Capítulo II - Estado de Tensões

Prévia do material em texto

Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
21 
2 ESTADO DE TENSÕES E CRITÉRIOS DE RUPTURA 
As tensões num plano horizontal, em uma posição qualquer no interior de um subsolo, com 
superfície horizontal, são verticais e normais ao plano, pois não há qualquer razão para que elas 
tenham uma inclinação para qualquer lado. 
Assim como se definem as tensões num plano horizontal, elas poderiam ser consideradas em 
qualquer outro plano no interior do solo. 
As tensões principais, numa massa de solo, são mostradas na Figura 2.1. A tensão normal ao plano 
vertical depende da constituição do solo e do histórico de tensões a que ele esteve submetido 
anteriormente. Normalmente ele é referido à tensão vertical, sendo a relação entre a tensão 
horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva denominado de coeficiente de empuxo em repouso e 
indicado pelo símbolo k0. 
Um professor húngaro propôs a seguinte fórmula empírica para a previsão de k0. Esta fórmula é 
conhecida como “fórmula de Jaki”. 
'
0 1 ϕsenk −= 
Onde: ϕ’ é o ângulo de atrito interno efetivo do solo. 
Para argilas sobre adensadas costuma-se utilizar uma adaptação da fórmula de Jaki que á a seguinte: 
 
( )( )'.1 '0 ϕϕ senRSAsenk −= 
 
Onde: RSA é a razão de sobre-adensamento. 
Sendo ϕ’ geralmente próximo de 30º, é muito comum que o valor de k0 seja estimado pela equação: 
 
N.T.
N.A.
σ'v = Σ γ . z - u
σ'h σ'h = K0 . σ'v
σ'v
 
Figura 2.1. Tensões verticais e horizontais num elemento do solo com superfície horizontal 
 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
22 
2.1 TENSÕES EM UM PONTO NO INTERIOR DE UMA MASSA DE SOLO 
Um ponto qualquer no interior de uma massa de solo é solicitado por esforços devidos ao peso 
próprio das camadas sobrejacentes e às forças externas. Os esforços se transmitem, de modo que, 
em qualquer parte, haverá solicitação do material, a qual este opõe esforços resistentes chamados de 
tensões, cuja intensidade é medida pela força por unidade de área. 
Num plano genérico no interior do subsolo, a tensão atuante não necessariamente normal ao plano. 
Para efeito de análises, ela pode ser decomposta numa componente normal e outra paralela ao 
plano, conforme ilustrado na Figura 2.2. A componente normal é chamada de tensão normal (σσσσ), e 
a componente tangencial chamada de tensão cisalhante (ττττ), embora elas não sejam tensões que 
possam existir individualmente. 
 
D C Normal
F F
Tangente
E E
A B B
θ
σx
σy
σn
τn
σxσx
σy
σy
θ
τxy
τxy
τxy
τxy
 
Figura 2.2. Decomposição da tensão num plano genérico. 
 
Em Mecânica dos Solos, as tensões normais são consideradas positivas quando são de compressão, 
e as tensões de cisalhamento são positivas quando atuantes no sentido anti-horário, considerando-se, 
também, os ângulos como positivos quando no sentido anti-horário. 
Num ponto do solo, as tensões normais e de cisalhamento variam conforme o plano considerado. 
Existem sempre três planos em que não ocorrem tensões de cisalhamento. Estes planos são 
ortogonais entre si e recebem o nome de planos principais. As tensões normais a estes planos 
recebem o nome de tensões principais. A maior das três é chamada de tensão principal maior (σσσσ1), 
a menor é denominada tensão principal menor (σσσσ3), e a outra é chamada de tensão principal 
intermediária (σσσσ2). 
Em casos especiais, σ2 = σ3. Esta situação ocorre, por exemplo, no caso das tensões num solo 
normalmente adensado, quando a superfície é horizontal: a tensão vertical é a tensão principal 
maior e as tensões horizontais são todas iguais. Também pode ocorrer que todas as tensões 
principais sejam iguais; é o caso do estado hidrostático de tensões, comum em ensaios de 
laboratório quando corpos de prova são submetidos a confinamento. 
Nos problemas de Engenharia de Solos, envolvendo a resistência do solo, interessam σ1 e σ3 pois a 
resistência depende das tensões de cisalhamento. Essas tensões de cisalhamento, como se verá, são 
resultantes das diferenças entre as tensões principais e a maior diferença ocorre quando estas são σ1 
e σ3. Em geral, estuda-se o estado de tensões no plano principal intermediário (em que ocorrem σ1 e 
σ3), que é caso da seção transversal de uma fundação corrida, de uma vala escavada, de um aterro 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
23 
rodoviário ou da secção transversal de uma barragem de terra. As tensões intermediárias só são 
consideradas em problemas especiais. 
A τ
σ . Α σ3
σ3.A.sen α
σ
α
σ1
σσσσ1.A.cos αααα
A 
.
 
se
n
 
�
A . Cos α
 
Figura 2.3. Determinação das tensões num plano genérico, a partir das tensões principais. 
 
σ . Ασ . Ασ . Ασ . Α
αααα τ . Ατ . Ατ . Ατ . Α
αααα σσσσ3.A.sen αααα
αααα
σσσσ1.A.cos αααα
 
Figura 2.4. Equilíbrio das tensões. 
 
No estado plano de deformações, conhecendo-se os planos e as tensões principais num ponto, pode-
se determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano passando por este ponto. 
Do equilíbrio nas direções apresentadas nas Figura 2.4, tem-se: 
 
ασασσ
α
2
3
2
1 ..cos... senAAA += (1) 
αασααστ cos....cos... 31 senAsenAA −= (2) 
 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
24 
Sabe-se da trigonometria que: 
2
12cos
cos 12.cos 2 cos 22 +=∴−= αααα 
2
2cos1
sen 
2
12cos1cos1sen 222 ααααα −=∴+−=−= 
 
Substituindo-se na 1ª. Equação, tem-se: 
 
α
σσσσ
σ
α
σ
α
σσ
αα
2cos.
22
 
2
2cos1
2
12cos 3131
31
−
+
+
=∴
−
+
+
= 
 
Sabe-se ainda que: ααα .cos2.sensen2 = 
Substituindo-se na 2ª. Equação, tem-se: α
σσ
τ
α
2.
2
31 sen
−
= 
Analisando-se estas expressões, conclui-se: 
01) A máxima tensão de cisalhamento ocorre em planos que formam 45º com os planos principais; 
02) A máxima tensão de cisalhamento é igual a: (σ1 - σ3)/2; 
03) As tensões de cisalhamento em planos perpendiculares, são numericamente iguais, mas de sinal 
contrário; 
04) Em dois planos formando o mesmo ângulo com o plano principal maior, porém com sentido 
contrário, ocorrem tensões normais e tensões de cisalhamento numericamente iguais. 
2.2 CÍRCULO DE MOHR 
O estado de tensões atuantes em todos os planos passando por um ponto pode ser representado 
graficamente num sistema de coordenadas em que as abscissas são as tensões normais e as 
ordenadas são as tensões cisalhantes. 
As equações (σ e τ) determinadas anteriormente definem um círculo, como mostrado na Figura 2.5. 
Este é o círculo de Mohr. Ele é facilmente construído quando são conhecidas as duas tensões 
principais (como as tensões vertical e horizontal num terreno com superfície horizontal) ou as 
tensões normais e de cisalhamento em dois planos quaisquer (desde que nestes dois planos as 
tensões normais não sejam iguais, o que tornaria o problema indefinido). Construído o círculo de 
Mohr, ficam facilmente determinadas as tensões em qualquer plano. 
Pode-se escrever: α
σσσσ
σ
α
2cos.
22
3131 −
=
+
− 
 
Tem-se também: .sen2α
2
σσ
τ
31
α
−
= 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
25 
Elevando-se ao quadrado cada das duas expressões: 
 
α
σσσσ
σ
α
2cos.
22
2
2
31
2
31 




 −
=




 +
− 
 
2α.sen
2
σσ
τ
2
2
312
α





 −
= 
 
Se somarmos as duas expressões: 
2
312
α
2
31
2
τ
2





 −
=+




 +
−
σσσσ
σ
α
 
 
A equação do círculo é: ( ) ( ) 22020 Ryyxx =−+−Logo a expressão anterior representa um círculo de centro: 




 +
= 0,
2
0 31 σσ 
 
E raio: 
2
31 σσ −
=R 
 
τ τ
τα σ1 − σ3
2α
0 α σ1
σ
σ1 + σ3
σ1
2
R=
C=
2
σα
σ3
σ3
 
Figura 2.5.Determinação das tensões num plano genérico por meio do círculo de Mohr. 
 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
26 
 
Portanto, com o círculo de Mohr são válidas as mesmas análises feitas anteriormente, ou seja: 
01) A máxima tensão de cisalhamento ocorre em planos que formam 45º com os planos principais; 
02) A máxima tensão de cisalhamento é igual a: (σ1 - σ3)/2; 
03) As tensões de cisalhamento em planos perpendiculares, são numericamente iguais, mas de sinal 
contrário; 
04) Em dois planos formando o mesmo ângulo com o plano principal maior, porém com sentido 
contrário, ocorrem tensões normais e tensões de cisalhamento numericamente iguais. 
2.3 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES A PARTIR DO PÓLO 
2.3.1 Conceito de pólo 
O círculo de Mohr tem seu centro no eixo das abscissas. Desta forma, ele pode ser construído 
quando se conhece as duas tensões principais ou as tensões normais e de cisalhamento de dois 
pontos quaisquer, desde que as tensões normais não sejam iguais. 
Com um círculo traçado para um estado de tensões, as tensões normais e de cisalhamento num 
plano que forma um ângulo α como plano principal maior, são, respectivamente, a abscissa e a 
ordenada da interseção do círculo com a reta passando pelo centro do círculo e formando um ângulo 
de 2α com o eixo das abscissas, ou seja, as coordenadas da interseção do círculo com a reta 
passando pelo ponto (σ3, 0) e formando um ângulo α com o eixo das abscissas. Este ponto é 
chamado PÓLO. 
 
τ
2α
0 α
PÓLO σ
 
Figura 2.6.Determinação do estado de tensões por meio do pólo. 
 
2.4 DETERMINAÇÃO DO PÓLO 
O pólo pode ser determinado a partir de qualquer plano desde que se saiba sua direção e os esforços 
que atuam neste plano. Cada círculo terá apenas um pólo, independente do plano usado para 
determiná-lo. 
Para sua localização no círculo de Mohr, procede-se da seguinte maneira: 
Escolhe-se o plano que servirá para determinar o pólo; 
A partir do ponto no círculo de Mohr que representa o estado de tensão deste plano, traça-se uma 
paralela ao plano; 
A intercessão desta paralela com o círculo define o pólo. 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
27 
2.5 ESTADO DE TENSÕES EFETIVAS 
O estado de tensões pode ser determinado tanto em termos de tensões totais como de tensões 
efetivas. Sejam as tensões principais σ1 e σ3 e a pressão neutra, u, num solo, os dois círculos 
indicados na Figura 2.7 podem ser construídos. 
 
τ
u
0 α σ3 α
σ'3 σ'1 σ1 σ
u
 
Figura 2.7.Efeito da pressão neutra no estado de tensões em um elemento de solo. 
 
01) O círculo de tensões efetivas se situa deslocado para a esquerda, em relação ao círculo de 
tensões totais, de um valor igual à pressão neutra. Tal fato é decorrente da pressão neutra atuar 
hidrostaticamente, reduzindo, de igual valor, as tensões normais em todos os planos. No caso de 
pressões neutras negativas, o deslocamento do círculo é, pela mesma razão, para a direita. 
02) As tensões de cisalhamento em qualquer plano são independente da pressão neutra, pois a água 
não transmite esforços de cisalhamento. As tensões de cisalhamento são devidas somente à 
diferença entre as tensões principais e esta diferença é a mesma, tanto em tensões totais, como em 
tensões efetivas. 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
28 
 
Exercício 2.1. Sendo 100 e 300 kPa as tensões principais de um elemento do solo, determinar: 
a) As tensões que atuam num plano que forma um ângulo de 30º com o plano principal maior; 
(Resposta: 86,6 kPa) 
b) A inclinação dos planos em que a tensão normal é 250 kPa e as tensões de cisalhamento nestes 
planos; (Resposta: α = 30º ou 150º com o plano principal maior; τα = 86,6 kPa ou -86,6 kPa) 
c) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 50 kPa e as tensões normais nestes planos; 
(Resposta: σα = 15º ou 75º com o plano principal maior; 286,6 kPa ou 116,4 kPa) 
d) A máxima tensão de cisalhamento que atua neste elemento de solo. (τα = 100 kPa) 
Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
29 
Exercício 2.2. Achar os esforços que atuam no plano AA. 
a) Usando Pólo: 
 
A
30º
A
200 kPa
40
0 
kP
a
 
 
 
 
 
 
b) Usando fórmulas: