CAPÍTULO II - Introdução a Mecânica Quântica - Semiconductor Physics And Devices 3rd ed. - J. Neamen

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CAPÍTULO
2
Introdução À Mecânica
Quântica
PRÉ-VISUALIZAÇÃO
O
objetivo deste texto é ajudar os leitores a entender o funcionamento e as características dos dispositivos semicondutores. Idealmente, gostaríamos de começar a discutir esses dispositivos imediatamente. No entanto, a fim de compreender as características corrente-voltagem, precisamos de um pouco de conhecimento sobre o comportamento de elétrons em um cristal quando o elétron é submetido a várias funções potenciais. 
O movimento de objetos grandes, como planetas e satélites, pode ser previsto com um alto grau de precisão usando a física teórica clássica baseada nas leis do movimento de Newton. Mas alguns resultados experimentais, envolvendo elétrons e ondas eletromagnéticas de alta frequência, parecem ser incompatíveis com a física clássica. No entanto, estes resultados experimentais podem ser previstos pelos princípios da mecânica quântica. A teoria quântica onda mecânica é a base para a teoria da física de semicondutores. 
Estamos, em última análise interessados em materiais semicondutores, cujas propriedades elétricas estão diretamente relacionadas com o comportamento dos elétrons na rede cristalina. O comportamento e características desses elétrons podem ser descritos pela formulação da mecânica quântica chamado mecânica ondulatória e são apresentados neste capítulo. 
O objetivo deste capítulo é fornecer uma breve introdução à mecânica quântica para que os leitores ganhem uma compreensão e tornem-se confortáveis com as técnicas de análise. Este material de introdução na base da física de semicondutores.
2.1 | PRINCÍPIOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Antes de nos aprofundarmos a matemática da mecânica quântica, há três princípios que temos de considerar: o princípio de quanta energia, o princípio da dualidade onda-partícula, e princípio da incerteza.
2.1.1 Energia Quanta
Um experimento que demonstra uma inconsistência entre os resultados experimentais e a teoria clássica da luz é chamado de efeito fotoelétrico. Se a luz monocromática é incidente sobre uma superfície limpa de um material, em seguida, sob certas condições os elétrons (Os fotoelétrons) são emitidos a partir da superfície. De acordo com a física clássica, se a intensidade da luz é suficientemente grande, a função de trabalho do material vai ser superado e um elétron será emitido a partir da superfície independente da frequência de incidentes. Este resultado não é observado. O efeito é que o observador, a uma intensidade constante incidente, a energia cinética máxima do fotoelétron varia linearmente com a frequência com uma frequência limitada ѵ = ѵ0, abaixo do qual não é produzida fotoelétron. Este resultado é mostrado na Figura 2.1. Se a intensidade incidente varia numa frequência constante, à taxa de alteração de emissão fotoelétron, mas a energia cinética máxima permanece a mesma.
Planck postulou em 1900 que a radiação térmica é emitida de uma superfície aquecida em pacotes discretos de energia chamados quanta. A energia desses quanta é dada por E = hѵ, onde v é a frequência da radiação e h é uma constante hoje conhecemos como constante (h = 6,625 x 10-34 J.s) de Planck. Então, em uma onda de luz também está contido é pacotes discretos ou molhos. O pacote de partículas semelhantes de energia é chamado de fóton, cujas energias também são dadas por E = hѵ. Um fóton com energia suficiente pode retirar um eléctron da superfície do material, a energia mínima necessária para remover um elétron é chamada a função de trabalho do material e qualquer excesso de energia de fótons vai para a energia cinética dos fotoelétrons. Este resultado foi confirmado experimentalmente, como demonstrado na Figura 2.1. O efeito fotoelétrico mostra a natureza discreta do fóton e demonstrou o comportamento da partícula semelhante a do fóton. A energia cinética máxima de um fotoelétron pode ser escrita como onde hѵ é a energia do fotão incidente e hv0 é a energia mínima, ou a função de trabalho, é necessária para remover um elétron a partir da superfície.
Figura 2.1 | (a) O efeito fotoelétrico e (b) a energia cinética máxima do fotoelétron como uma função da frequência de incidentes.
Exemplo 2.1 | Objetivo 
Para calcular a energia dos fótons que correspondem a um comprimento de onda particular. Considere um raio-x com um comprimento de onda de λ = 0,708 x 10-8 cm. 
Solução 
A energia é 
Este valor de energia pode ser dado na unidade mais comum de elétron-volts (ver Anexo F). Temos:
	
Comentário 
A relação recíproca entre a energia do fóton e o comprimento de onda é demonstrado: Uma grande energia corresponde a um comprimento de onda curto.
2.1.2 Dualidade Onda-Partícula 
Vimos na seção anterior que as ondas, no efeito fotoelétrico, se comportam como se fossem partículas. O comportamento de partículas como de ondas eletromagnéticas também foi fundamental na explicação do efeito Compton. Nesta experiência, um feixe de raios-x foi incidente sobre uma superfície sólida. Uma porção do feixe de raios-x é desviada e a frequência da onda refletida foi deslocada em comparação com a onda incidente. A mudança observada na frequência e o ângulo refletido correspondem exatamente aos resultados esperados de uma colisão "bola de bilhar" entre um quanta de raios-x, ou fóton e um elétron em que ambos energia e momento são conservados. 
Em 1924, de Broglie postulou a existência de ondas de matéria. Ele sugeriu que, desde o comportamento de partículas como ondas de exibição, em seguida, as partículas devem ser esperadas para mostrar as propriedades de onda. A hipótese de Broglie foi a existência de um princípio da dualidade onda-partícula. O momento de um fóton é dado por:
onde λ é o comprimento de onda da onda de luz. Em seguida, de Broglie formulou a hipótese de que o comprimento de onda de uma partícula pode ser expresso como 
Onde p é o momento da partícula e λ é conhecido como o comprimento de onda de Broglie da onda de matéria. 
A natureza de onda dos elétrons tem sido testada em várias formas. Em um experimento de Davisson e Germer, em 1927, os elétrons de um filamento aquecido foram acelerados em incidência normal em um único cristal de níquel. Um detector mediu os elétrons espalhados em função do ângulo. A Figura 2.2 mostra a configuração experimental e a Figura 2.3 mostra os resultados. A existência de um pico de densidade de elétrons dispersos pode ser explicada como uma interferência periódica construtiva das ondas espalhadas pelos átomos em planos do cristal de níquel. A distribuição angular é muito semelhante a um padrão de interferência produzido pela luz difratada de uma grade. 
A fim de obter alguma apreciação das frequências e comprimentos de onda envolvidos, em princípio, a da dualidade onda-partícula, a Figura 2.4 mostra o espectro de frequências eletromagnéticas. Vemos que um comprimento de onda de 72,7 Å obtidas no seguinte exemplo está na faixa do ultravioleta. Normalmente, estaremos considerando comprimentos de onda na faixa do ultravioleta e visível. Estes comprimentos de onda são muito curtos em comparação ao espectro gama de radiofrequências.
Figura 2.2 | Arranjo experimental do experimento Davisson-Germer.
Figura 2.3 | Fluxo de elétrons dispersos em função do ângulo de dispersão para o experimento Davisson-Germer.
Figura 2.4 | O espectro de frequência Eletromagnética.
Exemplo 2.2 | Objetivo 
Para Calcular o comprimento de onda de Broglie de uma partícula, considere um elétron viajando a uma velocidade de 107cm/s = 105 m/s. 
Solução 
O momento é dado por 
Em seguida, o comprimento de onda de Broglie é 
	
ou
Comentário 
Este cálculo mostra a ordem de grandeza do comprimento de onda de Broglie para um elétron "típico".
Em alguns casos, as ondas eletromagnéticas se comportam como se fossem partículas (fótons) e, por vezes, as partículas se comportam como se fossem ondas. Este princípio da dualidade onda-partícula da mecânica quântica aplica-se principalmente a pequenas partículas,
como os elétrons, mas também foi mostrado para aplicar a prótons e nêutrons. Para partículas muito grandes, podemos mostrar que as equações relevantes reduzem aos da mecânica clássica. O princípio da dualidade onda-partícula é a base sobre a qual vamos usar a teoria da onda para descrever o movimento e comportamento dos elétrons em um cristal.
2.1.3 O Princípio Da Incerteza 
O princípio da incerteza de Heisenberg, dada em 1927, também se aplica principalmente a partículas muito pequenas, e afirma que não se pode descrever com precisão absoluta o comportamento dessas partículas subatômicas. O princípio da incerteza descreve uma relação fundamental entre variáveis ​​conjugadas, incluindo a posição e o momento e também energia e tempo. 
A primeira afirmação do princípio da incerteza é que é impossível descrever, simultaneamente, com absoluta precisão a posição e o momento de uma partícula. Se a incerteza no momento é ∆p e da incerteza na posição é ∆x, então o princípio da incerteza é indicado como
onde ħ é definida como ħ = h/2π = 1,054 x 10-34J.s é chamada constante de Planck modificado. Esta afirmação pode ser generalizada para incluir a posição angular de um momento angular. 
A segunda indicação do princípio da incerteza é que é impossível para descrever simultaneamente com precisão absoluta a energia de uma partícula e o instante de tempo que a partícula tem uma energia. Novamente, se a incerteza na energia é dada pela ∆E e da incerteza no tempo é dada por ∆t, então o princípio da incerteza é indicado como 
	
Uma maneira de visualizar o princípio da incerteza é considerar a medição simultânea de posição e força, e a medição simultânea de energia e tempo. O princípio da incerteza implica que essas medidas simultâneas estão em erro, até certo ponto. No entanto, h a constante de Planck modificada é muito pequena; o princípio da incerteza é significativo apenas para partículas subatômicas. Devemos ter em mente, contudo, que o princípio da incerteza é uma declaração fundamental e não lida apenas com as medições. 
Uma consequência do princípio da incerteza é que não podemos, por exemplo, determinar a posição exata de um elétron. Vamos, em vez disso, determinar a probabilidade de encontrar um eléctron em uma posição particular. Nos próximos capítulos, iremos desenvolver uma função de densidade de probabilidade onde nos permitirá determinar a probabilidade de que um elétron tem especial de energia. Assim, ao descrever o comportamento do elétron, estaremos lidando com funções de probabilidade.
2.2 | EQUAÇÃO DA ONDA DE SCHRODINGER 
Os vários resultados experimentais de ondas eletromagnéticas e partículas, que não poderiam ser explicados pelas leis clássicas da física, mostrou que uma versão revista da mecânica era necessário. Schrodinger, em 1926, forneceu uma formulação chamada mecânica ondulatória, que incorporou os princípios da quanta, introduzida por Planck e princípio da dualidade onda-partícula introduzido por de Broglie. Baseado no princípio da dualidade onda-partícula, vamos descrever o movimento de elétrons em um cristal por teoria ondulatória. Esta teoria ondulatória é descrita pela equação de Schrödinger.
2.2.1 A Equação De Onda
A equação de onda unidimensional, não-relativística de Schodinger é dada por 
em que Ψ(x,t) é a função de onda, V(x) é a função potencial hipótese, independente do tempo, m é a massa da partícula, e j é a constante imaginária . Há argumentos teóricos que justificam a forma de equação de onda de Schodinger, mas a equação é um postulado básico da mecânica Quatum. A função de onda Ψ(x,t) irá ser utilizada para descrever o comportamento do sistema e, matematicamente, Ψ(x,t) pode ser uma quantidade de complexo. 
Podemos determinar a porção dependente do tempo da função de onda e a posição-dependente, ou independente do tempo, parte da função de onda, utilizando a técnica da separação da variáveis​​.
Suponha que a função de onda pode ser escrita na forma
em que Ψ(x) é uma função da posição só de x apenas e ϕ(t) é uma função de tempo apenas de t. Substituindo esta forma de solução em equação de onda de Schodinger, obtemos 
Se dividirmos pela função de onda total, a Equação (2.8) torna-se 
Uma vez que o lado esquerdo da equação (2.9) é uma função da posição só de x e apenas de o lado direito da equação é uma função do tempo t apenas de, de cada lado desta equação tem que ser igual a uma constante. Vamos denotar esta separação de variáveis ​​constantes pelo η. A porção dependente do tempo da equação (2.9) é então escrito como
onde novamente o parâmetro η é uma constante chamada de separação. A solução da equação (2.10) pode ser escrita sob a forma 
A forma desta solução é que ele forma uma exponencial clássica de uma onda senoidal onde η/ħ é a frequência ω radiano. Temos que E = hѵ ou E = hω/2π. Em seguida, ω = η/ħ= E/ħ de modo a que a constante de separação é igual à energia total E da partícula. 
A porção de tempo Independente da equação de onda de Schodinger agora pode ser escrita a partir da Equação (2.9) como 
onde a constante de separação é a energia E da partícula. A equação (2.12) pode ser escrita como 
onde, novamente, m é a massa da partícula, V(x) é o potencial experimentado pela partícula, e E é a energia total da partícula. Esta equação de onda de Schodinger independente do tempo também pode ser justificada com base na equação de onda clássica como a mostra no Apêndice E.
A pseudo-derivação no apêndice é uma abordagem simples, mas mostra a plausibilidade da equação de Schodinger independente do tempo.
2.2.2 Significado Físico Da Função De Onda 
Estamos em última análise, tentando usar a função de onda Ψ(x,t) para descrever o comportamento de um elétron em um cristal. A função Ψ(x,t) é uma função de onda, por isso, é razoável perguntar qual é a relação entre a função e o elétron.
A função de onda total é o produto do posicionamento dependente, ou tempo independente, função e a função tempo-dependente. Temos a partir da equação (2.7) que
Uma vez que a função de onda total de Ψ(x,t) é uma função complexa, que não pode por si só representam uma quantidade física real. 
Max Born postulou em 1926 que a função |Ψ(x,t)|2dx representa a probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx em um dado momento, ou que |Ψ(x,t)|2 é um função de densidade de probabilidade. Temos que
em que Ψ*(x,t) é a função conjugada complexa. Portanto 
Em seguida, o produto da função de onda total e do seu conjugado complexo está dado pela 
Portanto, temos que 
é a função de densidade de probabilidade e é independente do tempo. Uma diferença importante entre a mecânica clássica e quântica é que na mecânica clássica, a posição de uma partícula ou corpo pode ser determinada com precisão, enquanto que na mecânica quântica, a posição de uma partícula é encontrada em termos de uma probabilidade. 
Vamos determinar a função densidade de probabilidade para vários exemplos, e uma vez que esta propriedade é independente do tempo, vamos, em geral, apenas se preocupar com a função de onda tempo independente.
2.2.3 Condições de Contorno
Uma vez que a função |Ψ(x,t)|2 representa a função de densidade de probabilidade, em seguida, para uma única partícula, que tem de ter que
A probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar é certa. A equação (2.18) permite-nos normalizar a função de onda e o é uma condição de contorno que é usado para determinar alguns coeficientes da função de onda.
As demais condições de contorno impostas à função de onda e sua derivada são postulados. No entanto, podemos afirmar as condições de contorno e o apresentar argumentos que justifiquem por que elas devem ser impostas. A função de onda e a sua primeira derivada deve ter as seguintes propriedades, se a energia total e o potencial V(x) são finitos em todos os lugares.
Condição 1. Ψ(x) deve ser finita, de valor único e contínuo.
Condição 2. δΨ(x) deve ser finita, de valor único e contínuo.
Desde |Ψ(x,t)|2é uma densidade
de probabilidade, então H Ψ(x)deve ser finita e o de valor único. Se a densidade de probabilidade se tornasse infinita em algum ponto no espaço, então a probabilidade de encontrar a partícula nessa posição seria certa e o princípio da incerteza seria violado. Se a energia total e o o potencial V(x) são finitas em todos os lugares, em seguida, a partir da equação (2.13), a segunda derivada deve ser finita, o que implica que a primeira derivada deve ser contínua. A primeira derivada deve estar relacionada com o impulso da partícula, o qual deve ser finito e o único valor. Finalmente, uma primeira derivada finita implica que a função propriamente dita deve ser contínua. Em alguns dos exemplos específicos que se consideram, a função Possíveis menções será infinita em regiões específicas do espaço. Para estes casos, a primeira derivada não é necessariamente contínua, mas as restantes condições de fronteira, serão mantidas.
2.3 | APLICAÇÕES DA ONDA DE SCHRÖDINGER EQUAÇÃO
Vamos agora aplicar equação de onda de Schrodinger em vários exemplos usando várias funções potenciais. Estes exemplos demonstram que as técnicas utilizadas na solução da equação diferencial de Schrodinger e os resultados destes exemplos serão 
proporcionar uma indicação do comportamento do elétron sob estas várias potenciais. Vamos utilizar os conceitos resultantes depois da discussão das propriedades semicondutoras.
2.3.1 ELÉTRON EM ESPAÇO LIVRE
Como um primeiro exemplo de aplicação da equação de onda de Schrödinger, considerar o movimento de um elétron no espaço livre. Se não houver nenhuma força que atua na partícula, então a função potencial V (x) será constante e devemos ter E> V (x). Suponha, por simplicidade, que a função potencial V (x) = 0 para todos os x. Então, o tempo-independente equação de onda pode ele escrito a partir da Equação (2.13) como
A solução para esta equação diferencial pode ser escrita sob a forma:
Recorde-se que a porção dependente do tempo da solução é:
 
Em seguida a solução total para a função de onda é dada pela:
 
 
Esta solução função de onda é uma onda progressiva, o que significa que uma partícula em movimento no espaço livre é representada por uma onda viajante. O primeiro termo, com o coeficiente A, é uma onda que se desloca na direção + x, enquanto que o segundo termo, com o coeficiente B, é uma onda que viaja na direção x.
O valor desses coeficientes ele determinado a partir de condições de contorno. Vamos voltar a ver a solução de onda viajante para um elétron em um material de cristal ou de semicondutores.
Suponha, por um momento, que temos uma viagem de partículas na direção + x. que irá ser descrita pela onda + x viajar. O coeficiente B = 0 podemos escrever a solução de onda progressiva, sob a forma
Onde k é um número de onda e é
O parâmetro A é o comprimento de onda e, comparando a equação (2.23) com a Equação (2,22), o comprimento de onda é dado por:
 
A partir do princípio dualidade onda-partícula de Broglie, o comprimento de onda também é dada pela
 
Uma partícula com uma energia livre bem definida, também terá um comprimento de onda bem definido e impulso.
A função densidade de probabilidade é Ψ (x, t) Ψ‘(x, t) = AA*, que é independente da posição aconstanr. Uma partícula livre com uma dinâmica bem definida pode ser encontrada em qualquer lugar com igual probabilidade. Este resultado está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, em que um impulso preciso implica uma posição indefinida.
Uma partícula livre localizada é definida por um pacote de ondas, formada por uma sobreposição de funções de onda com diferentes valores de momento ou k. Não vamos considerar o pacote de ondas aqui.
2.3.2 O Poço de Potencial Infinito
O problema de uma partícula no poço de potencial infinito é um exemplo clássico de uma partícula obrigada. O potencial V(x) como uma função de posição para este problema está representada na Figura 2.5.
 
Figura 2.5 | função potencial do poço de potencial infinito.
A partícula é considerada como existe na região II de modo que a partícula está contida dentro de uma região de espaço finito. A equação de onda de Schrodinger independente do tempo é novamente dada pela equação (2.13) como
 
Onde E é a energia total da partícula. Se E é finito, a função de onda deve ser zero, ou Ψ(x) = 0, em ambas as regiões I e III a partícula não pode penetrar essas barreiras de potencial infinito, então a probabilidade de encontrar a partícula nas regiões I e III é nula. 
A equação de onda independente do tempo de Schrodinger na região II, onde V = 0. torna-se
Uma forma particular de solução para esta equação é dada pela
Onde
 
 
Uma condição de contorno é que a função de onda Ψ (x) deve ser contínua, de modo que
 
 
Aplicando a condição em .X = 0, devemos ter que A1, = 0 em x = a, temos
 
Esta equação é válida se Ka = nπ. Onde o parâmetro n é um inteiro positivo, ou n = 1,2,3. . . . . O parâmetro n é referido como um número quântico. Podemos escrever
 
Os valores negativos de n simplesmente introduz um sinal negativo na função de onda e rende soluções redundantes para a função densidade de probabilidade. Wc não é possível distinguir fisicamente qualquer diferença entre + n e soluções -n. Devido a esta redundância, os valores negativos de n não são considerados.
O coeficiente A2 pode ser encontrado a partir da condição de contorno de normalização que foi dada pela equação (2.1 8) como .
Se partirmos do princípio de que a solução da função de onda Ψ(x) é uma função real, então Ψ(x) = Ψ’(x). Substituindo a função de onda na Equação (2.18), temos
 
Avaliando esta integral dá
 
Finalmente. a solução onda independente de tempo é dada por
 
Esta solução representa o elétron no poço de potencial infinito e é uma solução de onda estacionária. O elétron livre foi representado por uma onda viajante, e agora ligado a partícula é representada por uma onda estacionária.
O parâmetro K na solução onda foi definido pelas equações (2,29) e (2,32). Igualando estas duas expressões para K, obtemos
 
A energia total pode então ser escrita como:
 
Para a partícula no poço de potencial infinito. a função de onda agora é dada por
 
Onde a constante K deve ter valores discretos, o que implica que a energia total da partícula só pode ter valores discretos. Este resultado significa que a energia da partícula é quantificada. Ou seja, a energia da partícula pode ter apenas valores discretos. A quantificação da energia da partícula é contrário aos resultados de física clássica, que permitiria que a partícula tem valores de energia contínua. As energias discretas levam a estados quânticos que serão considerados com mais detalhes neste e em capítulos posteriores. A quantificação da energia de uma partícula é ligada um resultado extremamente importante.
Exemplo 2.3 | Objetivo 
Para calcular os três primeiros níveis de energia de um elétron em um potencial infinito bem Considere um elétron em um poço de potencial infinito de largura 5 Å
Solução 
 A partir da Equação (2.37) temos
 
 
Em seguida
 
Comentário
Este cálculo mostra a ordem de grandeza dos níveis de energia de elétrons de um limite. 
A Figura 2.6a mostra as quatro primeiras energias permitidas para a partícula no poço de potencial infinito, e
Figuras 2.6b e 2.6c mostram as funções de onda e funções de probabilidade correspondente. Podemos notar que com o aumento da energia, a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer dado valor de x torna-se mais uniforme.
Figura 2.6 | Panícula em um poço de potencial infinito: (a) Quatro níveis mais baixos de energia discretos. (b) correspondentes funções de onda. (c) funções de probabilidade correspondente. (A partir de 191 Pierret)
TESTE A SUA COMPREENSÃO: 
E2.5 : A largura do poço de potencial infinito no Exemplo 2.3 é dobrada para 10 Å. Calcular os três primeiros níveis de energia em termos de volts de elétrons para um elétron. (Ans. 0,376 eV. 1,50 eV. 3.38 eV).
E2.6: A menor energia de uma partícula em um poço de potencial infinito com uma largura de 100 Å é de 0,025 eV que é a massa da panícula? (R
2.3.3 O Passo função potencial
Considere agora uma função potencial passo, conforme mostrado na Figura 2.7, na seção anterior. Consideramos uma partícula confinada entre duas barreiras potenciais. Neste exemplo, vamos supor que um fluxo de partículas é incidente sobre a barreira de potencial. Vamos supor que as partículas estão viajando na direção + x, e que elas se originaram em x = -∞. Um resultado particularmente interessante é obtido para o caso em que a energia total da partícula é menor do que a altura da barreira, ou E <Vo. Voltamos à necessidade de considerar a equação de onda independente do tempo em cada uma das duas regiões. Esta equação geral foi dada na equação (2.13), como A equação de onda na região I, em que V = 0, é
 
 
 
Figura 2.7 | O passo função potencial.
A solução geral para esta equação pode ser escrita na forma
 
Onde a constante K1 é
 
O primeiro termo da equação (2.40) é uma onda viajante no sentido + x, que representa a onda incidente, e o segundo termo é uma onda que se desloca no sentido -x que representa uma onda refletida. Tal como no caso de uma partícula livre, as partículas incidentes refletidas são representadas por ondas que viajam.
Para a onda incidente, A1 * A; é a função de densidade de probabilidade das partículas incidentes. Se multiplicarmos essa função densidade de probabilidade pela velocidade incidente, então Vi * A1 * A1* é o fluxo de partículas incidentes, em unidades de #/cm²-s. Da mesma forma, a quantidade de v, B1. B1 é o Hux das partículas refletidas, onde vi é a velocidade da onda refletida. (Os parâmetros v e u, nestes termos são realmente as magnitudes apenas a velocidade.)
Na região II, o potencial é V = Vo. Se assumirmos que E <Vo, então a equação diferencial que descreve a função de onda na região II pode ser escrita como
 
A solução geral pode então ser escrita sob a forma
 
Onde
 
Uma condição de contorno é que a função de onda Ψ2 (x) deve permanecer finita, o que significa que o coeficiente de B2 = 0. A função de onda é agora dada por
 
A função de onda em x = 0 deve ser contínua para que
 
Em seguida, a partir das Equações (2.40), (2.45), e (2.46), obtemos
 
Uma vez que a função potencial é em todos os lugares finita, a primeira derivada da função de onda contínua, também deve ser de modo a que
 
Usando as equações (2.40), (2.45) e (2.48), obtemos
 
Nós podemos resolver as equações (2.47) e (2.49) para determinar os coeficientes de B1 e A2 em termos do coeficiente da onda incidente A1. Os resultados são
 
E
 
A função de densidade de probabilidade refletida é dada pela
 
Podemos definir um coeficiente de reflexão, R, como a relação entre o fluxo refletido para o fluxo incidente, que é escrito como
 
Onde Vi e Vr, são as velocidades incidente e refletida respectivamente, das partículas. Na região I, V = 0 de modo que E = T, onde T é a energia cinética das partículas. A energia cinética é dada pela
 
De modo que a constante K1, a partir da equação (2.41), pode ser escrita com
A velocidade incidente pode então ser escrito como
 
Uma vez que a partícula existe também refletida na região I, a velocidade refletida (magnitude) é dada pela
As velocidades incidentes e refletidas (magnitudes) são iguais. O coeficiente de reflexão é então
Substituindo a expressão a partir da Equação (2,51) na Equação (2.57), obtém-se
O resultado de R = I implica que todas as partículas incidentes sobre a barreira de potencial para E <V, são, eventualmente, refletidas. As partículas não são absorvidas ou transmitidas através da barreira de potencial. Este resultado é inteiramente consistente com a física clássica e pode-se perguntar por que devemos considerar este problema em termos de mecânica quântica. 
O resultado interessante é em termos do que acontece na região II. A solução de ondas na região II foi determinada pela equação (2.45) na forma de . O coeficiente A2 Partir da Equação (2,47) é uma A2 = A1 + B1, que derivam das condições de fronteira. Para o caso de E <V0, o coeficiente de A2 não é zero. Se A2 não é zero, a função de densidade de probabilidade Ψ2(x).Ψ2*(x) da partícula a ser encontrado na região II não é igual a zero. Este resultado implica que há uma probabilidade finita de que a partícula incidente irá penetrar a barreira potencial e existem na região II. A probabilidade de uma partícula penetrar na barreira potencial é outra diferença entre a mecânica clássica e quântica: Na mecânica quântica classicamente não é permitido. Apesar de haver uma probabilidade finita de que a partícula pode penetrar a barreira, uma vez que o coeficiente de reflexão na região I é a unidade, a partícula na região II deve, eventualmente, virar e mover para trás para a região I.
Exemplo 2.4 | Objetivo 
Para calcular a profundidade de penetração de uma partícula colide com uma barreira potencial. Considerar que um elétron incidente que está viajando a uma velocidade de 1 x 10^5m/s na região I.
Solução 
Com V(x) = 0, o total de energia também é igual à energia cinética para que 
Agora, suponha que a barreira potencial em x = 0 é duas vezes tão grande como a energia total da partícula incidente, ou que Vo = 2E. A função onda solução na região II é onde a constante K2 é dado por 
Neste exemplo, queremos determinar a distância x = d na qual a onda tem função amplitude tem decaído para do seu valor no x = 0. Em seguida, para este caso, temos d = 1 ou
A distância é, em seguida, dado pelo
ou
Comentário
Esta distância de penetração corresponde a aproximadamente duas grades constantes de silício. Os números usados neste exemplo são bastante arbitrários. Temos utilizado a uma distância na qual a onda função relevante tem decaído e-1 do seu valor inicial. Poderíamos arbitrariamente utilizar Por exemplo, mas os resultados dão uma indicação da magnitude da profundidade de penetração.
 
O que acontece quando a energia total de uma partícula, que é incidente sobre a barreira potencial, é maior que a altura da barreira, ou E > Vo, é deixado como um exercício ao final do capítulo.
 TESTE A SUA COMPREENSÃO
E2.7 A probabilidade de encontrar uma partícula em um distancia d da região II comparado ao que x = 0 é dada por exp(-2K2d).Considere
um elétron viajando na região I com uma velocidade a partir dos m/s incidente sobre uma barreira potencial cuja altura é de 3 vezes a energia cinética do elétron. Encontre a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância d em relação à x = 0, onde d é (a) 10 A e b) 100 A para a barreira potencial. [Resposta. a) 8,72 por cento b) 2.53 x por cento. 
2.3.4 A barreira potencial
Agora, queremos que considere a função da barreira de potencial, que é mostrado na Figura 2.8.
O problema mais interessante, mais uma vez, é o que acontece quando a energia total da partícula incidente é E < Vo. Mais uma vez imagine que temos um fluxo de partículas incidentes originário do eixo x negativo que viajam no sentido +x. Como antes, temos de resolver Schroedinger independente do tempo da equação da onda em cada uma das três regiões.
Figura 2.8 | A função de barreira potencial
As soluções da equação da onda nas regiões I, II e III são dadas, respectivamente, como:
onde
e
O coeficiente na equação (2.59c) representa uma onda negativa na região III. No entanto, uma vez que a partícula fica na região III, não há alterações de potencial para provocar uma reflexão; assim sendo, o coeficiente deve ser zero. Temos de manter ambos os termos da equação exponencial (2.59b) desde que a largura da barreira potencial é finita; ou seja, nem prazo tornar-se-á sem limites. 
Temos quatro relações de fronteira para os limites de x = 0 e x = a correspondente à vaga e a sua primeira função derivada a ser contínuo. Podemos resolver para os quatro coeficientes, , , e Em termos de . A onda de soluções em três regiões é mostrada na Figura 2.9.
Um determinado parâmetro de interesse é o coeficiente de transmissão, neste caso definido como a relação entre o fluxo na região transmitidos III para o fluxo incidente na região I. Em seguida, o coeficiente de transmissão T é
Figura 2.9 | a onda funciona através da barreira potencial
Onde e são as velocidades das partículas transmitidas e incidentes, respectivamente. Uma vez que o potencial V = 0 em ambas as regiões I e III, o incidente e transmissão das velocidades são iguais. O coeficiente de transmissão pode ser determinado por resolução da condição limite equações. Para o caso especial quando E << Vo que encontramos que
Equação (2.62) implica que há probabilidade finita que uma partícula toca em uma barreira potencial vai penetrar a barreira e vão aparecer na região III. Este fenômeno é chamado de tunelamento e também, contradiz mecânica clássica. Veremos mais adiante como esta mecânica quântica de tunelamento o fenômeno pode ser aplicado ao dispositivo semicondutor características, tais como no túnel diodo. 
Exemplo 2.5 | Objetivo 
Para calcular a probabilidade de um elétron o tunelamento através de um potencial de barreira. Considere um elétron com energia de 2 eV chega em uma barreira de potencial com Vo = 20 eV e uma largura de 3 A.
Solução 
Equação (2.62) é a probabilidade do tunelamento. O fator K2 é:
ou,
Então
e finalmente,
Comentário
A probabilidade de tunelização pode aparecer para ser um valor pequeno, mas o valor não é zero se um grande número de partículas colidirem com uma barreira potencial, um número significativo pode penetrar a barreira.
______________________________________________________________________
TESTE SUA COMPREENSÃO:
E2. 8 Estimar a probabilidade de tunelamento elétrons através de uma barreira retangular com uma altura da barreira de Vo = 1 eV e uma barreira largura de 15 A. A energia do elétron é de 0,20 eV (Resposta: T = 2.76 x 10^-6)
E2. 9 Para uma barreira potencial retangular com uma altura de Vo = 2 eV e um elétron com uma energia de 0,25 eV, traçar a probabilidade versus tunelamento barreira de largura sobre a faixa 2≤ a ≤20A. Use a escala log para a probabilidade de tunelamento.
E2. 10 Alguns dispositivos semicondutores requerem uma probabilidade de tunelamento de T = um elétron de tunelamento através de uma barreira retangular com uma altura da barreira de Vo = 0,4 eV, a energia de elétrons é 0,04 eV determinar a máxima largura da barreira. (Resposta a =19.3 A) 
Aplicações adicionais da equação de onda de Schrodinger's com diversas funções de potencial unidimensionais são encontradas em problemas no final do capítulo. Várias destas funções potenciais representam estruturas de poços quânticos que são encontrados nos modernos dispositivos semicondutores.
*2.4 EXTENSÕES DA TEORIA DE ONDA DE ÁTOMOS
Até agora, neste capítulo, temos que considerar várias funções de energia potencial unidimensional e resolver Schroedinger independente do tempo da equação de onda para obter a probabilidade de encontrar uma partícula em várias posições. Considere agora um elétron, ou hidrogênio, átomo da função potencial. Vamos apenas brevemente à matemática em mais detalhes da solução da função de onda, mas os resultados são extremamente interessantes e importantes.
2.4.1. Um átomo de One-Electron
O núcleo é uma pesada, carregada positivamente de próton e o elétron é uma luz, negativa partícula carregada que, na teoria clássica de Bohr, giram em torno do núcleo. A função potencial é devido a Coulomb a atração entre o próton e elétron e é dado por:
Onde e é a magnitude da carga eletrônica e é a permissividade de espaço livre. Esta função potencial, embora esféricos simétricos conduzam a três dimensões problema em coordenadas esféricas.
Pode-se generalizar independente do tempo a equação de onda de Schroedinger para três dimensões podem ser escritas:
Onde é o Laplaciano operador e devem ser escritas em coordenadas esféricas para este caso. O parâmetro é a massa de repouso do elétron³. Em coordenadas esféricas, a equação de onda de Schrodinger's pode ser escrita como:
A solução para a equação (2.65) pode ser determinada pela separação de variáveis técnicas. Vamos supor que a solução para a equação da independente do tempo pode ser escrita na forma
Onde R, Θ e Ф são funções apenas para r, e Ф, respectivamente. A substituição dessa forma de solução pela Equação (2.65), nós obteremos
Pode-se observar que o segundo termo da equação (2.67) é uma função Ф de apenas, enquanto todos os outros termos são funções de r, Ө. Pode-se, então, escrever que
Onde m é uma separação de variáveis constantes4. A solução da equação (2.68) é da forma
Uma vez que a onda função deve ser único e valorizado. Impõe-se a condição de que m é um número inteiro, ou
________ 
³ A massa deve ser a massa de repouso de duas partículas do sistema, Mas desde que a massa do próton é muito maior do que o elétron massa, a massa equivalente reduz para a do elétron.
4 Quando que m significa a separação de variáveis constantes desenvolvida historicamente. O significado será mantido aqui, embora possa haver alguma confusão com o elétron massa em geral, a massa parâmetro será usada em conjunto com um expoente
Incorporando a constante separação de variáveis nós podemos separar ainda mais as variáveis θ e r e gerar duas variáveis ​​de separação de adicionais constante l e n. As constantes de separação de variáveis n, l e m são conhecidas como número quantum e relacionado por
Cada conjunto de número quantum corresponde o estado quantum que o elétron deve ocupar. A energia do elétron deve ser escrito na forma 
onde n é o número quantum principal. A energia negativa indica que o elétron é limite do núcleo e nós novamente vemos que a energia limite do elétron é quantizada. Se a energia se tornou positiva, então o elétron não deve ser longe do limite da partícula e a energia total deve ser longe da quantizada. Desde que o parâmetro n na
equação (2.72) é um número inteiro, a energia total do elétron pode assumir valores discretos. A energia quantizada é novamente limite a partículas começam em uma região de espaço finito.
______________________________________________________________________
TESTE SUA COMPREENSÃO:
Calcule a menor energia ( em elétron-Volt ) de um elétron em um átomo de energia. (Resposta = 13,6eV )
A solução da equação da onda deve ser designado por , onde n, l e m são novamente números quantum variados. Para o menor estado de energia, n=1, l=0 e m=0, e a função de onda dada por 
A função é simetricamente esférica, e o parâmetro a0 dado por 
e a equação para o raio de Bohr. A função densidade de probabilidade radial, ou a probabilidade de encontrar um elétron em uma distância particular do núcleo, é proporcional ao produto e também a diferença de volume do shell em torno do núcleo. A função probabilidade de densidade para o estado de menor energia é plotado na Figura 2.10a.
Figura 2.10 | A função de probabilidade de densidade radial para um elétron átomo em (a) estado de menor energia e (b) estado mais elevada energia )
A distância mais provável do núcleo é de r = a0, que é o mesmo da teoria de Bohr. Considerando esta função de probabilidade simetricamente esférica, nós podemos agora começar a conceber o conceito de uma nuvem de elétrons, ou energia shell, em torno do núcleo que uma partícula discreta orbitando ao redor do núcleo.
A função densidade de probabilidade radial para próxima alta, função de onda simetricamente esférica, corresponde a n=2, m=0 e l=0, é mostrada na Figura 2.10b. Esta figura mostra a ideia da energia de shell imediatamente superior do elétron.
A segunda energia de shell é um raio maior do núcleo do que a primeira energia de shell. Como indicado na figura, embora, exista ainda uma pequena probabilidade de que o elétron exista em um raio menor.
Para o caso de n=2 e l=1, existe três estados possíveis correspondendo a três valores permitidos do numero quantum m. Estas funções de onda não são mais simetricamente esféricas.
Apesar de não ter ido para um grande detalhe de matemática para um elétron átomo, três resultados são importantes para futuras análises em materiais semicondutores. 
A primeira solução para equação da onda de Schrodinger, que novamente gera as funções de probabilidade elétron. Isso foi como mais simples funções potenciais. No desenvolvimento da física do materiais semicondutores nos próximos capítulos, nós também consideramos a função de probabilidade do elétron. 
O segundo resultado é quantização os níveis energia permitida pelo limite do elétron. O terceiro é o conceito de números quânticos e estado quântico, que evoluiu a partir da técnica de separação de variáveis. Vamos considerar este conceito novamente na próxima seção e nos próximos capítulos quando trataremos com a física dos materiais semicondutores.
2.4.2 A Tabela Periódica
A porção inicial da tabela periódica de elementos pode ser determinada usando os resultados de um elétron mais dois conceitos adicionais. O primeiro conceito é necessário o spin do elétron. O elétron tem um momento angular intrínseco, ou spin, que é quantizado e pode levar em um dos dois valores possíveis. O spin é designado número quântico s, que tem valores de s = ou s = . Agora temos quatro números quânticos básicos: m, n, l e s.
O segundo conceito necessário é o princípio de exclusão de Pauli. O princípio de exclusão de Pauli estado que, em um determinado sistema ( átomo, molécula ou cristal ), dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado quântico. Em um átomo, o princípio de exclusão de Pauli significa que dois elétrons não podem ter o mesmo numero quântico definido. Veremos que princípio de exclusão de Pauli é também um importante fator em determinadas distribuições de elétrons entre o disponível estado de energia em um cristal.
A Tabela 2.1 mostra os primeiros poucos elementos da tabela periódica. Para o primeiro elemento, hidrogênio, temos um elétron no menor estado de energia correspondente a n=1, da Equação (2.71) tanto os números quânticos l e m devem ser zero. No entanto, o elétron pode levar em qualquer um dos fatores de spin s = ou s = . Para o hélio, dois elétrons podem existir no menor estado de energia. Para este caso, l = m =0, então agora tanto o spin do estado do elétron estão ocupados e menor energia de shell é completa. A atividade química de um elemento principalmente por valência, ou ultraperiférica, elétrons. Uma vez que a energia de valência de shell, o hélio não reage com outros elementos e é um elemento inerte.
O terceiro elemento, lítio, tem três elétrons. O terceiro elétron deve ir para o segundo estado de energia de shell correspondente a n=2. Quando n=2, o numero quântico l pode ser 0 ou 1, e quando m=1 o número quântico m pode ser -1,0 ou +1. Em cada caso, o fator spin do elétron pode ser s = ou s = . Para n=2, então, existem oito possíveis estados quânticos. O neon tem dez elétrons. Dois elétrons são em n=1 energia de shell e oito elétrons estão na energia de shell n=2. A segunda energia de shell é agora completa, que significa que o neon é também um elemento inerte.
Da solução da equação da onda de Schrodinger para um elétron átomo, mais o conceito do spin do elétron e o princípio de exclusão de Pauli, podemos a construir a tabela periódica dos elementos. Como o número atômico dos elementos aumenta, elétrons começarão a interagir com entre si, de modo que a acumulação da tabela periódica vai desviar-se um pouco a partir do simples método.
Tabela 2.1| Porção inicial da tabela periódica
2.5 RESUMO
Considerando alguns conceitos básicos da mecânica quântica, que pode ser usada para descrever o comportamento dos elétrons sob varias funções potenciais. o conhecimento do comportamento do elétron é crucial no entendimento da física dos semicondutores.
O princípio da dualidade da partícula-onda é um importante elemento na mecânica quântica. Partículas podem ter comportamento ondulatório e onda pode ter comportamento semelhante a partículas.
A equação de onda de Schrodinger formou a base para descrever e prever o comportamento do elétron.
O Max Born postulou que é a função densidade de probabilidade.
O resultado da aplicação da equação de onda de Schrodinger no limite da partícula é que a energia limite da partícula é quantizada.
O resultado da aplicação da equação de onda de Schrodinger para um incidente de elétrons em uma barreira de potencial que exista uma probabilidade finita de tunelamento.
A estrutura básica da tabela periódica é prevista pela aplicação da equação da onda de Schrodinger para um elétron.