandes positivos ou muito grande negativos.
	10)
	
	Pode f(x) tender a um limite, quando x tende a c, se f(c) não estiver definido? Se puder, dê um exemplo.
	
	
	
	 
	 
	Quando escrevemos , queremos dizer que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número c, à medida que x se aproxima do número c (pela direita e pela esquerda), mas , ou seja, ao procurar o limite de f(x), quando x tende a c, nunca consideramos x = c. 
	 
	 
	    
	
	11)
	
	É possível dizer se existe, analisando somente os valores de f(x) para x próximo de 2 e maiores do que 2? Explique.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Não. Para que o limite de uma função exista, devemos analisar o comportamento da função, para valores de x próximos de 2 e maiores que 2, e valores de x próximos de 2 e menores que 2. Ou seja, é necessário que existam os limites laterais e que eles sejam iguais. Observe, na figura abaixo, que não existe , pois os limites laterais, apesar de existirem, são diferentes.
	 
	 
	 
	    
	 
	 
	 
	 
	
	12)
	
	Se soubermos que existe, podemos determinar seu valor se soubermos apenas os valores de f(x) para x >2? Explique.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Sim.
Sabendo que o limite de f(x) existe, significa que existem os limites laterais e que eles são iguais ao limite da função. Portanto, conhecendo os valores de f(x) para   x > 2, podemos determinar o valor do limite.
	
	13)
	
	Se , f deve ser definida em x = 1? Em caso afirmativo, f(1) deve ser igual a 3? Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de f em x = 1? Explique.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Não.
A definição de limite não requer que f seja definida em x = 1, para que o limite exista.
Se f(1) estiver definido, ele pode ser qualquer número real. Portanto, não podemos concluir nada sobre f(1), a partir da informação de que .
	
14)
	
	Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de uma função racional dada? Justifique sua resposta.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	No máximo duas: uma para e, possivelmente, outra para .
	15)
	
	Quantas assíntotas verticais pode ter o gráfico de uma função racional dada? Justifique sua resposta.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	No máximo o grau do polinômio do denominador, que é zero em uma assíntota vertical.
Um polinômio de grau 4, por exemplo, tem no máximo 4 raízes reais (ou zeros).
	16)
	
	Qual é a taxa média de variação de uma função g(t) ao longo do intervalo t = a a   t = b? Como isso está relacionado a uma reta secante?
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	A taxa média de variação de g(t) no intervalo [a,b] é definida por:
	 
	 
	 
	    
	 
	 
	 
	O coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos (a,g(a)) e (b,g(b)) é numericamente igual a taxa média de variação da função g(t) no intervalo [a,b].
	 
	 
	 
	 
	 
	17)
	
	Que limite deve ser calculado para encontrar a taxa de variação instantânea de uma função f(t) em ?
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	O limite que deve ser calculado para encontrar a taxa de variação instantânea de
f(t) em é 
	 
	 
	 
	    
	 
	 
	 
	Lembre-se que esse limite define a derivada de f(t) em que é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em .
	18)
	
	Que tipo de comportamento de uma função implica a não existência de um limite? Dê exemplos através de gráficos.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Lembre-se que, para dizer que um limite existe, ele deve ser igual a um número real. Ainda, dizemos que o limite de uma função existe se existirem os limites laterais e elesforem iguais.
	 
	 
	 
	Os gráficos abaixo são exemplos de funções onde não existe um limite.
	 
	 
	 
	
	
	 
	 
	 
	 
	Os gráficos acima apresentam limites laterais diferentes.
	 
	
	 
	 
	
	 
	 
	 
	Nesse caso, apesar dos limites laterais serem iguais, o limite não existe pois não é igual a um número real.
	
	
	
	
	19)
	
	Como se calcula o limite de uma função racional quando ? Exemplifique.
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Você pode calcular o limite de uma função racional, quando , de duas maneiras:
	 
	 
	 
	1) Graficamente - analisando o gráfico de uma função, devemos observar o que acontece com os valores da função (valores de y), quando os valores de x aumentam positivamente ou negativamente.
	 
	 
	 
	Por exemplo, no gráfico descrito abaixo, você pode observar que, quando os valores de x aumentam positivamente (), os valores de y (da função) vão ficando cada vez menores, ou seja, cada vez mais próximos de zero. O mesmo acontece quando os valores de x aumentam negativamente ().
	 
	 
	 
	 
	
	Escrevemos então:
       
	
	
	
	
	
	e dizemos que a função possui uma assíntota horizontal y = 0.
	 
	 
	 
	2) Algebricamente: em primeiro lugar você deve observar o grau da função que está no numerador (ou seja, a maior potência de x no numerador) e o grau da função que está no denominador.
	 
	 
	 
		
	 
	Se o grau do numerador é maior do que o grau do denominador, como por exemplo, em
	 
	 
	
	 
	 
	então, não existe assíntota horizontal e não existe o limite da função, quando (ou quando ). Tente justificar esse fato.
	
	 
	Se o grau do numerador é menor do que o grau do denominador, como por exemplo, em
	 
	 
	
	 
	 
	então, o eixo-x (ou seja, a reta y = 0) é a assíntota horizontal e 
	
	 
	 
	Tente justificar esse fato!
	
	 
	Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, como por exemplo, em
	 
	
	 
	faça o seguinte: peque o coeficiente da maior potência de x, do numerador, e divida pelo coeficiente da maior potência de x, do denominador. O resultado da divisão será o valor da assíntota. No exemplo acima ficará:
	 
	
	 
	e, portanto, a função f tem uma assíntota horizontal .
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
		
	Não utilize o método da substituição em problemas de limites, relacionados com funções racionais, pois poderá se deparar com uma indeterminação do tipo , sem que seja possível eliminá-la.
	20)
	
	Intuitivamente, dizemos que uma função f é contínua se pudermos traçar seu gráfico sem retirar o lápis do papel. Explique o por que disso.
	 
	 
	 
	 
	 
	Dizer que uma função é contínua em x = c, significa que não há interrupção no gráfico de f em c. O gráfico de f é ininterrupto em c e não há buracos, saltos ou lacunas.
	21)
	
	O que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva C no ponto P?
	 
	 
	 
	 
	 
	Em termos simples, a reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto é a reta que melhor aproxima o gráfico nas vizinhanças daquele ponto (veja ilustração abaixo). 
	 
	 
	 
	 
	 
	                               
	22)
	
	Qual é o significado da fórmula 
	 
	 
	                                  ?
	 
	 
	Interprete essa fórmula geometricamente e fisicamente.
	 
	 
	 
	 
	 
	A fórmula acima nos dá o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f em (x,f(x)). 
	 
	 
	
	 
	 
	Fisicamente, a fórmula acima nos dá a taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de variação) de y = f(x) em relação a x.    
	23)
	
	Como você determina a reta tangente à curva y = f(x) em um ponto  pertencente à curva?
	 
	 
	 
	 
	 
	Para determinar a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente angular dessa reta. O ponto foi dado, então resta determinarmos o coeficiente angular (m) da reta tangente, que é dado pela derivada da função f calculada em .
Depois disso, substituímos os valores encontrados, na equação da reta que é dada por:
	
	 
	 
	
	 
	24)
	
	Como a reta tangente à curva y = f(x) no ponto  se relaciona com a derivada da função y = f(x) em ?
	 
	 
	 
	 
	 
	O coeficiente angular (m) da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto , é dado pela derivada da função f calculada em .
	 25)
	
	Descreva, geometricamente, quando uma função não tem derivada em um ponto.
	 
	 
	 
	 
	 
	Nem toda função é derivável. A ilustração abaixo mostra algumas situações nas quais uma função não será derivável em um ponto - retas tangentes verticais, descontinuidades e mudanças bruscas formando "bicos" no gráfico. Assim, cada uma das funções mostradas abaixo, é derivável para todos os valores de x, exceto em  x = 0.
	 
	 
	
	
	
	
	           
	26)
	
	O fato de existir a derivada de uma função y = f(x) em um ponto  está relacionado com a continuidade da função nesse ponto? Como?
	 
	 
	 
	 
	 
	Na ilustração abaixo, podemos observar que todas as funções, exceto uma, são contínuas em x = 0, mas nenhuma delas é diferenciável em x = 0. Isso mostra que a continuidade não é uma condição forte o suficiente para garantir a diferenciabilidade. Em outras palavras, continuidade não implica em diferenciabilidade.
Por outro lado, se uma função é diferenciável em um ponto, então ela deve ser contínua nesse mesmo ponto.
	 
	 
	
	
	
	
	           
	27)
	
	Como você entende uma derivada segunda de uma função y = f(x)? E uma derivada terceira?
	 
	 
	 
	 
	 
	A derivada segunda de uma função y = f(x), é igual a derivada de f', ou seja, a derivada da função derivada.
A derivada terceira de uma função y = f(x), é igual a derivada de f'', ou seja, a derivada da função derivada segunda.
	28)
	
	Qual é a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea? Dê um exemplo.
	 
	 
	 
	 
	 
	A taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de variação) de y = f(x) em x, é o limite da taxa de variação média no intervalo , quando tende a 0.
Por exemplo, a velocidade instantânea de um objeto em queda livre, em um instante t qualquer, é definida como sendo a velocidade média desse objeto em um intervalo de tempo infinitesimal (muito pequeno). Em outras palavras, é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tente a zero.
	29)
	
	O que representam as quantidades seguintes em termos do gráfico de 
	 
	 
	(a)               (b)                 (c) 
	 
	 
	 
	 
	 
	(a) Representa a variação da função no intervalo [0,9;1,3]. Ou seja, representa o quanto y varia, quando x varia de 0,9 a 1,3.
(b) Representa o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f, em x = 1,3.
(c) Representa o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f, em um x qualquer.
	 
	 
	
	
	
	
	
	30)
	
	O que é derivação implícita? Quando ela é necessária? Dê exemplos.
	 
	 
	 
	 
	 
	É um procedimento utilizado para encontrar a derivada de uma função y = f(x), quando não é possível (ou é muito difícil) escrever y em função de x. 
Por exemplo, para determinar dy/dx na equação , escrevemos y em função de x e, em seguida, derivamos em relação a x.
Agora, para determinar dy/dx na equação , devemos observar que é muito difícil expressar y como uma função de x. Nesse caso, utilizamos o procedimento de derivação implícita.
	 
	 
	
	
	
	
	31)
	
	Quando surgem problemas de taxas relacionadas? Dê um exemplo.
	 
	 
	 
	 
	 
	Problemas de taxas relacionadas surgem quando estes envolvem variáveis dependentes do tempo. Se duas ou mais variáveis estão relacionadas entre si então suas taxas de variação, em relação ao tempo, também estarão relacionadas.
Por exemplo, suponha que se tenha o volume de uma esfera, que varia com o raio, dada pela equação , onde o raio r varia com o tempo t. Sabendo a taxa de variação do volumeV em relação ao tempo t, em um determinado instante, queremos determinar a taxa de variação do raio r nesse mesmo instante. 
	32)
	
	Se y = f(x) é tal que em um ponto interior  do domínio de f, então é necessário que f tenha um mínimo ou um máximo relativo (local) em ? Explique.
	 
	 
	 
	 
	 
	Não. Existem funções (como a descrita na ilustração abaixo) cuja derivada em um ponto x é igual a zero, mas nesse ponto não existe nem máximo e nem mínimo relativo, pois a função é sempre crescente.
	
	 
	 
	 
	33)
	
	Se y = f(x) é tal que  em um ponto interior  do domínio de f, então é necessário que f tenha um ponto de inflexão em ? Explique.
	 
	 
	 
	 
	 
	Não. Existem funções (como a descrita na ilustração abaixo) cuja derivada segunda em um ponto x é igual a zero, mas nesse ponto não existe ponto de inflexão. No caso da função descrita abaixo, apesar da derivada primeira existir em x = 0, da derivada segunda em x = 0 ser igual a zero, não há inversão na concavidade da curva nesse ponto.