Cap41 resolvido Halliday Volume 4 ediçao 4

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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
Exercı´cios Resolvidos de ´Optica Fı´sica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a TERCEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a SEXTA edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
37 Difrac¸a˜o 2
37.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.2 Difrac¸a˜o por uma fenda: posic¸o˜es dos mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
37.3 Determinac¸a˜o da intensidade da luz difratada por uma fenda — me´todo quantitativo . . . . . . . . 3
37.4 Difrac¸a˜o por uma abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
37.5 Difrac¸a˜o por duas fendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
37.6 Redes de difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
37.7 Redes de difrac¸a˜o: dispersa˜o e resoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
37.8 Difrac¸a˜o de raios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
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37 Difrac¸a˜o
37.1 Problemas e Exercı´cios
37.2 Difrac¸a˜o por uma fenda: posic¸o˜es
dos mı´nimos
E 37-1 (41-3/4 � edic¸a˜o)
Um feixe de luz de comprimento de onda de ����� nm in-
cide em uma fenda estreita. O aˆngulo entre o primeiro
mı´nimo de difrac¸a˜o de um lado do ma´ximo central e o
primeiro mı´nimo do outro lado e´ ���	��
 . Qual e´ a largura
da fenda?
� Basta usar a fo´rmula � sen 
������ , com ����� e
������ ��
����ff�flfiffi�
�
 . Portanto
���
�
sen 
�
�����! 
�"fi$#&%
sen fiffi�
�
�
�
fiffi� ')( m �
E 37-4 (41-5/4 � edic¸a˜o)
A distaˆncia entre o primeiro e o quinto mı´nimo de uma
figura de difrac¸a˜o de uma fenda e´ fiffi� ��* mm, com a tela
a '�fi cm de distaˆncia da fenda, quando e´ usada uma luz
com um comprimento de onda de *�* fi nm. (a) determine
a largura da fenda. (b) Calcule o aˆngulo 
 do primeiro
mı´nimo de difrac¸a˜o.
� (a) Chamando de + a posic¸a˜o do primeiro mı´nimo
( ��,-�.� ) na tela, e de +0/21�+ a posic¸a˜o do quinto
mı´nimo ( �435� * ), temos que
687�9
,
�
+
:<;
687�9
3
�
+ff/=1�+
:
�
que nos fornecem
6>7�9
3@?
687�9
,
�
1A+
:
�
Como +CBD1A+ , podemos aproximar
687�9
3
�
+E/F1A+
: G
1�+
:
�
fiffi�
��*
'Hfi�fi
�flIffi�KJ
*� 
�Lfi
#NM
�
Este nu´mero pequeno nos informa que vale a aproxima-
c¸a˜o
687�9
35G
3 e, como 
 ,@O 
 3 , que 687�9 
 ,@G 
 , .
Nestas aproximac¸o˜es podemos escrever
6>7�9
P3
?
6>7�9
�,
G
P3
?
�,)�fl1�
��
1�+
:Q�
Por outro lado, sabemos que
� sen 
�,@�<��,R� e � sen 
P35�S�43)� ;
donde tiramos facilmente
sen 
 3R? sen 
 ,@G 
 3@? 
 , �T1�
A�
U
� 3@? � ,WV �
�
�
Comparando as duas expresso˜es para 1�
 vemos que
1�+
: �
U
� 3@? � ,�V �
�
�
U
1�� V �
�
�
Portanto
�!�
:
�
U
� 3)? � ,�V
1�+
�
U
'�fi�fi V
U
*�*
fi
 
�"fi$#&X V
U
*
? � V
fiY�
�H*
� �ffi�
*
mm �
(b) Para �Z�2�
sen 
A�
���
�
�
U
�
V
U
*�*
fi
 
�"fi$#&X
V
�$�
*
�T�$�	�
 
�"fi
#[M
;
e, portanto, o aˆngulo pedido e´
A� sen #
,
U
�$�	�
 
�Lfi
#[M
V
�fl�ffi� �
 
�"fi
#NM rad �
P 37-6 (41-9/4 � edic¸a˜o)
Ondas sonoras com uma frequ¨eˆncia de � fi�fi�fi Hz e uma
velocidade de � ' � m/s passam pela abertura retangular
de uma caixa de som e se espalham por um grande au-
dito´rio. A abertura, que tem uma largura horizontal de
�
fi cm, esta´ voltada para uma parede que fica a �"fi�fi m
de distaˆncia (Fig. 37.32). Em que ponto desta parede
um ouvinte estara´ no primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o e,
portanto, tera´ dificuldade para ouvir o som? (Ignore as
reflexo˜es.)
� Suponha que o primeiro mı´nimo esteja a uma
distaˆncia + a partir do eixo central, perpendicular ao
alto-falante. Neste caso, para �Z��� temos
sen 
E�
+
\
:
3
/=+
3
�
�4�
�
�
�
�
�
Resolvendo esta equac¸a˜o para + obtemos
+��
:
\
U
�ffi���
V
3
?
�
�
:
\
U
�$]^�`_�a
V
3
?
�
�
�Lfi�fi
\ b
U
fiffi�
�
V
U
�
fi�fi�fi
V
�
�
'
��c
3
?
�
� '[���	� m �
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37.3 Determinac¸a˜o da intensidade da luz
difratada por uma fenda — me´todo
quantitativo
E 37-9 (41-13/4 � edic¸a˜o)
Quando a largura de uma fenda e´ multiplicada por � ,
a intensidade do ma´ximo central da figura de difrac¸a˜o
e´ multiplicada por ' , embora a energia que passa pela
fenda seja multiplicada por apenas � . Explique quanti-
tativamente o que se passa.
�
E 37-10 (41-12/4 � edic¸a˜o)
Uma luz monocroma´tica com um comprimento de on-
da de *�� I nm incide em uma fenda com uma largura de
fiffi� fi��
*
mm. A distaˆncia entre a fenda e a tela e´ � � * m.
Considere um ponto na tela a ���d� cm do ma´ximo cen-
tral. (a) Calcule o valor de 
 neste ponto. (b) Calcule o
valor de e . (c) Calcule a raza˜o entre a intesidade neste
ponto e a intensidade no ma´ximo central.
� (a)
�� sen #
,[f
���d�
�
�
*hg
�flfiffi�d�"I
�
(b) Da Eq. 37.6 temos que
ei�
fffij
�
�
g
sen 
 �
j
U
fiY� fiH�
*
V
*��
I
sen fiY�k�LI 
� fiffi� '
*
I rad �
(c) Da Eq. 37.5 tiramos que
l
U
V
lWm
�
f
sen e
e
g
3
�
f
sen fiffi� '
*
I
fiY� '
*
I
g
3
�Sfiffi� n
�
�$�
37.4 Difrac¸a˜o por uma abertura circular
E 37-15 (41-18/4 � edic¸a˜o)
Os dois faro´is de um automo´vel que se aproxima de um
observador esta˜o separados por uma distaˆncia de ��� ' m.
Qual e´ (a) a separac¸a˜o angular mı´nima e (b) a distaˆncia
ma´xima para que o olho do observador seja capaz de
resolveˆ-los? Suponha que o diaˆmetro da pupila do ob-
servador seja * mm e que use um comprimento de onda
de luz de *�* fi nm para a luz dos faro´is. Suponha tambe´m
que a resoluc¸a˜o seja limitada apenas pelos efeitos da
difrac¸a˜o e portanto que o crite´rio de Rayleigh possa ser
aplicado.
� (a) Use o crite´rio de Rayleigh, Eq. 37.14. Para resol-
ver duas fontes puntiformes o ma´ximo central da figura
de difrac¸a˜o de um ponto deve cair sobre ou ale´m do pri-
meiro mı´nimo da figura de difrac¸a˜o do outro ponto. Is-
to significa que a separac¸a˜o angular das fontes deve ser
pelo menos 
Pop�q��� �����&�Pr , onde � e´ o comprimento de
onda e r e´ o diaˆmetro da abertura. Portanto
`os�
��� ���
U
*�*
fi
 
�"fi$#&% V
*! 
�Lfi
#&t
�u���
�
'
 
�Lfi
#NM rad �
(b) Sendo v a distaˆncia dos faro´is ao olho quando os
faro´is puderem ser pela primeira vez resolvidos, e : a
separac¸a˜o dos faro´is, enta˜o
:
�<v
687�9
Posw<vx
Po ;
onde foi feita a aproximac¸a˜o de aˆngulos pequenos
687�9
Poyw�
Po , va´lida se 
Po for medido em radianos.
Portanto
v=�
:
o
�
��� '
���
�
'
 
�Lfi
#[M
�u�"fiY� ' km �
E 37-19 (41-23/4 � edic¸a˜o)
Estime a separac¸a˜o linear de dois objetos no planeta
Marte quemal podem ser resolvidos em condic¸o˜es ini-
ciais por um observador na Terra. (a) a olho nu e (b)
usando o telesco´pio de ��fi�fi polegadas (= * �k� m) do Mon-
te Palomar. Use os seguintes dados: distaˆncia entre Mar-
te e Terra = I
 
�Lfi�z km; diaˆmetro da pupila = * mm;
comprimento de onda da luz = *�* fi nm.
� (a) Use o crite´rio de Rayleigh, Eq. 37.14: dois ob-
jetos podem ser resolvidos se sua separac¸a˜o angular na
posic¸a˜o do observador for maior que 
 o �{���	�����&�Pr ,
onde � e´ o comprimento de onda da luz e r e´ o diaˆmetro
da abertura (do olho ou espelho). Se v for a distaˆncia do
observador aos objetos, enta˜o a menor separac¸a˜o + que
eles podem ter e ainda ser resolvidos e´ +|�Tv 6>7�9 
`opw
v}
Po , onde 
Po e´ medido em radianos. Portanto,
+~�
��� ����v�
r
�
���	���
U
I
 
�Lfi
,€
V
U
*�*
fi
 
�"fiffi#N%
V
*! 
�"fi
#Nt
� ���d�
 
�Lfi
z m �u���d�
 
�"fi
M km �
Esta distaˆncia e´ maior do que o diaˆmetro de Marte. Por-
tanto, na˜o e´ possı´vel resolver-se totalmente a olho nu
dois objetos diametralmente opostos sobre Marte.
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(b) Agora r�� * �d� m e
+��
���	����v�
r
�
���	���
U
I
 
�"fi
,‚€
V
U
*�*
fi
 
�"fiffi#N% V
*
�d�
� ���d�
 
�"fi
M m ����� km �
Esta e´ a separac¸a˜o mı´nima entre objetos para que pos-
sam ser perfeitamente resolvidos com o telesco´pio.
E 37-20 (41-25/4 � edic¸a˜o)
O sistema de radar de um cruzador emite microondas
com um comprimento de onda de ��� � cm, usando uma
antena circular com �$� � m de diaˆmetro. `A distaˆncia de
�
�	� km, qual e´ a menor separac¸a˜o entre duas lanchas
para que sejam detectadas como objetos distintos pelo
radar?
�
+ min � v}
 o �flv
f
���	�����
r
g
�
U
�
�	�
 
�Lfi
t
V
���	���
U
���
�! 
�Lfi$#
3
V
�ffi�
�
�
*��
m �
P 37-22 (41-29/4 � edic¸a˜o)
Em junho de 1985, a luz de um laser foi emitida da
Estac¸a˜o ´Optica da Forc¸a Ae´rea, em Maui, Havaı´, e re-
fletida pelo oˆnibus espacial Discovery, que estava em
o´rbita a uma altitude de �H* ' km. De acordo com as
notı´cias, o ma´ximo central do feixe luminoso tinha um
diaˆmetro de nffi�d� m na posic¸a˜o do oˆnibus espacial e o
comrpimento de onda da luz usada foi * fi�fi nm. Qual
o diaˆmetro efetivo da abertura do laser na estac¸a˜o de
Maui? (Sugesta˜o: O feixe de um laser so´ se espalha por
causa da difrac¸a˜o; suponha que a saı´da do laser tem uma
abertura circular.)
� A equac¸a˜o que o primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o para
aberturas circulares e´
sen 
A�u���	���
�
r
onde � e´ o comprimento de onda da luz e r e´ o diaˆmetro
da abertura.
A largura + do ma´ximo central e´ definida como a
distaˆncia entre os dois primeiros mı´nimos. Portanto, te-
mos
687�9
A�
+Y���
:
;
onde : e´ a distaˆncia entre o laser e o oˆnibus espacial.
Como 
~BffBƒ� , podemos aproximar 687�9 
!w sen 
�wfl
o que nos fornece
+Y���
: �2���	���
�
r
;
donde tiramos
r � ���	���
�
:
+Y���
� ���	���
U
*
fi�fi
 
�"fi$#&% V
U
��*
'
 
�Lfi�t V
nY�k�P���
�S'Y�KJ cm �
37.5 Difrac¸a˜o por duas fendas
E 37-27 (41-35/4 � edic¸a˜o)
A envolto´ria central de difrac¸a˜o de uma figura de
difrac¸a˜o por duas fendas conte´m ��� franjas claras e
os primeiros mı´nimos de difrac¸a˜o eliminam (coincidem
com) franjas claras. Quantas franjas de interfereˆncia
existem entre o primeiro e o segundo mı´nimos da en-
volto´ria?
� Franjas claras de interfereˆncia ocorrem para aˆngulos
 dados por � sen 
-�„�4� , onde r e´ a separac¸a˜o das
fendas, � e´ o comprimento de onda, e � e´ um inteiro.
Para as fendas deste problema r��2���"�ffi��� , de modo que
� sen 
E�T�P���&�…��� .
O primeiro mı´nimo do padra˜o de difrac¸a˜o ocorre num
aˆngulo 
 , dado por � sen 
 , �†� e o segundo ocorre
para um aˆngulo 
 3 dado por � sen 
 3 �‡��� , onde � e´ a
largura da fenda.
Desejamos contar os valores de � para os quais 
 , B
�Bˆ
3 ou, o que e´ a mesma coisa, os valores de � para
os quais sen 
 , B sen 
�B sen 
 3 . Isto implica termos
�‰B
���
���
BD�
;
que e´ satisfeita para
�Z�
�
;
J
;
I
;
n
;
�"fi
;
fornecendo-nos um total de cinco franjas claras.
P 37-31 (41-40/4 � edic¸a˜o)
(a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros
mı´nimos da envolto´ria de difrac¸a˜o a` direita e a` esquerda
do ma´ximo central em uma figura de difrac¸a˜o de duas
fendas se �Ł� *�* fi nm, r!�flfiffi�d� * mm e �~� � fi)( m? (b)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 7
LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
Qual e´ a raza˜o entre as intensidades da terceira franja
clara e da franja central?
� (a) A posic¸a˜o angular 
 das franjas claras de inter-
fereˆncia e´ dada por r sen 
��D��� , onde r e´ a separac¸a˜o
das fendas, � e´ o comprimento de onda, e � e´ um intei-
ro.
O primeiro mı´nimo de difrac¸a˜o ocorre para um aˆngulo
�, dado por � sen 
�,0��� , onde � e´ a largura da fen-
da. O pico de difrac¸a˜o extende-se de ? 
�, ate´ /‹
�, , de
modo que precisamos determinar o nu´mero de valores
de � para os quais ? 
�,SBŒ
qB/‹
�, ou, o que e´ a
mesma coisa, o nu´mero de valores de � para os quais
? sen 
 , B sen 
~BD/ sen 
 , .
Esta u´ltima relac¸a˜o significa termos ? �P�P�<B„�Ž�PrflB
�`��� , ou seja,
?
r
�
Bˆ��B
r
�
;
onde
r
�
�
fiffi�d�
*! 
�"fi$#&t
�
fi
 
�"fi
#NX
�
*
�
Portanto, os valores possı´veis de � sa˜o
�Z�
?
'
;�?
�
;�?
�
;"?
�
;
fi
;
/��
;
/‰�
;
/
�
;
/‹'
;
perfazendo um total de nove franjas.
(b) A intensidade na tela e´ dada por
l
�
l
m�‘W’�“
3h”–•0f
sen e
e
g
3
;
onde
e��
j
�
�
sen 
 ;
”
�
j
r
�
sen 
 ;
e
l
m
e´ a intensidade no centro do padra˜o.
Para a terceira franja clara de interfereˆncia temos
r sen 
0�
�
� , de modo que ” � �
j
rad e
‘W’H“
3
”
�� .
Analogamente, e—� �
j
�ffi�PrS�
�
j
�
*
�†fiffi�
�
j
rad, de
modo que
l
lWm
�
f
sen e
e
g
3
�
f
sen fiffi�
�
j
fiffi�
�
j
g
3
�<fiffi�	�
*�*
�
P 37-32 (41-41/4 � edic¸a˜o)
Uma luz de comprimento de onda de '�'Hfi nm passa por
duas fendas, produzindo uma figura de difrac¸a˜o cujo
gra´fico de intensidade l em func¸a˜o da posic¸a˜o angular 
aparece na Fig. 37.36. Calcule (a) a largura das fendas e
(b) a distaˆncia entre as fendas. (c) Calcule as intensida-
des das franjas de interfereˆncia com �Œ�—� e �˜�™� e
compare os resultados com os que aparecem na figura.
� (a) Da figura vemos que o primeiro mı´nimo do pa-
draa˜o de difrac¸a˜o ocorre para * 
 , de modo que
�!�
�
sen 
�
fiY� '�'�fi@( m
sen
*
�
*
� fi
*
( m �
(b) Da figura vemos tambe´m que a quarta franja clara
esta´ ausente e, portanto,
r��S'H���<'
U
*
� fi
*
( m V �T��fiffi�	�R( m �
(c) Para a franja clara com �š��� temos 
D����	� * 
(veja a figura), e a Eq. 37.18 nos diz que
e �
j
�
�
sen 
A�
j
U
*
� fi
*
V
fiffi� '�'
sen ���	�
*
�flfiffi�KJPIHJ rad ;
”
�
j
r
�
sen 
��
j
U
��fiffi�	�
V
fiffi� '�'
sen ��� �
*
�
�
�k�"'
���
rad �
NOTE: para ma´ximos sempre teremos
U
‘�’�“
”
V
3
�u� pois
enta˜o r sen 
T�Q��� , de modo que ” �Œ�
j
, isto e´,
‘�’�“
”
�
U
?
�
V
m
e, portanto,
U
‘�’�“
”
V
3
�‡� qualquer que
seja o valor de � . Na verdade, poderı´amos usar o fa-
to que
U
‘W’H“”
V
3
�˜� para determinar com precisa˜o no
gra´fico o valor de 
 onde ocorrem os ma´ximos de inten-
sidade. Perceba que acima obtivemos ” � � �k�"' ��� em
vez de ” �
j
�
�
�d��'Y�
* por havermos usado 
!�q���	� * 
em vez do valor exato da posic¸a˜o do ma´ximo no gra´fico.
Da figura vemos que a intensidade l
m
do ma´ximo cen-
tral vale
l
m
�TJ mW/cm 3 , de modo que a intensidade l
da franja com �Z��� e´ dada por
l
�
l
m
U
‘�’�“
3h”
V
f
sen e
e
g
3
�
U
J
V
U
�
V
f
sen fiffi�KJPI…J
fiY�	J�IHJ
g
3
�
*
�KJ mW/cm 3 ;
que concorda com o que a Fig. 37.36 mostra.
Analogamente, para � � � a figura nos diz que
q�›�$�
*
 , de modo que e˜�œ��� * J � , [ ” � � �	��nY��� ,
‘�’�“
”
�� ] e l �Œ�ffi� I � mW/cm 3 , tambe´m de acordo
com a Fig. 37.36.
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 7
LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
37.6 Redes de difrac¸a˜o
E 37-33 (41-43/4 � edic¸a˜o)
Uma rede de difrac¸a˜o com ��fi mm de largura possui
�
fi�fi�fi ranhuras. (a) Calcule a distaˆncia r entre ranhu-
ras vizinhas. (b) Para que aˆngulos 
 ocorrera˜o ma´ximos
de intensidade em uma tela de observac¸a˜o se a radiac¸a˜o
incidente na rede de difrac¸a˜o tiver um comprimento de
onda de * I�n nm?
� (a)
r��
��fi
�
fi�fi�fi
�Sfiffi� fi�fi
�����
mm �
�
�
���
( m �
(b) Para determinar as posic¸o˜es dos ma´ximos de in-
tensidade usamos a fo´rmula r sen 
F���4� , determi-
nando todos os valores de � que produzem valores de

�

�N��r|BT� . Explicitamente, encontramos
para �Z�flfi!ž 
��<fi 
para �Z�u�‰ž 
�� sen # ,~Ÿ
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r
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Para �œ�
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obtemos
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�&�PrT ˜� , indicando que os
ma´ximos acima sa˜o todos os possı´veis.
E 37-37 (41-49/4 � edic¸a˜o)
Uma luz de comprimento de onda de � fi�fi nm incide
normalmente (perpendicularmente!!) em uma rede de
difrac¸a˜o. Dois ma´ximos de difrac¸a˜o sa˜o observados em
aˆngulos dados por sen 
S�†fiffi�	� e sen 
D�†fiffi� � . Os
ma´ximos de quarta ordem esta˜o ausentes. (a) Qual e´ a
distaˆncia entre ranhuras vizinhas? (b) Qual e´ a menor
largura possı´vel desta rede de difrac¸a˜o? (c) Que ordens
de ma´ximos de intensidade sa˜o produzidas pela rede,
supondo que os paraˆmetros da rede sejam os calculados
nos itens (a) e (b)?
� (a) Os ma´ximos de um padra˜o de interfereˆncia de
duas fendas ocorrem para aˆngulos 
 dados por r sen 
A�
��� , onde r e´ a separac¸a˜o das fendas, � o comprimento
de onda, e � em inteiro. As duas linhas sa˜o adjacen-
tes, de modo que suas ordens diferem de uma unidade.
Seja � a ordem da linha com sen 
��Zfiffi�	� e �Z/2� a
ordem da linha com sen 
4��fiffi� � . Enta˜o fiY� ��r4�™��� e
fiY�
�
r0�
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�¡/ƒ� V � . Subtraindo ambas equac¸o˜es encon-
tramos fiffi�d�"r��fl� , ou
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�
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fi�fi
 
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fiffi�d�
�
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( m �
(b) Mı´nimos de um padra˜o de difrac¸a˜o por fenda u´nica
ocorrem para aˆngulos dados por � sen 
~�T�4� , onde �
e´ a largura da fenda. Como o ma´ximo de interfereˆncia
de quarta ordem encontra-se ausente, ele deve cair num
destes aˆngulos.Se � e´ a menor largura da fenda para a
qual esta ordem esta ausente, o aˆngulo deve ser dado
por � sen 
A�fl� , sendo tambe´m dada por r sen 
��S'H� ,
de modo que
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r
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�� 
�"fi$#&X
'
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*
( m �
(c) Primeiro, coloque 
p�Zn�fiH
 para encontrar o maior
valor de � para o qual ���4Bˆr sen 
 . Esta e´ a maior or-
dem difratada na tela. A condic¸a˜o equivale a �ŒBTr$���
e como r…���-�
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�0 
�"fi$#&X
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fi�fi
 
�"fiffi#N%
V
�¢�Lfi , a or-
dem mais alta que se pode ver e´ �œ�yn . A quarta e
a oitava ordem esta˜o ausentes, de modo que as ordens
observa´veis sa˜o os ordens
�¢�<fi
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�
;
�
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J
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nffi�
37.7 Redes de difrac¸a˜o: dispersa˜o e reso-
luc¸a˜o
E 37-47 (41-62/4 � edic¸a˜o)
Uma fonte contendo uma mistura de a´tomos de hi-
drogeˆnio e deute´rio emite luz vermelha com dois com-
primentos de onda cuja me´dia e´ �H*�� � � nm e cuja
separac¸a˜o e´ fiffi�d�"I nm. Determine o nu´mero mı´nimo de
ranhuras necessa´rias para que uma rede de difrac¸a˜o pos-
sa resolver estas linhas em primeira ordem.
� Se a grade apenas consegue resolver dois comprimen-
tos de onda cuja me´dia e´ � e cuja separac¸a˜o e´ 1�� , enta˜o
seu poder de resoluc¸a˜o e´ definido (veja Eq. 37.28) como
sendo £2�fl�&��1�� . Sabemos (Eq. 37.29) que £ƒ�fl¤�� ,
onde ¤ e´ a quantidade de ranhuras e � e´ a ordem das
linhas. Portanto �N��1��C�<¤Ž� , donde tiramos
¤„�
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V
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fi ranhuras �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 7
LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 6 de Janeiro de 2004, a`s 13:27
E 37-48 (41-61/4 � edic¸a˜o)
Uma rede de difrac¸a˜o tem � fi�fi ranhuras/mm e * mm de
largura. (a) Qual e´ o menor intervalo de comprimentos
de onda que a rede e´ capaz de resolver em terceira or-
dem para �<� * fi�fi nm? (b) Quantas ordens acima da
terceira podem ser observadas?
� (a) Usando o fato que �&��1��C�fl¤�� , obtemos
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(b) A posic¸a˜o dos ma´ximos numa rede de difrac¸a˜o e´ de-
finida pela fo´rmula
r sen 
��S�4� ;
de onde obtemos que
sen 
��
���
r
�
Na˜o observarmos difrac¸a˜o de ordem � equivale a dizer
que para tal � obtemos 
��Sn�fi�
 , ou seja, que temos
sen n�fi
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���‹w
� max �
r
�
Isolando-se � max, e substituindo os dados do problema
em questa˜o encontramos que
� max �
r
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fi�fi
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fi�fi
 
�"fi
#N%
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Tal resultado nos diz que a maior ordem observa´vel com
tal grade e´ a terceira, pois esta e´ a u´ltima ordem que pro-
duz um valor fisicamente significativo de 
 .
Portanto, na˜o se pode observar nenhuma ordem supe-
rior a` terceira com tal grade.
37.8 Difrac¸a˜o de raios-X
E 37-53 (41-70/4 � edic¸a˜o)
Raios X de comprimento de onda de fiffi�d�L� nm sofrem
reflexa˜o de segunda ordem em um cristal de fluoreto de
lı´tio para um aˆngulo de Bragg de ��I�
 . Qual e´ a distaˆncia
interplanar dos planos cristalinos responsa´veis pela re-
flexa˜o?
� A lei de Bragg fornece a condic¸a˜o de ma´ximo,
Eq. 37.31, como sendo
��r sen 
��D��� ;
onde r e´ o espac¸amento dos planos do cristal e � e´ o
comprimento de onda. O aˆngulo e´ medido a partir da
normal aos planos. Para reflexa˜o de segunda ordem usa-
mos �Z�fl� , encontrando
r��
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� sen 
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� sen ��I
�Sfiffi�	�
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nm �
P 37-60 (41-80/4 � edic¸a˜o)
Na Fig. 37.40, um feixe de raios X de comprimento de
onda fiffi�d�L� * nm incide em um cristal de NaCl a ' * 
 com
a face superior do cristal e com uma famı´lia de planos
refletores. O espac¸amento entre os planos refletores e´ de
r0�2fiffi�	�
*
� nm. De que aˆngulo o cristal deve ser girado
em torno de um eixo perpendicularmente ao eixo do pa-
pel para que estes planos refletores produzam ma´ximos
de intensidade em suas reflexo˜es?
� Os aˆngulos de incideˆncia que correspondem a` in-
tesidade ma´xima do feixe de luz refletida satisfazem��r sen 
E�<��� , ou
sen 
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Como e´ preciso ter
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Bu� , vemos que os valores
permitidos de � sa˜o
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aos quais correspondem os aˆngulos
A�2�"'Y� '
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Portanto o cristal deve ser girado no
sentido anti-hora´rio de ž '�IY�k� 
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sentido hora´rio de ž ' * 
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http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 7