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Aula 3  Fluxo de fluidos em meios porosos Modo de Compatibilidade

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14/03/2013
1
Fluxo de Fluidos em Meios 
Porosos
2
Equações Governantes - Formulações matemáticas
que descrevem os processos dentro do Sistema.
Condições de Contorno – estabelecem como o
sistema se relaciona com o exterior.
Condições Iniciais – descrevem o estado de
equilíbrio no instante t=0.
Modelo Matemático Completo
Equação da Difusividade Hidráulica
• Meio poroso homogêneo e isotrópico;
• Fluxo estritamente horizontal e isotérmico;
• Poço penetrando totalmente a formação;
• Permeabilidade constante;
• Pequenos gradientes de pressão;
• Fluido com compressibilidade pequena e constante, e viscosidade 
constante;
• Rocha com compressibilidade pequena e constante;
• Forças gravitacionais desprezíveis;
• Fluidos e rochas não reagentes entre si.
Revisando a Matemática
Gradiente
No cálculo vetorial o gradiente é a alteração no valor de uma
quantidade por unidade de espaço.
O gradiente da função f, ∇f, ou grad f, é um vetor definido por:
→→→→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ k
z
fj
y
fi
x
ffk
z
j
y
i
x
f
A função f(x,y,z) é uma função definida e derivável em todos
os pontos (x, y, z) de uma dada região do espaço (isto é, f
define um campo escalar derivável).
O ∇f é um vetor que dá como resultado a máxima variação
da função e a direção em que esta máxima variação
acontece.
Revisando a Matemática
DIVERGENTE (Divergência)
O operador divergência é definido como a variação do fluxo líquido do
campo vetorial através de uma superfície de um volume em uma região.
O divergente de uma função vetorial V, é dado por ∇.V, ou div V, é um
vetor definido por:






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→→→→
k
z
Vj
y
Vi
x
VV 321.






++





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→→→→→→→
kVjViVk
z
j
y
i
x
V 321.
Revisando a Matemática
14/03/2013
2
Dessa forma a função V (x,y,z) = V1i + V2j + V3k
deve ser definida e derivável em todos os pontos (x, y, z)
numa da região do espaço (isto é, V define um campo
vetorial derivável).
A divergência de um campo vetorial, dá como resultado o
fluxo líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de
volume.






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→→→→
k
z
Vj
y
Vi
x
VV 321.
Revisando a Matemática
8
Equação da Continuidade
Para o desenvolvimento das equações será utilizado um elemento de meio poroso
através do qual está ocorrendo o fluxo de um fluido, cuja saturação é igual a 100%,
ou seja, é o único fluido presente no meio.
Elemento no meio poroso
9
Equação da Continuidade
10
Equação da Continuidade
11
Balanço de Massa
(MASSA QUE ENTRA - MASSA QUE SAI) 
+ MASSA INJETADA/PRODUZIDA
= MASSA ACUMULADA
Equação da Continuidade
12
Equação da Continuidade
MASSA QUE ENTRA:
MASSA QUE SAI:
MASSA INJETADA OU PRODUZIDA:
MASSA ACUMULADA:
( ) tAm
xxxx
∆∆− 2/&
( ) tAm
xxxx
∆∆+ 2/&
tqm∆
( ) ( )[ ] xAxttt ∆−∆+ ρφρφ
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3
13
Equação da Continuidade
b
m
zyx V
q
t
m
z
m
y
m
x
−
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
− )()()()( ρφ&&&
b
m
V
q
t
u −
∂
∂
=⋅∇− )(ρφρr
14
Equação da Darcy
( )gpku rr ρ
µ
+∇−=
( )zpku ∇−∇−= γ
µ
r
Φ∇−=
l
rl
l
kk
u
µ
r ( )zp ll ∇−∇=Φ∇ γ
15
Equação da Difusividade Hidráulica
16
Equação da Difusividade Hidráulica






∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
tct
p
scs
p
p
c ρ
ρ
ρρρ
ρ 1
1
1
t
p
c
t f ∂
∂
=
∂
∂ φφ tc
c
t f ∂
∂
=
∂
∂ ρ
ρ
φφ 1
( ) ( )
t
p
c
tc
c
t
cc
cttt t
t
f ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ ρφρφρφφρρφφρ
17
Equação da Difusividade Hidráulica














∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂ 22
2
2
2
2
2
21
s
p
c
s
p
c
c
k
s
p
s
c
s
p
c
c
k
s
p
c
sc
k
sc
k
sc
k
ss
pk
s
ssssss ρρ
µ
ρρ
µ
ρ
µ
ρ
µ
ρ
µµ
ρ
0
18
Equação da Difusividade Hidráulica
Para meio poroso homogêneo e isotrópico (kx = ky = kz = k), compressibilidade e
viscosidade do fluido constantes e pequenos gradientes de pressão:
t
p
k
c
z
p
y
p
x
p t
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ φµ
2
2
2
2
2
2
Introduzindo um termo fonte (ou sumidouro) e reescrevendo de forma
independente do sistema de unidades:
q
k
B
t
p
k
c
p t µµφ −
∂
∂
=∇2
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Escoamento Multifásico
20
Óleo →
Água → 
Gás →
Escoamento Multifásico
( )[ ] o
o
o
ooo qB
S
t
zp −





∂
∂
=∇−∇⋅∇ φγλ
( )[ ] w
w
w
www qB
S
t
zp −





∂
∂
=∇−∇⋅∇ φγλ
( ) ( )[ ] fgos
g
g
o
o
s
gggooos qqRB
S
S
B
R
t
zpzpR −−
















+
∂
∂
=∇−∇+∇−∇⋅∇ φγλγλ
1=++ gwo SSS
( )wwoowc SfppP =−= 
( )gogogc SfppP =−= 
onde:
k
B
k
ll
rl
l µ
λ =










=
z
y
x
k
k
k
k