U2_Grad100_Geo_Analitica_Diag

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Geometria Analítica 
35 
2Uma Revisão sobre Produto Escalar, Vetorial e Misto. 
Definir e compreender um produto escalar; 
Identificar as propriedades do produto escalar; 
Interpretar geometricamente o módulo do produto escalar; 
Definir e compreender um produto vetorial; 
Identificar as características do produto vetorial; 
Interpretar geometricamente o módulo do produto vetorial; 
Definir e compreender um produto misto; 
Identificar as propriedades do produto misto; 
Interpretar geometricamente o módulo do produto misto. 
 
Geometria Analítica 
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Objetivo da Unidade 
Nesta segunda unidade vamos estudar os vetores, produto escalar e seus 
conceitos, propriedades e interpretação geométrica; produto escalar e seus 
conceitos, caraterísticas e interpretação geométrica e; produto misto e seus 
conceitos, propriedades e interpretação geométrica. 
 
Plano da Unidade 
 
 Definir e compreender um produto escalar; 
 Identificar as propriedades do produto escalar; 
 Interpretar geometricamente o módulo do produto escalar; 
 Definir e compreender um produto vetorial; 
 Identificar as características do produto vetorial; 
 Interpretar geometricamente o módulo do produto vetorial; 
 Definir e compreender um produto misto; 
 Identificar as propriedades do produto misto; 
 Interpretar geometricamente o módulo do produto misto. 
 
Geometria Analítica 
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PRODUTO ESCALAR (OU INTERNO) 
I. No IR2. Sejam 
   2211 y ,x v e y ,x u . 
 
 y . y x. v . 2121  xu 
Exemplo: 
 
1) Ache v . u onde    2 5,- v e 1 2, u . 
Solução: 
   8- v . u 2 . 1 5- . 2 v . u 
2) Ache AC . AB onde A (2, 3), B (5, 0), C (-1, 3). 
Solução: 
9- AC . AB 0 . (-3) (-3) . 3 AC . AB
:Logo (-3,0), AC
3) (2, - (-1,3) AC A -C AC
3)- (3, AB
3) (2, - (5,0) AB A -B 




AB
 
II. No IR3. Sejam 
 )z ,y ,(x u 111 e )z ,y ,(x 222v . 
 212121
z . z y . y x. x v . u
 
Exemplo: 
1) Sejam 5) 1, (0, v e 3) 1, (2, u . Ache: 
a) v . u 
b) u . v 
 
Geometria Analítica 
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Solução: 
a) 16 v . u 5 . 31 . 1 0 . 2 v . u  
b) 16 u . v 3 . 5 1 . 1 2 . 0 u . v  
Note que u . v v . u  
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 
a) u . v v . u 
b) w . u v . u )w v( . u 
c) d . b c . b d . a c . a ) d c( . ) b a(  
Sejam k1 e k2 e |R ) v . u ( k k ) v (k . )u k( 2121  
 
Exemplos: 
 
 a) v . u 18 ) v .u ( 6 . 3 ) v (6 . )u 3(  
 b) v . u 10- ) v . u ( 10- ) v (5 . )u 2(  
 
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR 
1. No IR2. Sejam )y , (x u 11 um vetor do IR2 onde denotaremos por
 u
módulo 
de u . 
 
Geometria Analítica 
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Pitágoras: 
 y x ) ( 21
2
1
2 u
 
 
2
1
2
1 y x u
 
Exemplo: 
1. Ache o módulo (comprimento) dos vetores abaixo: 
a) 
5 u (-4) 3 u 4)- (3, 22 u
 
b) 
13 v 3 2 v (2,3) 22 v
 
c) 
13 w 12 (-5) w (-5,12) 22 w
 
2. Ache o módulo do vetor 
?) AB ( AB
 onde A (3, -1) e B(1, 2). 
Solução: 
(-2,3) AB (3,-1) - (1,2) A - B AB 
Logo: 
13 AB 3 (-2) 22 AB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
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2. No |R3. Seja )z ,y ,(x 111u um vetor do IR3 onde denotaremos por v

módulo do vetor u . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando Pitágoras, temos: 
2
1
2
1
2
1 zyxu 
 
 
Exemplos: 
 
1. Ache o módulo dos vetores abaixo: 
a) u (2, 1, 3) u = 14312
222  u
 
b) v

 (6, 2, -3) 
7)3(26 222  vv
 
 
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2. Ache 
AB
 onde A (1, 4, -2) e B ( 7, 2, -5). 
Solução: 
 
7)3()2(6)3 ,2 ,6(
)2 ,4 ,1()5 ,2 ,7(
222 

ABABAB
ABAB
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS OU MÓDULO DE UM VETOR 
 
I. IR2. Sejam A (x1, y1) e B (x2, y2) 
 
 
 
 A(x1, y1) B(x2, y2) 
Note que a distância de A até B é igual ao 
AB
. 
Aplicando GRASMAN, obtemos: 
2
12
2
12
1212
1122
)()(
),(
),(),(
YYXXABd
LogoYYXXAB
YXYXABABAB



 
 
II. IR3. Sejam A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2). 
De forma analógica no IR2, temos: 
2
12
2
12
2
12 )()()( ZZYYXXABd 
 
 
Geometria Analítica 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Ache as distancias entre os pontos abaixo: 
 
a) A (2, 1) e B (6, 4) 
 
5)41()62( 22  dd
 
Podemos mudar a ordem das diferenças, pois estão elevadas ao quadrado, veja: 
 5)14()26(
22  dd 
 
b) C (1,-2) e D (2,3): 
 
26)32()12( 22  dd
 
 
Geometria Analítica 
43 
 
c) E (1, -2, -3) e F (3, 1, -9): 
 7 d 49
))9(3()12()13( 222


d
d
 
 
d) G (1,3,5) e H (0,-1,2): 
 26 
2)-(5 3)-(-1 0)-(1 222


d
d
 
 
 2. Em um triângulo ABC os vértices são A (1, 2), B (-2, 3) e C(0, 5). Calcule o 
comprimento da mediana AM. 
 Solução: 
 
 
M é médio de .BC 
M = 
(-1,4) M 
2
CB
 
Repare que o comprimento da mediana AM é o módulo do vetor AM . 
22 d 2)-(4 1)-(-1 2 2 d 
3. Determinar a natureza do triângulo de vértices A (2, -3), B (-5, 1) e C (4, 
3). 
 
Solução: 
 
Determinação dos lados do triângulo. 
 102 40 (-3))-(32)-(4 
85 1) - (3 4)- (-5 
65 1) (3 2)- (-5 
22
22
22



AC
BC
AB
 
 
Geometria Analítica 
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Como os lados são diferentes o triângulo é escaleno (classificação em relação aos 
lados) classificação em relação aos ângulos. 
 
2)85(  22 )40( )65(  triângulo acutângulo. 
 
Resposta: triângulo acutângulo e escaleno. 
4. Determinar o ponto do eixo Ox equidistante dos pontos A (6, 5) e B (-2, 3). 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que d (P, A) = d (P, B) 
2222 0) - (3 (-2))-(x 0) - (5 )6( x 
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos: 
x2 - 12x + 36 + 25 = x2 + 4x + 4 + 9 
onde x = 3. Logo, P (3, 0). 
 
5. Verificar se o triângulo de vértices A (0, 1), B (2, 2) e C(1, 3) é escaleno, isóscele ou 
equilátero. 
Solução: 
Vamos calcular as medidas dos três lados do triângulo: 
AB = 5 1)-(2 )02(
22  
AC = 5 1)-(3 )01(
22  
BC = 
2 2)-(3 )21( 22 
 
 
Logo o triângulo ABC é isósceles. 
 
Geometria Analítica 
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MÓDULO DE UM VETOR EM FUNÇÃO DO PRODUTO ESCALAR 
 
I. IR2. Considere )y,(x u e )y,(x 1111u . 
2
1
2
1111 1 y x u . u y . y x. x u . u 
e como 
 y x 21
2
1 u
, temos:   u . u u u . u 2 u
 
II. IR3. De forma análoga temos o mesmo resultado anterior. 
Exemplos: 
a) 
  a . a a a . a 2 a
 
b) 
  b . b b b . b 2 b
 
c) 
 v . v u . v v . u u . u v u 
 ) v u ( . ) v u ( v 

u
 
 
   22 v v . u 2 u v u
 
d) 
   22 v v . u 2 - u v u
 
 
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
 
 
 
 
 180º 8  
 
 
Geometria Analítica 
46 
 
Notação  ) v , ( u 
 
OBS: 
 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
3. Os vetores v e u deve tera mesma origem. 
4. Lei dos cossenos (geometria plana). 
 
a2 = b2 + c2 – 2b . c cos A 
b2 = a2 + c2 – 2ac cos Bˆ 
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C 
 
Geometria Analítica 
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CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES ORTOGONAIS OU PERPENDICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
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Exemplos: 
 
1. O ângulo formado pelos vetores 1)- (-5, v e 3) (2, u 
 Solução: 
 
 
135º 
2
2 - cos 
2
1- cos
 cos . 2 . 13 13- cos . 2 . 13 . 13 13 -
 cos . 26 . 13 13-
: a igual é cos . v . u v . u ,
26)1()5(v
13 u 32 u 
13- v . u (-1) . 3 (-5) . 2 v . 
 cos . v . u v . 
22
22













Logo
v
u
u
 
2. Determine o ângulo  entre os vetores u (2, 1, 1) e v

 (-1, -2, 1) 
 v . u  2 . (-1) +1 . (-2) + 1 . 1 v . u  = -3 
 
120º 
2
1- cos
 cos . 6 3- cos . 6 . 6 3- : 
6 1 (-2) (-1) 
6 1 1 2 
222
222





Logo
v
u
 
 
3. Sendo A (3, 2), B (8, 3) e C (5, 5) o ângulo  do triângulo ABC é: 
Solução: 
 
 
Geometria Analítica 
49 
 
Solução: 
 
45º 
2
2 cos
 cos . 13 2 13 cos . 13 . 26 13
 cos . AC . AB AC . AB
13 3 2 AC
26 1 5 AB
13 AC . AB 3 . 1 2 . 5 AC . AB
(2,3) AC (3,2) - (5,5) A -C AC
(5,1) AB (3,2) - (8,3) A -B AB
22
22








 
4. Ache o valor de t  |R para que os vetores 3) (2, v e t)(1, u sejam 
ortogonais. 
 Solução: 
Condição: 0 v . u 1 . 2 + t . 3 = 0 
t = - 3
2
 
5. Dado o vetor 15) 16, -(x v , calcule x tal que 
 v
 = 5 
 Solução: 
25 15 16) -(x 5 22 v
 elevando ambos os membros ao quadrado temos: 
(x – 16)2 + 152 = 25, resolvendo a equação, temos: x =  12. 
 
VETORES COM A MESMA DIREÇÃO 
 
b 
 
 
c 
 
d) 
 
 
 
Geometria Analítica 
50 
Note que vK u  , k  IR 
I. IR2. Sejam )y ,x( v e )y ,(x u 2211 
 2
1
2
1
21
212211
2211
y
y
 
x
x
 
 ky y 
ky x)ky ,kx() x,(x 
)y ,(xk )y ,(x vk u 




 
 
II. IR3. Sejam ).z ,y ,(x v e )z ,y ,(x 222111u 
 
 2
1
2
1
2
1
z
z 
y
y 
x
x 
 
 
Exemplos: 
 
1. Ache o valor de k IR para que os vetores u (k – 1, 2) e v

 (3, 1). 
Sejam: 
 a) paralelos 
 b) perpendiculares 
Solução: 
 
a) 
7
1
2
3
1  kk
 
b) 3
1 0 1 . 2 3 . )1(0 .  kkvu
 
2. Calcule m para que os pontos A (1, 2), B (3, -1) e C (m, 2m-1) pertençam à 
mesma reta (colineares). 
Solução: 
 
 
 A (1, 2) B (3, -1) C (m, 2m - 1) 
 )3m2,1m(BC)2,1()1m2,m(BCBC
)3,2(AB)2,1()1,3(ABAB


 
 AB e BC tem a mesma direção: 
 7
9 3 3 64 
32
3
1
2 
 mmmmm 
Geometria Analítica 
51 
3. Sabendo que 
12a
 e 
2b
, calcular os valores de m de modo que os 
vetores bma  e bma  sejam perpendiculares. 
 Solução: 
 Condição: 
0 )bm- a( . )bm ( a
 
 
 
   
6 m 
0 2 . m - 12 0 b m - 
0 b . b m . m - b . a m b . a m - 
0 bm . bm- a . bm )b(m . a a . a
222
2
2
2
2




a
a
 
 
 
PRODUTO VETORIAL OU EXTERNO 
INTRODUÇÃO 
I. IR2 
Dados os vetores i (1, 0) e j (0, 1), unitários dos eixos Ox e Oy, respectivamente, 
então qualquer vetor v

 (x, y) do R2 pode ser escrito: 
v (x, y) = x i + y j 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. IR3 
 
Geometria Analítica 
52 
 
Dados os vetores i (1, 0, 0), j (0, 1, 0), k (0, 0, 1) unitários dos eixos Ox, Oy e Oz, 
respectivamente, então qualquer vetor v (x, y, z) do R3 pode ser escrito: 
v (x, y, z) = x i + y j + zk 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÃO ANALÍTICA DO PRODUTO VETORIAL 
Dados os vetores do R3 u (x1, y1, z1) e v (x2, y2, z2), então: 
 
u x v

 = 
222
111
zyx
zyx
kji
 
Exemplo: 
Ache u x v

 onde u (2, 1, -1) e v

 (1, 0, 3). 
Solução: 
 u x v

 = 
j6 - j - i3 
|01
|12
|
 
301
112 k
jikji

 
 
 1)- 7,- (3, v x k - j7 - i3 v x  uu 
 
Geometria Analítica 
53 
 
Vamos calcular u x v

 escalar com u e com v

. 
1. (u x v

) . u = 3 . 2 + (-7) . 1 + (-1) . (-1)  
  (u x v

) . v

 = 0, logo u x v

 é perpendicular a u . 
 
2. (u x v

) . v

 = 3 . 1 + (-7) . 0 + (-1) . 3  
  (u x v

) . v

 = 0, logo u x v

 é perpendicular a v

. 
 
DIREÇÃO DE u x v 
u x v é perpendicular ou ortogonal a u e v simultaneamente. 
SENTIDO DE u x v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
u x v

 = é um vetor 
u x v

 = -(v

 x u ) (anticomutativo) 
u x u = 0 
 
Geometria Analítica 
54 
 
Nota: 
TRIÂNGULO 
 
 
 
A = 2
ah
 
A = 2
absen
 
 
PARALELOGRAMO: A = ah 
 
 
 
 
 
 
ou A = 2 . 2
ab
sen   A = ab sem  
Área do paralelogramo: ÁREAABCD = |u x v

| 
 
 u x v

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do triângulo: ÁREAABCD = 2
| v | xu
 
u x v

 
 
 
Geometria Analítica 
55 
 
Nota: 
Área de um triângulo no R2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Com dois vetores com a mesma origem podemos formar ou gerar. 
1. TRIÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. PARALELOGRAMO 
 
 
Geometria Analítica 
56 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL 
MÓDULO: | u x v

| = |u | |v

| sen  
 
 
EXEMPLOS: 
Ache a área do paralelogramo gerado pelos vetores u (2, 2, 0) e v

 (0, 2, 0). 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
|u | = 22 |u| 0 2 2
222  
|v

| = 2 |v| 0 2 0
222  
Área do paralelogramo(S) 
S = 2 . 2 2 . sen 45º  S . 2 . 2 . 2
2
 
S = 4 
 
Geometria Analítica 
57 
 
Veja que a área do paralelogramo coincide com o módulo u x v

. 
u x v = 
 
|20
|22
|
 
020
022
jikji
 u x v

 = 4k = o i + o j + 4 k 
 u x v

 = (0, 0, 4), temos então: 
|u x v

| = 
222 4 0 0   | u x v | = 4 
Logo, numericamente, temos: 
 
 |u x v | = |u | . |v | . sen  
 
 
2. (UFF) Dados os vetores x = i - 2 j + k e y = j + k um vetor 
perpendicular ao plano de x e y é: 
(1, 0, 3) d) (-6,-2,2) 
(-3, -1,-5) e) (1,1,1) 
(1, 3 ,1) 
 
Geometria Analítica 
58 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x x y = 
k - i3- 
|10
|21
|
 
110
121  j
jikji
 
x x y = (-3,-1,1) 
 
Resposta: Letra D 
 
Geometria Analítica 
59 
 
3. Ache a área do triângulo de vértices A (1, 2, 0), B (3, 0, -3) e C (5, 2, 6). 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 U = AB = B – A = (3, 0, -3) – (1, 2, 0) 
 U = AB = (2,-2,-3) 
 V = AC = C – A = (5, 2, 6) – (1, 2, 0) 
 V = AC = (4, 0, 6) 
U x V = 
k8 12 - i24 
604
322  j
kji
 
 |U x V | = 28 784 8 )12( )24(
222 
 
S = 
14. S 
2
28 
 
4. (UFF) os vetores U eV do |R3 determinam um ângulo de 135º e são tais que 
|U | = 2 e |V | = 3 . 
 Ache |U x V |. 
Geometria Analítica 
60 
 
 Solução: 
|U x V | = |U | . |V | . sen ,  = 135º 
|U x V | = 2 . 3 
 
2
2 
|U x V | = 3 
 
 
 
 
5. (UERJ) Observe a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ela representa um cubo de aresta 2, seccionada pelo plano ABCD, B = (2, 0, t) e t 
varia no intervalo [0, 2]. Determine a menor área do quadrilátero ABCD. 
Solução: 
Note que ABCD é um paralelogramo com A (2, 2, 0), B (2, 0, t) e C (0, 0, 2) 
 
Geometria Analítica 
61 
 
Vamos construir os vetores BA e BC com origem em B. 
 BC = C – B = (0, 0, 2) – (2, 0, t) 
 BC = (-2, 0, 2 - t) 
 BA = A – B = (2, 2, 0) – (2, 0, t) 
 BA = (0, 2, t) 
A área do paralelogramo é dada por: S = | BC x BA | 
 
 BC x BA = 
4)- 2t,- 4,-(2t 
20
202 


t
t
kji
 
 
|BA x BC| . 8t 16t - 32 
 (-4) (-2t) 4) - 2( |BA x BC|
2
22

 t
 
É mínimo quando 32 – 16t + 8t2 é mínimo para t = - a4

= 24. Logo mínimo 
para área = área = .62 24  
 
PRODUTO MISTO 
Definição: Sejam u , v

 e w três vetores do espaço. O produto misto de u , v

 e 
w , nesta mesma ordem, é o número, representado por [u ,v

, w ], definido 
como sendo o produto escalar de u pelo produto vetorial de v por w , ou seja: 
Geometria Analítica 
62 
 [u , v

,w ] = u (v x w ) 
 
OBS: [u ,v

, w ] = 333
222
111
zyx
zyx
zyx
 
 
VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO 
Dados três vetores do espaço, u , v

 e w , de direções não coplanares, estes, ao 
serem representados por segmentos orientados de mesma origem, definem um 
paralelepípedo. 
 
 
 
 
 
 
 
O volume deste sólido é dado por: 
V = SB . h 
V = |[u , v

,w ]| 
 
Geometria Analítica 
63 
 
EXEMPLO: 
Ache [u , v

, w ] onde u (2, 0, 0), v

 (0, 3, 0) e w (0, 0,5) 
 
 [u , v

, w ] = 500
030
002
  [u ,v

, w ] = 30 
Geometricamente 
 
Veja que o volume do paralelepípedo retângulo é V = SB . h, então V = 3 . 2 . 5 
 V = 30 
 
OBS.: O volume de um paralelepípedo coincide numericamente com o módulo do 
produto misto dos vetores u , v

, w , isto é: 
 V = |[u , v

, w ]| 
 
Geometria Analítica 
64 
 
VOLUME DE UM TETRAEDRO 
Sabemos da geometria espacial que o volume do tetraedro (pirâmide) é dado por 
3
1
 da área da base vezes altura. 
 
V = 3
1
 SB . h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume do paralelepípedo = SB . h 
Volume do tetraedro = 3
1
 . 
h . S 
6
1 h . 
2 B
BS
 
Temos então que o volume do tetraedro é: 
V = 6
1
 |[u , v

, w ]| 
 
Geometria Analítica 
65 
 
VETORES COPLANARES 
 [u ,v

, w ] = 0 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Calcule o volume do tetraedro de vértices A (1, 2, -1), B (0, 1, 5), C(-1, 
2, 1), D (1, 2, 3). 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AB = B – A = (0, 1, 5) – (1,2,-1) = (-1, -1, 6) 
 AC = C – A = (-1, 2, 1) – (1, 2, -1) = (-2, 0, 2) 
 AD = D – A = (1, 2, 3) – (1, 2, -1) = (0, 0, 4) 
Geometria Analítica 
66 
 [ AB , AC , AD ] = 
8- 
400
202
611


 
 V = 6
1
|[ AB , AC , AD ]|  V = 6
1
 |-8|  V = 3
4
 
 
2. Verifique se os pontos A (1, 2, -1), B (0, 1, 5), C (-1, 2, 1) e D (2, 1, 3) são 
coplanares. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 AB = B – A = (0, 1, 5) – (1,2,-1) = (-1, -1, 6) 
 AC = C – A = (-1, 2, 1) – (1, 2, -1) = (-2, 0, 2) 
 AD = D – A = (2, 1, 3) – (1, 2, -1) = (1, -1, 4) 
[ AB , AC , AD ] = 
0 
411
202
611




 
logo, AB , AC , AD são vetores coplanares. 
Daí A, B, C e D coplanares. 
 
Geometria Analítica 
67 
 
 
Vídeos 
 
Para ampliar os seus conhecimentos assista aos vídeos abaixo: 
http://www.youtube.com/watch?v=kUxpoWKkJII 
http://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo 
http://www.youtube.com/watch?v=LnBxa8JKBSY 
http://www.youtube.com/watch?v=JLJBcR5jiuQ 
 
 
Nesta unidade, realizamos uma revisão sistemática sobre produto escalar, 
produto vetorial e produtos misto, além de aplicações práticas sobre esses tópicos. 
Na próxima unidade faremos uma revisão sobre produtos escalar, vetorial e misto. 
 
É HORA DE SE AVALIAR 
 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão 
ajuda-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às 
envie através do osso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! 
Geometria Analítica 
68 
 
Exercícios - Unidade 1 
 
1) Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
2) Dados os vetores u e v tais que 
4u
 e 
5v
 formam um ângulo de 60º. 
Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
Geometria Analítica 
69 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), 
v (1, k, 4) e z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 
60º, o produto escalar entre eles é igual a: 
 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) ½ 
 
Geometria Analítica 
70 
 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [b , a
c ] é igual a: 
 
a) 144 
b) 66 
c) 84 
d) 124 
e) 132 
 
6) O ângulo entre os vetores ݑሬԦ ൌ 3ଓԦ ൅ ଔԦ	݁	ݒԦ ൌ ଓԦ ൅ 2ଔԦ é igual a: 
 
a) 0º 
b) 30º 
c) 45º 
d) 60º 
e) 90º 
 
7) O volume do tetraedro de vértices A(1, 2, 3), B(1, -1, 1), C(2, 3, 0) e D(-1, 0, -1) é: 
 
a) 5 
b) 6 
c) 4 
d) 8 
e) 2 
 
Geometria Analítica 
71 
 
 
8) Determine o volume do paralelepípedo definido pelos vetores 
ݑሬԦ ൌ ሺ1, 0, െ2ሻ, 
ݒԦ ൌ ሺെ1, 1, 0ሻ e ݓሬሬԦ ൌ ሺ2, 3, െ1ሻ. 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
9) Verifique se os pontos do espaço P(1, 2, 3), A(1, 4, 4), B(4, 1, 2) e C(2, 3, 2) são 
coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
72 
 
 
10)ABC é um triângulo equilátero de lado L. O produto escalar ܣܤ	ሬሬሬሬሬሬԦ.ܤܥሬሬሬሬሬԦ vale: 
െ ܮ
ଶ√3
2 
െ ܮ
ଶ
2 
ܮଶ
2 
ܮଶ 
 
 
௅మ√ଷ
ଶ