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1 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ NOTAS DE AULA – CÁLCULO 3 PROFESSOR JÚLIO CÉSAR 2014 2 ÍNDICE Capítulo 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 1.1 – Introdução ..................................................................................................................... 3 1.2 – Solução de uma equação diferencial ............................................................................ 4 1.3 – Ordem e grau de equações diferenciais ....................................................................... 4 1.4 – EDO de primeira ordem ................................................................................................ 4 1.4.1 – EDO de primeira ordem – variáveis separáveis ........................................................ 5 1.4.2 – EDO de primeira ordem – homogênea ...................................................................... 7 1.4.3 – EDO de primeira ordem – linear ................................................................................ 11 1.4.4 – EDO de primeira ordem – diferencial exata ............................................................... 14 1.5 - Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem .................................................... 17 1.5.1 – EDO de segunda ordem – linear ............................................................................... 17 1.5.2 – EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes .................................... 17 1.5.2.1 – EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes ............. 17 CAPÍTULO 2 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 2.1 – Introdução ..................................................................................................................... 22 2.2 – Definição ....................................................................................................................... 22 2.3 – Determinação de transformadas de Laplace ................................................................ 23 2.4 – Tabela ........................................................................................................................... 25 2.5 – Teoremas das transformadas de Laplace..................................................................... 26 2.5.1 - Teorema da linearidade ............................................................................................. 26 2.5.2 - Primeiro teorema de deslocamento da variável s...................................................... 27 2.5.3 - Transformada de Laplace da derivada....................................................................... 27 CAPÍTULO 3 – SÉRIE DE FOURIER 3.1 – Introdução ..................................................................................................................... 37 3.2 – Paridade das funções ................................................................................................... 38 3.3 – Série de Fourier ............................................................................................................ 39 3.4 – Casos particulares da série de Fourier ......................................................................... 43 3.5 – Aproximação de funções pela série de Fourier ............................................................ 44 3 CAPÍTULO 1 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. 1.1 – Introdução Equação diferencial é uma equação que envolve uma ou mais derivadas/diferenciais. Quanto ao tipo, classificam-se em equações diferenciais ordinárias (EDO) ou equações diferenciais parciais (EDP). As equações diferenciais ordinárias envolvem funções y que só dependem de uma variável, por exemplo, x. As funções derivadas que aparecem são, portanto, as totais. Já as equações diferenciais parciais envolvem funções y que dependem de mais de uma variável, por exemplo, x e t. Assim, as funções derivadas serão as parciais. Seguem dois exemplos. e No primeiro exemplo perceba que y = y (x) e no segundo, y = y(x,t). Alguns exemplos de aplicações das equações diferenciais seguem abaixo. Engenharia elétrica – circuito RLC série: Engenharia mecânica – oscilador harmônico amortecido: 4 1.2 – Solução de uma equação diferencial Diz-se que uma função y = y(x) é solução de uma equação diferencial ordinária quando esta última é identicamente satisfeita ao substituirmos y(x) e suas derivadas. Exemplo – Considere a função y(x) = c1.cosx + c2.senx em que c1 e c2 são constantes arbitrárias quaisquer. Mostre que y(x) é solução da seguinte EDO. SOLUÇÃO: y(x) = c1.cosx + c2.senx y´(x) = - c1.senx + c2.cosx y”(x) = - c1.cosx - c2.senx Substituindo na equação temos: - c1.cosx - c2.senx + c1.cosx + c2.senx = 0 0 = 0 1.3 – Ordem e grau de equações diferenciais Denomina-se ordem de uma equação diferencial a ordem da mais alta derivada que aparece na equação. A EDO é de terceira ordem. O grau de uma equação diferencial é o expoente da derivada de maior ordem. A EDO (y”)3 + 3.(y´)12 + 6.y = tgx é de terceiro grau. 1.4 – EDO de primeira ordem Em relação às equações diferenciais de primeira ordem utilizaremos técnicas distintas para a resolução de acordo com cada um dos seguintes casos: variáveis separáveis, homogêneas, lineares e diferenciais exatas. 5 1.4.1 – EDO de primeira ordem – variáveis separáveis Uma EDO de primeira ordem poderá ser resolvida por integração se for possível agrupar dy e y e dx com x, ou seja, escrever da seguinte maneira: f(y).dy + g(x).dx = 0 A solução geral para esta equação será dada a partir da integração de ambos os membros da equação anterior. Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: Solução: Inicialmente agruparemos dy e y e dx e x: Integrando ambos os membros: Da tabela de integrais imediatas, teremos: arct(y) – x + lnx+1 = C arct(y) = x - lnx+1 + C 6 Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: a) b) x.(2y-3).dx + (x2+1).dy = 0 c) x2.(y2+1).dx + y. .dy = 0 d) e) f) g) h) x. i) j) Resp: a) b) c) d) ey – ex = C e) f) 2cosx = senh(2y) + k g) h) 2.ey.y -2.ey + x2 + 2lnx = C i) y = x + 5ln(x +1) + C j) 7 1.4.2 – EDO de primeira ordem – homogênea Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea quando pode ser posta sob a forma: Onde A seguir segue um exemplo de EDO homogênea.A resolução se dá pela introdução da variável . 8 Considerando: Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: Solução: Inicialmente mostraremos que é esta EDO é homogênea, ou seja, é possível escrevermos da forma onde : 9 Tomando , temos: Assim, A partir da técnica aprendida para a resolução de EDO de primeira ordem homogênea, sabemos que: 10 A primeira integral é da tabela e é igual a: A segunda integral pode ser assim resolvida: Considere . Assim, dv = 6u.du. Substituindo teremos que: Assim, a solução geral será: Mas . Então: 11 Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: a) b) c) d) e) f) (x2 + y2).dy – 2xy.dx = 0 g) (x2 + y2).dy + 2xy.dx = 0 1.4.3 – EDO de primeira ordem – linear Uma EDO de primeira ordem é dita linear quando pode ser posta sob a forma: A técnica adotada para a resolução destas EDOs baseia-se na multiplicação do fator de integração a seguir: Tal que Multiplicando-se a EDO pelo fator de integração teremos: 12 Observe que: 13 Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: Solução: Observe que se trata de uma EDO linear, pois temos que: Onde P(x) =1 e Q(x) = ex Inicialmente determinaremos o fator integrante: Agora podemos aplicar a técnica, ou seja: 14 Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: a) b) c) 2. d) e) x. f) x. g) h).( 1.4.4 – EDO de primeira ordem – diferencial exata. Uma EDO que pode ser escrita da forma e que goza da propriedade , chama-se diferencial exata. Observe que a equação é exata pois M(x,y) = (x+y) e N(x,y) = (x + y2) e e A técnica para resolver uma equação exata consiste em determinar uma função f(x.y) tal que: df(x,y) = M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 Assim, f(x,y) = C. 15 Observe que . Assim, e Integrando em relação à variável x teremos: Derivando parcialmente em relação à variável y teremos: Uma vez que , podemos escrever que: Isolando-se g´(y) e integrando-se em relação à variável y, encontraremos: Assim, podemos determinar a solução f(x,y) da seguinte maneira: 16 Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem a seguir: Solução: Inicialmente mostraremos que é esta EDO é exata: e e Como a condição é verificada temos que a EDO é exata. Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de primeira ordem a seguir: 1) 2) 3) 4) Resp: 1) 2) 3) 4) 17 1.5 - Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem 1.5.1 – EDO de segunda ordem – linear. Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma: a(x).y” + b(x).y´ + c(x).y = d(x) Para equações lineares de segunda ordem, se d = d(x) é diferente de zero, a equação linear será dita não homogênea e se d = d(x) = 0 a equação linear será dita homogênea. As equações diferenciais ordinárias x2y” + sin(x)y + exy = 0 e y” − 7y + 12y = 0 são lineares e homogêneas. 1.5.2 – EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. São as EDOs em que os coeficientes a(x), b(x) e c(x) são constantes. Para resolver este tipo de equação linear não homogênea devemos obter a solução geral da equação linear homogênea associada e depois obter uma solução particular. A solução geral para a EDO dada será, a soma da solução geral da equação homogênea somada à solução particular. 1.5.2.1 – EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Neste caso a equação é do seguinte tipo: a.y” + b.y´ + c.y = 0 Ondea, b e c são constantes reais. Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a equação característica associada à mesma, dada por: a.r2 + b.r + c = 0 Como a equação característica é uma equação do segundo grau, três são as possibilidades para as raízes: a) Duas raízes reais distintas; b) Duas raízes reais e iguais; c) Duas raízes imaginárias. 18 A partir de cada um dos três casos anteriores e teremos as seguintes soluções gerais para a EDO linear homogênea de segunda ordem. Caso a - Duas raízes reais distintas; Considere que r1 e r2 são as duas raízes reais distintas da equação característica. Assim, a solução geral da EDO será dada por: Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem a seguir: Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: Equação característica: r2 + r – 2 = 0 e as raízes são r1 = -2 e r2 = 1 Como são duas raízes reais distintas, temos que a solução geral da EDO será: Caso b - Duas raízes reais iguais; Considere que r1 = r2 = r são as duas raízes reais iguais da equação característica. Assim, a solução geral da EDO será dada por: Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem a seguir: Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: Equação característica: r2 +4r + 4 = 0 e as raízes são r1 = r2 = r = -2 19 Como são duas raízes reais iguais, temos que a solução geral da EDO será: Caso c - Duas raízes imaginárias; Considere que r1 = e r2 = são as duas raízes da equação característica. Assim, a solução geral da EDO será dada por: Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem a seguir: Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: Equação característica: r2 +2r + 2 = 0 e as raízes são r1 =-1 + i e r2 = -1 – i. Assim, = -1 e = 1. Como são duas raízes imaginárias, temos que a solução geral da EDO será: Exercícios. Determine a solução geral para cada EDO de segunda ordem a seguir: 1) 2) 3) 20 Exemplo – Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem com as seguintes condições iniciais: e y(0) = 0 e y´(0) = -1 Solução: A EDO é de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes: Equação característica: r2 +2r -1 = 0 e as raízes são r1 =-1 + 2 e r2 = -1 – 2. Como são duas raízes reais distintas, temos que a solução geral da EDO será: Condições iniciais: Y(0) = 0 0 Derivando a solução geral teremos que: Como y´(0) = 1: Resolvendo o sistema entre as duas equações que envolvem c1 e c2, teremos: c1 = -2/4 e c2 = 2/4 Assim a solução particular para as condições iniciais é: 21 Exercícios. Determine a solução para cada EDO de segunda ordem sujeita às condições iniciais dadas: a) y''16y 0, y(0) 2 e y'(0) -2 b) y''6y'5y 0, y(0) 0 e y'(0) 3 c) 2y' - 2y'5y 0, y(0) -1 e y'(0) 0 d) y''y'2y 0, y(0) y'(0) 0 QUESTÕES DE CONCURSOS 1) (PETROBRÁS) Seja y(x) a solução do problema de valor inicial O valor de y(1) é: a) 0 b) e c) e2 + 1 d) e2 + e e) e2 + 3e Resp: letra E 2) (PETROBRÁS) Se y(t) é a solução do problema de valor inicial Então, y(1) vale: a) 9 b) 27/4 c) 5 d) 3 e) 2 Resp: letra A 22 CAPÍTULO 2 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 2.1 – Introdução Diversas situações práticas na engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos em que ocorre a atuação de agentes impulsivos. A utilização da transformada de Laplace é particularmente útil para tais situações. A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferencias lineares com coeficientes constantes. Abaixo temos a possibilidade da utilização deste operador linear na resolução de um circuito elétrico. 2.2 – Definição Considere a função f(t) em que t 0. A transformada de Laplace de f é o operador linear simbolizado por L[f(t)] ou F(s) definido a partir da integral imprópria: NOTA: A integral imprópria quando convergente e determinada a partir de um limite no infinito. 23 2.3 – Determinação de transformadas de Laplace A partir da definição apresentada na seção 2.2, é possível determinar as transformadas de Laplace para algumas funções elementares. Seguem alguns exemplos para ilustrar. Ex. 1 – Considere a função degrau definida por f(t) = 1 para t 0. Encontre a sua transformada de Laplace. SOLUÇÃO: Assim, para determinar a transformada de Laplace basta calcular: Solução de Seja u = -s.t. assim, du = -s.dt. Substituindo em I: Substituindo os limites de integração: ) – ( Assim, = 24 Ex. 2 – Considere a função exponencial definida por f(t) = ea.t para t 0 e a < s. Encontre a sua transformada de Laplace. SOLUÇÃO: Assim, para determinar a transformada de Laplace basta calcular: Solução de Seja u = (a –s).t. assim, du = (a –s). dt. Substituindo em I:Substituindo os limites de integração: ) – ( Como s > a, temos: = 25 Exercícios: Determine a partir da definição a transformada de Laplace das seguintes funções. a) f(t) = 5 b) f(t) = e2t c) f(t) = e-4t d) f(t) = sen(3t) Respostas: a) F(s) = 5/s b) F(s) = 1/(s-2) c) F(s) = 1/(s+4) d) F(s) = 3/(s2 + 9) 2.4 – Tabela A resolução da transformada de Laplace a partir da definição pode ser por vezes, muito trabalhosa. Desta forma, segue uma tabela com algumas transformadas de Laplace. Função Transformada de Laplace f(t) = 1 f(t) = tn (n = 1, 2, 3, ...) f(t) = e-a.t f(t) = tn .e-a.t (n = 1, 2, 3, ...) f(t) = sen(a.t) f(t) = cos(a.t) f(t) = senh(a.t) f(t) = cosh(a.t) Exemplo - Determine a transformada de Laplace da função f(t) = t2 Solução: A partir da tabela, f(t) = tn com n = 2 26 2.5 – Teoremas das transformadas de Laplace 2.5.1 - Teorema da linearidade Como a transformada de Laplace envolve a integração, é natural que a transformada apresente algumas das propriedades das integrais, dentre as quais a linearidade. TEOREMA: Sejam f(t) e g(t) duas funções cujas transformadas de Laplace L[f(t)] e L[g(t)] existem e e constantes. Prova-se que: L[.f(t) + .g(t)] = .L[f(t)] + .L[g(t)] ATENÇÃO: Decorre diretamente do teorema da linearidade que L[α.f(t)] = α .L[f(t)] O teorema da linearidade permite que calculemos a transformada de algumas funções a partir de outras transformadas tabeladas. Seguem alguns exemplos. Exemplo 1 – Determine L[5+8t3] Solução: Pelo teorema da linearidade é correto afirmar que L[5+8t3] = L[5] + L[8t3]. Exemplo 2 – Mostre, utilizando o teorema da linearidade, que Solução: L ] = ]= L = 27 Obs: Dizemos que f(t) é de ordem exponencial em [0, ∞) se existem constantes C > 0 e α tais que . São exemplos de funções de ordem exponencial, f(t) = C, f(t) = tn, sen(a.t), cos (b.t), etc 2.5.2 - Primeiro teorema de deslocamento da variável s Seja f(t) uma função contínua por partes e de ordem exponencial. Demonstra-se que: Exemplo - 1. Da tabela de transformadas de Laplace sabemos que . Determine Solução: Do 1º teorema de deslocamento da variável s Exemplo - 2. Da tabela de transformadas de Laplace sabemos que = Determine Solução: Do 1º teorema de deslocamento da variável s Exercícios. Determine as seguintes transformadas de Laplace. a) b) 2.5.3 - Transformada de Laplace da derivada Seja a função f(t). Considere que sua derivada f´(t) seja uma função contínua por partes e de ordem exponencial. Demonstra-se que: 28 Generalizando temos que: Caso particular para n = 2 Exemplo. Empregando a transformada de Laplace da derivada, mostre que: Solução: Da transformada de Laplace da derivada temos que: f(t) = sen(a.t) f´(t)= a.cos(a.t) f´´(t) = -a2.sen(at) Substituindo: 2.5.4 - Mudança de escala (homotetia) na Transformada de Laplace Seja f(t) uma função contínua por partes e de ordem exponencial e a 0. Então: 29 Exemplo: Obter a transformada de Laplace da função f(t) = cos(12t) Solução: Da tabela, f(t) = cost tem transformada de Laplace igual a: A partir da mudança de escala na transformada de Laplace, temos que: 2.5.5 - Transformada de Laplace de funções periódicas Se f(t) é de ordem exponencial e de período principal p, então: Exemplo: Calcule L[f(t)], com f(t + 2) = f(t) 30 Solução: 2.5.6 – Teorema Suponha a função f(t) tal que . Demonstra-se que: Exemplo: Calcule L[t.sen(t)] Solução: Para n = 1 e , temos: 31 Exercícios: 1) (Analista Judiciário - Especialidade Engenharia Elétrica) O sinal de entrada de um sistema de controle está mostrado abaixo. A sua transformada de Laplace é dada por: a) E(s) = s + 5 b) E(s) = 5s c) E(s) = s/5 d) E(s) = 5s/s e) E(s) = 5/s GABARITO: LETRA E 2) Determine a transformada de Laplace da função f(t) = sen2t Resp: 3) Determine a transformada de Laplace das funções a seguir: a) b) c) d) Resp: a) b) c) d) 4) Determine a transformada de Laplace da função f(t) definida por: Resp: 32 5) Determine a transformada de Laplace da cada uma das seguintesfunções f(t) a) f(t) = e2t.sen3t b) f(t) = t3.sen3t c) f(t) = e-3t.cos(t+4) Resp: a) b) c) 2.6 - Função degrau unitário Em aplicações que envolvem circuitos elétricos, é comum que a força externa que atua na equação seja descontínua. A transformada de Laplace se mostrará muito útil. A função degrau unitário é definida e denotada para c 0, por: A seguir tem-se o gráfico da função degrau unitário u3(t). Podemos usar a função degrau para expressar funções descontínuas que podem ser obtidas por translação de funções conhecidas. Por exemplo, se tivermos a função g(t) cujo gráfico é igual ao gráfico da função f(t) transladado de uma distância c no sentido positivo do eixo t. 33 Podemos escrever g usando a função f e a função degrau da seguinte forma: 2o Teorema do deslocamento. Se L[f(t)] = F(s) existe para s > a e se c ∈ R, então a transformada de Laplace da função g(t) = uc(t)f(t − c) existe para s > a e é dada por: Exemplo: Calcule L[f(t)], com Solução: Podemos escrever a função f(t) da seguinte forma: Aplicando o operador linear, teremos: Teorema da linearidade 2o Teorema do deslocamento e tabela 34 2.7 – Transformadas inversas de Laplace Considere que L[y(t)] = F(s) possa ser resolvida para y(t). A solução é “essencialmente” única e se chama Transformada Inversa de Laplace da função F(s), e é denotada por: y(t) = L-1[F(s)] A transformada inversa de Laplace também é um operador linear. Portanto: L−1[F1(s) + F2(s)] =L −1[F1(s)] + L −1[F2(s)] Exemplo: Calcule Solução: Observe que: Tabela: 2.7.1 - Primeiro teorema de deslocamento da variável s Seja f(t) uma função contínua por partes e de ordem exponencial tal que Demonstra-se que: 35 Exemplo: Calcule Solução: Observe que: Como: e utilizando o teorema anterior: 2.7.2 – Resolução de problemas de valor inicial Com a teoria desenvolvida até aqui, podemos aplicar a Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Em resumo, transforma-se um Problema de Valor Inicial (PVI), em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta, sem o cálculo de integrais e derivadas. Abaixo segue um quadro esquemático: Exemplo: Utilize as transformadas de Laplace para resolver o problema de valor inicial a seguir: y´´ - y = 1; y(0) = 0 e y´(0) = 1 Inicialmente aplica-se o operador L em ambos os lados da equação diferencial ordinária. L[y´´] – L[y] = L[1] 36 Lembrando que L[y´´] = s2L[y] – s.f(0) –f´(0), teremos que: L[y´´] = s2L[y] – s.y(0) –y´(0) L[y´´] = s2L[y] – 1 Assim, s2L[y] – 1 – L[y] = L[1] L[y].(s2 – 1) = L[1] +1 L[y].(s2 – 1) = 1/s +1 Relembrando frações parciais: Exercícios: 1) Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial, usando transformadas de Laplace. a) y” - 3y´+ 2y = 0; y(0) = 3 e y´(0) = 4 b) y´ + y = e−t ; y(0) = 5 c) y” − 2y´ − 3y = 6et, y(0) = 1, y´(0) = 3 Resp: a) y(t) = 2.et + e2t b) y(t) = te−t + 5e−t c) y(t) = = -3et/2+ 3e−t /4 + 7e3t /4 37 CAPÍTULO 3 – SÉRIE DE FOURIER 3.1 – Introdução Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo P, chamado período de f, tal que f(x) = f(x + P) para todo x no domínio de f. O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento P. O menor valor possível para P é denominado período principal ou fundamental (T). As funções seno e cosseno têm períodos principais T iguais a 2. Já a função tangente tem período principal T igual . Obs: a) Se f(x) é periódica de período T, tem período principal Ex. sen(3x). Como senx tem período principal 2, sem(3x) terá período principal 2/3 b) Se f(x) é periódica de período T, tem período principal Ex. tg(x/4). Como tg(x) tem período principal , tg(x/4) terá período principal 4 38 3.2 – Paridade das funções. 3.2.1 – Função par Uma função f : R R é dita par se f(x) = f(-x); x no domínio de f. Geometricamente, se f é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, ou seja, que f(a) = f(-a), f(b) = f(-b) etc. Alguns exemplos de funções pares são f(x) = c (função constante), f(x) = x , f(x) = x2, f(x) = x4 e f(x) = cos(x) 3.2.2 – Função ímpar Uma função f : R R é dita ímpar se f(-x) = - f(x); x no domínio de f. Geometricamente, se f é par seu gráfico é simétrico em relação à origem, ou seja, que f(-a) = - f(a), f(-b) = -f(b) etc. Alguns exemplos de funções ímpares são f(x) = x, f(x) = x3 e f(x) = sen(x) A grande maioria das funções que ocorrem não é nem par nem ímpar. As funções pares e ímpares são importantes, pois suas representações em séries de Fourier aparecem em situações importantes da Física- Matemática e Engenharia. 39 3.2.3 – Propriedades das funções par / ímpar A soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedades importantes que simplificarão bastante nosso trabalho na representação em Séries de Fourier de funções pares e ímpares. A soma (diferença) de duas funções pares é par; a soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; a soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar. O produto (quociente) de duas funções pares é par. O produto (quociente) de duas funções ímpares é par. O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar. Seja uma função f(x) integrável no intervalo [–L ; +L]. Considere ainda as possibilidades abaixo: a) Se f(x) é par, b) Se f(x) é ímpar, Ex. Como a função senx é ímpar, Ex . Uma vez que a função cosx é par, = 2 3.3 – Série de Fourier Considereuma função f(x) e que desejemos fazer sua aproximação por meio de um polinômio trigonométrico, isto é: Onde: 40 Na determinação dos coeficientes a0, an e bn podemos integrar sobre qualquer intervalo de comprimento T; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente. Exemplo: Determine a representação em Série de Fourier da onda quadrada mostrada na figura. Solução: A função f(x) é periódica e tem período principal T = 2 e pode ser escrita da seguinte maneira: ; f(x) = f(x+2) Determinação de a0 : 41 Determinação de an: Determinação de bn: 42 Observe que se: n for par, teremos que cos(n.) = 1 n for ímpar, teremos que cos(n.) = -1 Assim: Logo, b2 = b4 = b6 = ....=0 43 3.4 – Casos particulares para a série de Fourier Considerando a função periódica f(x) com período principal T = 2, as expressões para a determinação dos coeficientes a0, an e bn apresentam simplificações e podem ser assim escritas: Obs: 1) Considerando f(x) uma função par e, como a função seno é ímpar, temos que f(x). sen(n.x) é ímpar e, portanto: A série de Fourier de uma função periódica par, que possui período principal T = 2, é uma série de Fourier em cossenos: 44 2) Considerando f(x) uma função ímpar e, como a função cosseno é par, temos que f(x). cos(n.x) é ímpar e, portanto: A série de Fourier de uma função periódica par, que possui período principal T = 2, é uma série de Fourier em senos: 3.5 - Aproximação de função pela série de Fourier Considerando a função periódica f(x) = x com período principal T = 2. A sua aproximação pela série de Fourier é dada por: Utilizando gráficos, mostraremos o processo de aproximação de f com estas primeiras somas parciais. 45 As figuras representam a função modular f(x) = x e a sua expansão em série de Fourier com uma, duas três e quatro parcelas, ou seja: O último gráfico revela que a aproximação com quatro parcelas é bastante razoável. Tomemos agora outro exemplo para exemplificar a aproximação de funções periódicas pela série de Fourier. Considere a função da onda quadrada mostrada na figura. A sua expansão em série de Fourier é dada por: Considerando uma, duas, três e quatro parcelas, teremos as seguintes situações: 46 Exercícios 1) Determine o período fundamental dos sinais abaixo: a) x(t) = 2 cos (4t + /6) b) x(t) = [cos(4t - /3)]2 2) Obter a série de Fourier da função 2 periódica f(x) = x2 definida sobre [−,]. a) Encontre a série de Fourier b) Tomar x = e mostrar que: 3) Seja a função 2 periódica, definida por: f(x) = |x|, (− x ) Mostrar que a série de Fourier desta função é representada por: 4) Seja a função (sinal) periódica, definida por: Encontre a série de Fourier 5) Obter a série de Fourier da função Resp.: 47 6) Determinar a série de Fourier da função: Resp. 7) Através da série de Fourier para a onda quadrada, mostrar que: 4 . BIBLIOGRAFIA 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES E PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO – WILLIAM E. BOYCE E RICHARD C. DI PRIMA 2. CÁLCULO – GEORGE B. THOMAS JR. 3. INTRODUÇÃO À ANÁLISE LINEAR – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINERAES – RONALD KREIDER
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