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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – Lista 2 PROF. RENATO TÁBOAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 / 2 1) A família de funções é solução da equação diferencial. Encontre a solução do problema e valor inicial. a) 𝑦 = 𝑐1𝑒 𝑥 + 𝑐2𝑒 −𝑥; 𝑦′ ′ − 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 1 b) 𝑦 = 𝑐1𝑒 4𝑥 + 𝑐2𝑒 −𝑥 ; 𝑦′ ′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = 2 c) 𝑦 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥𝑙𝑛(𝑥); 𝑥 2𝑦′ ′ − 𝑥𝑦′ + 𝑥𝑦 = 0, 𝑦 1 = 3, 𝑦′ 1 = −1 d) 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 cos 𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛(𝑥); 𝑦 ′ ′ ′ + 𝑦′ = 0, 𝑦 𝜋 = 0, 𝑦′ 𝜋 = 2, 𝑦′ ′ 𝜋 = −1 2) Verifique que a família de funções é solução da equação diferencial. a) 𝑦′ ′ − 7𝑦′ + 10𝑦 = 24𝑒𝑥 𝑦 = 𝑐1𝑒 2𝑥 + 𝑐2𝑒 5𝑥 + 6𝑒𝑥 b) 𝑦′ ′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑒𝑥 + 4𝑥 − 12 𝑦 = 𝑐1𝑒 2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑥2𝑒2𝑥 + 𝑥 − 2 c) 2𝑥2𝑦′ ′ + 5𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 𝑦 = 𝑐1𝑥 − 1 2 + 𝑐2𝑥 −1 + 1 15 𝑥2 − 1 6 𝑥 3) Determine a solução da equação diferencial dada. a) 𝑦′ ′ − 7𝑦′ + 10𝑦 = 24𝑒𝑥 b) 𝑦′ ′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑒𝑥 + 4𝑥 − 12 c) 2𝑥2𝑦′ ′ + 5𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 4) Verifique que 𝑦𝑝1 = 3𝑒 2𝑥 , 𝑦𝑝2 = 𝑥 2 + 3𝑥 são, respectivamente, soluções particulares de 𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = −9𝑒2𝑥 e 𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 − 16 5) Use os resultados da questão anterior para encontrar soluções particulares das equações 𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 − 16 − 9𝑒2𝑥 e 𝑦′ ′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = −10𝑥2 − 6𝑥 + 32 + 𝑒2𝑥 6) Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução 𝑦2 𝑥 das seguintes equações: a) 𝑦′ ′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑒 2𝑥 b) 𝑦′ ′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 c) 𝑦′ ′ + 16𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = cos(4𝑥) d) 𝑦′ ′ + 9𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = sen(3𝑥) e) 𝑦′ ′ + 25𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑥𝑒 5𝑥 f) 6𝑦′ ′ + 𝑦′ − 𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑒 𝑥 3 g) 𝑥2𝑦′ ′ + 2𝑥𝑦′ − 6𝑦 = 0; 𝑦1 𝑥 = 𝑥 2 h) (1 − 𝑥2)𝑦′ ′ + 2𝑥𝑦′ = 0; 𝑦1 𝑥 = 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – LISTA FINAL PROF. RENATO TÁBOAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 / 2 7) Resolva as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes: a) 4𝑦′ ′ + 𝑦 = 0 b) 𝑦′ ′ − 36𝑦 = 0 c) 𝑦′ ′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0 d) 𝑦′ ′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 e) 2𝑦′ ′ − 5𝑦′ − 3𝑦 = 0 f) 𝑦′ ′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 g) 𝑦′ ′ + 4𝑦′ + 7𝑦 = 0 h) 4𝑦′ ′ + 4𝑦′ + 17𝑦 = 0 i) 𝑦′ ′ ′ + 3𝑦′ − 4𝑦 = 0 j) 𝜕4𝑦 𝜕𝑥4 + 2 𝜕2𝑦 𝜕𝑥2 + 𝑦 = 0 8) Resolva o PVI: 4𝑦′ ′ + 4𝑦′ + 17𝑦 = 0 𝑦 0 = −1 𝑦′ 0 = 2 9) Resolva o PVI: 𝑦′ ′ − 16𝑦 = 0 𝑦 0 = 2 𝑦′ 0 = −2 10) Resolva o PVC: 𝑦′ ′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 𝑦 0 = 1 𝑦 1 = 0 11) Resolva o PVC: 𝑦′ ′ + 4𝑦 = 0 𝑦 0 = 0 𝑦 𝜋 = 0 12) Determine a solução geral das equações a seguir, usando coeficientes a determinar. a) 𝑦′ ′ + 4𝑦′ − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 b) 𝑦′ ′ − 𝑦′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) c) 𝑦′ ′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒2𝑥 d) 𝑦′ ′ − 5𝑦′ − 4𝑦 = 8𝑒𝑥 e) 𝑦′ ′ − 8𝑦′ + 25𝑦 = 5𝑥3𝑒−𝑥 − 7𝑒−𝑥 f) 𝑦′ ′ + 4𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) g) 𝑦′ ′ − 9𝑦′ + 14𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 7𝑥𝑒6𝑥 13) Resolva o PVI: 𝑦′ ′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 𝜋 = 0 𝑦′ 𝜋 = 2
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