Cap41

LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
Exercı´cios Resolvidos de ´Optica Fı´sica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a TERCEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a SEXTA edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
37 Difrac¸a˜o 2
37.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.2 Difrac¸a˜o por uma fenda: posic¸o˜es dos mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.3 Determinac¸a˜o da intensidade da luz difratada por uma fenda — me´todo quantitativo . . . . . . . . 3
37.4 Difrac¸a˜o por uma abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
37.5 Difrac¸a˜o por duas fendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
37.6 Redes de difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
37.7 Redes de difrac¸a˜o: dispersa˜o e resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
37.8 Difrac¸a˜o de raios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
37 Difrac¸a˜o
37.1 Problemas e Exercı´cios
37.2 Difrac¸a˜o por uma fenda: posic¸o˜es
dos mı´nimos
E 37-1 (41-3/4 � edic¸a˜o)
Um feixe de luz de comprimento de onda de ����� nm in-
cide em uma fenda estreita. O aˆngulo entre o primeiro
mı´nimo de difrac¸a˜o de um lado do ma´ximo central e o
primeiro mı´nimo do outro lado e´ ���	��
 . Qual e´ a largura
da fenda?
� Basta usar a fo´rmula � sen 
������ , com ����� e
������ ��
����ff�flfiffi�
�
 . Portanto
���
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sen 
�
�����! 
�"fi$#&%
sen fiffi�
�
�
�
fiffi� ')( m �
E 37-4 (41-5/4 � edic¸a˜o)
A distaˆncia entre o primeiro e o quinto mı´nimo de uma
figura de difrac¸a˜o de uma fenda e´ fiffi� ��* mm, com a tela
a '�fi cm de distaˆncia da fenda, quando e´ usada uma luz
com um comprimento de onda de *�* fi nm. (a) determine
a largura da fenda. (b) Calcule o aˆngulo 
 do primeiro
mı´nimo de difrac¸a˜o.
� (a) Chamando de + a posic¸a˜o do primeiro mı´nimo
( ��,-�.� ) na tela, e de +0/21�+ a posic¸a˜o do quinto
mı´nimo ( �435� * ), temos que
687�9
,
�
+
:<;
687�9
3
�
+ff/=1�+
:
�
que nos fornecem
6>7�9
3@?
687�9
,
�
1A+
:
�
Como +CBD1A+ , podemos aproximar
687�9
3
�
+E/F1A+
: G
1�+
:
�
fiffi�
��*
'Hfi�fi
�flIffi�KJ
*� 
�Lfi
#NM
�
Este nu´mero pequeno nos informa que vale a aproxima-
c¸a˜o
687�9
35G
3 e, como 
 ,@O 
 3 , que 687�9 
 ,@G 
 , .
Nestas aproximac¸o˜es podemos escrever
6>7�9
P3
?
6>7�9
�,
G
P3
?
�,)�fl1�
��
1�+
:Q�
Por outro lado, sabemos que
� sen 
�,@�<��,R� e � sen 
P35�S�43)� ;
donde tiramos facilmente
sen 
 3R? sen 
 ,@G 
 3@? 
 , �T1�
A�
U
� 3@? � ,WV �
�
�
Comparando as duas expresso˜es para 1�
 vemos que
1�+
: �
U
� 3@? � ,�V �
�
�
U
1�� V �
�
�
Portanto
�!�
:
�
U
� 3)? � ,�V
1�+
�
U
'�fi�fi V
U
*�*
fi
 
�"fi$#&X V
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(b) Para �Z�2�
sen 
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V
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*
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;
e, portanto, o aˆngulo pedido e´
A� sen #
,
U
�$�	�
 
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#[M
V
�fl�ffi� �
 
�"fi
#NM rad �
P 37-6 (41-9/4 � edic¸a˜o)
Ondas sonoras com uma frequ¨eˆncia de � fi�fi�fi Hz e uma
velocidade de � ' � m/s passam pela abertura retangular
de uma caixa de som e se espalham por um grande au-
dito´rio. A abertura, que tem uma largura horizontal de
�
fi cm, esta´ voltada para uma parede que fica a �"fi�fi m
de distaˆncia (Fig. 37.32). Em que ponto desta parede
um ouvinte estara´ no primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o e,
portanto, tera´ dificuldade para ouvir o som? (Ignore as
reflexo˜es.)
� Suponha que o primeiro mı´nimo esteja a uma
distaˆncia + a partir do eixo central, perpendicular ao
alto-falante. Neste caso, para �Z��� temos
sen 
E�
+
\
:
3
/=+
3
�
�4�
�
�
�
�
�
Resolvendo esta equac¸a˜o para + obtemos
+��
:
\
U
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V
3
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�
�
:
\
U
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V
3
?
�
�
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U
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�
V
U
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fi�fi�fi
V
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3
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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
37.3 Determinac¸a˜o da intensidade da luz
difratada por uma fenda — me´todo
quantitativo
E 37-9 (41-13/4 � edic¸a˜o)
Quando a largura de uma fenda e´ multiplicada por � ,
a intensidade do ma´ximo central da figura de difrac¸a˜o
e´ multiplicada por ' , embora a energia que passa pela
fenda seja multiplicada por apenas � . Explique quanti-
tativamente o que se passa.
�
E 37-10 (41-12/4 � edic¸a˜o)
Uma luz monocroma´tica com um comprimento de on-
da de *�� I nm incide em uma fenda com uma largura de
fiffi� fi��
*
mm. A distaˆncia entre a fenda e a tela e´ � � * m.
Considere um ponto na tela a ���d� cm do ma´ximo cen-
tral. (a) Calcule o valor de 
 neste ponto. (b) Calcule o
valor de e . (c) Calcule a raza˜o entre a intesidade neste
ponto e a intensidade no ma´ximo central.
� (a)
�� sen #
,[f
���d�
�
�
*hg
�flfiffi�d�"I
�
(b) Da Eq. 37.6 temos que
ei�
fffij
�
�
g
sen 
 �
j
U
fiY� fiH�
*
V
*��
I
sen fiY�k�LI 
� fiffi� '
*
I rad �
(c) Da Eq. 37.5 tiramos que
l
U
V
lWm
�
f
sen e
e
g
3
�
f
sen fiffi� '
*
I
fiY� '
*
I
g
3
�Sfiffi� n
�
�$�
37.4 Difrac¸a˜o por uma abertura circular
E 37-15 (41-18/4 � edic¸a˜o)
Os dois faro´is de um automo´vel que se aproxima de um
observador esta˜o separados por uma distaˆncia de ��� ' m.
Qual e´ (a) a separac¸a˜o angular mı´nima e (b) a distaˆncia
ma´xima para que o olho do observador seja capaz de
resolveˆ-los? Suponha que o diaˆmetro da pupila do ob-
servador seja * mm e que use um comprimento de onda
de luz de *�* fi nm para a luz dos faro´is. Suponha tambe´m
que a resoluc¸a˜o seja limitada apenas pelos efeitos da
difrac¸a˜o e portanto que o crite´rio de Rayleigh possa ser
aplicado.
� (a) Use o crite´rio de Rayleigh, Eq. 37.14. Para resol-
ver duas fontes puntiformes o ma´ximo central da figura
de difrac¸a˜o de um ponto deve cair sobre ou ale´m do pri-
meiro mı´nimo da figura de difrac¸a˜o do outro ponto. Is-
to significa que a separac¸a˜o angular das fontes deve ser
pelo menos 
Pop�q��� �����&�Pr , onde � e´ o comprimento de
onda e r e´ o diaˆmetro da abertura. Portanto
`os�
��� ���
U
*�*
fi
 
�"fi$#&% V
*! 
�Lfi
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�
'
 
�Lfi
#NM rad �
(b) Sendo v a distaˆncia dos faro´is ao olho quando os
faro´is puderem ser pela primeira vez resolvidos, e : a
separac¸a˜o dos faro´is, enta˜o
:
�<v
687�9
Posw<vx
Po ;
onde foi feita a aproximac¸a˜o de aˆngulos pequenos
687�9
Poyw�
Po , va´lida se 
Po for medido em radianos.
Portanto
v=�
:
o
�
��� '
���
�
'
 
�Lfi
#[M
�u�"fiY� ' km �
E 37-19 (41-23/4 � edic¸a˜o)
Estime a separac¸a˜o linear de dois objetos no planeta
Marte que