U3__Grad100_Geo_Analitica_Diag

Prévia do material em texto

3A Reta
Equação 
Retas paralelas aos planos e aos eixos
Ângulos
Retas ortogonais
Interseção de duas retas 
Geometria Analítica
56
Nesta terceira unidade, vamos estudar a reta e sua equação; retas paralelas aos 
planos e aos eixos; ângulos, retas ortogonais e; a intersecção de duas retas.
Objetivos da unidade:
•	 Definir a reta e determinar a sua equação;
•	 Identificar e interpretar as retas paralelas aos planos e aos eixos;
•	 Determinar os ângulos formados pelas retas;
•	 Identificar e interpretar as retas ortogonais;
•	 Interpretar geometricamente a intersecção de duas retas.
Plano da unidade:
•	 Equação 
•	 Retas paralelas aos planos e aos eixos
•	 Ângulos
•	 Retas ortogonais
•	 Interseção de duas retas 
Bons Estudos.
57
Geometria Analítica
Equação da Reta
O estudo da reta compreende um dos mais importantes assuntos da Geometria 
analítica, pois através de várias funções algébricas conhecidas é possível 
expressá-las por meio de retas.
O capítulo em questão, dada a sua importância, engloba uma gama maior de 
conceitos e definições. 
Equação Geral da Reta 
Sabemos, por conta da Geometria da posição, que uma reta será sempre 
determinada por dois pontos distintos.
Daí, pra determinarmos uma reta, é necessário, então, conhecer dois pontos 
distintos desta reta.
Geometria Analítica
58
Como base no exposto é possível afirmar que os pontos A e B, indicados acima, e que 
qualquer ponto P genérico, que pertença a reta AB, estão alinhados.
A condição para que três pontos estejam alinhados é:
Assim, obtemos a equação geral da reta, que é dada por:
Exemplos:
1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A( 1; -1) e B(-1; 3)
Solução:
Considerando o ponto genérico P(x, y) que pertence a reta e aplicando a 
Logo, a equação da reta que passa pelos pontos A e B é 2x + y - 1 = 0
Geometria Analítica
59
Pontos que pertencem à Reta
Podemos afirmar que um ponto P(xp, yp) pertence a uma reta r quando ao 
substituirmos as suas coordenadas na equação da reta verifica-se uma igualdade.
Exemplo:
1 . Verifique se o ponto P(2; 1) pertence a reta r, definida pela equação r: 2x – y – 3 = 0.
Solução: 
Neste caso efetua-se a substituição de x por 2 e y por 1 na equação 2x – y – 3 = 0.
Assim, temos: 2 . 2 – 1 – 3 = 0 → 4 – 1 – 3 = 0 → 0 = 0
Intersecção Entre Duas Retas
Sejam r : ax + bx + c = 0 e s: αx0 + βy0 + γ = 0 as equações de duas retas e P(x0, y0) 
a sua intersecção.
Graficamente, temos:
Assim, P ∈ r → ax + bx + c = 0 e P ∈ s → αx0 + βy0 + γ = 0.
Geometria Analítica
60
Logo, (x0, y0) é a solução do sistema formado pelas equações de r e s.
Trocando em miúdos, podemos afirmar que para obter o ponto de intersecção entre 
duas retas r e s, basta resolver o sistema de equações do primeiro grau formado por elas.
Exemplo:
 Determine o ponto de intersecção das retas x + 2y – 9 = 0
Solução:
Formas de Equação da Reta
Há distintas maneiras de se representar uma reta, além da forma da equação geral da 
reta. Vejamos as principais formas a seguir.
Equação Segmentária
A equação segmentária de uma reta é obtida quando os pontos em que ela 
intercepta os eixos coordenados são conhecidos.
Caso o sistema possua mais do que uma solução, as retas são coincidentes, e caso 
não possua solução, as retas são paralelas entre si.
IMPORTANTE!
Geometria Analítica
61
A equação segmentária é dada por:
Equação Reduzida
A equação reduzida da reta é obtida quando isolamos y na equação geral.
Assim, temos:
Disponível em: http://somatematica.com.br/emedio/retas/retas5.php
Os valores m e n são denominados coeficientes angular e linear, respectivamente.
Onde:
Geometria Analítica
62
Equação Paramétrica
Uma reta pode ser representada por um par de equações que representam as 
coordenadas de seus pontos, em função de uma terceira variável, denominada 
de parâmetro.
Equação da Reta que passa por um Ponto Conhecido
Ao estudarmos o coeficiente angular, é possível determinar a equação da reta, 
conhecendo um ponto dela e o ângulo que a mesma forma com o eixo x.
Observe que existe somente uma reta que passa pelo ponto P(x0, y0) e que forma 
um ângulo α com o eixo x. 
Logo, a sua equação será definida por:
Geometria Analítica
63
Exemplos:
1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, -2), com inclinação de 60º.
Solução:
m=tgα → m = tg 60º → m = √3
y – y0 = m(x – x0) → y — 2= √3 (x – 3)
y +2 = √3x – 3√3 → √3x – y - 3√3 – 2 = 0
2. Calcule a equação segmentária da reta 
Solução:
Assim, temos:
x + 2 = y – 1 → x – y + 3 = 0 → Equação Geral da Reta
- y = - x – 3 . (- 1)
 y = x + 3 → Equação Reduzida
Logo, para a equação segmentária, obtemos:
Sendo x – y + 3 = 0
Se x = 0 → y = 3
Se y = 0 → x = - 3
 Equação Segmentária
Geometria Analítica
64
Posições Relativas Entre Duas Retas
Para determinar se duas retas, r e s são concorrentes, paralelas ou coincidentes, 
devemos, inicialmente, considerar suas equações gerais:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0
Conhecidas as equações gerais, encontramos as posições relativas entre elas pelas 
relações abaixo indicadas:
Estudo dos Coeficientes Angulares
Quando duas retas r e s são paralelas ou perpendiculares, há duas relações entre os 
coeficientes angulares que são de grande importância no estudo de Geometria Analítica.
Retas paralelas
Disponível em: www.infoescola.com
Geometria Analítica
65
Se as retas, r e s, são paralelas, então podemos afirmar que seus coeficientes 
angulares são iguais, ou seja, mr = ms.
Retas perpendiculares
Se duas retas, r e s, são perpendiculares, então podemos afirmar que seus coeficientes 
angulares são valores inversos, com sinais trocados, ou seja, 
Exemplos:
Sejam as retas r: 2x + 3y – 5 = 0; s: 3x + 2y – 1 = 0 e v: 4x + 6y + 3 = 0. Determine as 
posições relativas entre as retas r e s; r e v; s e v.
Solução:
Disponível em: www.objetivo.br
Geometria Analítica
66
2. Determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P(-3, 4) e é perpendicular à 
reta dada por r: 3x + 9.
Solução:
O coeficiente angular da reta m é mr = 3
Pela condição de perpendicularidade, deve-se ter: mr . ms = -1→ 3 . ms = -1 → ms = -1/3
Como P(-3, 4) pertence a s e ms = -1/3, obtém-se: y = msx + n → 4 = (-1/3) . (- 3) + n → 
4 = 1 + n → n = 3.
Logo, a equação da reta s é y
Ângulos e Distâncias
Distância de ponto à reta
Ao falarmos de distância entre um ponto e uma reta estamos nos pautando na 
medida do segmento de uma reta perpendicular à reta que tem extremidades no 
ponto e na reta.
Assim, para encontrar o valor numérico que representa a distância, vamos observar 
a figura a seguir:
Disponível em: www.estgv.ipv.pt 
Geometria Analítica
67
Daí, é possível calcular a distância pela relação:
Ângulos entre duas retas
Conforme mostra a figura abaixo, duas retas determinam quatro ângulos, sendo que 
eles são sempre congruentes dois a dois:
Para determinar esses ângulos indicados na figura acima, vamos considerar dois 
casos distintos:
1º Caso: Uma das retas é perpendicular ao eixo OX.
Se um das retas é perpendicular ao eixo das abscissas (OX), então esta reta não 
possui coeficiente angular. Neste caso, para determinar o ângulo agudo formado 
pelas retas, temos a relação: 
Disponível em: www.somatematica.com.br
Geometria Analítica
68
Para determinar o ângulo obtuso θ’ formado pelas retas, basta encontrar o 
suplemento de θ, ou seja, θ’= 180º - θ.
2º Caso: Nenhuma das retas é perpendicular ao eixo OX.
Se nenhuma das retas é perpendicular ao eixoOX, então as duas possuem coeficiente 
angular. Neste caso, o ângulo agudo é obtido pela relação: 
Para determinar o ângulo obtuso utilizamos o mesmo procedimento realizado no 
primeiro caso.
Exemplos:
1.Qual é a distância entre o ponto A(-3, 4) e a reta x – y + 2 = 0
Solução:
2. Determine a distância entre o ponto B(5, 4) e a reta r de equação x/3+y/4=1.
Solução:
Aplicando a expressão de distância entre ponto e reta, temos:
Geometria Analítica
69
3. Determine a medida do ângulo agudo formado entre as retas r: 2x – y – 1 e s: 6x 
+ 2y + 5 = 0.
Solução: 
Considere θ o ângulo agudo entre as retas r e s.
Para determinar o ângulo formado entre as retas, é necessário obter os coeficientes 
angulares das retas.
r: 2x – y – 1→0→y=2x-1→ mr= 2
s: 
Como :
Se tg θ=1, então θ=45º
4. Determine a medida do ângulo agudo formado entre as retas r: y = √3 x – 7 e s: x = 5.
Solução:
O coeficiente angular de r é 
Como s é paralela ao eixo das ordenadas, obtém-se
Se e 𝜃 é agudo, então 𝜃 = 30º.
Geometria Analítica
70
SUGESTÃO DE VÍDEOS
Para ampliar os seus conhecimentos assista aos vídeos abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=ZqAQwxPrxxk
https://www.youtube.com/watch?v=uhmjQvaAaZQ
https://www.youtube.com/watch?v=qBWAYc9uqG4
https://www.youtube.com/watch?v=gb9pTyYvBCQ
Nesta unidade, realizamos uma abordagem sobre reta no plano cartesiano, suas 
equações, posição relativa entre duas retas, ângulo entre duas retas e os ângulos 
formados entre duas retas.
Na próxima unidade, estudaremos a circunferência, suas equações, a determinação 
do centro e do raio, as condições para que a equação represente uma circunferência 
e as posições relativas entre reta e circunferência e entre duas retas.
É HORA DE SE AVALIAR!
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão ajudá-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às envie 
através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!
 
Geometria Analítica
71
Exercícios da Unidade 3
1) (UNITAU – SP) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é:
 a) y = x
b) y = 3x
c) y = 6x
d) 2y = x
e) 6y = x
2) (UFLA-MG) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, - 13) e é 
perpendicular à reta de equação 2x + y – 7 = 0. 
3) (UNISINOS-RS) Uma reta tem equação 3y – 2x +12 = 0. Os parâmetros 
(coeficientes) angular e linear, nesta ordem, são:
a) 2/3 e 4
b) 3/2 e 12
c) 2/3 e – 12
d) 2/3 e – 4
e) -2/3 e 4
Geometria Analítica
72
4) (PUC-SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a) √2
b) √3/2
c) √10
d) 1
e) 2
5) (FESP-SP) A Distância entre as retas r: 4x – 3y + 17 = 0 e s: 4x – 3y – 8 = 0 é:
a) 9/17
b) 5
c) 25/3
d) 25
e) 17/8
6) (UEL-PR) Considere os pontos A(0, 0), B(2, 3), C(4, 1). O comprimento da altura 
do triângulo ABC, relativo ao lado BC é:
a) √2
b) (3√2)/2
c) 2√2
d) (5√2)/25
e) 52√2
Geometria Analítica
73
7) (UFMG) O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A(- 2, 4). A 
equação da reta de s é:
a) x + 2y = 6
b) x – 2y +10 = 0
c) y + 2x = 0
d) 2y – x = - 10
e) y + 2x = 6
8) (FEBASP- SP) As equações 3x – y + 5 = 0 e 2x + y + 3 = 0 formam um ângulo de:
a) 90º
b) 60º
c) 45º
d) 120º
e) 30º
9) (FEI-SP) A equação de reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45º 
com a reta y = 3x + 5 pode ser:
a) y = -x
b) x = 2y
c) y = - 3x
d) y = 3x
e) y = -2 
Geometria Analítica
74
10) Dadas as equações paramétricas da reta r, determine a equação 
geral da reta r.