Capítulo I - Fluxo Bidimensional

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Rideci Farias. 
Engenheiro Civil e Geotécnico, D. Sc. 
Reg. CREA PA/AP 9736 – D 1ª Região. 
 
1 
1 FLUXO BIDIMENSIONAL 
1.1 INTRODUÇÃO 
Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção, como no caso dos permeâmetros 
estudados, diz-se que o fluxo é unidimensional. Sendo uniforme a areia, a direção do fluxo e o 
gradiente são constantes em qualquer ponto. 
Quando as partículas de água se deslocam segundo qualquer direção, o fluxo é tridimensional. 
A migração de água para um poço é um exemplo de fluxo tridimensional de interesse para a 
engenharia. 
Quando as partículas de água seguem caminhos curvos, mas paralelos, o fluxo é 
bidimensional. É o caso da percolação pelas fundações de uma barragem. Em virtude da 
ocorrência freqüente deste tipo de fluxo em obras de engenharia e de sua importância na 
estabilidade das barragens, o fluxo bidimensional merece atenção especial. 
O fluxo bidimensional é muito facilitado pela representação gráfica dos caminhos percorridos 
pela água e da correspondente dissipação de carga. Esta representação é conhecida como rede 
de fluxo. 
1.2 ESTUDO DA PERCOLAÇÃO COM REDES DE FLUXO 
Considere um simples permeâmetro com uma amostra de areia, conforme mostrado na Figura 
1.1. 
 
Amostra de Areia2 cm
12 cm
4 cm
Obs.: Considere que o corpo
de areia tem 1 cm na direção
perpendicular ao desenho.
6 cm
 
Figura 1.1 – Rede de fluxo unidimensional. 
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Dos conhecimentos adquiridos, tem-se: 
 
a) Na face inferior da amostra 
 
a.1) Carga altimétrica: 
 
a.2) Carga piezométrica: 
 
a.3) Carga total: 
 
b) Na face superior da amostra 
 
b.1) Carga altimétrica: 
 
b.2) Carga piezométrica: 
 
b.3) Carga total: 
 
Observação 1.1: A diferença de carga de 6 cm é dissipada ao longo dos 12 cm da amostra. 
 
c) Cálculo do gradiente (i) 
 



=
=∆∆
=
rao da amostcomprimentl
aperda de ch
l
hi
 
arg 
 
 
d) Cálculo da vazão através da amostra de areia: 
 
Lei de Darcy: 





==
=
=
=
2818
)50
020
 ..
cm cm cm x ra)a da amostnsversal dA(área tra
c" no item "(calculado,co)e hidráulii(gradient
 cm/s,lidade)k(permeabi
AikQ 
Cálculo: 
 
 
 
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Considere agora o mesmo problema sob o ponto de vista de redes de fluxo 
A definição básica de que as linhas de fluxo devem determinar canais de igual vazão e que as 
equipotenciais devem determinar faixas de perda de potencial de igual valor leva ao fato que, 
no fluxo unidimensional, a rede resultante seja constituída de retângulos. Entretanto, tanto 
para o traçado da rede como para os cálculos, é conveniente escolher espaçamentos iguais 
entre as linhas, formando quadrados. No exemplo mostrado na Figura 1.1, isto se obtém com 
o traçado de linhas equipotenciais a cada 2 cm, conforme Figura 1.2, a seguir: 
Linhas equipotenciais
b = 2 cm
l = 2 cm
6 cm 4 cm
2 cm
12 cm
 
Figura 1.2 – Traçado de linhas equipotenciais a cada 2 cm. 
 
A Rede de Fluxo define: 
 
- Número de canais de fluxo: NF 
 
- Número de faixas de perda de potencial: ND 
 
- Dimensões de um quadrado genérico: b = largura do canal de fluxo; e l = distância entre 
equipotenciais. 
 
No exemplo da Figura 1.2, tem-se: 
 
NF = 4; ND = 6; b = l = 2 cm (para todos os quadrados). 
 
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Observação 1.2: NF e ND não precisam ser números inteiros. No caso do exemplo da Figura 
1.2, se l fosse igual a 11 cm, sendo iguais os outros dados, para NF = 4, ND seria igual a 5,5. 
 
Traçada a rede de fluxo, as seguintes informações são obtidas: 
 
1.2.1 Perda de carga entre equipotenciais 
A construção com igual espaçamento entre as linhas equipotenciais teve como objetivo que a 
perda de carga em cada faixa de perda de potencial fosse a mesma. Então, em cada uma, a 
perda é: 
 
DN
hh =∆ 
 
1.2.2 Gradiente entre equipotenciais 
 
DNl
h
l
hi
.
=
∆
= 
 
Na Figura 1.2 o gradiente é: 5,0
62
6
.
===
∆
=
xNl
h
l
hi
D
 
 
 
1.2.3 Vazão 
Para o cálculo da vazão, considere um elemento qualquer da rede, como indicado na Figura 
1.3, a seguir: 
 
l Equipotenciais
Linhas de 
fluxo
b
 
Figura 1.3 – Elementos da rede de fluxo. 
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A vazão por este elemento vale, pela Lei de Darcy: 
 
DD N
hkb
Nl
hkq ..
.
. == 
 
Em todos os elementos ao longo do canal de fluxo a que pertence este elemento, a vazão é a 
mesma. Por outro lado, nos outros canais, a vazão também é a mesma, pois o princípio de 
construção da rede foi justamente o de se construírem canais com a mesma vazão. A vazão 
total vale, portanto: 
 
D
F
F N
NhkNqQ ... == 
 
No Exemplo da Figura 1.1, tem-se que: 
 
scmxx
N
NhkQ
D
F /2,0
6
4605,0.. 3=== (Igual ao valor obtido anteriormente). 
 
1.3 REDE DE FLUXO BIDIMENSIONAL 
No caso de fluxos bidimensionais, as redes de fluxo devem ser traçadas mantendo-se os 
mesmos princípios: canais de igual vazão e zonas de igual perda de potencial. O Estudo pode 
se iniciar pela percolação em um permeâmetro curvo hipotético. 
Em resumo: Para se traçar as redes de fluxo, devem-se manter: 
a) canais de igual vazão; 
b) zonas de igual perda de potencial. 
1.3.1 Permeâmetro curvo 
Considere um permeâmetro curvo, com o formato de um setor de anel circular, como indicado 
na Figura 1.4. Logicamente, não existe razão para se fazer permeâmetros com este formato. O 
exercício proposto, entretanto, é útil para o estudo de fluxos bidimensionais, como o 
permeâmetro regular foi útil para o estudo de fluxos unidimensionais. 
 
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6 
 
Figura 1.4 – Rede de fluxo em permeâmetro com formato curvo. 
A areia está contida pelas telas AB e CD, que são ortogonais às paredes do permeâmetro. As 
distâncias AB e CD são iguais a 10 cm, o arco AC mede 12 cm e o arco BD mede 24 cm. 
a) Cálculo do gradiente no permeâmetro curvo 
a.1) Ao longo do arco AC: 
 
 
a.2) Ao longo do arco BD: 
 
 
Para o traçado da rede de fluxo, considere o seguinte: 
b) Linhas de Fluxo 
Todas as linhas de fluxo são arcos de círculos concêntricos. Como o comprimento de cada 
arco é diferente, também são os gradientes. Sendo constante o coeficiente de permeabilidade, 
conclui-se que as velocidades de percolação são diferentes, sendo menores junto à superfície 
externa (menor gradiente) do que junto à face interna (maior gradiente). 
Nas redes de fluxo, o que se pretende das linhas de fluxo é que elas delimitem canais de fluxo 
de igual vazão. Ora, se a velocidade é menor junto à superfície externa, é necessário que os 
canais próximos a ela sejam mais largos do que os canais junto à superfície interna. As linhas 
de fluxo deverão estar mais próximas entre si junto à superfície interna. 
 
c) Análise das equipotenciais 
A diferença de carga que provoca a percolação é de 6 cm. Esta carga se dissipa linearmente ao 
longo de cada linha de fluxo. Ao optar-se por traçar linhas equipotenciais que definam faixas 
de perda de potencial iguais a 0,5 cm, existirão 12 faixas, ou seja: 
 12 
5,0
6
 faixas
h
hN
N
hh D
D
==
∆
=→=∆ 
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Ao longo da superfície interna do permeâmetro as linhas equipotenciais distam1,0 cm entre 
si. Na superfície externa do permeâmetro o afastamento entre as equipotenciais será de 2,0 
cm. Em qualquer outra linha de fluxo, o comprimento será dividido em 12 partes iguais. As 
equipotenciais serão, então, retas convergentes, como se mostra na Figura 1.4. 
Esta construção determina que as equipotenciais sejam ortogonais às linhas de fluxo, como 
deve ocorrer em qualquer rede de fluxo em materiais de permeabilidade homogênea. 
d) Escolha das linhas de fluxo 
Os canais de fluxo devem ter a mesma vazão. Além disso, é útil que as linhas de fluxo 
formem com as equipotenciais figuras aproximadamente quadradas. Assim, a primeira linha 
de fluxo a partir da superfície interna deve estar afastada dela um pouco mais do que 1 cm, 
pois as equipotenciais junto à superfície interna estão distantes de 1 cm. 
De acordo com a equação b
Nl
hkq
D
.
.
.= , verifica-se que a vazão em todos os canais será a 
mesma se a relação 
l
b
 for constante. 
e) Percolação sob pranchada 
A Figura 1.5 mostra uma rede de fluxo correspondente à percolação sob uma pranchada 
penetrante numa camada de areia, sendo o nível d’água rebaixado num dos lados por 
bombeamento. 
O contorno da pranchada, de um dos lados, e a superfície inferior da camada permeável, do 
outro, são linhas de fluxo. Traçadas algumas outras linhas de fluxo, observa-se que esta rede 
se diferencia da rede correspondente ao permeâmetro curvo pelo fato dos canais de fluxo 
terem espessuras variáveis ao longo de seus desenvolvimentos, pois a seção disponível para 
passagem de água por baixo da pranchada é menor do que a seção pela qual a água penetra no 
terreno, por exemplo. 
 
N. A.
N. A.
Linhas de Fluxo
Equipotenciais
 
Figura 1.5 – Rede de fluxos sob pranchas (cortina impermeável de estacas). 
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Em virtude disso, ao longo de um canal de fluxo, a velocidade da água é variável. Quando o 
canal se estreita, devendo ser constante a vazão, a velocidade tem que ser maior. Logo, o 
gradiente é maior. Em conseqüência, sendo constante a perda de potencial de uma linha para a 
outra, o espaçamento entre equipotenciais deve diminuir. A relação entre linhas de fluxo e 
equipotenciais se mantém constante. 
Por outro lado, a superfície livre do terreno, tanto a montante como a jusante, são 
equipotenciais. Considere um ponto qualquer numa equipotencial. A partir deste ponto, o 
gradiente para passar à equipotencial de menor valor é a perda de potencial dividida pela 
distância percorrida. Como se mostra na Figura 1.6. É evidente que o gradiente é máximo 
pelo caminho normal às equipotenciais (menor distância). 
Menor distância
Equipotenciais
 
Figura 1.6 – Fluxo entre equipotenciais. 
 
Em solos isotrópicos o fluxo segue o caminho de maior gradiente, de forma que as linhas de 
fluxo são normais às equipotenciais. 
Portanto, das análises realizadas, numa situação genérica de fluxo bidimensional, as duas 
condições de redes de percolação devem se manter: as linhas equipotenciais e as de fluxo se 
interceptam perpendicularmente, e em cada figura formada a distância média entre 
equipotenciais deve ser da mesma ordem de grandeza da distância média entre as linhas de 
fluxo. 
1.4 TRAÇADO DE REDES DE FLUXO 
Principais critérios a serem obedecidos no traçado de uma rede de percolação: 
a) As superfícies horizontais do terreno, a montante e a jusante são consideradas 
equipotenciais; 
b) O contato impermeável do solo com o substrato é uma linha de fluxo; 
c) O contorno do diagrama impermeável é também uma linha de fluxo; 
d) Procurar sempre traçar redes de forma semelhante e quadrados; 
e) As linhas de fluxo têm de partir e de chegar normais (perpendiculares) às fronteiras 
equipotenciais, e tem de se cruzar ortogonalmente com as equipotenciais. 
 
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9 
As Figuras 1.7 a 1.10 mostram alguns exemplos de redes de fluxo para determinados tipos de 
obras. 
N. A.
Barragem de concreto
 
Figura 1.7 – Exemplo de rede de fluxo em barragem de concreto. 
 
N. A.
Tapete impermeável
 
Figura 1.8 – Exemplo de rede de fluxo em barragem de concreto. 
 
N. A.
Dreno
 
Figura 1.9 – Exemplo de rede de fluxo em barragem de solo. 
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10 
 
 
Figura 1.10 – Exemplos de redes de fluxo em fundações permeáveis. 
1.5 INTERPRETAÇÃO DE REDES DE FLUXO 
Disponível uma rede de fluxo, como a representada na Figura 1.11, as seguintes informações 
podem ser obtidas: 
a) Vazão: 
D
F
N
NhkQ ..= 







=
=
=
=
−
 potencial de perda de faixas 14 
fluxo de canais 5
m 4,15
 /sm 10 4
D
F
N
N
h
k
 
 
 
 
Figura 1.11 – Rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de concreto. 
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11 
b) Gradiente entre equipotenciais: 
DNl
h
l
hi
.
=
∆
= 





=
→=
=
faixas 14potencial) de perda de faixas de (númeroN
figura da ediretament tiradovariáveliais)equipotenc entre (distância
m 15,4)percolação provoca que total(carga
D
l
h
 
 
Como a distância entre equipotenciais é variável ao longo de uma linha de fluxo, o gradiente 
varia de ponto para ponto. No ponto “A”, assinalado na Figura 1.11, o gradiente é: 





≅
===∆∆
=
ml
m
m
N
hh
l
hi D
6iais)equipotenc entre (distância
1,1
14
4,15iais)equipotenc entre carga de (perda 
 
 
18,0
6
1,1
==
m
mi 
 
Nota-se que o gradiente é maior na linha de fluxo mais próxima à superfície do que nas linhas 
mais profundas. Ao se considerar as forças de percolação, deve-se considerar a direção e o 
sentido que são variáveis de ponto para ponto. 
De particular interesse é o gradiente na face de saída do fluxo, em virtude da força de 
percolação atuar de baixo para cima, podendo provocar situação de areia movediça. Observa-
se, pela rede de fluxo, que a situação crítica ocorre junto ao pé de jusante da barragem, onde a 
distância entre as duas últimas linhas equipotenciais é mínima. 
Nota-se que a rede de fluxo deste exemplo é simétrica e, portanto, o gradiente junto ao pé de 
montante tem valor igual ao pé de jusante. Entretanto, nesta posição, a força de percolação 
tem sentido descendente, e sua ação se soma à ação da gravidade, aumentando as tensões 
efetivas. O problema de areia movediça se restringe ao pé de jusante. 
 
c) Cargas e pressões 
Considere o ponto “A” na Figura 1.11: 
c.1) Carga altimétrica: é a cota do ponto. Se referida à superfície inferior da camada 
permeável, vale: 
mhA 35540 =−= 
A carga total é a altura a que a água subiria num tubo colocado neste ponto. Ela não subiria 
até a cota 55,4m, que corresponde ao nível de montante porque alguma carga já se perdeu ao 
longo da percolação. Ela também não subiria só até a cota 40m, que corresponde ao nível de 
jusante, porque excesso de carga ainda existe e vai provocar a percolação deste ponto até 
jusante. O ponto “A” se encontra na equipotencial limite entre a 6ª e 7ª faixa de perda de 
potencial. Assim, a perda seria 6 x 1,1 = 6,6 m. Este valor também poderia ser calculado 
considerando que do ponto “A” até a superfície de jusante existem 8 faixas de equipotenciais 
e, portanto, 8 x 1,1 = 8,8 m de carga a dissipar. Desta forma: 
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12 
 
mht 8,486,64,55 =−= ou mht 8,488,80,40 =+= 
 
c.2) Carga piezométrica: é a diferença da carga total e carga altimétrica.mhp 8,13358,48 =−= 
 
c.3) Pressão de água: a pressão de água num ponto qualquer é a carga piezométrica expressa 
em unidade de pressão. No ponto “A”, ela vale: 
 
kPaxu 138108,13 == 
1.6 CONDIÇÃO ANISOTRÓPICA DE PERMEABILIDADE 
Com freqüência os coeficientes de permeabilidade não iguais nas duas direções. O coeficiente 
de permeabilidade na direção horizontal tende a ser maior do que a permeabilidade na direção 
vertical. 
Nesta situação as linhas de fluxo não são mais perpendiculares às equipotenciais. Existe agora 
uma maior facilidade para que a energia se perca segundo uma direção preferencial. Como se 
indica na Figura 1.12, há maior permeabilidade na direção horizontal, e a linha de fluxo se 
distorce nesta direção. 
kz kz
kx kx
a) Isotrópico a) IsotrópicoAnisotrópico
 
Figura 1.12 –Fluxo entre equipotenciais. 
 
Matematicamente isto se constata pelo fato da equação de fluxo não se expressar por uma 
equação de Laplace. Para o traçado de redes nesta situação, recorre-se a uma transformação 
do problema, como se mostra a seguir, a partir do caso apresentado na Figura 1.13. 
 
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13 
N. A.
 
N. A.
 
a) Seção verdadeira (escala natural). b) Seção transformada. 
Figura 1.13 – Rede de fluxo com condição de anisotropia. 
 
x
z
T k
k
xx .= 
 
Esta transformação consiste em reduzir as distâncias horizontais, pois a permeabilidade 
vertical, de uma forma geral, é menor que a permeabilidade horizontal. A conseqüência disto 
se faz pela equação de fluxo, que pode ser escrita da seguinte forma: 
0
2
2
2
2
=
∂





∂
+
∂
∂
x
k
kz
h
x
z
 
 
Substituindo-se x pela nova abscissa x, obtém-se: 
0
.
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂











∂
+
∂
∂
T
z
x
x
z z
h
z
h
x
k
k
k
k
h
z
h
 
Esta equação agora é um Laplaciano. Logo, pode-se traçar uma rede de fluxo, para esta 
situação, com linhas de fluxo perpendiculares às equipotenciais. Esta rede de fluxo está 
indicada na Figura 1.13 (b). A partir dela, retornando-se às abscissas originais, obtém-se a 
rede de fluxo verdadeira, como indicado na Figura 1.12. 
Para o cálculo de gradientes e de cargas, o que vale é a rede verdadeira, inclusive no que diz 
respeito à direção da força de percolação. 
Para o cálculo da vazão surge como questão o coeficiente de permeabilidade a adotar. Seja ele 
denominado coeficiente de permeabilidade equivalente, kE. 
Considere um elemento da rede em que o fluxo seja horizontal indicado na Figura 1.14. Na 
seção verdadeira, o elemento é retangular, sendo lv maior do que ”b” pela transformação das 
abscissas. 
 
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14 
l l v
Fluxo
b b
Escala transformada Escala natural
 
Figura 1.14 – Fluxo com anisotropia. 
 
Na seção transformada, a vazão é: 
hkb
l
hkq EET ∆=
∆
= ... 
 
Na seção verdadeira, a vazão é: 
5,05,0 .
.
...






∆
=






∆
=
∆
=
x
z
x
x
z
x
v
xT
k
k
hkb
l
k
k
hkb
l
hkq 
Como a vazão é a mesma em ambos os casos, 
5,0.






∆
=∆
x
z
xE
k
k
hkhk → zx
x
z
xE kkk
kkk ..
5,0
=





= 
Ou seja, o coeficiente de permeabilidade equivalente é a média geométrica dos coeficientes de 
permeabilidade horizontal e vertical. Com ele e mais h, NF e ND calcula-se a vazão, com a já 
conhecida fórmula. 
 
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15 
Exercício 1.1: Determinar a vazão diária que ocorre pela fundação da barragem mostrada na 
Figura 1.15, considerando k = 10-4 m/s. 
 
 
Figura 1.15 – Rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de concreto. 
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16 
Exercício 1.2: Determinar qual é a subpressão total que a barragem apresentada na Figura 
1.16 sofre quando a água acumulada no reservatório atinge a cota 15,4m acima da cota de 
jusante, considerando que a base da barragem tem 56 metros de comprimento. 
 
Figura 1.16 – Rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de concreto. 
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17 
Exercício 1.3: Examine a rede de fluxo apresentada na Figura 1.17 sob o ponto de vista de 
possibilidade de ocorrência de areia movediça. 
 
Figura 1.17 – Rede de fluxo pelas fundações de uma barragem de concreto. 
 
 
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18 
Exercício 1.4: A Figura 1.18 apresenta a situação em que uma partícula é inserida numa 
camada de areia, e um bombeamento provoca o rebaixamento do nível d’água num dos lados. 
Da simples observação da figura, estime a carga piezométrica no ponto “P”. 
N. A.
N. A.
16
18
20
co
ta
8
10
12
14
0
2
4
6 P
 
Figura 1.18 – Fluxo bidimensional. 
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19 
Exercício 1.5: Num depósito de areia inundada foi construído uma pranchada parcial, 
esgotando-se a água num dos lados da pranchada, como se mostra na Figura 1.19 (a). A escala 
da figura é de 1:100, sendo de 2,8m a espessura de areia; 1,0m a profundidade da pranchada e 
de 1,5m a altura da água represada. Sabendo-se que a permeabilidade horizontal é maior do 
que a vertical e que a seção transversal foi desenhada com abcissa transformadas, de maneira 
a se poder traçar a rede de fluxo, como se apresenta na Figura 1.19 (b). Sabendo-se que o 
coeficiente de permeabilidade vertical é de 2x10-3 cm/s, pergunta-se: 
a) Qual é o coeficiente de permeabilidade horizontal? 
b) Qual a vazão, por metro de comprimento de pranchada? 
c) Qual o gradiente de saída junto à pranchada? 
d) Qual o gradiente no canal inferior da percolação, na região abaixo da pranchada? 
e) Qual a carga piezométrica no ponto imediatamente abaixo da pranchada? 
 
N. A.
 
N. A.
 
a) Seção verdadeira (escala natural). b) Seção transformada. 
Figura 1.19 – Rede de fluxo com condição de anisotropia. 
 
 
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20 
Exercício 1.6 (Eletrobrás – 2002): Considere uma barragem de solo compactado para 
aproveitamento hidroelétrico dentro da filosofia de pequenas centrais hidrelétricas (PCH). 
Cite e explique dois problemas que o fluxo através do maciço e/ou fundação da barragem 
pode gerar. Dê possíveis soluções.