Aula 5 Potencial eletrico

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Física Geral III – Aula 5 
 
Nesta aula definiremos potencial elétrico. O 
efeito eletrostático, devido a qualquer 
distribuição de carga, pode ser descrito tanto 
em termos do campo elétrico como do 
potencial elétrico. A solução de problemas em 
eletrostática, é simplificada quando usamos o 
potencial elétrico em vez do campo elétrico, já 
que o primeiro é um campo escalar e o 
segundo um campo vetorial. 
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Quando uma partícula carregada se desloca em um 
campo elétrico, o campo exerce uma força que 
realiza trabalho sobre a partícula. Esse trabalho 
realizado pode ser expresso em termos de energia 
potencial elétrica. Descrevemos a energia 
potencial elétrica usando um conceito novo 
chamado de potencial elétrico. É conveniente 
trabalhar com esta grandeza, pois, ela é escalar e 
está relacionada com o campo elétrico. 
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Energia Potencial 
Elétrica 
 
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Potencial elétrico 
 
O conceito de energia, em mecânica, 
mostrou-se ser de suma importância no 
estudo de problemas nesta área da física, 
principalmente naqueles casos onde os 
cálculos envolvendo as leis de Newton 
têm solução complexa. No caso da 
eletrostática o conceito de energia é 
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 Potencial elétrico 
 
também especialmente valioso. Ele não 
somente estende a lei de conservação, 
mas também permite-nos ver o fenômeno 
eletrostático de um outro ponto de vista, 
fornecendo assim, uma ferramenta 
poderosa na solução de problemas. Em 
muitos problemas eletrostáticos, a 
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 Potencial elétrico 
 
solução fica mais simples quando 
usamos relações envolvendo a 
energia, do que aplicando as leis 
envolvendo a força e o campo 
elétrico. 
 Como podemos definir o potencial 
para problemas eletrostáticos? 
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 Potencial elétrico 
 
Para aplicar a conservação da energia a 
problemas eletrostáticos, necessitamos definir 
o conceito de energia potencial elétrica, como 
tem sido feito para o caso de outras energias 
potenciais, por exemplo, a gravitacional. Isto 
pode ser feito analisando o trabalho realizado 
para mover uma carga de prova q na presença 
de um campo elétrico externo. 
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 Potencial elétrico 
 
Ao abandonar-se, em repouso, uma carga 
elétrica q, puntiforme, numa região onde existe 
um campo elétrico isolado, ela fica sujeita a uma 
força elétrica resultante F e desloca-se 
espontaneamente na direção e sentido desta 
força. Nestas condições, o trabalho realizado por 
F é sempre positivo. Durante o movimento 
espontâneo da partícula q verificam-se algumas 
propriedades que se seguem: 
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 Potencial elétrico 
 
 Em todo movimento 
espontâneo de carga elétrica, na 
presença de campo elétrico, a 
energia potencial elétrica da 
mesma diminui. 
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 Potencial elétrico 
 
Cargas elétricas positivas, abandonadas 
em repouso na presença de campo 
elétrico e sujeitas apenas à ação da força 
elétrica, deslocam espontaneamente para 
pontos de menor potencial elétrico. Se a 
carga for negativa o deslocamento se dará 
no sentido de maior potencial elétrico. 
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Potencial elétrico 
 
Imagine dois objetos eletrizados, com cargas 
de mesmo sinal, inicialmente afastados. Para 
aproximá-los, é necessária a ação de uma força 
externa, capaz de vencer a repulsão elétrica 
entre eles. O trabalho realizado por esta força 
externa mede a energia transferida ao sistema, 
na forma de energia potencial de interação 
elétrica. Eliminada a força externa, os objetos 
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Potencial elétrico 
 
afastam-se novamente, transformando a energia 
potencial de interação elétrica em energia cinética à 
medida que aumentam de velocidade. O aumento da 
energia cinética corresponde exatamente à diminuição 
da energia potencial de interação elétrica. 
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Potencial elétrico 
 
O trabalho (ΔW) realizado, sobre uma partícula 
de prova q, para provocar um pequeno 
deslocamento Δr é definido pelo produto 
escalar entre o vetor força F e o vetor 
deslocamento, como a seguir: 
 .zFyFxFrFW zyx 

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Potencial elétrico 
 
Neste caso o trabalho é igual à diferença de 
energia gasta para mover a carga de prova 
q de certo ponto a outro. Supomos agora, 
que a partícula q é forçada a deslocar de 
um ponto A a um outro ponto B, na 
presença de um campo elétrico, não 
necessariamente uniforme. Veja figura no 
próximo slide. 
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Podemos escrever a força sobre a partícula 
em termos do campo elétrico, isto é, 
.EqF


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Como trata-se de uma força variável, temos que 
lançar mão do cálculo integral, como no exemplo 
abaixo: 
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Potencial elétrico 
 
Considerando deslocamentos infinitesimais dr 
para que o vetor força F seja considerado 
constante nesse deslocamento, temos 
 .zdEydExdEqrdEqdW zyx 

de forma que 
. 
B
A
rdEqdWW

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



B
A
AB
B
A
AB
ldEqUU
ldFWUU


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Quando uma carga 
positiva se move na 
mesmadireção e no 
mesmo sentido de um 
campo elétrico, o campo 
realiza um trabalho 
positivo e a energia 
potencial diminui, 
observe que U =  W. 
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Quando uma carga 
positiva se move na 
mesma direção e no 
sentido contrário ao de 
um campo elétrico, o 
campo realiza um 
trabalho negativo e a 
energia potencial 
aumenta, observe que 
U =  W. 
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Quando uma carga 
negativa se move na 
mesma direção e no 
mesmo sentido de um 
campo elétrico, o campo 
realiza um trabalho 
negativo e a energia 
potencial aumenta, 
observe que U =  W. 
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Quando uma carga 
negativa se move na 
mesma direção e no 
sentido contrário ao de 
um campo elétrico, o 
campo realiza um 
trabalho positivo e a 
energia potencial diminui, 
observe que U =  W. 
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Considere duas partículas de carga q1 e q2: 
• q1 e q2 tiverem sinais opostos, a força é atrativa. 
Se deslocar q2 para a direita a energia potencial 
do sistema aumenta: 
F dl 
00  ab UUdWldF
 Energia Potencial 
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• q1 e q2 tiverem mesmo sinal, a força é de 
repulsão. Se deslocar q2 para a esquerda a 
energia potencial do sistema aumenta: 
00  ab UUdWldF

F dl 
 
Energia Potencial 
Elétrica 
 
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 Um cristal de sal de cozinha possui energia 
potencial total positiva ou negativa? Por que o sal 
dissolve na água? 
http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA 
 Um cristal de sal é 
constituído por um íon de 
sódio (Na+) e um íon de 
cloro (Cl) e possui uma 
energia potencial total 
negativo. Para dissolver o 
sal na água, é necessário 
fornecer energia para 
separar seus íons. Essa 
energia resulta da interação 
entre os íons e as cargas do 
dipolo da molécula de água. 
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 Como é produzida a iluminação nas luzes de 
neônio?  Nas luzes de neônio, a 
energia potencial elétrica é 
transferida para os átomos do 
gás neônio. Essa energia 
adicionada possibilita a 
excitação de elétrons 
negativos afastando-os dos 
núcleos. Em uma fração de 
segundos os elétrons retornam 
para a posição inicial mais 
próxima dos núcleos, 
liberando a energia sob forma 
de luz. 
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Para o campo de uma carga pontual o 
trabalho é 
.cos 
B
A
B
A
lEdqldEqW 

como d l cos ϕ = dr veja próximo slide, 
.
B
A
rdEqW
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Cálculo da energia potencial do sistema 
de duas cargas pontuais. 
rd

ld


r

q
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Potencial elétrico 
 
Usando 
,
20 r
Q
kE 
escrevemos 
.
11
020  






B
A BA
rr
qQk
r
rd
qQkW
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Ou seja, o 
trabalho 
realizado pelo 
campo gerado 
por uma carga 
puntual depende 
apenas das 
posições iniciais 
e finais 
independendo 
da trajetória 
seguida pela 
carga. 
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• A energia potencial elétrica de um sistema de 
cargas pontuais fixas é igual ao trabalho que deve 
ser realizado por um agente externo para reunir o 
sistema, trazendo cada carga de uma distância 
infinita. 
• Suponha o sistema de duas cargas fixas mostrada 
abaixo 
 
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Para determinarmos a energia potencial elétrica deste 
sistema de duas cargas precisamos construir 
mentalmente o sistema, partindo de duas cargas 
infinitamente distantes, e em repouso. Quando 
trazemos q1 do infinito e fixamos não realizamos 
nenhum trabalho, pois nenhuma força eletrostática 
atua sobre q1. Quando trazemos a carga q2, 
precisamos realizar um certo trabalho, uma vez que q1 
exerce força eletrostática sobre q2. 
 
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A carga q2 sente um campo elétrico devido a carga q1: 
r
r
q
rEE r ˆ
4
ˆ
2
0
1



EdrdrEldE
rdrld
rrr
r 





ˆ
,ˆ
(indica o deslocamento de q2) 
 
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Assim, 







 
ab
ab
r
r
r
r
ab
rr
qqUU
r
dr
qqdrEqUU
b
a
b
a
11
4
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21
0
221
0
2


 
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Escolha do ponto de referência para a 
energia potencial elétrica: 
ra → ∞, assim Ua = 0. Seja r a distância 
até o ponto final b: 
r
qq
rU 21
04
1
)(


 
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Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Imaginemos um sistema de cargas pontuais 
mantidas em posições fixas. A energia 
potencial total desse sistema é aplicando a 
equação anterior a cada par de cargas do 
sistema. Por exemplo, se temos um sistema 
de três cargas: 
 
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d
qq
d
qq
U 31
0
32
0
21
0 4
1
4
1
4
1
 
U é uma propriedade do sistema e não de alguma 
carga individual. 
 
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Algumas considerações: 
• Considere que um agente externo remove as 
cargas, todas de mesmo sinal, desde o infinito e 
as reúne, ele realiza trabalho ao exercer uma 
força que se opõe à força eletrostática. O agente 
externo está armazenando energia no sistema de 
cargas. Se de repente o agente deixasse de 
manter as cargas em suas posições, elas 
ganhariam energia cinética à medida que o 
sistema se desfizesse. 
 
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• Se as cargas possuírem sinais 
diferentes, a energia potencial seria 
negativa. Neste caso, o agente externo 
teria de fornecer energia, na forma de 
trabalho para separar o sistema e 
mover as cargas até a separação 
infinita. 
 
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 Como podemos definir o potencial elétrico para 
problemas eletrostáticos? 
 
Potencial Elétrico 
 
É a energia potencial por unidade de carga. Assim, 
uma carga teste q0 foi colocada num ponto a de 
uma campo elétrico adquire uma energia 
potencial. O potencial elétrico associado a esse 
ponto a é: 
0q
U
V aa V é uma grandeza 
escalar. 
Unidade é J/C 
= V (Volt) 
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A diferença de potencial elétrico (d.d.p.) entre dois 
pontos: 
00 q
U
q
UU
VVV abab




 Se Vb > Va → o campo elétrico realiza trabalho 
negativo quando a carga de prova se move de a para b. baab WUU 
 A expressão ΔU = q ΔV estabelece que quando 
qualquer carga q se move entre dois pontos cuja d.d.p. 
seja ΔV, o sistema sofre uma variação de energia 
potencial ΔU. 
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 Por conveniência, se adotarmos Ua = 0 no 
infinito como nossa energia potencial de 
referência, então o potencial no infinito 
também será nulo. 
 A d.d.p. é igualmente independente do 
percurso. O campo elétrico é um campo 
conservativo, e assim a diferença de energia 
potencial entre os pontos a e b depende 
somente das localizações dos pontos. 
 
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SUPERFÍCIES 
EQUIPOTENCIAIS 
Pontos que possuem o mesmo potencial elétrico 
formam uma SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL. 
O trabalho realizado por um campo elétrico sobre 
uma partícula quando ela se move entre dois 
pontos localizados sobre a mesma equipotencial é 
nulo. Considere uma família de superfícies 
equipotenciais associada a um campo elétrico 
devido a uma distribuição de cargas. 
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n
ç
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s 
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SUPERFÍCIES 
EQUIPOTENCIAIS 
Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre 
uma partícula carregada quando se move de 
um extremo a outro. 
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VqW 
baab WUU 
ΔU = q ΔV 
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SUPERFÍCIES 
EQUIPOTENCIAIS 
As superfícies equipotenciais são sempre 
perpendiculares às linhas de campo elétrico. 
Linhas de campo elétrico (linha cheia) e cortes 
transversais de superfícies (linhas tracejadas) 
(a) Campo: Uniforme 
(b) carga pontual 
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(c) Dipolo elétrico 
SUPERFÍCIES 
EQUIPOTENCIAIS 
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Cálculo do Potencial a Partir do 
Campo Elétrico 
Pode-se calcular a diferença de potencial 
elétrico entre dois pontos em um campo 
elétrico se conhecermos o vetor campo 
elétrico ao longo de qualquer trajetória que 
ligue esses pontos. Considere um campo 
elétrico arbitrário e uma carga de prova q0 , 
que se move em uma trajetória entre os 
pontos i e f. 
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Cálculo do Potencial a Partir do 
Campo Elétrico 
Em qualquer ponto da trajetória atua uma força F. O 
trabalho realizado pela partícula no deslocamento ds. 
sdEqsdFdW

 0
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.0  
f
i
sdEqdWW

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos 
quaisquer em um campo elétrico: 
.
0
 
f
i
if sdE
q
W
VV

Cálculo do Potencial a Partir do 
Campo Elétrico 
Assim, se o campo elétrico for conhecido em todos os 
pontos de uma certa região do espaço, podemos calcular 
a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer. 
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POTENCIAL DEVIDO A UMA 
CARGA PUNTIFORME 
A carga positiva q produz 
um campo elétrico E e 
um potencial elétrico V 
no ponto P. Considere um 
ponto P distante R da 
carga fixa q. Suponha que 
movemos a carga de 
prova q0 desde um ponto 
inicial até um ponto final. 
Pág. 49 de 74 






f
i
if
f
i
if
rEdVV
rdrsd
EdrsdE
sdEVV
.
ˆ
1cos,0,cos 0




POTENCIAL DEVIDO A UMA 
CARGA PUNTIFORME 
.
4
1
2
0 r
q
E


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R
q
V
q
dr
r
q
V
r
R
R
0
0
2
0
4
1
4
1
4
0
1











POTENCIAL DEVIDO A UMA 
CARGA PUNTIFORME 
Válida também para qualquer distribuição 
esfericamente simétrica de carga total q, se R for 
maior que o raio da distribuição. Pág. 51 de 74 
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Potencial elétrico 
V(r) devido a uma 
carga pontual 
localizada na 
origem de um 
plano xy. 
POTENCIAL DEVIDO A UMA 
CARGA PUNTIFORME 
Pág. 52 de 74 
No caso de uma distribuição de 
cargas discretas, figura ao lado, o 
potencial elétrico pode ser calculado 
usando o PRINCÍPIO DA 
SUPERPOSIÇÃO. Isto significa 
que o potencial resultante, em um 
dado ponto do espaço, é igual a 
soma dos potenciais elétricos 
produzidos por cada carga 
individualmente no ponto P. 
Potencial devido a um grupo 
 de cargas puntiformes 
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G
o
n
ç
a
lv
e
s 
- 
D
C
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/U
E
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B
 
 Logo, pela definição de potencial 
elétrico, o potencial resultante em um ponto P, 
devido a uma distribuição de cargas discretas, 
será igual a soma algébrica dos potenciais em 
P devido a cada uma das cargas, isto é, 



N
i i
i
r
q
k
r
q
k
r
q
k
r
q
krV
1
0
3
3
0
2
2
0
1
1
0)( 

Potencial devido a um grupo de 
cargas puntiformes 
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 P. 
G
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n
ç
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lv
e
s 
- 
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B
 
Analisaremos a seguir o 
potencial elétrico devido a 
uma distribuição discreta de 
cargas, contendo quatro 
cargas posicionadas nos 
vértices de um quadrado de 
lado d, como mostra a figura 
ao lado. 
2
2 d
Potencial devido a um grupo de 
cargas puntiformes 
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s 
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B
 
Neste caso o potencial no centro do quadrado 
(ponto P) é igual a soma algébrica dos 
potenciais devido a cada uma das quatro 
cargas, isto é, 
).(
2
2
)(
)(
4321
0
4
4
0
3
3
0
2
2
0
1
1
0
qqqq
d
k
rV
r
q
k
r
q
k
r
q
k
r
q
krV




Potencial devido a um grupo de 
cargas puntiformes 
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Sendo q1 = 1,0x10
-8C , q2 = -2,0x10
-8C, 
q3 = 3,0x10
-8C, q4 = -2,0x10
-8C e 
d = 1,0 m, o valor do potencial no centro 
quadrado será igual a zero, V = 0 Volts. 
Obviamente em outro ponto o potencial 
pode ser diferente de zero. Verifique esta 
afirmação, escolhendo uma outra posição 
para o ponto P. 
Potencial devido a um grupo de 
cargas puntiformes 
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Exemplo: POTENCIAL DEVIDO 
A UM DIPOLO ELÉTRICO 
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POTENCIAL DEVIDO A UMA 
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE 
CARGA 
Se uma distribuição de carga q é contínua, escolhe-se 
um elemento diferencial de carga dq, e determina-se o 
potencial dV em um ponto P devido à dq, e então 
integra-se sobre toda a distribuição de carga. 
 

.
4
1
4
1
0
0
r
dq
dVV
r
dq
dV


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Exemplo: Linha de Carga 
Uma haste fina não condutora de comprimento L 
possui uma carga positiva de densidade linear 
uniforme λ. Determine o potencial elétrico no ponto P, 
a uma distância perpendicular da extremidade 
esquerda da haste. 
Pág. 60 de 74 
16/02/2017 
11 
Nas aulas anteriores, definimos o conceito 
de campo elétrico como sendo igual a força 
por unidade de carga, no sentido de torná-lo 
uma grandeza independente da carga de 
prova q, ou melhor falando, ser dependente 
apenas da distribuição de cargas elétricas 
que está criando o campo E. De forma 
semelhante, vamos introduzir o conceito de 
potencial elétrico como sendo uma 
grandeza independente de q, dividindo o 
trabalho pela carga teste. Isto é; 
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Potencial elétrico 
 
O potencial elétrico é definido 
crescente no sentido da linha de força 
ou linha de campo. 
.ou  
B
A
ABAB rdEdVrdEVVV

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 Na expressão anterior obtemos a diferença 
de potencial através do campo elétrico. 
Podemos obter o campo elétrico via o 
potencial? 
 Sim, a relação entre o potencial elétrico 
pode ser obtida de uma forma simples, 
sabemos que o potencial é uma função escalar 
que depende, em geral, do ponto do espaço e 
 
Potencial elétrico 
 
Pág. 63 de 74 
conseqüentemente pode ser escrito por 
V = V(x,y,z), a diferencial total de V é 
,dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV









como 
,rdEdV


e 
,ˆˆˆ e ˆˆˆ dzkdyjdxirdkEjEiEE zyx 

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escrevemos 
,dzEdyEdxEdV zyx 
comparando com 
,dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV









temos as expressões 
. e ,
z
V
E
y
V
E
x
V
E zyx









Assim, se conhecermos V(x, y, z) para todos os pontos na região 
ao redor de uma distribuição de carga, podemos determinar as 
componentes de E em qualquer ponto, tomando as suas 
derivadas parciais. 
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VE 

,ˆˆˆ k
z
j
y
i
x 









onde, 
Este operador é conhecido como gradiente. O 
gradiente aplicado a uma função escalar resulta em 
uma função vetorial. Portanto, em cada ponto, a 
direção e o sentido do campo elétrico corresponde à 
direção e ao sentido em que o potencial decresce mais 
rapidamente, sendo sempre perpendicular à superfície 
equipotencial que passa no ponto considerado. 
CALCULANDO O CAMPO A 
PARTIR DO POTENCIAL 
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 Potencial elétrico 
 
Exemplo 1: Potencial elétrico devido a um 
disco uniformemente carregado. 
Vimos que o campo 
devido a um disco 
carregado é dado por 
,ˆ12
22
0 k
Rz
z
kE 








 

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 Usando 
Observe que o potencial é determinado a 
menos de uma constante aditiva. 
  .2
12
22
0
22
0
CzRzkV
dz
Rz
z
k
dzErdEV z













 



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Se tivermos que determinar o campo a partir 
do potencial 
fazemos 
  ,2 220 CzRzkV  
,
z
V
Ez



.12
22
0 









Rz
z
kEz 
donde escrevemos 
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n
ç
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Um Condutor Isolado 
 Um condutor extenso eletrizado encontra-se 
em equilíbrio eletrostático quando, em sua 
superfície ou em seu interior, não existe 
movimento ordenado de cargas elétricas. 
 Quando o condutor recebe um excesso de 
cargas elétricas e como elas se repelem e se 
movem no condutor, a tendência é ficarem o 
mais longe possível, ou seja, na superfície 
externa. 
 
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Um Condutor Isolado 
 No interior do condutor, onde não existem cargas 
em excesso, o campo elétrico deve ser nulo e o 
potencial elétrico V constante, caso contrário 
haveria movimento ordenado de elétrons. 
 
if
f
i
if
VV
sdEVV

  0

Pág. 71 de 74 
Na superfície, o campo elétrico não é 
nulo e é normal à superfície (de 
afastamentopara cargas positivas e de 
aproximação para negativas) e o potencial 
elétrico V é constante, pois as cargas 
elétricas em excesso não se movem. 
 
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Campo e potencial elétrico de 
um condutor esférico 
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REFERÊNCIAS 
• Zemansky, Sears. Física. Vol.3, Addison Wesley, 
10O. Edição, São Paulo, 2003. 
• Resnick, R.; Hallyday, D. Fundamentos de Física. 
Vol.3, LTC, 1996. 
• Tipler, P. Física. Vol.3 e 4, LTC. 2O.Edição, 2000. 
• Alonso e Finn. Física: um curso universitário. Vol 
1 e 2. 
• Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica, 
Eletromagnetismo. Vol.3. 
Pág. 74 de 74