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UNIFACS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E ARQUITETURA LIMITES FINITOS CÁLCULO DIFERENCIAL Ana Matos Definição: Seja f(x) definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então: LxfxfLxf axaxax )(lim)(lim)(lim LIMITE Dizemos que um limite é finito quando seu resultado (ou resposta) é um número real. Por exemplo, quando x se aproxima de um ponto (x=1) a função se aproxima do valor y=2. Simbolicamente escrevemos: O cálculo neste caso é imediato, simples. Existem limites finitos chamados “indeterminados”, cuja resposta não é tão simples de obter. LIMITE 21x3 1x lim 1x3xf )( Vamos calcular alguns limites de forma a facilitar o entendimento dos limites mais complexos que virão. LIMITE 3 2 2 2x 4x3x 5x2x3 c lim) 4x5 4x3x2 d 2 1x lim) 3x4x2xa 23 1x lim) 5x6x 2x3 b 2 2x lim) LIMITE Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE utilizando a seguinte função. Seja a função: . Qual é o limite desta função quando x tende para 1? . 1x 1x xf 2 TABELA DE APROXIMAÇÕES LIMITE x 0 1 0,5 1,5 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999 0,9999 1,9999 x 2 3 1,5 2,5 1,25 2,25 1,1 2,1 1,01 2,01 1,001 2,001 . 1x 1x xf 2 . 1x 1x xf 2 Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas são chamados de limites laterais. LIMITE 2 1x 1x 2 1x lim 2 1x 1x 2 1x lim Logo: Observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de 2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas diferente de 1. LIMITE 2 1x 1x 2 1x lim TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 2 1 1 lim 2 1 x x x TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este. Vale lembrar que a expressão significa que a função está tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 2 1x 1x2 1x lim . 1x 1x xf 2 EXEMPLO: Acompanhe o cálculo dos seguintes limites. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 4x 2x3x 2 3 2x lim Dica: Algoritmo de Briot Ruffini: Observe agora o cálculo do seguinte limite: A técnica utilizada será racionalização (multiplicação ou divisão pelo conjugado) para depois fazer a substituição direta. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 1x 1x 1x lim Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 1x x103 21x lim Vamos calcular alguns limites de forma a compreender melhor as técnicas estudadas. RESOLVA OS LIMITES x2 x4 a 2 2x lim) 6xx 3x4x b 2 2 3x lim) 8x12x2x7x2 4x12x5x2x c 234 234 2x lim) x x11 d 0x lim) 1x 23x e 1x lim) Agora resolva: Dica: Faça uma troca de variável para facilitar os cálculos. RESOLVA OS LIMITES 1x 1x f 3 1x lim) 1utemos1uQuando 0uuxUse 6 6 ,: .,: 1 1 lim 1 1 lim: 6 3 6 1 3 1 u u x x Logo ux Resposta: RESOLVA OS LIMITES 1u 1u 1u 1u 1x 1x f 3 2 1u6 3 6 1u 3 1x limlimlim) 3 2 1uu 1u 1uu1u 1u1u 2 1u 2 1u lim )).(( )).(( lim Agora resolva: Dica: Multiplique e divida pelo conjugado: RESOLVA OS LIMITES x51 x53 g 4x lim) Agora resolva: Dica: Multiplique e divida pelo conjugado: RESOLVA OS LIMITES x x1x1 h 0x lim)
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