1a Lista Complementar de Exercícios - Linear 2

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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
1
a
 Lista de Exercícios de Álgebra Linear II 
 
Espaços Vetoriais Reais e Subespaços Vetoriais 
1. (Steinbruch) Verifique quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais com as 
operações de adição e multiplicação por escalar neles definidas: 
a) ℝ3, (𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) = (𝑥 + 𝑥′, 𝑦 + 𝑦′, 𝑧 + 𝑧′) 
 𝑘⨀(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0,0)
 
b){(𝑥, 2𝑥, 3𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} com as operações usuais 
c) ℝ2, (𝑎, 𝑏) ⊕ (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏) e 𝛼(𝑎, 𝑏) = (𝛼𝑎, 𝛼𝑏) 
d) 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑦 = 5𝑥} com as operação 
e) 𝐴 = {[
0 𝑎
𝑏 0
] ∈ 𝑀(2, 2); 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} com as operações usuais 
2. Seja 𝑉 = {𝑓: ℝ → ℝ} o conjunto das funções reais definidas em toda a reta. Para 
quaisquer funções 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑉 e qualquer 𝑘 ∈ ℝ, sejam 𝑓 + 𝑔 e 𝑘𝑓 funções em 𝑉 
definidas da seguinte forma: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) e (𝑘𝑓)(𝑥) = 𝑘𝑓(𝑥). 
Prove que 𝑉 é um espaço vetorial real. 
3. (Steinbruch) Verifique quais dos subconjuntos de ℝ2, apresentados abaixo, são 
subespaços vetoriais de ℝ2 relativamente às operações de adição e multiplicação 
por escalar usuais: 
a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑦 = −𝑥} 
b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑦 = 𝑥 + 1} 
c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 ≥ 0} 
4. (Steinbruch) Verifique quais dos subconjuntos de ℝ3, apresentados abaixo, são 
subespaços vetoriais de ℝ3 relativamente às operações de adição e multiplicação 
por escalar usuais: 
a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 4𝑦 e z = 0} 
b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 𝑧2} 
c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑦 = 𝑥 + 2 e z = 0} 
d) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥𝑦 = 0} 
e) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 0 e y = |𝑧|} 
f) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} 
5. (Boldrini) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços: 
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4; 𝑥 + 𝑦 = 0 e z − t = 0} 
b) 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4; 2𝑥 + 𝑦 − 𝑡 = 0 e z = 0} 
6. (Steinbruch) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀(2, 2): 
a) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
0 𝑐
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}(matrizes triangulares superiores) 
b) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}(matrizes simétricas) 
c) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0} (conjunto de matrizes inversíveis) 
7. (Boldrini) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀(2, 2). Em 
caso afirmativo exiba geradores: 
a) 𝑉 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ e 𝑏 = 𝑐}. Resp. Sim 
b) 𝑊 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ e 𝑏 = 𝑐 + 1} Resp. Não 
8. (Boldrini) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, 
mostre que eles são 𝐿𝐷. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, mostre que eles são 𝐿𝐼. 
9. (Steinbruch) Consideremos no espaço 𝑃2 = {𝑎𝑡
2 + 𝑏𝑡 + 𝑐; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} os 
vetores 𝑝1 = 𝑡
2 − 2𝑡 + 1, 𝑝2 = 𝑡 + 2 e 𝑝3 = 2𝑡
2 − 𝑡. 
a) Escrever o vetor 𝑝 = 5𝑡2 − 5𝑡 + 7 como combinação linear de 𝑝1, 𝑝2 e 𝑝3; 
b) Escrever o vetor 𝑝 = 5𝑡2 − 5𝑡 + 7 como combinação linear de 𝑝1 e 𝑝2; 
c) Determinar uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que o vetor 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 
seja combinação linear de 𝑝2 e 𝑝3; 
d) É possível escrever 𝑝1 como combinação linear de 𝑝2 e 𝑝3? 
10. (Steinbruch) Seja o espaço vetorial 𝑀(2, 2) e os vetores 
𝑣1 = [
1 0
1 1
] , 𝑣2 = [
−1 2
0 1
] e 𝑣3 = [
0 −1
2 1
]. 
Escreva o vetor 𝑣 = [
1 8
0 5
] como combinação linear dos vetores 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3. 
11. (Steinbruch) Seja 𝑆 o subespaço do ℝ4 definido por: 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4; 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 e 𝑡 = 0}. 
Pergunta-se: 
a) (−1, 2, 3, 0) ∈ 𝑆? 
b) (3, 1, 4, 0) ∈ 𝑆? 
c) (−1, 1, 1, 1) ∈ 𝑆? 
12. (Steinbruch) Seja 𝑆 o subespaço de 𝑀(2, 2): 
𝑆 = {[
𝑎 − 𝑏 2𝑎
𝑎 + 𝑏 −𝑏
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}. 
Pergunta-se: 
a) [
5 6
1 2
] 
b) Qual deve ser o valor de 𝑘 ∈ ℝ para que o vetor 
[
−4 𝑘
2 −3
] 
 pertença a 𝑆? 
13. (Steinbruch) Determine os subespaços do ℝ3 gerados pelos seguintes conjuntos: 
a) 𝐴 = {(2, −1, 3)} 
b) 𝐴 = {(−1, 3, 2), (2, −2, 1)} 
c) 𝐴 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)} 
d) 𝐴 = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2, −1, 1)} 
e) 𝐴 = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0)} 
14. (Steinbruch) Sejam os vetores 𝑣1 = (1, 1, 1), 𝑣2 = (1, 2, 0) e 𝑣3 = (1, 3, −1). Se 
(3, −1, 𝑘) ∈ [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3], qual o valor de 𝑘? 
15. (Boldrini) Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, 1, 0), 𝑣2 =
(0, −1, 1) e 𝑣3 = (1, 1, 1), [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3] = ℝ
3? Por quê? 
16. (Steinbruch) Determinar o subespaço de 𝑃3 (espaço dos polinômios de grau ≤ 3) 
gerado pelos vetores 𝑝1 = 𝑥
3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3 e 𝑝2 = −2𝑥
3 − 𝑥2 + 3𝑥 + 2. 
17. (Steinbruch) Classificar os seguintes subconjuntos de ℝ2, ℝ3 e ℝ4 em LI ou LD: 
a) {(1, 3)} 
b) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)} 
c) {(1, −1, 1), (−1, 1, 1)} 
d) {(1, 2, −1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3, −1, 2)} 
e) {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1), (−1, 2, 0, −1)} 
f) {(1, 1, 2, 4), (1, −1, −4, 2), (0, −1, −3, 1), (2, 1, 1, 5)} 
18. (Steinbruch) Mostre que se 𝑢, 𝑣, 𝑤 são LI, então 𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑤 e 𝑣 + 𝑤 são 
também LI. 
19. (Boldrini) Mostre que 
{[
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
]} 
é base de 𝑀(2, 2). 
20. (Steinbruch) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 
ℝ2: 
a) {(1, 2), (−1, 3)} 
b) {(3, −6), (−4, 8)} 
21. (Steinbruch) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 
ℝ3: 
a) {(1, 0, 1), (0, −1, 2), (−2, 1, −4)} 
b) {(1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0)} 
22. (Steinbruch) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base de 
𝑃2: 
a) 2𝑡2 + 𝑡 − 4, 𝑡2 − 3𝑡 + 1 
b) 1 + 𝑥 + 𝑥2, 𝑥 + 𝑥2, 𝑥2 
23. (Steinbruch) Mostre que os vetores 𝑣1 = (1, 1, 1), 𝑣2 = (1, 2, 3), 𝑣3 = (3, 0, 2) e 
𝑣4 = (2, −1, 1) geram o ℝ
3 e encontre uma base dentre os vetores 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 
𝑣4. 
24. (Steinbruch) Determinar o vetor coordenada de 𝑣 = (6, 2) em relação às 
seguintes bases: 
a) 𝛼 = {(3, 0), (0, 2)} 
b) 𝛽 = {(0, 1), (1, 0)} 
25. (Boldrini) Quais são as coordenadas de 𝑥 = (1, 0, 0) em relação à base 𝛽 =
{(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}? 
26. (Boldrini) Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 
𝑣1 = (1, −1, 0, 0), 𝑣2 = (0, 0, 1, 1), 𝑣3 = (−2, 2, 1, 1) e 𝑣4 = (1, 0, 0, 0). 
a) O vetor (2, −3, 2, 2) ∈ [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]? Justifique. 
b) Exiba uma base para [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]. Qual é a dimensão? 
c) [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4] = ℝ
4? Por quê? 
27. (Steinbruch) Determine uma base do subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 
𝑣1 = (1, −1, 0, 0), 𝑣2 = (−2, 2, 2, 1), 𝑣3 = (−1, 1, 2, 1) e 𝑣4 = (0, 0, 4, 2). 
28. (Steinbruch) Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes 
espaços vetoriais: 
a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑦 = 3𝑥} 
b) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑦 = 5𝑥 e z = 0} 
c) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0} 
29. (Boldrini) Seja 𝑉 o espaço das matrizes 2 × 2 sobre ℝ, e seja 𝑊 o subespaço 
gerado por 
[
1 −5
−4 2
] , [
1 1
−1 5
] , [
2 −4
−5 7
] , [
1 −7
−5 1
] 
Encontre uma base e a dimensão de 𝑊. 
30. (Boldrini) Considere o sistema linear 
(𝐼) {
2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 𝑎
𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 𝑏
6𝑦 − 14𝑧 = 𝑐
 
Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: (𝑥, 𝑦, 𝑧) é solução de (𝐼)},ou seja, 𝑊 é o conjunto-
solução do sistema. 
a) Que condições devemos impor a 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que 𝑊 seja subespaço vetorial 
de ℝ3? 
b) Nas condições determinadas em a) encontre uma base para 𝑊; 
c) Que relação existe entre a dimensão de 𝑊 e o grau de liberdade do sistema? 
Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos? 
31. (Steinbruch) Encontre uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas: 
a) {
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 𝑡 = 0
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡 = 0
 
b) {
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦+ 3𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 0
 
c) {
2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
3𝑥 + 2𝑦 ∓ 𝑧 = 0
 
d) {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = 0
2𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 2𝑡 = 0
 
32. (Boldrini) Seja 𝑈 o subespaço de ℝ3, gerado por (1, 0, 0) e 𝑊 o subespaço de 
ℝ3, gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que ℝ3 = 𝑈⨁𝑊. 
33. (Boldrini) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ
4; 𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 
 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ
4; 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0} subespaços de ℝ4. 
a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2; 
b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2; 
c) Determine 𝑊1 + 𝑊2; 
d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique. 
e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ
4? 
34. (Boldrini) 
a) Dado o subespaço 𝑉1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ
3|𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0} ache um 
subespaço 𝑉2 tal que ℝ
3 = 𝑉1⨁𝑉2; 
b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de ℝ3 tais que 𝑉1 + 𝑉2 =
ℝ3. A soma é direta? 
35. (Boldrini) Ilustre com um exemplo a proposição: “Se 𝑈 e 𝑊 são subespaços de 
um espaço vetorial 𝑉 que tem dimensão finita, então: 
dim(𝑈 + 𝑊) = dim 𝑈 + dim 𝑊 − dim(𝑈 ∩ 𝑊)”