P1_Gabarito_2013

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Me
âni
a - 4300151
Noturno, primeiro semestre de 2013
Primeira prova � Gabarito
29/04/2013
NOME:
Justi�que todas as suas respostas, deixando 
laro o seu ra
io
ínio e as 
ontas que o levaram a suas respostas. Há uma folha
extra para ras
unho no �nal, que não será 
orrigida e não deve ser desta
ada. Adote, sempre que ne
essário, a a
eleração
da gravidade g = 10 m/s2. Se o problema for literal, a resposta deve ser dada em função de g mesmo. Tempo de
prova: 90 minutos.
1. (2,5) Suponha que dois trens estejam se movendo na mesma linha de uma estrada de ferro, no mesmo
sentido. No momento em que eles per
ebem o problema, estão a uma distân
ia D um do outro, o trem que
vai na frente (trem 1) move 
om uma velo
idade de 10 km/h enquanto o último trem (trem 2) se move
om uma velo
idade de 20 km/h. Tentando evitar a 
olisão, o trem da frente a
elera 
om uma a
eleração
onstante, de 2 km/h
2
.
(a) (0,5) Supondo o sistema de referên
ias da �gura, es
reva as equações horárias para 
ada um dos trens,
x1(t) e x2(t).
(b) (1,0) Se D = 9 km, quanto tempo os trens demoram para 
olidir?
(
) (1,0) Qual a distân
ia mínima ini
ial (D
min
) para não haver 
olisão?
Vo1Vo2
X
0
2 1
D
Vejam o gabarito da provinha 1.
2. (2,0) Responda se é falso ou verdadeiro e justi�que:
(a) O movimento 
onhe
ido 
omo movimento 
ir
ular uniforme é um tipo de movimento a
elerado. Falso
( ) Verdadeiro ( X )
Sempre que a velo
idade muda, há a
eleração. No movimento 
ir
ular uniforme, o módulo da velo
idade é
onstante mas a direção e o sentido não, portanto o vetor velo
idade não é 
onstante (
omo o nome pode
sugerir); há uma a
eleração (
onhe
ida 
omo 
entrípeta).
1
(b) A velo
idade de um 
orpo é des
rita pelo grá�
o abaixo, no qual velo
idade e tempo são medidos em
unidades do SI. Falso ( ) Verdadeiro ( X )
25
−15
4
7 9 10
13
t
v(t)
A partir do grá�
o podemos a�rmar que, em t = 0,
a velo
idade do 
orpo é 25 m/s, passando o 
orpo a
frear 
om a
eleração 
onstante até parar instantanea-
mente logo após t = 4 s; imediatamente depois de parar
o 
orpo 
omeça a a
elerar, novamente 
om a
eleração
onstante, até o instante t = 7 s. A partir de então
passa a se mover 
om velo
idade 
onstante por um 
erto
tempo, no sentido de x de
res
ente.
A velo
idade ini
ial é mesmo 25 m/s; entre t = 0 e t = 7 a a
eleração é 
onstante negativa (a in
linação
do grá�
o é negativa); no iní
io, entre t = 0 e pou
o mais que t = 4 s, a velo
idade é positiva mas está
diminuindo em módulo, portanto o 
orpo está freando (sempre que a e v tem sinais diferentes o 
orpo está
freando); Depois que o grá�
o 
ruza o eixo dos tempos, a velo
idade passa a ser negativa e seu módulo
aumenta, portanto o 
orpo está a
elerando (sempre que a e v tem o mesmo sinal, o 
orpo está a
elerando).
Depois disso, por um tempo, permane
e 
om a velo
idade 
onstante; Sabemos que está se movendo �no
sentido de x de
res
ente� pois a velo
idade é negativa.
Não é o sinal da a
eleração que de�ne se um 
orpo está a
elerando ou freando. Um exemplo 
onhe
ido
dessa situação é o movimento de um objeto lançado verti
almente para 
ima, próximo à superfí
ie da Terra:
durante todo o tempo (subida e des
ida) a a
eleração é 
onstante e a mesma (de módulo g); o sinal �+�
ou ��� vai depender do eixo y estar orientado �para 
ima� (�) ou para baixo (+). Mas embora a a
eleração
seja 
onstante o tempo todo (por exemplo, -g), na subida o 
orpo está freando, e na des
ida, a
elerando.
(
) Ainda em relação ao 
orpo que se move segundo o grá�
o do item (b) a
ima, podemos a�rmar que
tanto no intervalo 9 < t < 10 
omo no intervalo 10 < t < 13 a a
eleração é positiva, sendo seu módulo
maior no primeiro intervalo de tempo. Falso ( ) Verdadeiro ( X )
A a
eleração é igual à in
linação da reta tangente, e em ambos os tre
hos a in
linação da reta é positiva;
no primeiro intervalo essa in
linação é maior que no segundo, portanto a a
eleração é maior no primeiro
intervalo.
(d) Durante o seu estudo de me
âni
a, um aluno realizou diversos experimentos sobre o movimento de um
móvel.
Revisando-os, reuniu as �guras 1, 2, 3 e 4, obtidas em ex-
perimentos diferentes. Os pontos indi
am as posições do
móvel em intervalos de tempo su
essivos e iguais. Anal-
isando as �guras, o
orreu ao aluno a seguinte pergunta:
em quais experimentos o vetor a
eleração é diferente de
zero? Pensando sobre o assunto, 
hegou à 
on
lusão que
ela foi diferente de zero em todos os 
asos, menos no 
aso
(2). Falso ( X ) Verdadeiro ( )
Em todos os 
asos há a
eleração (ver resposta do item a). Simplesmente a
ertar o �X� em falso/veradeiro,
sem a justi�
ativa 
orreta foi 
onsiderado errado.
2
3. (2,5) Uma 
riança, de pé na beira de um penhas
o, de altura ho = 10 m, dá um 
hute em uma pedra que
ai no mar a uma distân
ia D da base do penhas
o. O módulo da velo
idade ini
ial da pedra, logo após o
hute, é 10 m/s, e a direção do 
hute é tal que a velo
idade forma um ângulo de 30o 
om a direção horizon-
tal, (paralela à superfí
ie do mar). Nas suas respostas, adote sempre o sistema de 
oordenadas da �gura.
Dado: sen 30o =
1
2
e cos 30o =
√
3
2
.
g
Vo
ho
D
θ
Y
X
(a) (0,5) Es
reva, no sistema de 
oordenadas do desenho, as funções x(t) e y(t) que des
revem, respe
ti-
vamente, as 
omponentes horizontal e verti
al do movimento da pedra.
Só há a
eleração na direção y, e esta é 
onstante (a
eleração da gravidade). Portanto o 
orpo realiza
um MRU na direção x e um MRUV na direção y. No sistema de 
oordenadas da �gura, temos que
a 
omponente da velo
idade ini
ial na direção x é v0x = v0 cos θ, a 
omponente da velo
idade ini
ial
na direção y é v0y = v0senθ, a 
oordenada x0 ini
ial da pedra é x0 = 0 e a 
oordenada y0 ini
ial da
pedra é ho = 10 m.
x(t) = x0︸︷︷︸
=0
+ v0xt = v0 cos θ t = 5
√
3 t;
y(t) = y0︸︷︷︸
=ho
+ v0senθ t− 1
2
gt2 = 10 + 5 t− 5t2.
(b) (0,5) Es
reva, em função do tempo, o vetor posição ~r(t), o vetor velo
idade ~v(t) e o vetor a
eleração
~a(t) para esse movimento, em função dos versores ~ı e ~.
~r(t) = x(t)~ı+ y(t)~ =
(
5
√
3 t
)
~ı+
(
10 + 5 t− 5t2
)
~;
~v(t) =
d~r(t)
dt
= 5
√
3~ı+ (5− 10t) ~;
~a(t) =
d~v(t)
dt
= −10~.
(
) (1,0) Cal
ule a distân
ia D.
A pedra to
a a água em um instante ta tal que y(ta) = 0. Portanto:
y(ta) = 10 + 5 ta − 5 t2a = 0 =⇒ 2 + ta − t2a = 0
Portanto, pela fórmula de Bhaskara (a = -1, b = 1 e 
 = 2; a resposta é a mesma, 
laro, se assumirmos
a = -5, b = 5 e C = 10).
ta =
−1±√12 + 4× 2
−2 =⇒ ta = −1s ou ta = 2 s.
3
Nesse intervalo de tempo, na direção x, a pedra terá se deslo
ado de D:
D = x(ta) = 5
√
3 ta = 10
√
3 m.
(d) (0,5) Es
reva, em função dos versores ~ı e ~, o vetor velo
idade da pedra no instante em que ela to
a
a água.
~v(ta) = 5
√
3~ı+ (5− 10t a) ~ = 5
√
3~ı− 15~.
4. (3,0) Um 
orpo em movimento 
ir
ular se move em sentido anti horário sobre um 
ír
ulo de raio R = 2 m,
de tal forma que seu movimento é des
rito pela equação
θ(t) =
√
3 t− 2t2 + t3, θ em radianos.
Dado:
d
dt
Atn = An tn−1 e
∫
Atn dt =
A
n+ 1
tn+1
(a) Es
reva a velo
idade angular ω(t) em função do tempo. Qual a velo
idade angular ini
ial?
ω(t) =
dθ(t)
dt
=
√
3− 4t+ 3t2; ω(t = 0) = ω0 =
√
3 rad/s.
(b) Qual o módulo da velo
idade linear v no instante t = 0?
v = ωR =⇒ v(t = 0) = ω(t = 0)R = 2
√
3 m/s.
(
) Es
reva a a
eleração angular α(t) em função do tempo. Qual a a
eleração angular no instante t = 0?
α(t) =
dω(t)
dt
= −4 + 6t; α(t = 0) = α0 = −4 rad/s2.
(d) Es
reva o módulo da a
eleraçãoradial (ou 
entrípeta) e da a
eleração tangen
ial, no instante t = 0.
acp(t = 0) = ω
2
0 R = 6 m/s
2; at(t = 0) = α0R = 8 m/s
2;
(e) Qual o módulo do vetor a
eleração em t = 0?
|~a| = a =
√
a2cp + a
2
t = 10 m/s
2.
(f) Qual o ângulo que o vetor a
eleração forma 
om a direção radial em t = 0? (di
a: faça um desenho
para entender o que está a
onte
endo e 
al
ule a tangente deste ângulo).
tan θ =
at
acp
=
6
8
=
3
4
.
Há diversas outras formas de en
ontrar esse ângulo: 
al
ulando o seno ou o 
osseno, 
om produto
es
alar, et
.
4