Questão 2 da AD1 de Métodos Determinísticos 1 2018-2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 2 (2,5 pontos) De acordo com o que vimos no EP3, uma proposic¸a˜o do tipo
p e q
e´ falsa se pelo menos uma das duas proposic¸o˜es, p ou q, forem falsas, isto e´, se
(∼ p) ou (∼ q).
De forma semelhante,
p ou q
e´ falsa se ambas as proposic¸o˜es p e q forem falsas, isto e´, se
(∼ p) e (∼ q).
Vimos ainda que uma sequeˆncia da forma
∃x ∈ X|p(x)
e´ falsa se
∀x ∈ X,∼ p(x),
isto e´, e´ falso que ”algum x em X tal que p(x) e´ verdadeiro”se ”para todo x em X, p(x) for falso”.
Da mesma forma,
∀x ∈ X,p(x)
e´ falsa se
∃x ∈ X| ∼ p(x),
isto e´, e´ falso que ”para todo x em X, p(x) e´ verdadeira”se ”existe algum x em X para o qual p(x)
e´ falsa”.
Juntando as informac¸o˜es acima, escreva a negac¸a˜o das sentenc¸as abaixo. Escreva com palavras, sem
utilizar simbologia lo´gico-matema´tica.
(a) Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o.
(b) Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com carta˜o.
(c) Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio.
(d) Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio.
(e) Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o ou existe algum cliente que comprou
ontem que tenha comprado um presente.
(f) Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro e todos os clientes
que compraram ontem compraram um presente.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – 2018-2 2
Nos itens acima, observe que a expressa˜o ”que comprou ontem”determina o conjunto de clientes
dos quais se fala, ou seja, fazem o papel do conjunto ”X”nas expresso˜es ”∃x ∈ X”e ”∀x ∈ X”.
Assim, por exemplo, a expressa˜o, ”Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o
carta˜o”pode ser pensada como ”∀c ∈ X, ’c comprou ontem’ ou ’c pagou com o carta˜o’ ”; pensar
assim ajudara´ a escrever as negac¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
(a) Algum cliente que comprou ontem, na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o.
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o.
m
∀c ∈ X,′ c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∃c ∈ X | ∼ (′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′)
m
∃c ∈ X | ∼ (′c pagou em dinheiro′) e ∼ (′c pagou com o carta˜o′)
m
Algum cliente que comprou ontem, na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o
(b) Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com carta˜o
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com carta˜o.
m
∃c ∈ X | ′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∀c ∈ X,∼ (′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′)
m
∀c ∈ X,∼ (′c pagou em dinheiro′) e ∼ (′c pagou com o carta˜o′)
m
Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o
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(c) Algum cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um pro-
duto para uso pro´prio
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio
m
∀c ∈ X,′ c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∃c ∈ X | ∼ (′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
∃c ∈ X | ∼ (′c adquiriu um presente′) ou ∼ (′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
Algum cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um produto para uso pro´prio
(d) Todo cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um pro-
duto para uso pro´prio
Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio
m
∃c ∈ X | ′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′
Assim, a negac¸a˜o sera´
∀c ∈ X,∼ (′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
∀c ∈ X,∼ (′c adquiriu um presente′) ou ∼ (′c adquiriu um produto para uso pro´prio′)
m
Todo cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um produto para uso pro´prio
(e) Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o e todo cliente que comprou
ontem, na˜o comprou um presente
Para chegar a esta conclusa˜o, podemos denotar
p :′ Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o′
q :′ existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente.′
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Queremos escrever a negac¸a˜o de ”p ou q”, que sera´ ”∼ p e ∼ q”. Temos
∼ p :′ Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o′
∼ q :′ Todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um presente.′
Assim, a negac¸a˜o de ” ’Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o’ ou ’existe
algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente’ ”e´ ” ’Algum cliente que
comprou ontem na˜o pagou em carta˜o’ e ’Todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um
presente’ ”.
(f) Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro ou algum cliente que comprou
ontem na˜o comprou um presente
Para chegar a esta conclusa˜o, podemos denotar
p :′ Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro′
q :′ todos os clientes que compraram ontem compraram um presente.′
Queremos escrever a negac¸a˜o de ”p e q”, que sera´ ”∼ p ou ∼ q”. Temos
∼ p :′ Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro′
∼ q :′ Algum cliente que comprou ontem na˜o comprou um presente.′
Assim, a negac¸a˜o de ” ’Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em
dinheiro’ e ’todos os clientes que compraram ontem compraram um presente’ ”e´ ” ’Todo cliente
que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro’ ou ’algum cliente que comprou ontem na˜o comprou
um presente’ ”.
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