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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – Lista 2 PROF. RENATO TÁBOAS 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1 / 2 
1) A família de funções é solução da equação diferencial. Encontre a solução do problema e 
valor inicial. 
 
a) 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥; 𝑦′ ′ − 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 1 
 
b) 𝑦 = 𝑐1𝑒
4𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 ; 𝑦′ ′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = 2 
 
c) 𝑦 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥𝑙𝑛(𝑥); 𝑥
2𝑦′ ′ − 𝑥𝑦′ + 𝑥𝑦 = 0, 𝑦 1 = 3, 𝑦′ 1 = −1 
 
d) 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 cos 𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛(𝑥); 𝑦
′ ′ ′ + 𝑦′ = 0, 𝑦 𝜋 = 0, 𝑦′ 𝜋 = 2, 𝑦′ ′ 𝜋 = −1 
 
2) Verifique que a família de funções é solução da equação diferencial. 
 
a) 𝑦′ ′ − 7𝑦′ + 10𝑦 = 24𝑒𝑥 
𝑦 = 𝑐1𝑒
2𝑥 + 𝑐2𝑒
5𝑥 + 6𝑒𝑥 
 
b) 𝑦′ ′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑒𝑥 + 4𝑥 − 12 
𝑦 = 𝑐1𝑒
2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
2𝑥 + 𝑥2𝑒2𝑥 + 𝑥 − 2 
 
c) 2𝑥2𝑦′ ′ + 5𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 
𝑦 = 𝑐1𝑥
−
1
2 + 𝑐2𝑥
−1 +
1
15
𝑥2 −
1
6
𝑥 
 
3) Determine a solução da equação diferencial dada. 
 
a) 𝑦′ ′ − 7𝑦′ + 10𝑦 = 24𝑒𝑥 
 
b) 𝑦′ ′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑒𝑥 + 4𝑥 − 12 
 
c) 2𝑥2𝑦′ ′ + 5𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 
 
4) Verifique que 𝑦𝑝1 = 3𝑒
2𝑥 , 𝑦𝑝2 = 𝑥
2 + 3𝑥 são, respectivamente, soluções particulares de 
𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = −9𝑒2𝑥 e 𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 − 16 
 
5) Use os resultados da questão anterior para encontrar soluções particulares das equações 
𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 − 16 − 9𝑒2𝑥 
e 𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = −10𝑥2 − 6𝑥 + 32 + 𝑒2𝑥 
 
6) Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução 𝑦2 𝑥 das seguintes equações: 
 
a) 𝑦′ ′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑒
2𝑥 
b) 𝑦′ ′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑥𝑒
𝑥 
c) 𝑦′ ′ + 16𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = cos⁡(4𝑥) 
d) 𝑦′ ′ + 9𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = sen⁡(3𝑥) 
 
e) 𝑦′ ′ + 25𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑥𝑒
5𝑥 
f) 6𝑦′ ′ + 𝑦′ − 𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑒
𝑥
3 
g) 𝑥2𝑦′ ′ + 2𝑥𝑦′ − 6𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑥
2 
h) (1 − 𝑥2)𝑦′ ′ + 2𝑥𝑦′ = 0; 𝑦1 𝑥 = 1
 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – LISTA FINAL PROF. RENATO TÁBOAS 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2 / 2 
7) Resolva as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes 
constantes: 
 
a) 4𝑦′ ′ + 𝑦 = 0 
b) 𝑦′ ′ − 36𝑦 = 0 
c) 𝑦′ ′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0 
d) 𝑦′ ′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 
e) 2𝑦′ ′ − 5𝑦′ − 3𝑦 = 0 
f) 𝑦′ ′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 
g) 𝑦′ ′ + 4𝑦′ + 7𝑦 = 0 
h) 4𝑦′ ′ + 4𝑦′ + 17𝑦 = 0 
i) 𝑦′ ′ ′ + 3𝑦′ − 4𝑦 = 0 
j) 
𝜕4𝑦
𝜕𝑥4
+ 2
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
+ 𝑦 = 0 
 
8) Resolva o PVI: 4𝑦′ ′ + 4𝑦′ + 17𝑦 = 0 
 𝑦 0 = −1 
𝑦′ 0 = 2 
 
9) Resolva o PVI: 𝑦′ ′ − 16𝑦 = 0 
𝑦 0 = 2 
 𝑦′ 0 = −2 
 
10) Resolva o PVC: 𝑦′ ′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 
 𝑦 0 = 1 
 𝑦 1 = 0 
 
11) Resolva o PVC: 𝑦′ ′ + 4𝑦 = 0 
 𝑦 0 = 0 
 𝑦 𝜋 = 0 
 
12) Determine a solução geral das equações a seguir, usando coeficientes a determinar. 
 
a) 𝑦′ ′ + 4𝑦′ − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 
b) 𝑦′ ′ − 𝑦′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
c) 𝑦′ ′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒2𝑥 
d) 𝑦′ ′ − 5𝑦′ − 4𝑦 = 8𝑒𝑥 
e) 𝑦′ ′ − 8𝑦′ + 25𝑦 = 5𝑥3𝑒−𝑥 − 7𝑒−𝑥 
f) 𝑦′ ′ + 4𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
g) 𝑦′ ′ − 9𝑦′ + 14𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 7𝑥𝑒6𝑥 
 
 
13) Resolva o PVI: 𝑦′ ′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑦 𝜋 = 0 
 𝑦′ 𝜋 = 2

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