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L da func¸a˜o coincida com f(x):
Definic¸a˜o 0.1. Uma func¸a˜o f : I → R e´ cont´ınua em x ∈ I se toda sequeˆncia xn de
pontos de seu domı´nio com
lim
n→+∞
xn = x
tenha tambe´m
lim
n→+∞
f(xn) = f(x).
Quando dissermos apenas que f e´ cont´ınua estamos querendo dizer f que e´ cont´ınua
em cada ponto de seu Domı´nio.
Observac¸o˜es:
• Quer dizer enta˜o que, se uma func¸a˜o e´ cont´ınua em x, e´ porque ela manda
todas sequeˆncias contidas no Domı´nio I de f que se aproximam de x em
sequeˆncias no Contra-Domı´nio que se aproximam de f(x).
• Conclu´ımos que, para na˜o termos a continuidade de f em x ∈ I, tem
que haver pelo menos uma sequeˆncia xn de pontos de seu domı´nio com
limn→+∞ xn = x, mas para as qual limn→+∞ f(xn) 6= f(x) .
Isso pode acontece ou porque simplesmente na˜o existe esse limite ou,
mesmo existindo, pode ser que seja diferente de valor esperado f(x).
• So´ faz sentido dizer que f e´ descont´ınua (na˜o-cont´ınua) em pontos x de seu
Domı´nio1
Exemplos de descontinuidades :
1- f : R → R definida condicionalmente por: f(x) = x se x ≤ 0 e por x + 4 se
x > 0. Nesse exemplo, sequeˆncias xn < 0 que tendem a zero tem f(xn) tendendo a
0; mas sequeˆncias xn > 0 que tendem a zero tem f(xn) tendendo a 4.
2- f : [0, 5] → R, definida condicionalmente por f(0) = 3 e f(x) = 1/x, se
x ∈ (0, 5]. Aqui, sequeˆncias de nu´meros positivos xn que tendam a 0 tem f(xn)
ficando ta˜o grande quanto quisermos, ou seja se afastando de f(0) := 3.
1Ao contra´rio do que faz o Anton em seu livro de Ca´lculo, para quem f : R \ {0} → R e´
descont´ınua em x = 0 !!!
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1. OPERAC¸O˜ES COM FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS 72
3- f : [0, 1
pi
] → R, f(0) = 0 e f(x) = sen(1/x), se x ∈ (0, 1
pi
] (aqui apelo apenas
para o conhecimento de base, de que seno e´ uma func¸a˜o perio´dica, que tem valores
em [−1, 1] e que se anula em pi). Aqui se tomamos xn > 0 conveniente tendendo a 0,
podemos conseguir f(xn) tendendo para qualquer Lxn ∈ [−1, 1].
1
0,5
0
-0,5
-1
x
0,30,250,20,150,10,05
Figura: O gra´fico de f(0) = 0 e f(x) = sin( 1
x
) se x ∈ (0, 1
pi
].
1. Operac¸o˜es com func¸o˜es cont´ınuas
O pro´ximo Teorema simplesmente re-escreve alguns itens do Teorema 1.1, no caso
em em x esta´ no domı´nio de ambas as func¸o˜es e em que L1 = f(x) e L2 = g(x).
Teorema 1.1. (Propriedades das func¸o˜es cont´ınuas) Suponha que f e g ambas sa˜o
cont´ınuas em x, ou seja:
lim
x→x
f(x) = f(x) e lim
x→x
g(x) = g(x).
Enta˜o:
1) A func¸a˜o soma f + g e´ tambe´m cont´ınua em X ou seja
lim
x→x
(f + g)(x) = (f + g)(x).
2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g e´ tambe´m cont´ınua em X ou seja
lim
x→x
(f − g)(x) = (f − g)(x).
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(c) := C · f(x) e´ cont´ınua,
ou seja:
lim
x→x
(C · f)(x) = C · f(x)
4) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem
lim
x→x
(f · g)(x) = (f · g)(x).
5) Se g(x) 6= 0:
• i) se x e´ suficientemente pro´ximo de x, enta˜o g(x) 6= 0 e
• ii) lim f(x)
g(x)
= f(x)
g(x)
.
A Afirmac¸a˜o 3.1 e a definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua implicam:
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 73
Afirmac¸a˜o 1.1. (Princ´ıpio de Ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas) Seja f : I → R
cont´ınua em x, definida num intervalo aberto I.
• se f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 num intervalo aberto centrado em x.
• se f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 num intervalo aberto centrado em x.
Deixo a prova como um exerc´ıcio para o leitor, se bem que a figura a seguir diz
quase tudo:
δ−x x + δ
L−ε
ε+L
x
L > 0
Figura: f e´ cont´ınua e positiva m x.
O Teorema a seguir e´ enunciado para a composic¸a˜o de 2 func¸o˜es, mas pode ser
adaptado facilmente para qualquer nu´mero (finito) de composic¸o˜es de func¸o˜es.
Afirmac¸a˜o 1.2. Seja g : I → J e f : J → K func¸o˜es de intervalos em intervalos.
Suponha que g e´ cont´ınua em x e que f e´ cont´ınua em g(x). Enta˜o a func¸a˜o
composta
(f ◦ g)(x) := f(g(x))
e´ cont´ınua em x.
Se g e f sa˜o cont´ınuas, enta˜o f ◦ g e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o.
Queremos saber se para qualquer sequeˆncia (xn)n que tende a x, com xn ∈ I,
temos que a sequeˆncia f(g(xn)) ∈ K tende para f(g(x)).
O que sabemos pelas hipo´teses sobre f e sobre g e´, primeiro, que se xn ∈ I tende
a x enta˜o g(xn) ∈ J tende a g(x).
Mas agora consideramos
z := g(x), e zn := g(xn).
Essa sequeˆncia zn e´ uma sequeˆncia que tende a z. Pela hipo´tese de continuidade da
f , temos que f manda a sequeˆncia zn em uma sequeˆncia f(zn) = f( g(xn) ) que tende
a f(z) = f(g(x)): exatamente o que quer´ıamos.
�
Na pra´tica a Afirmac¸a˜o 1.2 permite-nos fazer a seguinte troca:
lim
x→x
f( g(xx) ) = f( lim
x→x
g(xx) ),
2. POLINOˆMIOS, FUNC¸O˜ES RACIONAIS E TRIGONOME´TRICAS 74
o que e´ muito u´til para calcular limites.
2. Polinoˆmios, func¸o˜es racionais e trigonome´tricas
2.1. Polinoˆmios.
Na˜o imagino um exemplo mais simples de func¸a˜o cont´ınua que a func¸a˜o constante
: f(x) ≡ C, C ∈ R. E´ claro que limx→x f(x) = C, pois f(x) = C simplesmente na˜o
depende de x ou de x particulares.
Outro exemplo que e´ cont´ınua e´ a func¸a˜o identidade f(x) = x, pois obviamente
lim
x→x
f(x) = lim
x→x
x = x.
Uma consequeˆncia do Teorema 1.1 e´ que os polinoˆmios :
f(x) := an · xn + an−1 · xn−1 + . . .+ a1 · x+ a0, onde ai ∈ R
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas. De fato, para um polinoˆmio usamos um nu´mero finito de vezes
os itens 1), 2) , 3) e 4).
2.2. Func¸o˜es racionais.
O item 5) do Teorema 1.1 diz enta˜o que a func¸a˜o F : R \ {0} :→ R, F (x) = 1
x
e´
cont´ınua, pois numerador e denominador sa˜o cont´ınuos.
Isso e´ um pouco chocante, pelo aspecto do gra´fico dessa, formado de duas partes.
Se leˆ em alguns livros que uma func¸a˜o cont´ınua na˜o tem rasgos no seu gra´fico, mas
o correto e´ dizer que uma func¸a˜o cont´ınua na˜o introduz rasgos. Se o pro´prio domı´nio
dela ja´ e´ formado como neste exemplo de dois pedac¸os como o de 1
x
,
R \ {0} = R>0 ∪ R<0
enta˜o o gra´fico pode ter dois pedac¸os, so´ na˜o poder ter mais de dois pedac¸os.
O que sempre ficaria descont´ınua e´ qualquer tentativa de estender f(x) = 1
x
ao
ponto x = 0, pois se aproximando x pela direita 1/x > 0 fica ta˜o positivo quisermos
e aproximando x pela esquerda 1/x < 0 fica ta˜o negativo quanto quisermos.
Generalizando o exemplo 1
x
, defino uma func¸a˜o racional como o quociente P1(x)
P2(x)
de dois polinoˆmios. Resta saber, se adotamos esta definic¸a˜o, onde a func¸a˜o racional
esta´ bem definida como func¸a˜o.
Vale o seguinte: se P1(x) e P2(x) na˜o teˆm ra´ızes comuns, enta˜o
P1(x)
P2(x)
tem como
Domı´nio exatamente o conjunto
{ x ; P2(x) 6= 0 }.
E P1(x)
P2(x)
e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Pore´m, suponha que P1(x) e P2(x) teˆm alguma ra´ız comum x, que e´ de ordem
m1 ≥ 1 para P1(x) e de ordem m2 ≥ 1 para P2(x). Enta˜o P1(x)P2(x) estara´ definida em x
se e somente se
m1 ≥ m2.
Relembro essas noc¸a˜o de ordem ou multiplicidade de uma ra´ız:
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 75
Definic¸a˜o 2.1. Seja f(x) polinoˆmio a coeficientes Reais.
Dizemos que x e´ ra´ız de ordem exatamente m, se
f(x) = (x− x)m · g(x), m ∈ N,
para um g(x) polinoˆmio a coeficientes Reais que na˜o se anula em x.
2.3. Trigonome´tricas.
Considere agora um c´ırculo de raio 1.
Podemos usar o comprimento do arco do c´ırculo (medido no sentido antihora´rio
desde o eixo x > 0) como uma medida do aˆngulo central.
Assim um aˆngulo de 360 graus (antihora´rio, desde o eixo x > 0)) mede +2pi (onde
pi e´ tomado no sentido elementar de quociente entre o per´ımetro e diaˆmetro de um
c´ırculo). Um aˆngulo de 90 graus antihora´rio mede +pi/2, o de 180 antihora´rio mede
+pi. E´ claro que ha´ sempre uma ambiguidade de k · 2pi nesse modo como medimos o
aˆngulo central.
A medida da projec¸a˜o no eixo y (orientada como o eixo y) do arco de comprimento
θ e´ o seno do aˆngulo