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Aula 3  Limites Finitos

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UNIFACS 
DEPARTAMENTO DE 
ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
 
LIMITES FINITOS 
 CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
 
 
Ana Matos 
 
 
 
 
 Definição: 
 
 Seja f(x) definida num intervalo aberto contendo a, 
exceto possivelmente no ponto a, então: 
LxfxfLxf
axaxax

 
)(lim)(lim)(lim
LIMITE 
 Dizemos que um limite é finito quando seu resultado (ou 
resposta) é um número real. Por exemplo, quando x se 
aproxima de um ponto (x=1) a função 
 se aproxima do valor y=2. Simbolicamente escrevemos: 
 
 
 
 O cálculo neste caso é imediato, simples. Existem 
limites finitos chamados “indeterminados”, cuja resposta 
não é tão simples de obter. 
 
LIMITE 
21x3
1x


lim
1x3xf )(
Vamos calcular alguns limites de forma a facilitar o 
entendimento dos limites mais complexos que virão. 
 
 
LIMITE 









3
2
2
2x 4x3x
5x2x3
c lim)



 4x5
4x3x2
d
2
1x
lim)
 

3x4x2xa 23
1x
lim)








 5x6x
2x3
b
2
2x
lim)
LIMITE 
 
 Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE utilizando a 
seguinte função. 
 
 
Seja a função: . 
 
 
Qual é o limite desta função quando x tende para 1? 
 
 
 
 
 
 
 
  .
1x
1x
xf
2



 
TABELA DE APROXIMAÇÕES 
LIMITE 
x 
0 1 
0,5 1,5 
0,9 1,9 
0,99 1,99 
0,999 1,999 
0,9999 1,9999 
x 
2 3 
1,5 2,5 
1,25 2,25 
1,1 2,1 
1,01 2,01 
1,001 2,001 
  .
1x
1x
xf
2


   .
1x
1x
xf
2



 Observação: 
 
 Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas 
são chamados de limites laterais. 
 
LIMITE 
2
1x
1x 2
1x




lim 2
1x
1x 2
1x




lim
 
 Logo: 
 
 
 
 
 Observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de 2 
quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas 
diferente de 1. 
 
LIMITE 
2
1x
1x 2
1x




lim
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 
2
1
1
lim
2
1



 x
x
x
 
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 
 Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para 
casos semelhantes a este. 
 
 Vale lembrar que a expressão significa que 
 
 a função está tão próxima de 2 assim como 
 
 x está suficientemente próximo de 1, porém diferente 
de 1. 
 
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 
2
1x
1x2
1x




lim
  .
1x
1x
xf
2



 EXEMPLO: Acompanhe o cálculo dos seguintes limites. 
 
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 
4x
2x3x
 
2
3
2x 


lim
Dica: Algoritmo de Briot Ruffini: 
 Observe agora o cálculo do seguinte limite: 
 
 
 
 A técnica utilizada será racionalização (multiplicação ou divisão pelo 
conjugado) para depois fazer a substituição direta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 
1x
1x
 
1x 


lim
 Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do 
numerador da função. 
 
 
TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LIMITES 



 1x
x103
 
21x
lim
 Vamos calcular alguns limites de forma a compreender 
melhor as técnicas estudadas. 
 
 
 
RESOLVA OS LIMITES 



 x2
x4
a
2
2x
lim)



 6xx
3x4x
b
2
2
3x
lim)



 8x12x2x7x2
4x12x5x2x
c
234
234
2x
lim)


 x
x11
 d
0x
lim)



 1x
23x
 e
1x
lim)
 Agora resolva: 
 
 
 
Dica: Faça uma troca de variável para facilitar os cálculos. 
 
 
 
 
 
RESOLVA OS LIMITES 
1x
1x
 f
3
1x 


lim)
1utemos1uQuando
0uuxUse
6
6


,:
.,: 1
1
 lim
1
1
 lim:
6
3 6
1
3
1 




 u
u
x
x
Logo
ux
 Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLVA OS LIMITES 
1u
1u
 
1u
1u
 
1x
1x
 f
3
2
1u6
3 6
1u
3
1x 








limlimlim)
3
2
1uu
1u
 
1uu1u
1u1u
 
2
1u
2
1u







lim
)).((
)).((
lim
 Agora resolva: 
 
 
 
 
Dica: Multiplique e divida pelo conjugado: 
 
 
 
 
 
RESOLVA OS LIMITES 
x51
x53
 g
4x 


lim)
 Agora resolva: 
 
 
 
 
Dica: Multiplique e divida pelo conjugado: 
 
 
 
 
 
RESOLVA OS LIMITES 
x
x1x1
 h
0x


lim)