AULA 4 Limites envolvendo infinito

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UNIFACS 
DEPARTAMENTO DE 
ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
 
LIMITES ENVOLVENDO INFINITO 
 CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
 
 
Ana Matos 
 
 
 
 
Antes de passarmos para limites indeterminados faremos 
alguns exercícios envolvendo continuidade. 
 
Exercício: 
 
1. Verificar a continuidade das funções. 
 Trabalhamos até agora com limites de funções para x  a ; a  R, 
ou seja, a um número finito. Vamos agora analisar os seguintes 
casos: 
 
 x  + ( x se aproxima de valores muito grandes ) e 
 x  –  ( x se aproxima de valores muito pequenos ); 
 
 f(x)  + ( f(x) se aproxima de valores muito grandes ) 
f(x)  –  ( f(x) se aproxima de valores muito pequenos) 
 
LIMITES ENVOLVENDO INFINITO 
 Consideremos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 1: 
 
a) Para que valor se aproxima a função quando 
x assume valores muito grandes? 
 
b) Para que valor se aproxima a função quando 
x assume valores muito pequenos? 
 
LIMITES NO INFINITO 
x
1
)x(f 
x
1
)x(f 
 Observemos as seguintes tabelas: 
LIMITES NO INFINITO 
x 
10 0,1 
100 0,01 
1000 0,001 
10000 0,0001 
100000 0,00001 
1000000 0,000001 
x 
-10 -0,1 
-100 -0,01 
-1000 -0,001 
-10000 -0,0001 
-100000 -0,00001 
-1000000 -0,000001 
 
x
1
xf   
x
1
xf 
 Observemos que: 
 
 A medida que x assume valores cada vez maiores, f(x) assume 
valores cada vez menores, se aproximando de 0. 
 
 
 
 A medida que x assume valores cada vez menores ( e maiores em 
valor absoluto ) f(x) assume valores cada vez menores, se 
aproximando de 0. 
LIMITES NO INFINITO 
0
x
1
x


lim
0
x
1
x


lim
 Graficamente: 
LIMITES NO INFINITO 
 Analise e conclua que 
 
LIMITES NO INFINITO 
0
x
1
lim
2x


0
x
1
2
x


lim
 Temos o seguinte resultado: 
 
 Se n é um inteiro positivo, 
 LIMITES NO INFINITO 
0
x
1
i
n
x


lim)
0
x
1
ii
n
x


lim)
EXEMPLO: Vamos ver o comportamento da função 
Vejamos a tabela a seguir: 
 
 
LIMITES NO INFINITO 
x f(x) 
0 -1 
1 0 
2 0,6 
3 0,8 
10 0,980198 
50 0,999200 
100 0,999800 
1000 0,999998 

Observa-se que os valores de f(x), tanto para valores positivos 
como para valores menores de x estão tendendo a 1. 
LIMITES NO INFINITO 
Definição: A reta y = L é chamada assíntota horizontal da 
curva y = f(x) se: 
 
 
)()( limlim xfLxf
xx 

 Observação: Se os limites quando x  +  ou x  –  são finitos 
as propriedades operatórias dos limites continuam valendo. 
 
 Se e existem e ambos são finitos, então: 
 
 
 
 LIMITES NO INFINITO 
)x(flim
x 
)(lim xg
x 
  )(lim)(lim)()(lim) xgxfxgxf1
xxx 

  )(lim).(lim)().(lim) xgxfxgxf2
xxx 

realteconsumaCsendoxfcxcf3
xx
tan);(lim)(lim)


 Observação: Se os limites quando x  +  ou x  –  são finitos 
as propriedades operatórias dos limites continuam valendo. 
 
 Se e existem e ambos são finitos, então: 
 
 
 
 LIMITES NO INFINITO 
)x(flim
x 
)(lim xg
x 
n
x
n
x
xfxf5 )()( limlim)


0xgquedesde
xg
xf
xg
xf
4
x
x
x
x










)(lim;
)(lim
)(lim
)(
)(
lim)
 Ainda analisando a função podemos observar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 LIMITES NO INFINITO 
Quando x cresce, tanto numerador como denominador 
crescem. Então não podemos ver o que ocorre com a razão 
entre eles. Para eliminar essa indeterminação, faremos uma 
manipulação algébrica: 
 
COLOCAR EM EVIDÊNCIA A VARIÁVEL DE MAIOR GRAU, 
TANTO NO NUMERADOR COMO NO DENOMINADOR. 
 
Então: 
Vamos agora exercitar. 
 
Exemplos: