Testes de Comparação Múltipla em Análise Experimental

Prévia do material em texto

Delineamento e Análise Experimental
Aula 3
Anderson Castro Soares de Oliveira
Anderson Delineamento e Análise Experimental
ANOVA Significativa
Quando a aplicação da análise de variância conduz à
rejeição da hipótese nula, temos evidência de que existem
diferenças entre as médias populacionais. Mas, entre que
médias se registram essas diferenças?
ANOVA
s{ $,
Tratamentos
Qualitativos
��
Tratamentos
Quantitativos
��
Comparações
Multiplas
Análise de
Regressão
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Comparação multipla
Os testes de comparação múltipla permitem verifica entre
que médias se registram essas diferenças , isto é,
permitem investigar onde se encontram as diferenças
possíveis entre I médias populacionais.
Existem muitos testes deste tipo:
Teste de Tukey
Teste de Student-Newman-Keuls (SNK)
Teste de Duncan
Teste de Dunnett
Teste de Scheffé
Teste de Scott-Knott
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Tukey
Tukey (1953) propôs um procedimento para testar
hipóteses a partir de intervalos de confiança sobre as
diferenças em todos pares de médias.
A estratégia de Tukey consiste em definir a diferença
mínima significativa (DMS).
O teste de Tukey talvez seja o teste mais utilizado nos
experimentos. Talvez isso aconteça pela sua praticidade e
objetividade.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Procedimentos para aplicar o Teste de Tukey
Calcular o diferença minima significativa (DMS)
Dados balanceados (numero de repetições iguais):
DMS = q
√
QMEerro
r
,
Dados desbalanceados (numero de repetições diferentes)
DMS = q
√
QMEerro
2
(
1
rA
+
1
rb
)
em que
q é o valor tabelado em função do número de tratamentos I
e do numero de graus de liberdade do erro
r , rA, rB é o número de repetições respectivamente de todos
os tratamentos, do tratamento A e do tratamento B
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Procedimentos para aplicar o Teste de Tukey
Ordenar as médias
Calcular as diferenças entre todas as médias
Comparar as diferenças com a DMS.
Se o módulo da diferença é menor que a DMS, então não
há diferença significativa.
Se o módulo da diferença é maior que a DMS, então as
médias dos tratamentos são diferentes.
Indicar a significância entre dois tratamentos atribuindo
letras diferentes para ambos, e a igualdade entre eles
atribuindo a mesma letra para ambos.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste Tukey (Exemplo)
No exemplo da insulina
Tratamento Média repetições
Alto 4,5 4
Médio 3,43 4
Baixo 2,23 4
Considerando α = 0,05 temos DMS = 1,47
Temos 4,5-1,47=3,03, assim as médias dos tratamento
Alto e Médio podem ser consideradas iguais, mas as
médias dos tratamentos Alto e Baixo são consideradas
diferentes
Temos 3,43-1,47=1,96, assim as médias dos tratamento
Médio e Baixo podem ser consideradas iguais
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste Tukey (Exemplo)
Assim, o resultado do teste de Tukey é dados por: Médias
seguidas de mesma letra não difere entre si ao nível
nominal de m 5% de significância
Tratamento Média
Alto 4,5a
Médio 3,43ab
Baixo 2,23 b
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Teste de Student-Neuman-Keuls (SNK)
Newman (1939) propôs um procedimento que consiste em
ajustar um valor do teste t para mais de dois tratamentos.
O SNK é muito semelhante ao teste de Tukey , exceto que
ele analisa as diferenças em termos de camadas.
Para uma camada, o teste dá o mesmo resultado que
seria obtido através do teste de Tukey.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Procedimentos para aplicar o Teste de Student-Neuman-Keuls
(SNK)
Colocar as médias dos I tratamentos em ordem
decrescente
Calcular a estimativa do contraste da forma
Yˆ1 = ymaior − ymenor
em que este contraste todos os I tratamentos
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Procedimentos para aplicar o Teste de Student-Neuman-Keuls
(SNK)
Calcular o diferença minima significativa (DMS)
Dados balanceados (numero de repetições iguais):
DMS = q
√
QMEerro
r
,
Dados desbalanceados (numero de repetições diferentes)
DMS = q
√
QMEerro
2
(
1
rA
+
1
rb
)
em que
q é o valor tabelado em função do número de tratamentos I
envolvidos no contraste e do numero de graus de liberdade
do erro
r , rA, rB é o número de repetições respectivamente de todos
os tratamentos, do tratamento A e do tratamento B
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Procedimentos para aplicar o Teste de Student-Neuman-Keuls
(SNK)
Comparar Yˆ1 com a DMS
Se Yˆ1 < DMS, o teste não é significativo, indicando que as
duas médias que entraram no contraste Yˆ1 não diferem.
Então, ligamos as médias abrangidas pelo contraste por
uma barra contínua e não podemos comparar médias
dentro da barra.
Se Yˆ1 ≥ DMS, o teste é significativo, indicando que as
duas médias que entraram no contraste Yˆ1 diferem. Então,
passamos a testar contrastes que abrangem um número
imediatamente inferior de médias (I − 1).
Voltar ao passo 2, obtendo Yˆ2
Fazer isso até não ser mais necessário realizar
comparações
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Teste de Student-Neuman-Keuls (SNK) (Exemplo)
No exemplo dos cães
Tratamento Média
T3 29,28
T0 15,00
T2 13,32
T1 3,98
Calculando a DMS
Numero tratamentos 4 3 2
DMS 10,11 9,12 7,49
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Student-Neuman-Keuls (SNK) (Exemplo)
Yˆ1=29,28-3,98=25,3; como Yˆ1 > 10,11 temos que as
médias dos tratamentos T3 e T1 são consideradas
diferentes
Yˆ2=29,28-13,32=15,96; como Yˆ2 > 9,12 temos que as
médias dos tratamentos T3 e T2 são consideradas
diferentes
Yˆ3=29,28-15=11,28, como Yˆ3 > 7,49 temos que as
médias dos tratamentos T3 e T0 são consideradas
diferentes
Yˆ4=15-3,98=11,02, como Yˆ4 > 9,12 temos que as médias
dos tratamentos T0 e T1 são consideradas diferentes
Yˆ5=15-13,32=1,68, como Yˆ5 < 7,49 temos que as médias
dos tratamentos T0 e T2 são consideradas iguais
Yˆ6=13,32-3,98=9,34, como Yˆ6 < 9,12 temos que as
médias dos tratamentos T2 e T1 são consideradas
diferentes
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Student-Neuman-Keuls (SNK) (Exemplo)
Assim, o resultado do teste de SNK é dado por: Médias
seguidas de mesma letra não difere entre si ao nível
nominal de m 5% de significância
Tratamento Média
T3 29,28a
T0 15,00 b
T2 13,32 b
T1 3,98 c
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Duncan
Duncan (1955) propôs um procedimento semelhante ao
teste de de Student-Neuman-Keuls
O procedimento de utilização do teste de Duncan é
semelhante ao teste SNK, diferindo apenas no calculo da
DMS.
Dados balanceados (numero de repetições iguais):
DMS = q
√
QMEerro
r
,
Dados desbalanceados (numero de repetições diferentes)
DMS = q
√
QMEerro
2
(
1
rA
+
1
rb
)
em que
q é o valor tabelado por Duncan em função do número de
tratamentos I envolvidos no contraste e do numero de graus
de liberdade do erro
r , rA, rB é o número de repetições respectivamente de todos
os tratamentos, do tratamento A e do tratamento BAnderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Teste de Duncan (Exemplo)
No exemplo dos cães
Tratamento Média
T3 29,28
T0 15,00
T2 13,32
T1 3,98
Calculando a DMS
Numero tratamentos 4 3 2
DMS 8,09 7,86 7,49
Os demais procedimentos são idênticos ao teste de SNK
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Duncan (Exemplo)
Assim, o resultado do teste de Duncan é dado por: Médias
seguidas de mesma letra não difere entre si ao nível
nominal de m 5% de significância
Tratamento Média
T3 29,28a
T0 15,00 b
T2 13,32 b
T1 3,98 c
Anderson Delineamento e Análise ExperimentalTeste de Scheffé
Scheffé (1953) propôs um procedimento para comparar
qualquer contraste entre médias
Um contraste é uma combinação linear entre as médias
dos tratamentos de um experimento, observando-se o
critério de que a soma destes contrastes seja nula
Y = c1m1 + c2m2 + ...+ cimi
em que
c1 + c2 + ...+ ci = 0 ou
∑
ci = 0
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Procedimentos para aplicar o Teste de Scheffé
Obter uma estimativa do constraste
Yˆi = c1mˆ1 + c2mˆ2 + ...+ cimˆi
Calculamos a estimativa de variância da estimativa do
contraste
Vˆ (Yˆ ) = (c21 + c
2
2 + ...+ c
2
i )
QMErro
r
Calcular o diferença minima significativa (DMS)
DMS =
√
(I − 1)FαVˆ (Yˆ
em que:
I é o numero de tratamentos
F é o valor tabelado da distribuição F em função dos graus
de liberdade do tratamento e dos graus de liberdade do
erro.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Procedimentos para aplicar o Teste de Scheffé
Comparar o valor absoluto de cada estimativa do contraste
com o valor DMS.
Se Yˆ ≥ DMS o teste é significativo indicando que os
grupos diferem entre si.
Se Yˆ < DMS então os grupo controle não difere entre si.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Scheffé (Exemplo)
No exemplo da insulina
Tratamento Média repetições
Alto 4,5 4
Médio 3,43 4
Baixo 2,23 4
Considerando α = 0,05 temos DMS = 1,53
Temos Yˆ14,5− 3,43 = 1,07⇒ Yˆ1 < DMS assim as
médias dos tratamento Alto e Médio podem ser
consideradas iguais
Temos Yˆ24,5− 2,23 = 2,27⇒ Yˆ2 > DMS assim as
médias dos tratamento Alto e Baixo podem ser
consideradas diferentes
Temos Yˆ33,43− 2,23 = 1,2⇒ Yˆ3 < DMS assim as
médias dos tratamento Médio e Baixo podem ser
consideradas iguais
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Scheffé (Exemplo)
Assim, o resultado do teste de Scheffé é dado por: Médias
seguidas de mesma letra não difere entre si ao nível
nominal de m 5% de significância
Tratamento Média
Alto 4,50a
Médio 3,43ab
Baixo 2,23 b
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Dunnett
Dunnett (1955) propôs um procedimento para
comparações múltiplas onde o interesse é o de comparar
um grupo particular (muitas vezes o chamado grupo de
controle) com cada um dos restantes grupo.
A significância deste teste implicará apenas na conclusão
de que os grupos tratados apresentam diferença com o
grupo controle.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Procedimentos para aplicar o Teste de Dunnett
Calcular o diferença minima significativa (DMS)
Dados balanceados (numero de repetições iguais):
DMS = D
√
2
QMEerro
r
,
Dados desbalanceados (numero de repetições diferentes)
DMS = D
√
QMEerro
(
1
rA
+
1
rb
)
em que
D é o valor tabelado por Dunnet em função I − 1 graus de
liberdade dos tratamentos envolvidos e do numero de graus
de liberdade do erro
r , rA, rB é o número de repetições respectivamente de todos
os tratamentos, do tratamento A e do tratamento B
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Procedimentos para aplicar o Teste de Dunnett
Calcular as estimativas dos contrastes
Yˆ1 = mˆ1 − mˆcontrole
Yˆ2 = mˆ2 − mˆcontrole
... =
...
Yˆi = mˆi − mˆcontrole
Comparar o valor absoluto de cada estimativa do contraste
com o valor DMS.
Se Yˆ ≥ DMS o teste é significativo indicando que o grupo
tratado difere do grupo controle.
Se Yˆ < DMS então o grupo controle não difere do grupo
tratado.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Dunnett (Exemplo)
No exemplo dos cães
Tratamento Média
T0 15,00
T1 3,98
T2 13,32
T3 29,28
DMS = 8,36
Yˆ1 = 3,98− 15 = 11,02⇒ Yˆ1 > DMS assim a média do
tratamento T1 difere do controle
Yˆ2 = 13,32− 15 = 1,68⇒ Yˆ2 < DMS assim a média do
tratamento T2 não difere do controle
Yˆ3 = 29,28− 15 = 14,28⇒ Yˆ3 > DMS assim as média
do tratamento T3 difere do controle
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Teste de Scott-Knott
Scott & Knott (1974) propuseram um procedimento que
compara as médias dos tratamentos por conglomerados e
sua significância é analisada por meio do da distribuição
de χ2
A grande vantagem em sua utilização é proveniente do
fato de que nenhuma média pode pertencer a mais de um
agrupamento, como ocorre nos anteriores, ou seja, o teste
determina a constituição de grupos disjuntos, sempre que
haja sido encontrada significância na ANOVA.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Experimentos com tratamentos quantitativos
Os tratamentos são denominados quantitativos quando
podem ser ordenados segundo um critério quantitativos,
por exemplo teor de cálcio, épocas de colheita,
espaçamentos, teor de carotenóides, doses de hormônios
Se os tratamentos em estudo no experimento forem
quantitativos deve-se utilizar a análise de regressão
quando a ANOVA rejeita a hipótese nula.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos
A regressão é uma técnica de análise que utiliza a relação
entre duas ou mais variáveis quantitativas para determinar
um modelo matemático de forma que o efeito de uma
possa ser previsto por meio de outra variável.
Na análise de experimentos, o modelo matemático mais
empregado para tentar explicar o efeito dos tratamentos
na variável resposta é o modelo polinomial (um valor está
em função do outro).
Os polinômios são da forma
Y = β0 + β1X + β2X 2 + ...+ βnX n
A variável X , ou variável independente, é uma variável não
aleatória corresponde aos tratamentos e a variável Y , ou
variável dependente, que é a variável resposta.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Análise de Regressão
Polinômio do 1o grau ou Regressão linear
Y = β0 + β1X
Polinômio do 2o grau ou Regressão quadrática
Y = β0 + β1X + β2X 2
Polinômio do 3o grau ou Regressão cúbica
Y = β0 + β1X + β2X 2 + β3X 3
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Análise de Regressão
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Passos para Análise de Regressão
Definir os efeitos de regressão a serem testados. A cada
efeito de regressão corresponde 1 grau de liberdade.
Assim, é possível testar tantos efeitos de regressão
quantos são os graus de liberdade para tratamentos;
Determinar as Somas de Quadrados para cada um destes
efeitos de regressão;
No quadro da Análise de Variância, testar os efeitos de
regressão utilizando o Quadrado Médio do Erro
Experimental;
Através do teste F, definir o grau do polinômio que melhor
se ajusta às médias da característica observada
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Passos para Análise de Regressão
Determinar o grau de ajuste, através do Coeficiente de
Determinação (R2)
R2 =
SQRegresso
SQTratamento
Obter as estimativas dos parâmetros do modelo de
Regressão escolhido e apresentar os resultados em um
gráfico
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Um experimento com coelhos avaliou diferentes níveis de
substituição da proteína do farelo de soja pela proteína do
feno de amoreira (0; 25; 50; 75 e 100%) no peso de
coelhos. Para isto foi utilizado um delineamento
inteiramente casualizado com 5 repetições.
repetição Tratamento
0% 25% 50% 75% 100%
1 1,69 1,26 1,49 1,49 1,43
2 1,51 1,85 1,74 0,98 1,47
3 1,88 1,92 1,50 1,68 0,87
4 1,97 1,60 1,51 1,78 1,10
5 1,80 1,69 1,67 2,01 1,16
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
Assumindo α = 0,05 temos:
FV GL SQ QM Fc valor-p
Tratamento 4 0,9074 0,2268 3,49 0,0254
Erro 20 1,2970 0,0648
Total 24 2,2044
Como valor − p < 0,05, rejeita-se H0, logo podemos
concluir ao nível de 5% que o peso é diferente em pelo
menos um dosníveis dos tratamentos.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Análise de variância com decomposição da Soma de
Quadrado de Tratamento em regressões.
FV GL SQ QM Fc valor-p
Tratamento 4 0,9074 0,2268 3,49 0,0254
linear 1 0,7248 0,7248 11,18 0,0032
quadrático 1 0,0769 0,0769 1,19 0,2892
cubico 1 0,0849 0,0849 1,31 0,2661
Desvio 1 0,0208 0,0208 0,32 0,5772
Residuals 20 1,2970 0,0649
Pela ANOVA verifica-se que apenas o modelo linear foi
significativo(valor − p < 0,05).
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Assim, o ganho médio de peso (Y ) em função dos
percentuais de substituição da proteína (X ) é dada por:
Yˆ = 1,80− 0,005X r2 = 0,80
Pelas estimativas do modelo verifica-se:
Se o nível se substituição de proteína for zero o peso
médio será de 1,80kg
Para cada 1% de substituição de proteína na ração o peso
do animal cai 0,005kg
80% da variabilidade do peso pode ser explicado de
substituição de proteína.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Um experimento avaliou o efeito de diferentes doses de
hCG no peso do útero ajustados para o peso vivo em
camundongas.
Foram utilizadas 30 camundongas, com 22 dias de idade,
em que os animais foram divididos em 6 grupos
Cada grupo recebeu respectivamente 0, 10, 20, 30, 40 e
50 UI de hCG, via intra-peritoneal, no volume de 0,2mL,
duas vezes ao dia, com um intervalo de 12 horas entre as
aplicações, durante um dia.
Aproximadamente 24 horas após a última injeção as
camundongas foram individualmente pesadas e
eutanasiadas em seguida foram obtidos os pesos dos
úteros.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Rep Doses
0 10 20 30 40 50
1 0,52 0,99 1,28 1,37 1,27 1,02
2 0,52 0,99 1,29 1,40 1,31 0,98
3 0,52 0,97 1,30 1,41 1,26 1,06
4 0,50 0,99 1,29 1,40 1,33 0,97
5 0,48 1,02 1,28 1,43 1,33 0,98
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
Assumindo α = 0,05 temos:
FV GL SQ QM Fc valor-p
Tratamento 5 2,6817 0,53634 869,73 <0,0001
Residuo 24 0,0148 0,00062
Total 29 2,6965
Como valor − p < 0,05, rejeita-se H0, logo podemos
concluir ao nível de 5% que o peso é diferente em pelo
menos uma das doses de HCg.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Análise de variância com decomposição da Soma de
Quadrado de Tratamento em regressões.
FV GL SQ QM Fc valor-p
Tratamento 5 2,6817 0,53634 869,73 <0,0001
linear 1 0,879 0,879 1425,4128 <0,0001
quadrático 1 1,80191 1,80191 2922,0081 <0,0001
cubico 1 0,00056 0,00056 0,9083 0,3501
Desvio 2 0,00021 0,00011 0,1705 0,8442
Residuals 24 0,0148 0,00062
Pela ANOVA verifica-se que apenas o modelo linear e
quadrático foram significativo(valor − p < 0,05).
Como o r2 = 0,67 modelo quadrático é maior eu o
r2 = 0,33 do modelo linear, os dados podem ser
representados pelo modelo quadrático.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo)
Assim, o peso (Y ) em função das doses de HCG (X ) é
dado por:
Yˆ = 0,5 + 0,06X − 0,001X 2 r2 = 0,67
Pelas estimativas do modelo verifica-se:
Se a dose de HCg for zero o peso médio será de 0,5g
O peso maximo está em torno da 30 de HCg.
67% da variabilidade do peso pode ser explicado pelas
doses de HCg.
Anderson Delineamento e Análise Experimental
Notes
Notes
Notes
Notes