Apostila completa de Cálculo III

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
NOTAS DE AULA – CÁLCULO 3 
 
PROFESSOR JÚLIO CÉSAR 
2014 
 
 
 
 
2 
 
 
ÍNDICE 
Capítulo 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
1.1 – Introdução ..................................................................................................................... 3 
1.2 – Solução de uma equação diferencial ............................................................................ 4 
1.3 – Ordem e grau de equações diferenciais ....................................................................... 4 
1.4 – EDO de primeira ordem ................................................................................................ 4 
1.4.1 – EDO de primeira ordem – variáveis separáveis ........................................................ 5 
1.4.2 – EDO de primeira ordem – homogênea ...................................................................... 7 
1.4.3 – EDO de primeira ordem – linear ................................................................................ 11 
1.4.4 – EDO de primeira ordem – diferencial exata ............................................................... 14 
1.5 - Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem .................................................... 17 
1.5.1 – EDO de segunda ordem – linear ............................................................................... 17 
1.5.2 – EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes .................................... 17 
1.5.2.1 – EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes ............. 17 
 
CAPÍTULO 2 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
2.1 – Introdução ..................................................................................................................... 22 
2.2 – Definição ....................................................................................................................... 22 
2.3 – Determinação de transformadas de Laplace ................................................................ 23 
2.4 – Tabela ........................................................................................................................... 25 
2.5 – Teoremas das transformadas de Laplace..................................................................... 26 
2.5.1 - Teorema da linearidade ............................................................................................. 26 
2.5.2 - Primeiro teorema de deslocamento da variável s...................................................... 27 
2.5.3 - Transformada de Laplace da derivada....................................................................... 27 
 
CAPÍTULO 3 – SÉRIE DE FOURIER 
3.1 – Introdução ..................................................................................................................... 37 
3.2 – Paridade das funções ................................................................................................... 38 
3.3 – Série de Fourier ............................................................................................................ 39 
3.4 – Casos particulares da série de Fourier ......................................................................... 43 
3.5 – Aproximação de funções pela série de Fourier ............................................................ 
 
44 
3 
 
CAPÍTULO 1 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. 
 
1.1 – Introdução 
 
Equação diferencial é uma equação que envolve uma ou mais derivadas/diferenciais. 
Quanto ao tipo, classificam-se em equações diferenciais ordinárias (EDO) ou equações 
diferenciais parciais (EDP). 
As equações diferenciais ordinárias envolvem funções y que só dependem de uma 
variável, por exemplo, x. As funções derivadas que aparecem são, portanto, as totais. Já as 
equações diferenciais parciais envolvem funções y que dependem de mais de uma variável, por 
exemplo, x e t. Assim, as funções derivadas serão as parciais. Seguem dois exemplos. 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
No primeiro exemplo perceba que y = y (x) e no segundo, y = y(x,t). 
 
Alguns exemplos de aplicações das equações diferenciais seguem abaixo. 
 
Engenharia elétrica – circuito RLC série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia mecânica – oscilador harmônico amortecido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1.2 – Solução de uma equação diferencial 
 
 Diz-se que uma função y = y(x) é solução de uma equação diferencial ordinária quando 
esta última é identicamente satisfeita ao substituirmos y(x) e suas derivadas. 
 
Exemplo – Considere a função y(x) = c1.cosx + c2.senx em que c1 e c2 são constantes arbitrárias 
quaisquer. Mostre que y(x) é solução da seguinte EDO. 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
y(x) = c1.cosx + c2.senx 
 
y´(x) = - c1.senx + c2.cosx 
 
y”(x) = - c1.cosx - c2.senx 
 
Substituindo na equação temos: 
 
- c1.cosx - c2.senx + c1.cosx + c2.senx = 0 
0 = 0 
 
1.3 – Ordem e grau de equações diferenciais 
 
 Denomina-se ordem de uma equação diferencial a ordem da mais alta derivada que 
aparece na equação. A EDO 
 
 
 
 
 
 é de terceira ordem. O grau de uma equação 
diferencial é o expoente da derivada de maior ordem. A EDO (y”)3 + 3.(y´)12 + 6.y = tgx é de 
terceiro grau. 
 
1.4 – EDO de primeira ordem 
 
Em relação às equações diferenciais de primeira ordem utilizaremos técnicas distintas para 
a resolução de acordo com cada um dos seguintes casos: variáveis separáveis, homogêneas, 
lineares e diferenciais exatas. 
 
5 
 
1.4.1 – EDO de primeira ordem – variáveis separáveis 
 
Uma EDO de primeira ordem poderá ser resolvida por integração se for possível agrupar 
dy e y e dx com x, ou seja, escrever da seguinte maneira: 
 
f(y).dy + g(x).dx = 0 
 
A solução geral para esta equação será dada a partir da integração de ambos os membros 
da equação anterior. 
 
 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Solução: Inicialmente agruparemos dy e y e dx e x: 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando ambos os membros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela de integrais imediatas, teremos: 
 
arct(y) – x + lnx+1 = C 
 
arct(y) = x - lnx+1 + C 
 
6 
 
Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: 
 
a) 
 
 
 
 
b) x.(2y-3).dx + (x2+1).dy = 0 
 
c) x2.(y2+1).dx + y. .dy = 0 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
h) x. 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
j) 
 
 
Resp: 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 d) ey – ex = C 
 
e) 
 
 
 
 
 f) 2cosx = senh(2y) + k g) 
 
 
 
 
 
h) 2.ey.y -2.ey + x2 + 2lnx = C i) y = x + 5ln(x +1) + C j) 
 
 
 
 
 
 
7 
 
1.4.2 – EDO de primeira ordem – homogênea 
 
Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea quando pode ser posta sob a forma: 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 
 
A seguir segue um exemplo de EDO homogênea.A resolução se dá pela introdução da variável 
 
 
. 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: 
 
 
 
Solução: Inicialmente mostraremos que é esta EDO é homogênea, ou seja, é possível 
escrevermos da forma 
 
 
 onde 
 
 
: 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando 
 
 
, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
A partir da técnica aprendida para a resolução de EDO de primeira ordem homogênea, 
sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
A primeira integral é da tabela e é igual a: 
 
 
 
A segunda integral pode ser assim resolvida: 
 
 
 
 
 
 
Considere . Assim, dv = 6u.du. Substituindo teremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a solução geral será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas 
 
 
. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
e) 
 
f) (x2 + y2).dy – 2xy.dx = 0 
 
g) (x2 + y2).dy + 2xy.dx = 0 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.3 – EDO de primeira ordem – linear 
 
Uma EDO de primeira ordem é dita linear quando pode ser posta sob a forma: 
 
 
 
 
 A técnica adotada para a resolução destas EDOs baseia-se na multiplicação do fator de 
integração a seguir: 
 
 
 
Tal que 
 
 
 
 
Multiplicando-se a EDO pelo fator de integração teremos: 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: 
 
 
 
 
 
Solução: Observe que se trata de uma EDO linear, pois temos que: 
 
 
 
 
Onde P(x) =1 e Q(x) = ex 
 
Inicialmente determinaremos o fator integrante: 
 
 
 
 
 
Agora podemos aplicar a técnica, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 2. 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) x. 
 
f) x. 
 
g) 
 
h).( 
 
 
1.4.4 – EDO de primeira ordem – diferencial exata. 
 
Uma EDO que pode ser escrita da forma e que goza da 
propriedade 
 
 
 
 
 
, chama-se diferencial exata. 
Observe que a equação é exata pois M(x,y) = (x+y) e N(x,y) 
= (x + y2) e 
 
 
 e 
 
 
 
 
 A técnica para resolver uma equação exata consiste em determinar uma função f(x.y) tal 
que: 
 
df(x,y) = M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 
 
Assim, f(x,y) = C. 
 
15 
 
 Observe que 
 
 
 
 
 
 . Assim, 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 Integrando 
 
 
 em relação à variável x teremos: 
 
 
 
 Derivando parcialmente em relação à variável y teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que 
 
 
 , podemos escrever que: 
 
 
 
 
 
 
 Isolando-se g´(y) e integrando-se em relação à variável y, encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, podemos determinar a solução f(x,y) da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: 
 
 
 
Solução: Inicialmente mostraremos que é esta EDO é exata: 
 
 e 
 
 
 
 e 
 
 
 
Como a condição 
 
 
 
 
 
 é verificada temos que a EDO é exata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
Resp: 
 
1) 
 
 
 2) 
3) 4) 
 
 
 
17 
 
1.5 - Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem 
 
1.5.1 – EDO de segunda ordem – linear. 
 
Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma: 
 
a(x).y” + b(x).y´ + c(x).y = d(x) 
 
Para equações lineares de segunda ordem, se d = d(x) é diferente de zero, a equação 
linear será dita não homogênea e se d = d(x) = 0 a equação linear será dita homogênea. As 
equações diferenciais ordinárias x2y” + sin(x)y + exy = 0 e y” − 7y + 12y = 0 são lineares e 
homogêneas. 
 
1.5.2 – EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
São as EDOs em que os coeficientes a(x), b(x) e c(x) são constantes. Para resolver este 
tipo de equação linear não homogênea devemos obter a solução geral da equação linear 
homogênea associada e depois obter uma solução particular. A solução geral para a EDO dada 
será, a soma da solução geral da equação homogênea somada à solução particular. 
 
1.5.2.1 – EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
 Neste caso a equação é do seguinte tipo: 
 
a.y” + b.y´ + c.y = 0 
 
Ondea, b e c são constantes reais. 
 
Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a 
equação característica associada à mesma, dada por: 
 
a.r2 + b.r + c = 0 
 
Como a equação característica é uma equação do segundo grau, três são as 
possibilidades para as raízes: 
a) Duas raízes reais distintas; 
b) Duas raízes reais e iguais; 
c) Duas raízes imaginárias. 
18 
 
A partir de cada um dos três casos anteriores e teremos as seguintes soluções gerais para 
a EDO linear homogênea de segunda ordem. 
 
Caso a - Duas raízes reais distintas; 
 
Considere que r1 e r2 são as duas raízes reais distintas da equação característica. Assim, a 
solução geral da EDO será dada por: 
 
 
 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: 
 
Equação característica: r2 + r – 2 = 0 e as raízes são r1 = -2 e r2 = 1 
 
Como são duas raízes reais distintas, temos que a solução geral da EDO será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso b - Duas raízes reais iguais; 
 
Considere que r1 = r2 = r são as duas raízes reais iguais da equação característica. Assim, 
a solução geral da EDO será dada por: 
 
 
 
 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: 
 
Equação característica: r2 +4r + 4 = 0 e as raízes são r1 = r2 = r = -2 
19 
 
Como são duas raízes reais iguais, temos que a solução geral da EDO será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso c - Duas raízes imaginárias; 
 
Considere que r1 = e r2 = são as duas raízes da equação característica. 
Assim, a solução geral da EDO será dada por: 
 
 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: 
 
Equação característica: r2 +2r + 2 = 0 e as raízes são r1 =-1 + i e r2 = -1 – i. Assim,  = -1 e  = 1. 
 
Como são duas raízes imaginárias, temos que a solução geral da EDO será: 
 
 
 
 
 
Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de segunda ordem a seguir: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 2) 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem com as seguintes 
condições iniciais: 
 
 
 
 
 
 
 e y(0) = 0 e y´(0) = -1 
 
Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: 
 
Equação característica: r2 +2r -1 = 0 e as raízes são r1 =-1 + 2 e r2 = -1 – 2. 
 
Como são duas raízes reais distintas, temos que a solução geral da EDO será: 
 
 
  
  
Condições iniciais: 
 
Y(0) = 0  
  
   0 
 
Derivando a solução geral teremos que: 
 
  
   
  
 
Como y´(0) = 1: 
 
  
   
  
 
   
 
Resolvendo o sistema entre as duas equações que envolvem c1 e c2, teremos: 
 
 
 
   
 
 
c1 = -2/4 e c2 = 2/4 
 
Assim a solução particular para as condições iniciais é: 
 
 
 
 
  
 
 
  
21 
 
Exercícios. Determine a solução para cada EDO de segunda ordem sujeita às condições iniciais 
dadas: 
 
a) y''16y 0, y(0) 2 e y'(0) -2 
b) y''6y'5y 0, y(0) 0 e y'(0) 3 
c) 2y' - 2y'5y 0, y(0) -1 e y'(0) 0 
d) y''y'2y 0, y(0) y'(0) 0 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
1) (PETROBRÁS) Seja y(x) a solução do problema de valor inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de y(1) é: 
 
a) 0 b) e c) e2 + 1 d) e2 + e e) e2 + 3e 
 
Resp: letra E 
 
2) (PETROBRÁS) Se y(t) é a solução do problema de valor inicial 
 
 
 
 
 
 
Então, y(1) vale: 
 
a) 9 b) 27/4 c) 5 d) 3 e) 2 
 
Resp: letra A 
 
 
 
 
 
 
22 
 
CAPÍTULO 2 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
2.1 – Introdução 
 
Diversas situações práticas na engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos em 
que ocorre a atuação de agentes impulsivos. A utilização da transformada de Laplace é 
particularmente útil para tais situações. 
A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferencias lineares 
com coeficientes constantes. Abaixo temos a possibilidade da utilização deste operador linear na 
resolução de um circuito elétrico. 
 
 
 
2.2 – Definição 
 
 Considere a função f(t) em que t  0. A transformada de Laplace de f é o operador linear 
simbolizado por L[f(t)] ou F(s) definido a partir da integral imprópria: 
 
 
 
 
NOTA: A integral imprópria quando convergente e determinada a partir de um limite no infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
2.3 – Determinação de transformadas de Laplace 
 
 A partir da definição apresentada na seção 2.2, é possível determinar as transformadas de 
Laplace para algumas funções elementares. Seguem alguns exemplos para ilustrar. 
Ex. 1 – Considere a função degrau definida por f(t) = 1 para t  0. Encontre a sua transformada de 
Laplace. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, para determinar a transformada de Laplace basta calcular: 
 
 
 
 
 
Solução de 
 
Seja u = -s.t. assim, du = -s.dt. Substituindo em I: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os limites de integração: 
 
 
 
 
 ) – ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Ex. 2 – Considere a função exponencial definida por f(t) = ea.t para t  0 e a < s. Encontre a sua 
transformada de Laplace. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, para determinar a transformada de Laplace basta calcular: 
 
 
 
 
 
Solução de 
 
 
 
 
Seja u = (a –s).t. assim, du = (a –s). dt. Substituindo em I:Substituindo os limites de integração: 
 
 
 
 
 ) – ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como s > a, temos: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Exercícios: Determine a partir da definição a transformada de Laplace das seguintes funções. 
 
a) f(t) = 5 
b) f(t) = e2t 
c) f(t) = e-4t 
d) f(t) = sen(3t) 
 
Respostas: a) F(s) = 5/s b) F(s) = 1/(s-2) c) F(s) = 1/(s+4) d) F(s) = 3/(s2 + 9) 
 
2.4 – Tabela 
 
 A resolução da transformada de Laplace a partir da definição pode ser por vezes, muito 
trabalhosa. Desta forma, segue uma tabela com algumas transformadas de Laplace. 
 
Função Transformada de Laplace 
f(t) = 1 
 
 
 
f(t) = tn (n = 1, 2, 3, ...) 
 
 
 
f(t) = e-a.t 
 
 
 
f(t) = tn .e-a.t (n = 1, 2, 3, ...) 
 
 
 
f(t) = sen(a.t) 
 
 
 
f(t) = cos(a.t) 
 
 
 
f(t) = senh(a.t) 
 
 
 
f(t) = cosh(a.t) 
 
 
 
 
Exemplo - Determine a transformada de Laplace da função f(t) = t2 
 
Solução: 
 
A partir da tabela, f(t) = tn com n = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
2.5 – Teoremas das transformadas de Laplace 
 
2.5.1 - Teorema da linearidade 
 
Como a transformada de Laplace envolve a integração, é natural que a transformada 
apresente algumas das propriedades das integrais, dentre as quais a linearidade. 
 
TEOREMA: Sejam f(t) e g(t) duas funções cujas transformadas de Laplace L[f(t)] e L[g(t)] existem 
e  e  constantes. Prova-se que: 
 
L[.f(t) + .g(t)] = .L[f(t)] + .L[g(t)] 
 
ATENÇÃO: Decorre diretamente do teorema da linearidade que L[α.f(t)] = α .L[f(t)] 
 
O teorema da linearidade permite que calculemos a transformada de algumas funções a 
partir de outras transformadas tabeladas. Seguem alguns exemplos. 
 
Exemplo 1 – Determine L[5+8t3] 
 
Solução: Pelo teorema da linearidade é correto afirmar que L[5+8t3] = L[5] + L[8t3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 – Mostre, utilizando o teorema da linearidade, que 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] = 
 
 
 
 
 
]= 
 
 
 
L = 
 
 
 
27 
 
Obs: Dizemos que f(t) é de ordem exponencial em [0, ∞) se existem constantes C > 0 e α tais que 
 . São exemplos de funções de ordem exponencial, f(t) = C, f(t) = tn, sen(a.t), 
cos (b.t), etc 
 
2.5.2 - Primeiro teorema de deslocamento da variável s 
 
Seja f(t) uma função contínua por partes e de ordem exponencial. Demonstra-se que: 
 
 
 
Exemplo - 1. Da tabela de transformadas de Laplace sabemos que 
 
 
 
. Determine 
 
Solução: Do 1º teorema de deslocamento da variável s 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - 2. Da tabela de transformadas de Laplace sabemos que 
 
 
 
 =
 
 
 Determine 
 
Solução: Do 1º teorema de deslocamento da variável s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios. Determine as seguintes transformadas de Laplace. 
 
a) 
b) 
 
2.5.3 - Transformada de Laplace da derivada 
 
Seja a função f(t). Considere que sua derivada f´(t) seja uma função contínua por partes e 
de ordem exponencial. Demonstra-se que: 
 
28 
 
 
Generalizando temos que: 
 
 
 
 
 
Caso particular para n = 2 
 
 
 
Exemplo. Empregando a transformada de Laplace da derivada, mostre que: 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Da transformada de Laplace da derivada temos que: 
 
 
f(t) = sen(a.t) 
f´(t)= a.cos(a.t) 
f´´(t) = -a2.sen(at) 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.4 - Mudança de escala (homotetia) na Transformada de Laplace 
 
Seja f(t) uma função contínua por partes e de ordem exponencial e a  0. Então: 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Obter a transformada de Laplace da função f(t) = cos(12t) 
 
Solução: 
 
Da tabela, f(t) = cost tem transformada de Laplace igual a: 
 
 
 
 
 
A partir da mudança de escala na transformada de Laplace, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.5 - Transformada de Laplace de funções periódicas 
 
Se f(t) é de ordem exponencial e de período principal p, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule L[f(t)], com 
 
 
 
 
 
 
f(t + 2) = f(t) 
 
30 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.6 – Teorema 
 
Suponha a função f(t) tal que . Demonstra-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule L[t.sen(t)] 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Para n = 1 e 
 
 
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Exercícios: 
 
1) (Analista Judiciário - Especialidade Engenharia Elétrica) O sinal de entrada de um sistema 
de controle está mostrado abaixo. 
 
 
 
 
A sua transformada de Laplace é dada por: 
 
a) E(s) = s + 5 
b) E(s) = 5s 
c) E(s) = s/5 
d) E(s) = 5s/s 
e) E(s) = 5/s 
 
GABARITO: LETRA E 
 
2) Determine a transformada de Laplace da função f(t) = sen2t 
 
 
Resp: 
 
 
 
 
 
3) Determine a transformada de Laplace das funções a seguir: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Resp: a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
4) Determine a transformada de Laplace da função f(t) definida por: 
 
 
 
 
 
 
Resp: 
 
 
 
 
32 
 
 
 
5) Determine a transformada de Laplace da cada uma das seguintesfunções f(t) 
 
a) f(t) = e2t.sen3t 
b) f(t) = t3.sen3t 
c) f(t) = e-3t.cos(t+4) 
 
Resp: a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
2.6 - Função degrau unitário 
 
Em aplicações que envolvem circuitos elétricos, é comum que a força externa que atua na 
equação seja descontínua. A transformada de Laplace se mostrará muito útil. 
 
A função degrau unitário é definida e denotada para c  0, por: 
 
 
 
 
 
 
 A seguir tem-se o gráfico da função degrau unitário u3(t). 
 
 
 
Podemos usar a função degrau para expressar funções descontínuas que podem ser 
obtidas por translação de funções conhecidas. Por exemplo, se tivermos a função g(t) cujo gráfico 
é igual ao gráfico da função f(t) transladado de uma distância c no sentido positivo do eixo t. 
 
33 
 
 
Podemos escrever g usando a função f e a função degrau da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
2o Teorema do deslocamento. 
 
Se L[f(t)] = F(s) existe para s > a e se c ∈ R, então a transformada de Laplace da função 
g(t) = uc(t)f(t − c) existe para s > a e é dada por: 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule L[f(t)], com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Podemos escrever a função f(t) da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o operador linear, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Teorema da linearidade 
 
 
 
 
 
 
2o Teorema do deslocamento e tabela 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 – Transformadas inversas de Laplace 
 
Considere que L[y(t)] = F(s) possa ser resolvida para y(t). A solução é “essencialmente” 
única e se chama Transformada Inversa de Laplace da função F(s), e é denotada por: 
 
y(t) = L-1[F(s)] 
A transformada inversa de Laplace também é um operador linear. Portanto: 
 
L−1[F1(s) + F2(s)] =L
−1[F1(s)] + L
−1[F2(s)] 
 
Exemplo: Calcule 
 
 
 
 
 
Solução: 
Observe que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela: 
 
 
 
 
 
2.7.1 - Primeiro teorema de deslocamento da variável s 
 
Seja f(t) uma função contínua por partes e de ordem exponencial tal que 
Demonstra-se que: 
 
 
 
35 
 
Exemplo: Calcule 
 
 
 
 
 
Solução: 
Observe que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
 
 e utilizando o teorema anterior: 
 
 
 
 
 
 
2.7.2 – Resolução de problemas de valor inicial 
 
Com a teoria desenvolvida até aqui, podemos aplicar a Transformada de Laplace para 
resolver problemas de valor inicial. Em resumo, transforma-se um Problema de Valor Inicial (PVI), 
em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta, sem o 
cálculo de integrais e derivadas. Abaixo segue um quadro esquemático: 
 
 
 
 
Exemplo: Utilize as transformadas de Laplace para resolver o problema de valor inicial a seguir: 
 
y´´ - y = 1; y(0) = 0 e y´(0) = 1 
 
Inicialmente aplica-se o operador L em ambos os lados da equação diferencial ordinária. 
 
L[y´´] – L[y] = L[1] 
36 
 
Lembrando que L[y´´] = s2L[y] – s.f(0) –f´(0), teremos que: 
 
L[y´´] = s2L[y] – s.y(0) –y´(0) 
 
L[y´´] = s2L[y] – 1 
 
 
Assim, 
s2L[y] – 1 – L[y] = L[1] 
 
L[y].(s2 – 1) = L[1] +1 
 
L[y].(s2 – 1) = 1/s +1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relembrando frações parciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial, usando transformadas de Laplace. 
 
 
a) y” - 3y´+ 2y = 0; y(0) = 3 e y´(0) = 4 
 
b) y´ + y = e−t ; y(0) = 5 
 
c) y” − 2y´ − 3y = 6et, y(0) = 1, y´(0) = 3 
 
 
Resp: a) y(t) = 2.et + e2t b) y(t) = te−t + 5e−t c) y(t) = = -3et/2+ 3e−t /4 + 7e3t /4 
37 
 
 
CAPÍTULO 3 – SÉRIE DE FOURIER 
 
3.1 – Introdução 
 
Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo P, chamado período de f, 
tal que f(x) = f(x + P) para todo x no domínio de f. O gráfico de uma função periódica é obtido pela 
repetição de qualquer intervalo de comprimento P. 
 
 
O menor valor possível para P é denominado período principal ou fundamental (T). As 
funções seno e cosseno têm períodos principais T iguais a 2. Já a função tangente tem período 
principal T igual . 
 
 
Obs: 
 
a) Se f(x) é periódica de período T, tem período principal 
 
 
 
Ex. sen(3x). Como senx tem período principal 2, sem(3x) terá período principal 2/3 
 
b) Se f(x) é periódica de período T, 
 
 
 tem período principal 
Ex. tg(x/4). Como tg(x) tem período principal , tg(x/4) terá período principal 4 
 
38 
 
3.2 – Paridade das funções. 
 
3.2.1 – Função par 
 
Uma função f : R R é dita par se f(x) = f(-x); x no domínio de f. Geometricamente, se f 
é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, ou seja, que f(a) = f(-a), f(b) = f(-b) etc. 
 
 
Alguns exemplos de funções pares são f(x) = c (função constante), f(x) =  x , f(x) = x2, f(x) 
= x4 e f(x) = cos(x) 
 
3.2.2 – Função ímpar 
 
Uma função f : R R é dita ímpar se f(-x) = - f(x); x no domínio de f. Geometricamente, 
se f é par seu gráfico é simétrico em relação à origem, ou seja, que f(-a) = - f(a), f(-b) = -f(b) etc. 
 
 
 
 
Alguns exemplos de funções ímpares são f(x) = x, f(x) = x3 e f(x) = sen(x) 
 
A grande maioria das funções que ocorrem não é nem par nem ímpar. As funções pares e 
ímpares são importantes, pois suas representações em séries de Fourier aparecem em situações 
importantes da Física- Matemática e Engenharia. 
 
39 
 
3.2.3 – Propriedades das funções par / ímpar 
 
A soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem 
propriedades importantes que simplificarão bastante nosso trabalho na representação em Séries 
de Fourier de funções pares e ímpares. 
 
 A soma (diferença) de duas funções pares é par; 
 a soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; 
 a soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar. 
 O produto (quociente) de duas funções pares é par. 
 O produto (quociente) de duas funções ímpares é par. 
 O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar. 
 
Seja uma função f(x) integrável no intervalo [–L ; +L]. Considere ainda as possibilidades abaixo: 
 
a) Se f(x) é par, 
 
 
 
 
 
 
b) Se f(x) é ímpar, 
 
 
 
 
Ex. Como a função senx é ímpar, 
 
 
 
Ex . Uma vez que a função cosx é par, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 2 
 
3.3 – Série de Fourier 
 
Considereuma função f(x) e que desejemos fazer sua aproximação por meio de um 
polinômio trigonométrico, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Na determinação dos coeficientes a0, an e bn podemos integrar sobre qualquer intervalo de 
comprimento T; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente. 
 
Exemplo: Determine a representação em Série de Fourier da onda quadrada mostrada na figura. 
 
 
Solução: 
 
A função f(x) é periódica e tem período principal T = 2 e pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 ; f(x) = f(x+2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de a0 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
41 
 
Determinação de an: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de bn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que se: 
 
 n for par, teremos que cos(n.) = 1 
 n for ímpar, teremos que cos(n.) = -1 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
b2 = b4 = b6 = ....=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
3.4 – Casos particulares para a série de Fourier 
 
Considerando a função periódica f(x) com período principal T = 2, as expressões para a 
determinação dos coeficientes a0, an e bn apresentam simplificações e podem ser assim escritas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
 
1) Considerando f(x) uma função par e, como a função seno é ímpar, temos que f(x). sen(n.x) é 
ímpar e, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A série de Fourier de uma função periódica par, que possui período principal T = 2, é uma 
série de Fourier em cossenos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
2) Considerando f(x) uma função ímpar e, como a função cosseno é par, temos que f(x). cos(n.x) 
é ímpar e, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A série de Fourier de uma função periódica par, que possui período principal T = 2, é uma 
série de Fourier em senos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 - Aproximação de função pela série de Fourier 
 
Considerando a função periódica f(x) =  x  com período principal T = 2. A sua 
aproximação pela série de Fourier é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando gráficos, mostraremos o processo de aproximação de f com estas primeiras 
somas parciais. 
 
 
 
45 
 
As figuras representam a função modular f(x) =  x  e a sua expansão em série de Fourier 
com uma, duas três e quatro parcelas, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O último gráfico revela que a aproximação com quatro parcelas é bastante razoável. 
 
Tomemos agora outro exemplo para exemplificar a aproximação de funções periódicas 
pela série de Fourier. Considere a função da onda quadrada mostrada na figura. 
 
 
A sua expansão em série de Fourier é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando uma, duas, três e quatro parcelas, teremos as seguintes situações: 
 
 
46 
 
Exercícios 
 
 
1) Determine o período fundamental dos sinais abaixo: 
 
a) x(t) = 2 cos (4t + /6) 
 
b) x(t) = [cos(4t - /3)]2 
 
 
2) Obter a série de Fourier da função 2 periódica f(x) = x2 definida sobre [−,]. 
a) Encontre a série de Fourier 
 
b) Tomar x =  e mostrar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja a função 2 periódica, definida por: 
 
f(x) = |x|, (− x ) 
 
Mostrar que a série de Fourier desta função é representada por: 
 
 
4) Seja a função (sinal) periódica, definida por: 
 
Encontre a série de Fourier 
 
5) Obter a série de Fourier da função 
 
 
Resp.: 
 
 
 
47 
 
6) Determinar a série de Fourier da função: 
 
 
 
Resp. 
 
 
 
 7) Através da série de Fourier para a onda quadrada, mostrar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 . BIBLIOGRAFIA 
 
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES E PROBLEMAS DE VALORES DE 
CONTORNO – WILLIAM E. BOYCE E RICHARD C. DI PRIMA 
2. CÁLCULO – GEORGE B. THOMAS JR. 
3. INTRODUÇÃO À ANÁLISE LINEAR – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINERAES – 
RONALD KREIDER