Notas de Aula Matematica Discreta 2016
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Notas de Aula Matemática Discreta
Profª Cristiane Leitão
Unidade I \u2013 Teoria dos Conjuntos
Alguns Conceitos Primitivos
Conjunto \u2013 é uma coleção de elementos.
O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x2- 4 = 0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ...
Alguns Conjuntos Especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Elemento
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
- 2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2- 4 = 0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c,....
Pertinência
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2- 4 = 0. 
 Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo , que se lê: "pertence".
A relação de pertinência é uma relação entre elemento e conjunto.
Inclusão
A relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. Pela relação de inclusão dois conjuntos podem ser comparados. Diz-se que um conjunto A está contido em um conjunto B, se e somente se todo elemento de A é também um elemento do conjunto B. Simbolicamente: . Podemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A: .
Igualdades e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, não é importante a ordem dos elementos no conjunto. 
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves
 { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A = { a, e, i, o, u }
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
M = { João, Maria, José }
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Propriedades:
Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja: 
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja: 
Pertinência X Inclusão
Existem conjuntos cujos elementos são conjuntos, por exemplo, considere o conjunto
 A = 
Nesse caso, é elemento de A e portanto escrevemos e não (Nesse caso só podemos escrever se estivermos nos referindo ao conjunto vazio). O mesmo acontece com os outros elementos: . 
Vejamos alguns subconjuntos de A. 
Ex1: Dado o conjunto A = 
a) e) F i) F
b) V f) V j) V
c) V g) 3 F l) F
d) V h) F m) V
Operações com Conjuntos
1) União: A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
AB = { x: xA ou xB }
2) Interseção: A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
AB = { x: xA e xB }
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
3) Diferença de Conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A - B = { x; a A e x B }
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
4) Complemento de um Conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por , é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
 = A - B = { x; a A e x B }
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando falarmos simplesmente complementar do conjunto A estamos nos referindo ao conjunto universo e representamos simplesmente por , ou então, utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto AC. Exemplos especiais são: Øc = U e Uc = Ø.
5) Conjunto das Partes de um conjunto
Considere o conjunto A = . Vamos escrever os subconjuntos de A:
Com nenhum elemento: 
Com um elemento: 
Com dois elementos: 
O conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de a é chamado conjunto das partes de A e geralmente é indicado por P(A) (lê-se: P de A)
P(A) = 
Dado o conjunto B = .
 P(B) = 
Observe que no primeiro exemplo o conjunto A tem dois elementos e obtivemos 4 subconjuntos (22); no segundo exemplo B tem 3 elementos e obtivemos 8 subconjuntos (23). De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o número de elementos de P(A) é 2n. 
Propriedades dos Conjuntos
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
 Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
AA = A   e   AA = A
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AAB,  BAB,  ABA,  ABB
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB equivale a AB = B
AB equivale a AB = A
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (BC) = (AB) C
A (BC) = (AB) C
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB = BA
AB = BA
Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
AØ = A
Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
AØ = Ø
Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
AU = A
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A( B C ) = ( A B ) ( A C )
A( B C ) = ( A B ) (A C )
 Leis de Augustus De Morgan
O complementar da união de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = AcBc
O complementar da união de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc
O complementar da interseção de dois conjuntos é a união dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = Ac Bc
O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a união dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c... Anc
Número de elementos da união entre conjuntos
Indicando por n(A) o número de elementos de A; n(B) o número de