Notas de Aula Matematica Discreta 2016

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Notas de Aula Matemática Discreta
Profª Cristiane Leitão
Unidade I – Teoria dos Conjuntos
Alguns Conceitos Primitivos
Conjunto – é uma coleção de elementos.
O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x2- 4 = 0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ...
Alguns Conjuntos Especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Elemento
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
- 2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2- 4 = 0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c,....
Pertinência
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2- 4 = 0. 
 Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo , que se lê: "pertence".
A relação de pertinência é uma relação entre elemento e conjunto.
Inclusão
A relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. Pela relação de inclusão dois conjuntos podem ser comparados. Diz-se que um conjunto A está contido em um conjunto B, se e somente se todo elemento de A é também um elemento do conjunto B. Simbolicamente: . Podemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A: .
Igualdades e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, não é importante a ordem dos elementos no conjunto. 
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves
 { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A = { a, e, i, o, u }
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
M = { João, Maria, José }
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Propriedades:
Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja: 
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja: 
Pertinência X Inclusão
Existem conjuntos cujos elementos são conjuntos, por exemplo, considere o conjunto
 A = 
Nesse caso, é elemento de A e portanto escrevemos e não (Nesse caso só podemos escrever se estivermos nos referindo ao conjunto vazio). O mesmo acontece com os outros elementos: . 
Vejamos alguns subconjuntos de A. 
Ex1: Dado o conjunto A = 
a) e) F i) F
b) V f) V j) V
c) V g) 3 F l) F
d) V h) F m) V
Operações com Conjuntos
1) União: A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
AB = { x: xA ou xB }
2) Interseção: A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
AB = { x: xA e xB }
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
3) Diferença de Conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A - B = { x; a A e x B }
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
4) Complemento de um Conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por , é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
 = A - B = { x; a A e x B }
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando falarmos simplesmente complementar do conjunto A estamos nos referindo ao conjunto universo e representamos simplesmente por , ou então, utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto AC. Exemplos especiais são: Øc = U e Uc = Ø.
5) Conjunto das Partes de um conjunto
Considere o conjunto A = . Vamos escrever os subconjuntos de A:
Com nenhum elemento: 
Com um elemento: 
Com dois elementos: 
O conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de a é chamado conjunto das partes de A e geralmente é indicado por P(A) (lê-se: P de A)
P(A) = 
Dado o conjunto B = .
 P(B) = 
Observe que no primeiro exemplo o conjunto A tem dois elementos e obtivemos 4 subconjuntos (22); no segundo exemplo B tem 3 elementos e obtivemos 8 subconjuntos (23). De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o número de elementos de P(A) é 2n. 
Propriedades dos Conjuntos
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
 Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
AA = A   e   AA = A
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AAB,  BAB,  ABA,  ABB
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB equivale a AB = B
AB equivale a AB = A
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (BC) = (AB) C
A (BC) = (AB) C
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB = BA
AB = BA
Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
AØ = A
Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
AØ = Ø
Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
AU = A
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A( B C ) = ( A B ) ( A C )
A( B C ) = ( A B ) (A C )
 Leis de Augustus De Morgan
O complementar da união de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = AcBc
O complementar da união de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc
O complementar da interseção de dois conjuntos é a união dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = Ac Bc
O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a união dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c... Anc
Número de elementos da união entre conjuntos
Indicando por n(A) o número de elementos de A; n(B) o número deelementos de B; n(AB) o número de elementos de AB e n(AB) o número de elementos de AB, é válida a seguinte relação:
Conjuntos Numéricos
1) Conjuntos dos Números Naturais
 O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.
 No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.  Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 
Na seqüência abaixo consideraremos como naturais tendo início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. N é um conjunto com infinitos números. 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por N*, isto é:
 N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
2) Conjuntos dos Números Inteiros
Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Z.
Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.
3) Conjunto dos Números Racionais
Um número racional é o que pode ser escrito na forma , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos para significar a divisão de m por n. O conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
4) Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: 
Outros números irracionais: o número = 3,1415926535..., 
o número de Euller e = 2,71828....
5) Conjunto dos Números Reais
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:
IR = Q {irracionais} = {x| x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Assim todas as propriedades que vimos anteriormente valem para os números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
	IR* = IR-{0}
	IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: Entre dois números reais existem infinitos números reais. Por exemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
É comum quando trabalhamos com o conjunto dos números reais utilizarmos a notação de intervalos.
Intervalos
1. Intervalo aberto: O conjunto de todos os números x que satisfazem a sequência da desigualdade a < x < b é chamado intervalo aberto e denotado por:
 ou ( )a
b
2. Intervalo fechado:
 ou [ ] a
b
3. Intervalo semi-aberto à esquerda:
 ou ( ]a
b
4. Intervalo semi-aberto à esquerda:
 ou [ )a
b
5. Intervalos infinitos:
 
 
Exercícios:
1) Uma pesquisa realizada num colégio sobre o gosto musical dos alunos indicou que 458 gostam de rock, 112 gostam de música sertaneja, 62 de ambos e 36, de nenhum desses estilos musicais. Com base nestes dados, determine o número de alunos consultados. 544 
	Vacina
	NºCrianças
	Sabin
	5428
	Tríplice
	4346
	Sabin e 
Tríplice
	812
	Nenhuma
	1644
2) Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as vacinas Tríplice e Sabin. Os resultados obtidos estão na tabela abaixo. Determine o número de crianças:
abrangidas pela pesquisa 10606 
que receberam apenas a Sabin 4616
que receberam apenas uma vacina 8150
3) Dados os intervalos A = ]1, 4], B = ]2, 8[ e C = [4, 10], determine:
a)(A B) C b) (A B) – C c) (A B) C d) (B – A) C 
4) Dados A = ] – 4 , 3] ; B = [– 5 , 5] e C = ] – , 1[ . Determine:
a) = ] – 4, 1[
b) = [– 5 ,1[
c) = ] – , – 4]
d) = [1 , 3] 
5) Um conjunto T tem 15 elementos, outro conjunto R tem 8 elementos e 5 elementos são comuns a T e R. Determine o número de elementos de . 18 
6) Num certo bairro, foram entrevistadas 330 pessoas. Destas, 200 usam o shampoo A, 150 usam o shampoo B e 50 não usam nem A nem B. Quantas pessoas usam A e B? 70
7) Numa escola verificou-se a preferência de filmes de 600 alunos, descobrindo-se que 380 deles gostam de ficção, 350 gostam de terror e 90 gostam de outros tipos de filmes. Quantos alunos gostam de:
ficção apenas? 160
ficção ou terror? 510
ficção e terror? 220
8) Dados os conjuntos , e , determine ( B – A )C.
9) Se x A e x B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas:
a) x (A B) b) x (A B) c) x (A – B) d) x (B – A)
10) A e B são dois conjuntos tais que A – B tem 50 elementos, A B tem 10 elementos e A B tem 75 elementos. Então, o número de elementos de B – A e o número de elementos de B são respectivamente:
a) 10 e 20 b) 25 e 15 c) 15 e 25 d) 20 e 30 e) 5 e 20
11) Sabendo-se que A B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas:
a) A B = B b) A B = A c) A – B = d) B A = B
12) Se A , B e C são tais que: = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},{4, 5}, 
C – B = {1, 2}, B – A = {6, 7} e . Calcule A – C :
13) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto X = {1, 2, 3} tais que, simultaneamente,
A (C – B) = {1}, B (A – C) = {2}, C (B – A) = {3}. 
Sendo Y = A B C, determinar Y.
14) Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes na tabela abaixo:
	jornais
	A
	B
	C
	A e B
	A e C
	B e C
	A, B e C
	nenhum
	leitores
	300
	250
	200
	70
	65
	105
	40
	150
Quantas pessoas leem apenas o jornal A? 205
Quantas pessoas leem o jornal A ou B? 480
Quantas pessoas não leem o jornal C? 500
Quantas pessoas foram consultadas? 700
15) Ao realizar-se uma prova contendo três questões A, B e C, 5 alunos acertaram as três questões, 7 acertaram as questões A e B, 9 acertaram B eC, 6 acertaram A e C, 11 acertaram A, 18 acertaram B, 16 acertaram C e 2 não acertaram nenhuma. Quantos alunos realizaram a prova?
16) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois filmes, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas assistiram ao filme F, 180 assistiram ao filme M e 60 aos filmes F e M. Calcule quantas pessoas:
assistiram apenas ao filme F? 190
assistiram apenas ao filme M? 120
assistiram a um dos dois filmes? 310
Não assistiram a nenhum dos filmes? 100
17) Uma editora estuda a possibilidade de relançar as publicações: Helena, Iracema e a Moreninha. Para isso fez uma pesquisa e o resultado foi o seguinte, em cada 1000 pessoas consultadas,
600 leram a A Moreninha
400 leram Helena
300 leram Iracema
200 leram A Moreninha e Helena
150 leram A Moreninha e Iracema
100 leram Iracema e Helena
20 leram as três obras.
Calcule
o número de pessoas que leu apenas uma das três obras. 460
o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. 130
18) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 450
19) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
	A
	B
	C
	A e B
	A e C
	B e C
	nenhum
	48%
	45%
	50%
	18%
	15%
	25%
	5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas?
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem apenas uma das três marcas?
c) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem pelo menos duas das três marcas?
20) (UFES) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas?
c) Quantos não consumiram a cerveja S?
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?
Unidade II – Análise Combinatória
Introdução
Os jogos de azar foi um dos motivos que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
A Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto.
Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Fatorial
Considere n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, indicado por n! é definido como sendo a seguinte multiplicação: 
n! = n · (n –1) · (n –2) · ... · 3 · 2 · 1
A definição acima refere-se a números maiores ou igual a 2, ou seja, n 2. 
Vamos estender o conceito de fatorial de n para n = 0 e n = 1. Podemos escrever
 n! = n · (n –1)!
Assim se n = 2
n! = n · (n –1)!
2! = 2 · (2 – 1)!
2 · 1 = 2 · 1! (Dividindo ambos os membros por 2)
1 = 1! Assim: 1! = 1
E se n =1
n! = n · (n –1)!
1! = 1 · (1 –1)! 1! = 1 · 0! 1 = 0! Assim: 0! = 1 
Ex1: 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 ou 6! = 6.5.4!
Ex2: 4! = 4.3.2.1 = 24
Ex3: 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 ou 10! = 10.9.8.7.6.5! ou 10! = 10.9.8!
Princípio Fundamental da Contagem - PFC
Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m . n.
Ex4: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução: Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.
Ex5: Quatro carros disputam uma corrida. Supondo que todos terminem a prova, quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?
Solução: 1º lugar – 4 possibilidades
 2º lugar – 3 possibilidades
 3º lugar – 2 possibilidades
Assim existem 4 · 3 · 2 = 24 possibilidades de chegada para os três primeiros lugares.
Exercícios: 
1) Os números dos telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zero.
2) Na eleição da escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados dessa eleição?
3) Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco traseiro. Quantas alternativas distintas há para lotar o automóvel – escolhendo cinco entre sete pessoas determinadas – de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar no banco da frente?
4) Utilizando as notas dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, um músico deseja compor uma melodia utilizando 4 notas, de modo que tenha duas notas consecutivas distintas. Qual o número de melodias que podem ser compostas nessas condições?
Arranjos
São agrupamentos formados com n elementos, tomados p a p (p n) de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo Simples - Não ocorre à repetição de qualquer elemento em cada grupo de n elementos. A fórmula é:
Ex6: Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Solução: 1ª Maneira – Usando a fórmula.
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular:
. Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.
2ª Maneira: Sem usar fórmula.
Para o algarismo das dezenas temos 9 opções, e para o algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos. Assim temos 9.8 = 72 possibilidades. Portanto, são 72 números.
Ex7: De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares?
Solução: 1ª Maneira – Usando a fórmula.
Estamos interessadosnos agrupamentos ordenados de 3 elementos, retirados de 5 elementos, ou seja: . Portanto há 60 maneiras possíveis.
2ª Maneira: Sem usar fórmula.
5 meninos são possíveis para o 1° lugar do banco, 4 para o 2° e 3 para o 3°. Então, são 5.4.3 = 60 possibilidades.
Ex8: Quantas palavras com 4 letras distintas que terminam com TA podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM ?
Solução: 1ª Maneira – Usando a fórmula.
Fixando as duas ultimas como sendo TA, temos que arranjar as 2 inicias das 6 que sobraram. Assim: .
2ª Maneira: Sem usar fórmula.
Fixando TA como 3ª e 4ª letras, restam 6 possibilidades para a 1ª letra e 5 para a 2ª. Assim temos: 6.5 = 30.
Ex9: Considere a palavra LIVRO. 
a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra?
 ou 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades
b) Quantos anagramas começam por L e terminam por O?
 ou L_ _ _ O 
 1.3.2.1.1 = 6 possibilidades
c) Quantos anagramas contêm as letras RO juntas e nessa ordem?
As letras RO serão contadas como sendo uma letra e junto com as três letras restantes teremos um total de 4 letras para serem agrupadas 4 a 4. = 24 possibilidades
Ex10: Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Quantos números distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000, podemos formar se:
o número é par?
o número é ímpar?
o número é par ou ímpar?
Solução:
Os números a serem considerados têm três dígitos: _ _ _
 P1 P2 P3
a) Se o número é par , a posição P3 pode ser preenchida ou com o algarismo 2 ou com o algarismo 4. Há portanto, 2 maneiras diferentes desse preenchimento ser feito. Para o preenchimento das posições P1 e P2 temos a disposição 4 algarismos. Assim esse preenchimento pode se dar de possibilidades . Então existem 2= 24 possibilidades
Arranjo com Repetição - Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. A fórmula é:
Ar(n, p) = np
Ex11: Quantos números de dois algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Solução: 1ª Maneira – Usando a fórmula.
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 21. No entanto, podemos obter o número 11, pois os algarismos podem se repetir. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular: . Portanto, existem 81 números de dois algarismos que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.
2ª Maneira: Sem usar fórmula.
Para o algarismo das dezenas temos 9 opções, e para o algarismo das unidades, temos 9 opções, pois podemos repetir algarismos. Assim temos 9.9 = 81 possibilidades. Portanto, são 81 números.
Exercícios:
1) Considere a palavra FELINO:
Quantos são os anagramas dessa palavra?
Quantos começam com a letra N?
Quantas terminam por vogal?
Quantos apresentam as letras ELI juntas e nessa ordem?
2) Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos? Com repetição e sem repetição.
3) No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares diferentes com 4 algarismos? 
4) No sistema decimal de numeração, existem quantos números ímpares diferentes com 4 algarismos?
Permutações
Quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação Simples - São agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Ps(n) = n!
Ex12: a)Quantos anagramas têm a palavra PERDÃO?
Solução: Basta calcular P6 = 6! = 720 anagramas.
b) Quantos anagramas têm a palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam em O?
Solução: Basta permutar as 4 letras não fixas, ou seja, calcular P4 = 4! = 24 anagramas.
c) Quantos anagramas têm a palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)?
Solução: É como se a expressão ÃO fosse uma só letra. Temos que calcular: P5 = 5! = 120 anagramas.
d) Quantos anagramas têm a palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos?
Solução: As possibilidades são: P_ _ _ _ O e O_ _ _ _ P. Basta calcular 2P4 = 2.4! = 48 anagramas.
Permutação com Repetição – Todos ou alguns dos elementos podem aparecer repetidos. A permutação de n elementos dos quais são de um tipo, de outro e de outro, com ++ = n, é dada por:
Ex13: Quantos anagramas podemos formar com as 5 letras da palavra ARARA. 
Solução: A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes. Então:
Ex14: Quantos anagramas podemos formar com a palavra CAMARADA que começam pela letra C ?
Solução: Fixamos a letra C como a 1ª letra, a letra A ocorre 4 vezes, a letra M ocorre 1 vez, a letra R ocorre 1 vez, a letra D ocorre 1 vez. Então:
Ex15: Se um time de futebol jogou 13 partidas em um campeonato tendo perdido 5 jogos, empatado 2 e vencido 6 jogos, de quantos modos isto pode ter acontecido?
Permutação Circular - Situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma circunferência. Ou seja pretende-se contar o número de maneiras de se ordenar n objetos distintos em torno de um círculo.
Pc(n) = (n – 1)!
Ex16: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Solução: Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc = {ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD = BCDA = CDAB = DABC
ABDC = BDCA = DCAB = CABD
ACBD = CBDA = BDAC = DACB
ACDB = CDBA = DBAC = BACD
ADBC = DBCA = BCAD = CADB
ADCB = DCBA = CBAD = BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}.
Ex17: De quantas maneiras 8 crianças podem dar as mãos para brincar de roda?
Solução: basta considerarmos as permutações circulares de 8, isto é (8 – 1)! = 7! = 5040
Ex18: Se Pedro e Ana são 2 das 8 crianças do exemplo anterior, de quantas maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado?
Solução: Primeiro consideramos estas duas crianças como uma única pessoa. Temos, portanto, “7 crianças” que podem brincar de 6! maneiras diferentes. Como Ana e Pedro podem estar lado a lado de duas maneiras diferentes, devemos multiplicar este número por 2. Logo a resposta é igual a 2.Pc(7) = 2.6! = 1440
Exercícios:
1) De quantos modos diferentes podem sentar-se nove pessoas:
se ficarem todas em fila?
Se ficarem todas em fila, mas os lugares extremos forem ocupados pelo mais velho e pelo mais novo?
2) Determine os divisores inteiros e positivos de 17.640
3) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma das letras A, B ou C?
4) Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?
5) De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?
Combinações
Quando formamos agrupamentos com n elementos tomados p a p (p n) de forma que os n elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie, não importando a ordem dos elementos.
Combinação Simples - Não ocorre à repetição de qualquer elemento em cada grupo de n elementos.
Ex19: Num voo da ponte aérea Rio - São Paulo, há apenas 7 lugares disponíveis e um grupo de 10 pessoas pretende embarcar nesse voo. De quantas maneiras é possível lotar o avião?
Solução: Estamos procurando todas as combinações de 7 pessoas formadas de um grupo de 10 pessoas. Daí:
Ex20: Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, desejamos formar comissões contendo 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?
Solução: possibilidades
Combinação com Repetição - Todos os elementos podemaparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Ex21: De quantos modos podemos comprar 3 refrigerantes em uma loja onde há 5 tipos de refrigerantes?
Solução: Podemos comprar os 3 refrigerantes do mesmo tipo, ou seja, os elementos podem se repetir. Assim:
Ex22: De quantos modos diferentes podemos distribuir 10 bombons idênticos em 4 caixas diferentes?
Solução: = 286
Ex23: Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y.
Solução: A comissão deve ter 6 pessoas: 4 alunos e 2 alunas
O aluno x participa da comissão, então temos que escolher 3 alunos entre os 9 restantes: 
A aluna y não participa da comissão, então temos que escolher 2 alunas entre as 4 restantes: 
A escolha dos alunos pode ser feita de maneiras e a escolha das alunas, de . Então pelo princípio multiplicativo, o número de comissões é dado por: . = 504 comissões.
Exercícios:
1) Em uma floricultura, estão à venda 8 mudas de cravos e 12 mudas de rosas, todas diferentes entre si. Um cliente pretende comprar 3 mudas de cravos e 4 de rosas. De quantos modos ele pode selecionar as 7 mudas que quer comprar?
2) Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes.
3) Ao planejar uma prova de Matemática contendo 5 questões, um professor dispõe de 5 questões de Álgebra e 6 de Trigonometria. Calcule o número de provas diferentes que é possível elaborar, usando em cada prova 2 questões de Álgebra e 3 de Trigonometria.
4) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas?
5) João e Maria fazem parte de um grupo de 15 pessoas, 5 das quais serão escolhidas para formar uma comissão. Do total de comissões que podem ser formadas, de quantas fazem parte João e Maria? 
6) Numa classe existem 8 alunas das quais uma se chama Maria e 7 alunos, sendo José o nome de um deles. Formam-se comissões constituídas de 5 alunas e 4 alunos. Quantas são as comissões das quais:
Maria participa?
Maria participa sem José?
José participa sem Maria?
Maria e José participam simultaneamente?
Usando a Combinação dentro da Probabilidade:
Suponhamos que 10 membros de uma organização serão escolhidos para formar uma comissão. O número de diferentes grupos de 3 pessoas que podem ser escolhidos é: .
Agora, se o grupo contém 6 mulheres e 4 homens, qual a probabilidade de que uma comissão de membros escolhida aleatoriamente seja composta de 2 mulheres e 1 homem?
Solução: A abordagem fundamental é determinar o número de combinações de resultados que contém exatamente 2 mulheres (das 6) e 1 homem (dos 4), e então tomar a razão deste número para o número total de combinações:
Número de comissões com 2M e 1H = = 154 = 60
Número total de comissões possíveis = = 120
Assim a probabilidade será: P(2M e 1H) = 
Unidade III - Funções
I) Introdução
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustração, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em vários lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade do conceito de plano cartesiano.
Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos como é importante os conceito de função para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...
O conceito de função é um dos mais importantes conceitos da Matemática. Considere o seguinte exemplo: Um teatro está exibindo uma peça a R$ 10,00 o ingresso, então:
Se em uma sessão forem vendidos 80 ingressos, a renda total será de 80.10,00 = 800,00.
Se forem vendidos 100 ingressos, a renda total será de 100.10,00 = 1.000,00.
De um modo geral, indicamos por x o número de ingressos vendidos e por y a renda total, os valores de x e y se relacionam pela igualdade y = 10x, esta situação constitui um exemplo de função.
Vejamos outros exemplos de funções:
Consumo: Se sabemos, que, em certa padaria, o preço do pão francês é R$ 0,20, podemos calcular o valor a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade comprada com o preço correspondente a essa quantidade. Dizemos que o valor pago é função da quantidade de pães.
	Telefonia: Em chamadas telefônicas, podemos relacionar o tempo de conversa à quantidade de pulsos a serem cobrados. Assim a quantidade de pulsos é função do tempo de conversação.
O preço da água a ser paga mensalmente é função da quantidade de água consumida.
O tempo gasto por um carro para percorrer determinada distância é função de sua velocidade.
II) Definição de função
Utilizando o conceito de relação:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, e uma relação R de A em B. R será uma função de A em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x, y) R.
De um modo geral, podemos definir que uma relação de A em B é função se todo elemento de A participar da relação e se cada elemento de A só estiver associado a um único elemento de B.
Exemplos: 
	 5
6
8
7
1
2
3
4
5
2
 A f B
	 7
1
2
3
4
5
6
18
19
16
13
15
 C g D
	
 
 1
2
3
4
8
9
10
12
13
 E h F
	
4
3
2
1
6
8
9
 G t H
Note que, nos exemplos acima, as relações f, g e h são funções, pois:
todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B;
todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D;
todo elemento de E está associado, através de h, a um único elemento de F;
porém, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de H (1 e 6).
Sem utilizar o conceito de relação:
Em algumas equações em x e y, é possível isolar a variável y e colocá-la em função de x, de modo que, para cada valor de x, fique associado um único valor de y. Geometricamente, isto significa que qualquer reta vertical x = k corta o gráfico da equação, no máximo, em um ponto.
	Neste caso, dizemos que y é uma função de x e representamos esse fato por:
 y = f(x) (lê-se: f de x). A variável x é denominada variável independente e a variável
 y, variável dependente.
	O gráfico da equação denomina-se gráfico da função f.
 
 y y
 x = k x = k 
 É função Não é função
Mais formalmente: Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou regra de correspondência que a cada elemento x de A, denominado Domínio, associa um único elemento y = f(x) de B, denominado Contradomínio ou campo de valores de f.
Notação: f : A → B
 x |→ y = f(x)
Ex1: Observe na tabela o número de locações de DVD realizadas por uma locadora e o preçototal correspondente.
	Número de Locações
	1
	2
	3
	4
	Preço (R$)
	5
	10
	15
	20
O preço da locação é dado em função de que?
Qual é a variável independente nessa situação?
Escreva uma lei matemática que associe o número x de locações com o preço y.
Qual o preço de 20 locações de DVD?
Quantas locações correspondem ao preço de R$ 50,00?
Ex2: Uma locadora de veículos aluga automóveis a uma taxa fixa de R$ 150,00 mais R$ 0,10 por quilômetro rodado.
Expressar o custo de locação em função da quilometragem.
Expressar o custo de locação se o automóvel andar 100Km
Ex3: O preço que pagamos quando andamos de táxi é composto por uma parte fixa, denominada bandeirada, e uma parte variável, que depende do número de quilômetros rodados.
Expresse o preço de uma “corrida” (y) em função do número correspondente de quilômetros rodados (x).
Considere o preço da “bandeirada” R$3,50 e R$ 0,25 o preço por quilômetro rodado.
Pede-se :
b1) A expressão do preço (y) em função do número de quilômetros rodados (x).
b2) O preço a ser pago para uma corrida de 4,0Km.
b3) O número de quilômetros rodados por uma corrida que custou R$ 7,50
b4) O número de quilômetros rodados por uma corrida que custou R$ 3,50
Ex4: (UFF) Em um certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a Segunda, trigêmeos e a terceira, um único filho.
Considere, para aquele dia, o conjunto das três mães, o conjunto das seis crianças e as seguintes relações :
I) A que associa cada mãe ao seu filho.
 II) A que associa cada filho à sua mãe.
 III) A que associa cada criança ao seu irmão.
 São funções :
somente a I.
somente a II.
Somente a III.
Todas
Nenhuma
Ex5: O Ministério da Saúde constatou que para imunizar x% da população infantil (15 milhões de crianças) teria um custo de :
f(x) = milhões de dólares.
Quanto gastaremos para imunizar 100% das crianças?
Qual o custo para imunizar uma criança?
 
III) Aplicações na Economia
	As funções de 1º grau, são úteis para descrever o comportamento de algumas funções econômicas.
	Função Custo, Função Receita e Função Lucro, Ponto de “break even”
	Considere uma firme que fabrica e vende um determinado bem (produto). Se x representa a quantidade produzida e vendida, então,
	- o custo fixo CF é a soma de todos os custos que não dependem do nível de produção tais como aluguel, seguros etc
	- o custo variável CV(x) é a soma de todos os custos que dependem do número x de unidades produzidas tais como mão-de-obra, material etc
	- o custo total C(x) é a soma do custo fixo com o custo variável
	- a receita total R(x) é a quantia que o fabricante recebe pela venda de x unidades
	- o lucro total L(x) é a diferença entre a receita total e o custo total:
				L(x) = R(x) – C(x)
Resumindo: 
Custo total = custo fixo + custo variável
Lucro total = receita total – custo total
Ponto de “break even”(ponto de ruptura)
É o ponto de interseção entre o gráfico da receita total e o gráfico do custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor começará a ter lucro.
Ex9: Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 15.000,00 por mês. Se cada peça produzida tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de R$ 10,00 por peça, quantas peças deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês?
Sol: Custo total: C(x) = 15.000 + 6x
 Receita total: R(x) = 10x
 Lucro total = receita total – custo total 
 L(x) = R(x) – C(x)
 30.000 = 10x – (15.000 + 6x)
 30.000 = 4x – 15.000
 4x = 45.000 Assim: x = 11.250
A indústria precisa vender mais de 11.250 peças por mês para ter lucro.
	Função Demanda, Função Oferta, Ponto de Equilíbrio
	A quantidade demandada (procura) de um determinado bem depende do preço desse bem, dos preços de outros bens, e de outros fatores. A lei de procura afirma que: quanto menor o preço de um determinado bem, maior a quantidade que se deseja comprar por unidade de tempo.
	
OBS: Os economistas, ao contrário dos matemáticos representam a variável independente p (preço) no eixo vertical e a variável dependente q (quantidade demandada) no eixo horizontal.
	A quantidade ofertada de um determinado bem depende do preço desse bem, da oferta de insumos, dos impostos e subsídios, e de outros fatores, a oferta, de um modo geral é a quantidade de um bem que determinada indústria esta disposta a vender em um certo período de tempo. Numa situação “normal”, se o preço aumentar, a quantidade ofertada aumentará concomitantemente. 
O gráfico de uma curva de oferta e demanda será parecido com o gráfico abaixo:
	A figura (A) mostra uma representação mais geral de curvas de oferta e demanda, enquanto a figura (B) representa a oferta e a demanda como funções lineares.
	O ponto de equilíbrio é o ponto de interseção do gráfico da oferta com o gráfico da demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. Se o preço está acima do preço de equilíbrio há excesso de oferta e o preço tende a cair; se o preço está abaixo do preço de equilíbrio, há escassez de oferta e o preço tende a subir.
Ex10: Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas são respectivamente, funções lineares do preço:
qd = 24 – p 
qs = – 20 + 10p
Pede-se o preço e a quantidade de equilíbrio. Esboce o gráfico da situação.
Sol: Fazendo qd = qs, temos que o preço de equilíbrio: 
24 – p = – 20 + 10p
Logo p = 4. Substituindo em qd (ou qs), obtemos 
qd = 24 – 4 = 20
Assim, preço de equilíbrio = 4, quantidade de equilíbrio = 20
OBS: O símbolo qd designa quantidade demandada e qs indica quantidade ofertada ( a letra s vem do inglês supply = oferta).
Exercícios
1) Uma locadora de veículos aluga automóveis a uma taxa fixa de R$ 150,00 mais R$ 0,10 por quilômetro rodado.
a) Expressar o custo de locação em função da quilometragem.
b) Expressar o custo de locação se o automóvel andar 100Km
c) Expressar o custo de locação se o automóvel ficou parado 3 dias
d) Quantos quilômetros o automóvel andou se a locação custou R$ 350,00
2) Uma empresa fabrica determinada mercadoria, cujo custo é R$ 2,00 a unidade. Na produção dessas mercadorias, há um custo mensal fixo de R$ 22.500,00 referentes a despesas com salários, encargos, manutenção de máquinas etc. Sabendo que cada unidade será vendida por R$ 4,00, determinar:
Qual a função custo total?
Quantas unidades a fábrica precisa vender para atingir o ponto de nivelamento?
Qual será o lucro ou prejuízo da fábrica, se forem vendidas 1000 unidades?
Quantas unidades a fábrica precisa vender para obter um lucro de R$ 5.000,00?
3) A equação de demanda de um certo bem é qd= 14 – 2p e a equação de oferta é qo= – 10 + 6p. Determine o ponto de equilíbrio. E faça o gráfico da situação.
4) O lucro L sobre as vendas é dado por em que x é o número de unidades vendidas por dia ( em centenas). Determine o intervalo para x no qual o lucro seja maior que 1000.
5) Uma empresa fabrica um produto a um custo de $ 0,65 por unidade e o vende por $ 1,20 por unidade. O investimento inicial da empresa para produzir o produto foi $10.000. A empresa alcançará o ponto de break-even se vender 18000 unidades? Quantas unidades a empresa deve vender para alcançar o ponto de break-even?
6) As equações de demanda e oferta para um DVD player são dar por pd= 195 – 5,8x e
 po= 150 + 3,2x respectivamente, em que p é o preço e x representa o número de unidades em milhões. Determine o ponto de equilíbrio para esse mercado.
IV) Função Real de Variável Real
	Uma função f é uma função real de variável real se seu domínio e seu contradomínio são subconjuntos dos Reais.
V) Valor de uma Função num Ponto
	Seja f uma função de A em B. Se , então f(a) chama-se valor da função f no ponto a ou imagem de a pela função f.
Ex11: Calcule o valor da função no ponto x =2.
Ex12: Calcule o valor da função no ponto x = – 1.
Ex13: Sabe-se que uma função f definida por f(x) = ax – 4 com a real e f(3) = 11. Calcule f(–5).
Ex14: Seja f: R R uma função tal que e . Determine o valor de
 f (2):
Ex15: Seja a função f definida em R por . Calcular, para h real, o valor de
 k =
Ex16: Seja uma função tal que para todo x, . O valor de f(5) é:
OBS 1: Uma função pode levar elementos distintos para o mesmo elemento, por exemplo: 
OBS 2: Podem existir elementos do contradomínio que não são imagens de elementos do domínio. Por exemplo: , os números negativos não seriam imagem de nenhum elemento do domínio. 
VI) Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função
São válidas as mesmas considerações da definição de domínio e imagem feitas para as relações, haja vista uma função ser um caso particular de uma relação. Assim:
	Dada uma função f : A → B, temos:
o conjunto A é chamado domínio da função, e o conjunto B é chamado contradomínio da função que é indicado por CD(f) ou CD;
para cada x D(f), o elemento f(x) B é chamado valor assumido por f ou imagem de x pela função f.
Domínio de f = D = 
Imagem de f = Im = 
Domínio e Imagem – Aspectos Gráficos
	Se f é uma função real de variável real, temos que:
	O domínio de f é o conjunto obtido pela projeção do gráfico de f , no eixo x.
	A imagem de f é o conjunto obtido pela projeção do gráfico de f , no eixo y.
Ex17: Determine o domínio da função 
Ex18: O conjunto imagem da função real f(x) = é:
	a) 
	b) [ -3, 3] 
	c) {0}
	d) {-3, 3}
VII) Funções Iguais
Duas funções f: A B e g: C D são iguais se, e somente se, apresentarem:
Domínios iguais (A = C);
Contradomínios iguais (B = D)
f (x) = g(x) para todo x do domínio.
VIII) O zero de uma função
	O número real x que pertence ao domínio da função f e faz f(x) = 0 é denominado zero da função f ou raiz da função f.
Ex19: Considere a função f definida por f(x) = ax + b , com a e b números reais, f(2) = 8 e f(–2) = – 4 . Determine: a , b e o zero da função.
Ex20: Calcule o valor de a sabendo que o gráfico de y = ax + 3 passa no ponto (-1;1).
Ex21: Calcule a e b de modo que a função 
 f(x) = (a –2 ) x + (2 –2b) 
 intercepte os eixos x e y nos pontos x = – 2 e y = 6. Escreva a função e faça seu gráfico.
IX) Sinal de uma função
Seja f: A B definida por y = f(x). Para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0?
Isso significa estudar o sinal da função y = f(x) para cada x pertencente ao seu domínio.
X) Classificação das Funções
As funções podem ser classificadas em injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma delas.
	Função Injetora – uma função f de A em B é injetora se leva elementos distintos para elementos distintos, ou seja, então . 
Ou, de modo equivalente; f : A → B é injetora, se e somente se, então .
	Função Sobrejetora – uma função f de A em B é sobrejetora, se para todo elemento y de B, existe algum x de A tal que = y.
f é sobrejetora 
Em outras palavras, uma funçaõ é sobrejetora, se a sua imagem coincide com o contradomínio.
	Função Bijetora (Bijeção)– uma função f de A em B é bijetora se é, ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Em outras palavras, uma função é bijetora, se para todo elemento y de B, existe um único elemento x de A tal que = y .
XI) Função Inversa
Seja uma função f de A em B bijetora. Isto significa que a cada y pertencente à B, existe em correspondência um único elemento x de A tal que = y . A função que faz essa correspondência chama-se função inversa de f e é designada por . Temos então que se = y então . 
Notação: f : A → B f –1 : B → A
 x |→ y = f(x) y |→ 
Note que D(f –1) = B e Im(f –1) = A
OBS: Para encontrarmos a função inversa, basta isolar o valor de x, pois .
Uma outra maneira de encontrar a função inversa de uma função y = f(x), procedemos da seguinte maneira:
Na sentença y = f(x), trocamos y por x, e x por y.
Explicitamos novamente y na nova função obtida pelo item anterior.
Gráficos de funções inversas
Os gráficos de duas funções inversas f e f –1 são simétricos em relação à reta suporte que divide ao meio os quadrantes ímpares (bissetriz), ou seja, a função f(x) = x.
Ex23: Seja f uma função bijetora cujo gráfico é:
	
A função inversa de f(x), cujo gráfico é:
	
Ex24: Determinar a função inversa de y = x + 5. Trocando as variáveis:
x = y + 5
 y = x – 5 = f –1 (função inversa)
Ex25: Determinar a função inversa de y = 2x + 1
Ex26: Determine a função inversa das funções:
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
Ex27: Esboce o gráfico da função e encontre sua inversa.
Ex28: Seja definida por e g a função inversa de f . Sendo f(2) =10. Determine g:
Ex29:
Consideremos a função inversível f cujo gráfico é visto acima. Determine a lei que define 
 f –1 .
XII) Operações com Funções
Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f. g)(x) = f(x). g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)≠ 0
O domínio das funções f + g , f – g , f . g , é dado pela interseção doa domínios de f e g. O domínio de f / g é a interseção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde 
g(x) = 0. 
Ex30: Determine o domínio das funções abaixo:
a) b) c) d) 
e) f) g) h) i) 
 
 j) 
XIII) Função Composta
	Seja f uma função de um conjunto A aplicada em um conjunto B, e seja g uma outra função de B aplicada em um conjunto C. Chama-se função composta de g e f à função h de A em C, a qual a imagem de qualquer elemento x de A, é obtida após aplicar f em x, obtendo-se f(x) e aplicar g neste valor de f(x), obtendo-se g[f(x)]. Sua representação é feita por h(x) = g[f(x)], para todo x A, ou h(x) = g o f(x).
Ex31: Sejam as funções, f(x) = x + 1 e g(x) = x2. 
f o g (x) = f(x2) = x2 + 1
g o f (x) = (x + 1) = (x + 1)2 
Ex32: Consideremos as funções reais definidas por f(x) = x2 + 1 e g(x) = 2x – 4 . Determine: f o g (x) , g o f (x) e g o g –1 (x)
Exercícios:
1) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b. Determine f o g (x) , g o f (x).
2) Considerando as funções reais: f(x) = 3x – 4 , g(x) = x2 – 3x + 4 e h(x) = 5 – 5x. 
 Encontre: fog(x) gof(x) (fofog)(x) go(foh)(x) 
 fog(–2) gof(1) (fofog)( –3) go(foh)( –1) 
3) Sendo f(x) = 7 – 5x e fog(x) = x3 –5 determine g(x).
4) Sendo f(x) = 3x – 8 e gof(x) = x2– 3x + 6, determine g(x).
5) Considerando as funções e determine fog e gof .
6) Sejam as funções reais e . Determine a lei de formação da função g.
7) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
a) -5
b) -4
c) 0
d) 4
e) 5
8)
No esquema anterior, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. Então:
a) 	g(x) = 6x + 5 
b) 	f(x) = 6x + 5 
c) 	g(x) = 3x + 2
d) 	f(x) = 8x + 6 
e) 	g(x) = (x – 1)/2
9) Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:
	a) x - 2
	b) x - 6
	c) x - 6/5
	d) 5x - 2
	e) 5x + 2
10) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos
afirmar que f(1) é igual a:
	a) 2
	b) -2
	c) 0
	d) 3
	e) -3
11) Uma função real é tal que f(x). f(y) = f(x + y) , f(1) = 3 e f() = 4. O valor de f(2+ ) é:
	a) 18
	b) 24
	c) 36
	d) 42
	e) 48
XIV) Função crescente e função decrescente
Uma função real f, de variável real, é crescente em A , A D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre x2 > x1 f (x2) > f (x1).
Uma função real f, de variável real, é decrescente em A , A D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre x2 > x1 f (x2) < f (x1).
Ex33: Seja a função f cujo gráfico é:
	
f é crescente no intervalo [-6, -2];
f é constante no intervalo [-2, 3];
f é decrescente no intervalo [3, 5].
	
OBS: É importante observar que uma mesma função y = f(x), pode não ter o mesmo comportamento (crescente ou decrescente) em todo seu domínio. É bastante comum que uma função seja crescente em certos subconjuntos e decrescentes em outros.
XV) Funções Usuais e suas características:
Função Constante: Seja c um número real. A função constante associa a cada xR o valor f(x) = c. Ou seja, , onde 
Ex: f(x) = 2
OBS: O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.
Função Identidade: É uma função f:RR que para cada x em R, associa f(x) = x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.
Função do 1º Grau (Afim): 
	
A Função do 1º Grau é uma função do tipo:
f (x) = ax + b com {a, b} R e a 0
OBS: 
1) Toda função do 1º grau com b = 0 recebe o nome particular de função linear.
2) A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.
3) A função afim é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular for negativo.
Exercícios
1) Seja a função de em definida por . Calcular:
a) f(2)	 b) f(-3) c) f(0)	 d) 
2) Seja f a função de em definida por calcule o valor da expressão e faça um esboço do gráfico de f(x)
3) Construa os gráficos das seguintes funções de em :
a) y = x + 2		b) y = – x + 1		c) y = 2x – 1		d) y = –3x – 4
4) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5).
5) Uma função afim é tal que f(–1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(5).
6) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
7) Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a –3 e passa pelo ponto (-3, -2).
8) Na função , determine a e b respectivamente, para que se tenha f(2) = –1 e 
f(3) = 4.
3 e 4		b) 1 e 1			c) 1 e 2			d) 0 e 1
9) Sabe-se que é uma função definida por, com real e Calcule 
10) Um eletricista e um encanador prestam serviços em domicílio.
Eletricista
Deslocamento: $20
Trabalho: $12 por cada hora
Encanador
O custo do serviço prestado está representado no gráfico abaixo. 
 
custo
26
10
 horas de trabalho
0 1
a) Qual é o preço de cada hora de trabalho prestada pelo encanador?
b) O Sr. Silva chamou o eletricista e o encanador para que fizessem umas reparações. O eletricista fez a reparação em 2 horas e meia e o encanador trabalhou durante 4 horas. quanto Sr. Silva pagou no total para os dois trabalhadores?
c) Determine a expressão analítica que representa o custo, de um serviço prestado pelo eletricista em t horas.
d) Determine a expressão analítica que representa o custo, de um serviço prestado pelo encanador em t horas.
Função do 2º Grau (Quadrática): , onde 
Ex: onde a = 1, b = –3 e c = 2
OBS: O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.
Concavidade
A parábola representativa da função do 2º grau pode ter a concavidade voltada para “cima” ou voltada para “baixo”.
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Máximo e Mínimo
A função quadrática admite um valor máximo (mínimo) em se, e somente se, a < 0 (a > 0).
Vértice
O ponto é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática.
Exercícios
1) Considere a função real e determine:
	a) O domínio da função;
	b) ;
	c) Para quais valores de x ocorre 
	d) Um esboço do gráfico.
2) Determinar os zeros reais das funções:
a) 		b) 	c) 
d) 		e) 	f) 
3) Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .
a) 		b) 		c) 
d) 		e) 
4) Determinar o valor de m na função real para que o valor mínimo seja .
5) Determinar o valor de m na função real para que o valor máximo seja 2.
6) Construir os gráficos das funções definidas em 
a) 		 b) 	 c) 
7) O gráfico de , onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 3). Então vale:
 	b) 	c) –15 	d) 		e) 15	
8) O ponto extremo V da função quadrática é:
um máximo, sendo V = (3, –1).
um mínimo, sendo V = (–3, +1).
um máximo, sendo V = (3, +1).
um mínimo, sendo V = (3, +1).
um mínimo, sendo V = (3, –1).
9) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por . O valor de unidades produzidas para se obter um custo mínimo é:
a) 25	 	b) 3750	 c)40 d) 45		e) 4950
10) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por , é o par ordenado (a, b). Então a – b é igual a:
		b) 		c) 		d) 		e) 
11) A função que relaciona o risco R de morte de um indivíduo com a dose D de radiação a que ele é submetido é dada por . Com relação a um indivíduo que tenha sido submetido a uma contaminação radioativa, o aumento de R, em porcentagem, devido a uma variação de D de 1 para 2, é igual a?
12) A altura de uma bola lançada verticalmente pelo Wallace é dada me função do tempo por uma função quadrática definida por: 
onde h(t) representa a altura da bola ( em metros) e,
 t representa a variável tempo (em segundos)
a) Determine a altura da bola quando é largada pelo Wallace.
b) Determine a altura máxima atingida pela bola.
c) Quanto tempo demora para bola atingir o solo?
13) Numa cena de filme, dentro de um avião, a namorada do herói é empurrada pelo vilão, caindo sem pára-quedas. O herói apanha um pára-quedas e salta atrás dela para salvá-la. A posição em metros do herói e da namorada, em relação ao solo, é dada em função do tempo t , em segundos, após a queda da namorada por:
respectivamente. Evidentemente, o herói salva a sua amada! 
a) quanto tempo decorreu desde que o herói saltou até pegar a namorada?
b) A que altura se encontravam os dois em relação ao solo?
Função Exponencial: , onde k real
Exemplos: f(x) = , f(x) = , f(x) = 
Ex1: Em uma experiência sobre deterioração de tecidos humanos observou-se que a população de uma colônia de bactérias dobrava a cada hora. Sabendo que a população inicial da colônia apresentava 50 bactérias, determine uma expressão que indique o número de bactérias após t horas.
	t (em horas)
	0
	1
	2
	3
	4
	t
	P (t)
	50
	50.2=100
	50.2²=200
	50.2³=400
	
50.
	
Logo temos a seguinte relação: P(t) = (população de bactérias após t horas)
Observe que na fórmula que modela a situação acima encontramos a variável t no expoente de uma potência. Logo a função e conhecido como função exponencial.
Gráfico da função exponencial
Para temos: 
O gráfico representa uma função decrescente.
Para temos: 
O gráfico representa uma função crescente.
Função Logarítmica: , onde 
Exemplos: g(x) = , , 
Gráfico da função logarítmica
Para : Função crescente
Para : Função decrescente
Exercícios:
1) Considere a função de IR em IR dada por . Seu conjunto-imagem é:
a) ]-∞; 3[	b) ]- ∞; 5[	c) [3; 5]		d) ]3; +∞ [	e) ]5; +∞ [
2) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função:, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t[0,40].
3) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis e , onde é a população inicial de lambaris, , a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial.
Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?
a) 30		b) 18		c) 12		d) 6		e) 3
4) Numa população de bactérias, há   bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?
a) 20		b) 12		c) 30		d) 15		e) 10
5) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é:
a) 18.000
b) 20.000
c) 32.000
d) 14.000
e) 40.000
6) O valor de um automóvel daqui a t anos é dado pela lei ( em dólares). Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos.
7) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é:
a) 10
b) 2
c) 1
d) 1/2
e) -2
8) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:
a) 3		b) 4		c) 300		d) 400
9) Sabe-se que (1/3, 1) pertence ao gráfico de . O valor de b é:
a) 27
b) 81
c) 1/27
d) 1/81
10) A relação descreve o crescimento de 3uma população de microorganismos, sendo o número de microorganismo e o número de dias após o instante 0. Determine t para que a população de micro organismo seja igual a 63000.
11) Meia vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que uma massa se reduza a metade. Daqui a quantos anos 32 gramas de uma substância, cuja meia vida é de 5,6 anos, se reduz a gramas?
12) Estima-se que a população de um pais aumente de acordo com a lei , sendo o tempo em anos e o número de habitantes após anos. Adotando , determine a população desse pais daqui a 80 anos.
13) Uma aplicação financeira obedece à regra , em que é o montante final após meses. Determine o montante final após:
a) 3 meses b) 6 meses c) 1 ano
14) A taxa de inflação anual de certo pais é de , isto é, a cada ano os produtos comercializados naquele pais têm seus preços multiplicados por e em anos por . Quantos anos são necessários para que os produtos comercializados naquele país dobrem de preço?