TeoremasB

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Teoremas Booleanos
x . 0 = 0
x . 1 = x
x . x = x
x . x = 0
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x = 1
x + y = y + x
x . y = y . x
x + (y + z) = (x + y) + z =
= (x + z) + y = x + y + z
x (y z) = (x y) z = (x z) y = x y z
x (y + z) = x y + x z
(w + x) (y + z) = wy + xy + wz + xz 
x + x y = x
x + x y = x + y
x + x y = x + y
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A propriedade era a seguinte: X + (/X)Y = X + Y X + (/X)Y X*1 + (/X)Y X(1+Y) + (/X)Y X + XY + (/X)Y X + Y[ X + (/X) ] X + Y
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Teoremas Booleanos - continuação
x  0 = x
x  1 = x (*)
x  x = 0
x  x = 1
lembrete: A  B = A B + A B
a = a 
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George Boole ( 2 de Nov. de 1815 — 8 de Dez. de 1864) foi um matemático e filóloso britânico, criador da Álgebra Booleana, fundamental para o desenvolvimento da computação moderna.
Seu pai tinha uma pequena loja de sapatos. O que se esperava das crianças desta classe era que aprendessem o mínimo de catecismo para que não ultrapassassem o limite de obediência aos que se encontravam em boa situação financeira. Os filhos destes aprendiam um pouco de Latim,e não Grego, passando a ser considerados senhores. Na escola por ele freqüentada, o latim não era ensinado. Resolveu aprender esta língua por acreditar ser este o caminho para uma posição superior. A única orientação que pôde obter foi a do dono de uma livraria que lhe deu algumas noções de gramática. Continuou sozinho e, aos doze anos, traduziu os versos de Horácio para o Inglês. Seu pai, orgulhoso, levou o trabalho para o jornal local que o publicou, deflagrando duas correntes: uma elogiando e outra humilhando Boole. 
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Um professor de línguas clássicas duvidou de que um menino de doze anos pudesse realizar tal tradução. Desafiado, decidiu melhorar o domínio de Latim, acrescentando o Grego. O aprendizado inicial de Matemática lhe foi dado por seu pai. Tendo terminado a escola pública fez um curso comercial, tornando-se mais realista relativamente ao seu futuro. Aos dezesseis anos começou a dar aulas a fim de ajudar seus pais, embora o que ganhasse fosse muito pouco. Por quatro anos ensinou em escolas elementares. A partir de então buscou avaliar as profissões que lhe ofereceriam boas perspectivas: a carreira militar estava fora do seu alcance, por sua penúria financeira; a advocacia exigiria cursos acima de sua disponibilidade orçamentária. Restava-lhe a Igreja. Resolveu, pois, tornar-se padre. Embora não tenha se concretizado a ideia, os quatro anos em que se preparou para a carreira eclesiástica não foram perdidos. Aprendeu Francês, Alemão e Italiano, que lhe seriam indispensáveis em seu futuro. Finalmente, ele encontrou seu caminho, a partir daquelas primeiras aulas recebidas de seu pai. Aos vinte anos abriu uma escola, onde teria que ensinar a matemática que se esperava fosse ensinada em boas escolas. Buscou livros que o orientassem. Os livros comuns, daquela época, deram-lhe grande interesse; a seguir foram considerados desprezíveis. Buscou os grandes mestres da matemática. Seu primeiro trabalho foi ignorado pela maioria dos matemáticos, exceto por alguns raros que reconheceram ali o germe de algo de supremo interesse para a matemática. O desenvolvimento natural do que Boole começou, transformou-se em uma das mais importantes divisões da matemática pura. Disse Bertrand Russell: “a matemática pura foi descoberta por Boole em seu trabalho “Leis do Pensamento”, publicado em 1850.....
Fonte (entre outras) : http://pt.wikipedia.org/wiki/George_Boole 
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Teoremas do DeMorgan
(x + y) = x . y
(x . y) = x + y
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Augustus De Morgan (27 June 1806 – 18 March 1871) was a British mathematician and logician. He formulated De Morgan's laws and introduced the term mathematical induction, making its idea rigorous.[1] The crater De Morgan on the Moon is named after him.
Childhood: Augustus De Morgan was born in 1806, in Madurai, Madras Presidency, India.[2] His father was Col. Augustus De Morgan, who held various appointments in the service of the East India Company. His mother descended from James Dodson, who computed a table of anti-logarithms, that is, the numbers corresponding to exact logarithms. Augustus De Morgan became blind in one eye a month or two after he was born. The family moved to England when Augustus was seven months old. As his father and grandfather had both been born in India, De Morgan used to say that he was neither English, nor Scottish, nor Irish, but a Briton "unattached", using the technical term applied to an undergraduate of Oxford or Cambridge who is not a member of any one of the Colleges. 
When De Morgan was ten years old, his father died. Mrs. De Morgan resided at various places in the southwest of England, and her son received his elementary education at various schools of no great account. His mathematical talents went unnoticed until he was fourteen, when a family-friend discovered him making an elaborate drawing of a figure in Euclid with ruler and compasses. She explained the aim of Euclid to Augustus, and gave him an initiation into demonstration. 
He received his secondary education from Mr. Parsons, a fellow of Oriel College, Oxford, who appreciated classics better than mathematics. His mother was an active and ardent member of the Church of England, and desired that her son should become a clergyman; but by this time De Morgan had begun to show his non-conforming disposition
 entre outros, veja: http://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan
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Universalidade das portas NE e NOU
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Universalidade das portas NE e NOU
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A + B
Not(B)
Not(B) + C
X = ( A + B ) ( Not (B) + C )
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A + B
Not(B)
Not(B) + C
X = ( A + B ) ( Not (B) + C )
Desenvolvendo pelos teoremas:
X= A Not(B) + AC + B Not(B) + BC 
cancelando B Not(B) 
X = A Not(B) + AC + BC (forma canônica)
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Not (C + D)
Not (A)
Z = Not (Not (C + D) * B * Not(A)) 
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Not (C + D)
Not (A)
Z = Not (Not (C + D) * B * Not(A)) 
Aplicando De Morgan.....
Z = ((C + D) + Not(B) + (A)) 
Ou
Z = (C + D + Not(B) + A 
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W = A ( C D + B )
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W = A ( C D + B )
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W = A ( C D + B )
Tabela-Verdade
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W = A ( C D + B )
Tabela-Verdade
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W = A ( C D + B )
Tabela-Verdade
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W = A B ( C + D)
S = A B C + A B C + A B C
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Nos exercícios a seguir, pede-se:
 Dado o circuito na forma de equação, desenhe-o na forma gráfica
b) Dado o circuito na forma gráfica, escreva-o na forma de equação
c) Calcule a respectiva Tabela-verdade, para qualquer caso acima
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Indique o sinal de saída na situação abaixo
Exercício 1) indicar a forma de onda do circuito abaixo
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Exercício 2) Calcular a Tabela-Verdade e a equação do circuito
Exercício 3) Calcular a Tabela-Verdade e a equação do circuito
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Exercício 4) Calcular a Tabela-Verdade e a equação do circuito
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Exercício 5)
Indique o sinal de saída na situação abaixo
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Z = A B C + B ( E F + G )
Exercício 6) Desenhe o circuito e a seguir recalcule o circuito usando DeMorgan
Exercício 7) Simplifique, usando os teoremas
Exercício 8) Simplifique, usando os teoremas
K = A B + A B C + A
N = A B + A B C + A B C D + A B C D E 
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N = ( A + B ) C D + E + F 
Exercício 9) Simplifique, usando os teoremas
Exercício 10) Simplifique, usando De Morgan
V = ( A + A ) ( A B + A B C )
N = ( A + B ) + C 
N = ( A + B ) + C D 
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Simplifique e crie a Tabela-Verdade correspondente
F = A C ( B + B ( B + C ))
R = (A + B + C + D) (A B C D) 
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Exercício extra, de prova; não precisa entregar!