Análise Infinitesimal III

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Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 1
Maria Paula Serra de Oliveira
Candida de Oliveira Pereira
CADERNO DE EXERCÍCIOS DE ANÁLISE INFINITESIMAL III
2010
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 2
1 Algumas noções topológicas em IRn
⋆ Resultados Teóricos
Sejam D ⊂ IR2, (x0, y0) ∈ IR2 e r > 0.
� Designa-se por bola aberta centrada em (x0, y0) e de raio r o conjunto
B ((x0, y0) , r) =
{
(x, y) ∈ IR2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r
}
.
Designa-se por bola fechada centrada em (x0, y0) e de raio r o conjunto
B ((x0, y0) , r) =
{
(x, y) ∈ IR2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ ≤ r
}
.
Diz-se que U é vizinhança de (x0, y0) , e escreve-se U ∈ V(x0,y0), em que V(x0,y0) representa
o conjunto das vizinhanças de (x0, y0), se
∃ r > 0 : B ((x0, y0) , r) ⊂ U
� Diz-se que (x0, y0) ∈ D é um ponto interior de D se
∃r > 0 : B ((x0, y0) , r) ⊂ D.
Designa-se por interior de D, e representa-se por int (D), o conjunto dos pontos interiores
a D.
� Diz-se que D é um conjunto aberto se D coincide com o seu interior.
� Diz-se que (x0, y0) é um ponto aderente a D se
∀r > 0 B ((x0, y0) , r) ∩D 	= ∅.
Designa-se por aderência de D ou fecho de D, e representa-se por D, o conjunto dos
pontos aderentes a D.
� Diz-se que (x0, y0) é ponto de acumulação de D se
∀r > 0 (B ((x0, y0) , r) \ {(x0, y0)}) ∩D 	= ∅.
Designa-se por derivado de D, e representa-se por D′, o conjunto dos pontos de acumu-
lação de D.
� Diz-se que (x0, y0) ∈ D é um ponto isolado de D se
∃r > 0 : B ((x0, y0) , r) ∩D = {(x0, y0)} .
Note que um ponto de um conjunto é um ponto de acumulação do conjunto se e só se não
for um ponto isolado.
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� Diz-se que (x0, y0) é um ponto fronteiro deD se (x0, y0) é aderente aD e ao complementar
de D, ∁D, ou seja,
∀r > 0 B ((x0, y0) , r) ∩D 	= ∅ ∧ B ((x0, y0) , r) ∩ ∁D 	= ∅.
Designa-se por fronteira deD, e representa-se por fr (D), o conjunto dos pontos fronteiros
a D.
� Diz-se que D é um conjunto fechado se contém todos os seus pontos fronteiros.
� Diz-se que D é um conjunto limitado se
∃r > 0 : D ⊂ B ((x0, y0) , r) .
� Diz-se que D é um conjunto compacto se for fechado e limitado.
1. Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é ou não vizinhança dos pontos P indicados:
(a)
{
(x, y) ∈ IR2 : (x− 3)2 + (y − 1)2 < 1} e P = (3, 1) .
(b)
{
(x, y) ∈ IR2 : (x− 3)2 + (y − 1)2 ≤ 1
2
}
e P = (3, 1) .
(c) {(3, 1)} e P = (3, 1) .
(d) Uma recta que contenha o ponto (3, 1) e P = (3, 1) .
(e)
{
(x, y) ∈ IR2 : y ≥ 1} e P = (3, 1) .
(f)
{
(x, y) ∈ IR2 : y > 1− ε, ε > 0, fixo} e P = (3, 1) .
(g) Uma bola fechada de centro em (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5) .
(h) Uma recta que contenha (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5) .
(i) Um plano que contenha (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5) .
2. Represente geometricamente cada um dos seguintes subconjuntos de IR2 e determine os
respectivos interior, fecho, derivado e fronteira.Verifique ainda se são abertos, fecha-
dos ou compactos:
A = {(x, y) : 0 < x ≤ 2} ∪ {(3, 4)} B = {(x, y) : x = y}
C = {(x, y) : x = 0 ∧ 2 < y < 4} D = {(x, y) : 0 � xy � 1}
Qn =
{(
1
n
, 0
)
: n ∈ IN} Pn = {( 1n , 1n) : n ∈ IN}
G = {(n,m) : n,m ∈ IN} H = {( 1
n
, 1
m
)
: n,m ∈ IN}
I =
{
(x, y) : y = 1
n
, n ∈ IN} J = {(x, y) : 0 < x2 + y2 < 4}
K =
{
(x, y) : 0 <
√
x2 + y2 ≤ 9
}
L = {(x, y) : x, y ∈ Q ∧ ‖(x, y)‖ < 1}
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2 Funções Vectoriais de Variável Vectorial
2.1 Domínio, representação gráfica e curvas de nível
⋆ Resultados Teóricos
Sendo f : D ⊂ IR2 −→ IR, a curva de nível de cota α da função f é definida pelo conjunto
Cα = {(x, y) ∈ D : f (x, y) = α} .
Por exemplo, consideremos a função f : IR2 −→ IR tal que
f (x, y) =
(
x2 − y2)2
com a seguinte representação gráfica:
A representação geométrica de Cα é a projecção, no plano xOy, da curva que se obtém
quando se intersecta o gráfico da função com o plano de cota α.
Ilustração geométrica da construção de C5000 Representação gráfica de C5000
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Na figura seguinte estão representadas várias curvas de nível que constituem um "mapa
topográfico" da função f :
1. Descreva, analítica e geometricamente, o domínio das seguintes funções:
(a) f (x, y) = xy
y−2x (b) f (x, y) =
√
x+1√
1−x2−y2
(c) f (x, y) =
√
x
x−y (d) f (x, y, z) =
√
4− x2 − y2 − z2
(e) f (x, y) =
√
x2+y2+2x
x2+y2−2x (f) f (x, y) = ln [(16− x2 − y2) (x2 + y2 − 4)]
(g) f (x, y) = ln (4− x2 − y2) + x
y2−4x (h) f (x, y, z) =
√
ln (x2 + y2 − 2z2)
(i) f (x, y) =
{
sin(x4+y6)
x4+y6
se x > 0
y +
√
1− x se x ≤ 0
(j) f (x, y) = x
3
3
+ arcsin (y + 3)
(k) f (t) =
(
t2,
√
t+ 1, 1
4−t2
)
(l) f (x, y) =
(
ln (x− y) , xy
√
x2 − y, 3x+2y√
9−x2−y2
)
2. Para cada uma das seguintes funções, faça a correspondência entre a expressão
designatória, a representação gráfica e o mapa topográfico. Apresente razões para
a sua escolha:
Expressões Designatórias
(a) f (x, y) = 2x+ 3y (b) f (x, y) = |x|+ |y|
(c) f (x, y) = xy (d) f (x, y) = e
1
x2+y2
(e) f (x, y) = y
x
(f) f (x, y) = (x2 − y2)2
(g) f (x, y) = (x− y)2 (h) f (x, y) = cos (y)
(i) f (x, y) = sin (|x|+ |y|) (j) f (x, y) = y6
x3+y6
(k) f (x, y) = log (1 + x2) , x ≥ 0 (l) f (x, y) = cos (x) sin (y)
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Representações Gráficas
A B C
D E F
G H I
J K L
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Mapas Topográficos
I II III
IV V VI
VII VIII IX
X XI XII
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Notas:
- As representações gráficas apresentadas foram feitas com recurso ao programa
Mathematica.
- As curvas de nível representadas correspondem a uma sequência de valores de z com
espaçamentos iguais. Os gráficos são representados com um sombreado, em que as regiões
de maior valor de z são mais claras.
3. Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio, identifique as curvas de nível
e faça um esboço da superfície que corresponde ao gráfico da função:
(a) f (x, y) = 1− x− y (b) f (x, y) = y − 1 (c) f (x, y) = 1− x2
(d) f (x, y) = x2 + 9y2 (e) f (x, y) =
√
x2 + y2 (f) f (x, y) = −
√
x2 + y2 − 1
(g) f (x, y) =
√
1− x2 (h) f (x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2 (i) f (x, y) = 2− 4x2 − 2y2
4. Uma placa fina de metal ocupa uma região D do plano xOy. A placa foi aquecida e, em
cada ponto (x, y), a temperatura T é dada por T (x, y) = 100
1+x2+y2
.
(a) Identifique e esboce as linhas isotérmicas da placa.
(b) Uma formiga, localizada no ponto (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temper-
atura ao longo da sua trajectória permanece constante. Qual é a trajectória tomada
pela formiga e qual é a temperatura ao longo da trajectória?
* Questões de Exames
*5. Considere a função f : D ⊂ IR2 −→ IR definida por
f (x, y) =
ln
√
xy + 1
x2 − y2 .
(a) Represente, analítica e geometricamente, o conjunto D.
(b) Considere a sucessão Pn =
(
(−1)n (2− 1
n
)
, (−1)n (−2 + 1
n
))
n∈IN .
Determine o interior, o fecho, o derivado e a fronteira do conjunto D ∪ {Pn, n ∈ IN}.
*6. Considere a função f : D ⊂ IR2 −→ IR definida por
f (x, y) =
ln (−y + x2 + 2)√y − sin x
tan x
(a) Represente, analítica e geometricamente, o conjunto D.
(b) Considere a sucessão de termo geral
Pn =
{ (
π, π
2+2
n
)
se n ímpar
(π, 100) se n par
.
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i. Diga se (Pn)n∈IN é convergente e limitada. Justifique.
ii. Determine o interior, o fecho, o derivado e a fronteira do conjunto
D ∪ {Pn, n ∈ IN} .
*7. Seja f a função real definida por:
f (x, y) =
ln
(1− y2
9
− x2
4
)√
1− y2
y2 + (y − x2 + 1)2 .
(a) Determine o domínio D de f e represente-o geometricamente .
(b) Seja A = D ∪ {(−1 + 6
n
, 0
)
, n ∈ IN} .
Indique o interior, o fecho, o derivado e a fronteira de A.
*8. Seja f a função real definida por:
f (x, y) =
ln (y2 − yx)
√
4− x2 − y2
(y − 1)2 + (x+ 1)2 .
(a) Determine o domínio D de f e represente-o geometricamente.
(b) Seja A = D ∪ {(0, 3− 2
n
)
, n ∈ IN} .
Indique o interior, o fecho, o derivado e a fronteira de A .
2.2 Limites e Continuidade
⋆ Resultados Teóricos
A. Definição de Limite
Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR e (x0, y0) ∈ D′.Diz-se que
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = L
se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀ (x, y) ∈ D 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f (x, y)− L| < ε.
B. Álgebra de Limites
Sejam f, g : D ⊆ R2 → R e (x0, y0) ∈ D′.
lim
(x,y)−→(x0,y0)
(f (x, y)± g (x, y)) = lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y)± lim
(x,y)−→(x0,y0)
g (x, y)
lim
(x,y)−→(x0,y0)
(f (x, y)× g (x, y)) = lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y)× lim
(x,y)−→(x0,y0)
g (x, y)
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f(x,y)
g(x,y)
=
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f(x,y)
lim
(x,y)−→(x0,y0)
g(x,y)
(desde que g não se anule numa vizinhança de (x0, y0)).
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C. Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR e (x0, y0) ∈ D′. Então
lim
(x,y)−→(x0,y0)
x = x0 e lim
(x,y)−→(x0,y0)
y = y0.
D. Sejam f, g : D ⊆ R2 → R e (x0, y0) ∈ D′. Suponha-se que existe uma vizinhança V de
(x0, y0) tal que g é limitada em (V \ {(x0, y0)}) ∩D e que lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = 0. Então
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) g (x, y) = 0.
Note que este resultado significa que "o produto de um infinitésimo por uma função limi-
tada é um infinitésimo".
E. Limite da Função Composta
Sejam f : D ⊆ R2 → R e g : E ⊆ R→ R duas funções com f(D) ⊆ E e seja (x0, y0) ∈ D′.
Suponha-se que lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = u0, em que u0 ∈ E′ e que lim
u−→u0
g (u) = L. Então
lim
(x,y)−→(x0,y0)
(g ◦ f) (x, y) = L
se uma das condições seguintes for verificada:
(a) ∃r > 0 : ∀ (x, y) ∈ D, 0 <‖ (x, y)− (x0, y0) ‖< r⇒ f(x, y) 	= u0;
(b) g é contínua em u0.
F. Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR, (x0, y0) ∈ D′ e lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = L. Então, para todo o
conjunto A tal que (x0, y0) ∈ (A ∩D)′, tem-se
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f
(x,y)∈A∩D
(x, y) = L.
Note que este resultado pode ser utilizado para provar a não existência de limite. Com
efeito, se tivermos dois conjuntos A e B, tais que
lim
(x,y)−→(x0,y0)
(x,y)∈A∩D
f (x, y) 	= lim
(x,y)−→(x0,y0)
(x,y)∈B∩D
f (x, y) ,
concluímos que não existe lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y). O mesmo podemos concluir se não existir
um daqueles limites.
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G. Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR, (x0, y0) ∈ D′. Suponhamos ainda que existe V , vizinhança de
(x0, y0), tal que lim
(x,y)−→(x0,y0)
(x,y)∈V ∩D
f (x, y) = L. Então
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = L.
H. Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR, com D = D1 ∪D2 e (x0, y0) ∈ D′1 ∩D′2. Se
lim
(x,y)−→(x0,y0)
(x,y)∈D1
f(x, y) = lim
(x,y)−→(x0,y0)
(x,y)∈D2
f(x, y) = L
então
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = L.
Note que este resultado pode ser generalizado ao caso em que D é a reunião de um número
finito de conjuntos.
I. Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR e (x0, y0) ∈ D ∩D′.
A função f é contínua em (x0, y0) se e só se
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x, y) = f (x0, y0) .
Seja A ⊆ D. A função f é contínua em A se for contínua em todos os pontos de A.
9. Prove, usando a definição, que:
(a) lim
(x,y)−→(x0,y0)
x = x0. (b) lim
(x,y)−→(1,3)
2x+ 3y = 11.
(c) lim
(x,y)−→(0,0)
x4y4
x4+y2
= 0. (d) lim
(x,y)−→(1,1)
xy
x+y
= 1
2
.
10. Seja f a função definida por
f (x, y) =
{
(x+ y) sin 1
x
sin 1
y
se x 	= 0 ∧ y 	= 0
0 se x = 0 ∨ y = 0 .
Mostre, por definição, que f é contínua no ponto (0, 0).
11. Para cada uma das seguintes funções, indique o seu domínio e estude a existência de limite
nos pontos indicados:
(a) x
2
x2+y2
em P0 = (1, 2) (b) ln
(
sinx
2
+ (yz)
2
3
)
em P0 =
(
π
2
,
√
2
2
, 1
2
)
(c) 2xy
(x+y)2
em P0 = (1,−1) (d) x4−4y42x2+4y2 em P0 = (0, 0)
(e) xy−2x−y+2
(x−1)(y2−4y+4) em P0 = (1, 3)
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12. Para cada uma das seguintes funções, indique o seu domínio e estude a existência de limite
no ponto P0 = (0, 0):
(a) (x2 + 2y2) sin 1
xy
(b) x
3+2xy+3y2√
x2+y2
(c) x
2y
(x2+y2)
√
1−x2−y2 (d)
x3y7+x sin y√
x2+y2
13. Calcule os seguintes limites, depois de escrever cada função como composição de duas:
(a) lim
(x,y)−→(0,0)
ln(1−x2−y2)
x2+y2
(b) lim
(x,y)−→(0,0)
x2+y2√
x2+y2+1−1
(c) lim
(x,y)−→(2,0)
sin(xy)
xy
14. Para cada uma das seguintes funções, indique o seu domínio e estude a existência de limite
nos pontos indicados:
(a) x
2
x2+y2
em P0 = (0, 0) (b)
xy(x2−y2)
x4+y4
em P0 = (0, 0)
(c) 2xy−2y
(x−1)2+y2 em P0 = (1, 0) (d)
xy(x−y)
x2+y4
em P0 = (0, 0)
(e) 3x
3y
x6+y2
em P0 = (0, 0) (f)
(x−1)yz
(x−1)3+y3+z3 em P0 = (1, 0, 0)
15. Determine o domínio das seguintes funções e estude a existência de limite nos pontos
indicados; caso os pontos pertençam ao domínio da função, estude também a continuidade
nesses pontos.
(a) f (x, y) =
{ 2xy
x2+y2
se (x, y) 	= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
em P0 = (0, 0) .
(b) f (x, y) = x
2−y2
x+y
em P0 = (−1, 1)
(c) f (x, y) =
{
x2−y2
x+y
se x 	= −y
0 se x = −y em P0 = (0, 0) e P1 = (−1, 1) .
(d) f (x, y) = x
2−2xy+y2
x2y−y3 em P0 = (0, 0), P1 = (−1, 1) e P2 = (1, 1) .
(e) f (x, y) =
(
x|y|
|x|+|y| ,
x
x2−y
)
em P0 = (0, 0) e P0 = (2, 2) .
(f) f (x, y, z) = x
2yz
x8+y4+z2
em P0 = (0, 0, 0) .
(g) f (x, y) =
{
x se x = y
x2 se x 	= y em P0 = (1, 1) e P1 = (2, 2) .
(h) f (x, y) =
{
|y|
x2
e−
|y|
x2 se x 	= 0
0 se x = 0
em P0 = (0, 0).
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(i) f (x, y) =
{
x2 ln(y+1)
x2+y2
se x2 + y2 < 1 ∧ (x, y) 	= (0, 0)
0 se x2 + y2 � 1
em P0 = (0, 0) e P1 = (1, 0) .
(j) f (x, y) =
{
y2 sinx
x2+y2
se x2 + y2 < 1 ∧ (x, y) 	= (0, 0)
1 se x2 + y2 � 1
em P0 = (0, 0) e P1 = (0, 1) .
(k) f (x, y) =

x2 sin y
x2+y2
se x 	= 0 ∧ y 	= 0
1− y2 se x = 0
1− x2 se y = 0
em P0 = (0, 0) e P1 = (−1, 0) .
16. Determine a região de continuidade das seguintes funções:
(a) f (x, y) =
{
xy2
x2+y4
se x < y2
0 se x ≥ y2 .
(b) f (x, y) =
{
x+y√
x2+y2+1
se x2 + y2 > 1
x+ y se x2 + y2 � 1
.
(c) f (x, y) =
{
|y|
x2
e−
|y|
x2 se x 	= 0
0 se x = 0
.
* Questões de Exames
*17. Considere a função f : D ⊂ IR2 −→ IR definida por
f(x, y) =
(y − x) ln (x+ 1)√
y2 + (y − x)2
.
(a) Determine D, domínio de f .
(b) Considere a função g : IR2 −→ IR definida por
g(x, y) =
{
f(x, y) , (x, y) ∈ D ∧ x 	= y2
sin(π4 xy)
π
4
xy
+ α , (x, y) ∈ D ∧ x = y2 ,
com α ∈ IR.
i. Determine α de forma a que lim
(x,y)−→(0,0)
g(x, y) não exista;
ii. Determine α de forma a que lim
(x,y)−→(1,1)
g(x, y) exista.
*18. Considere a função f : D ⊂ IR2 −→ IR definida por
f(x, y) = ln
[
x ln
(
y − x2)] .
(a) Determine D, domínio de f .
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(b) Sendo
X = D ∪
{
(
1
n
,
1
n
), n ∈ IN
}
indique int (X) , X e fr(X).
(c) Considere a função g : IR2 −→ IR definida por
g(x, y) =

f(x, y) , (x, y) ∈ D
(x−1) cos(π
2
x+y−1)√
(x−1)2+(y−1)2
, (x, y) /∈ D ∧ x 	= y
4 x = y
.
Determine lim
(x,y)−→(1,3)
g(x, y) e lim
(x,y)−→(1,1)
g(x, y).
2.3 Diferenciabilidade
⋆ Resultados Teóricos
A. Definições de Derivada Parcial e de Vector Gradiente
Sejam f :D ⊆ IR2 −→ IR, D aberto e (x0, y0) ∈ D.
Derivada parcial de f em relação a x, no ponto (x0, y0),
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
t−→0
f (x0 + t, y0)− f (x0, y0)
t
.
∂f
∂x
(x0, y0) representa a taxa de variação de f , em relação a x, no ponto (x0, y0).
Derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
t−→0
f (x0, y0 + t)− f (x0, y0)
t
.
∂f
∂y
(x0, y0) representa a taxa de variação de f , em relação a y, no ponto (x0, y0).
As derivadas parciais também se podem notar por fx (x0, y0) e fy (x0, y0), respectivamente.
O vector das derivadas parciais designa-se por gradiente ou vector gradiente e representa-
se por ∇f (x0, y0). Assim,
∇f (x0, y0) =
(
∂f
∂x
(x0, y0) ,
∂f
∂y
(x0, y0)
)
.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 15
B. Definição de Derivada Direccional
Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR, D aberto, (x0, y0) ∈ D, v ∈ IR2, v 	= 0.
Derivada direccional de f , no ponto (x0, y0) e na direcção v,
∂f
∂v
(x0, y0) = lim
t−→0
f ((x0, y0) + tv)− f (x0, y0)
t
.
Se ‖v‖ = 1, ∂f
∂v
(x0, y0) representa a taxa de variação de f , no ponto (x0, y0), na direcção e
sentido do vector v.
Tem-se ∂f
∂v
(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) se v = (1, 0) e
∂f
∂v
(x0, y0) =
∂f
∂y
(x0, y0) se v = (0, 1).
C. Definição de Derivada de uma Função num Ponto
Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR e (x0, y0) ∈ (D ∩D′).
A função f diz-se diferenciável em (x0, y0) se existir uma aplicação linear de IR2 em IR,
Df (x0, y0), tal que
lim
h−→0
|f ((x0, y0) + h)− f (x0, y0)−Df (x0, y0)h|
‖h‖ = 0.
A aplicação Df (x0, y0) designa-se por derivada de f em (x0, y0).
D. A definição anterior pode generalizar-se ao caso em que f é uma função vectorial de variável
vectorial,
f = (f1, f2, · · · , fm) : D ⊂ IRn −→ IRm.
A aplicação Df (P0), com P0 = (x01, x
0
2, · · · , x0n), representa-se matricialmente pela matriz
das derivadas parciais, chamada matriz jacobiana de f em P0. Esta matriz denota-se
por Jf (P0) podendo também, no caso de f ser diferenciável, ser denotada por Df (P0).
Assim,
Jf (P0) =

∂f1
∂x1
(P0)
∂f1
∂x2
(P0) · · · ∂f1∂xn (P0)
∂f2
∂x1
(P0)
∂f2
∂x2
(P0) · · · ∂f2∂xn (P0)· · · · · · · · · · · ·
∂fm
∂x1
(P0)
∂fm
∂x2
(P0) · · · ∂fm∂xn (P0)

m×n
.
Se f for uma função diferenciável de contradomínio real, a sua derivada é dada pelo gra-
diente,
∇f (P0) =
(
∂f
∂x1
(P0) ,
∂f
∂x2
(P0) , · · · , ∂f
∂xn
(P0)
)
.
E. Condição suficiente de diferenciabilidade
Sejam f : D ⊂ IR2 −→ IR, D aberto, (x0, y0) ∈ D.
Se existirem as derivadas parciais, ∂f
∂x
e ∂f
∂y
, numa vizinhança de (x0, y0), e forem contínuas
em (x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0).
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F. Condições necessárias de diferenciabilidade
Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR, D aberto, (x0, y0) ∈ D.
Se f é diferenciável em (x0, y0) então:
� f é contínua em (x0, y0).
� Existem as derivadas parciais de f em (x0, y0),
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0).
� Existe a derivada direccional de f em (x0, y0), segundo qualquer vector v ∈ IR2� {0}
e ∂f
∂v
(x0, y0) = (∇f (x0, y0) | v) .
2.3.1 Derivadas Parciais de 1aOrdem
19. Usando a definição de derivada parcial, determine:
(a) fx (0, 0) e fy (1, 2), sendo f (x, y) = x2y.
(b) as derivadas parciais da função f(x, y) = exy + 1, num ponto qualquer de IR2.
(c) fx (1, 1), fy (0, 0) e fx (1, 2), sendo f (x, y) =
{
x se x < y
y se x ≥ y .
20. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(a) e2xy
3
(b) ex sin y + cos (z − 3y)
(c) f (x, y, z) = ln (ex + zy) (d) f (x, y, z) = cos
(
y
√
x2 + z2
)
(e) f (x, y) =
{
x3y
x6+y2
se (x, y) 	= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(f) f (x, y) =
{ xy
x+y
se x+ y 	= 0
x se x+ y = 0
21. Um estudo efectuado sobre uma certa marca de pasta dentífrica concluiu que o montante
V (x, y) de vendas diárias do produto é função do número x de vezes em que ele é publicitado
diariamente na televisão, e função do número y de milhões de pessoas que vêem, também
diariamente, o anúncio. Assim, o número de unidades do artigo vendidas diariamente é
caracterizado através do seguinte modelo
V (x, y) = 5000xy + 1000
(a) Interprete ∂V
∂x
quando y = 5.
(b) Interprete ∂V
∂y
quando x = 2.
22. A taxa A de absorção de uma substância química por uma bactéria é dada por
A = a
S
V
,
em que a é uma constante positiva, e S e V representam, respectivamente, a área da
superfície e o volume da bactéria. Suponhamos que esta tem a forma de um cilindro com
duas ”tampas” semi-esféricas, sendo r o respectivo raio da base e l a altura lateral do
cilindro.
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(a) Exprima A em função de r e l.
(b) Explique qual o efeito em A de um aumento na altura l e qual o efeito em A de um
aumento no raio r.
23. De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão P , a temperatura T e o volume V de um
gás estão relacionados por
P = k
T
V
,
em que k é uma constante de proporcionalidade. Suponha que V é medido em decímetros
cúbicos (dm3), T é medido em kelvins (K), P é medido em atmosferas (atm) e que para
um certo gás a constante de proporcionalidade é k = 10.
(a) Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura se a
temperatura for 80K e o volume permanecer fixo em 50dm3.
(b) Determine a taxa de variação instantânea do volume em relação à pressão se o volume
é 50dm3 e a temperatura permanece fixa em 80K.
24. Mostre que a função
f(x, y) =
{ 2xy
x2+y2
, (x, y) 	= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
possui derivadas parciais em (0, 0), embora seja descontínua nesse ponto.
2.3.2 Definição de Função Diferenciável
25. Prove que Df(0, 0) = 0 (função nula), onde f : IR2 −→ IR é definida por
f(x, y) =

x2 sin(x2+y2)√
x2+y2
, (x, y) 	= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
.
26. Usando a definição, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis nos pontos indicados:
(a) f(x, y) = x2 − y2 em P0 = (0, 0)
(b) f(x, y) = (x+ y, x− y), em todo o seu domínio.
(c) f(x, y) = (x, y2), no ponto P0 = (1, 0).
(d) f(x, y) =
{
x2y
x2+y2
se (x, y) 	= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
, no ponto P0 = (0, 0) .
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2.3.3 Derivada Direccional
27. Usando a definição, calcule as derivadas direccionais das funções seguintes nos pontos P0
dados e segundo o vector v indicado.
(a) f (x, y) = x2 − xy em P0 = (0, 1) e v = (3, 4) .
(b) f (x, y) = xyz2 em P0 = (0, 1, 0) e v = (2, 1, 1) .
28. Usando a definição, determine os vectores v para os quais ∂f
∂v
(P0) existe, sendo
(a) f (x, y) =
√
x2 + y2, P0 = (0, 0).
(b) f (x, y) =
√|xy|, P0 = (0, 0).
(c) f (x, y) =
{
xy2 se y ≥ 0
x3 se y < 0
, P0 = (0, 0).
29. Calcule as derivadas direccionais das seguintes funções nos pontos indicados e segundo as
direcções v indicadas:
(a) f(x, y) = ex tg y + 2x2y, P0 = (0, π4 ), v = (−
√
2
2
,
√
2
2
).
(b) f(x, y, z) = x2z + y exz, P0 = (1,−2, 3), v = (1,−2, 3).
2.3.4 Condições Necessárias ou Suficientes de Diferenciabilidade
30. Usando condições necessárias ou suficientes para a diferenciabilidade de uma função num
dado ponto, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis nos pontos dados:
(a) f(x, y) = ex
2+y2, P0 = (2, 1) .
(b) f(x, y) =
{
sin(xy−y)
(x−1)2+y2 se (x, y) 	= (1, 0)
2 se (x, y) = (1, 0)
, P0 = (1, 0) .
(c) f(x, y, z) = cos
(
y
√
x2 + z2
)
, P0 = (0, 1, 0) .
(d) f(x, y) =
{ |x| y se y > 0
0 se y ≤ 0 , P0 = (2, 0) .
(e) f(x, y) =
{
x2 + y2 se x 	= 0
y4 se x = 0
, P0 = (0,−1) e P1 = (0, 0)
31. Seja f : IR2 −→ IR definida por f(x, y) =
{
x3+y3
x2+y2
, (x, y) 	= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
.
Mostre que:
(a)f é contínua em (0, 0).
(b) f possui derivada em (0, 0) segundo qualquer vector não nulo.
(c) f não é diferenciável em (0, 0).
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32. Seja f : IR2 → IR definida por f(x, y) =

x3y
x6 + y2
, (x, y) 	= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0).
(a) Prove que
∂f
∂v
(0, 0) = (gradf(0, 0) | v) para todo o v ∈ IR2.
(b) Estude f quanto à continuidade em (0, 0).
(c) Estude f quanto à diferenciabilidade em IR2.
33. Considere f : IR2 → IR definida por f(x, y) =
{
x3, x < 0
x(x+ y), x ≥ 0.
(a) Mostre que f é contínua em IR2.
(b) Mostre que f não é diferenciável em pontos da forma (0, b), b 	= 0.
(c) Prove que f é diferenciável em (0, 0).
34. Seja h : IR2 → IR definida por
h(x, y) =
{
(x2 + y2) sin 1√
x2+y2
, se (x, y) 	= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
.
(a) Determine os vectores v de IR2 para os quais existe a derivada de h segundo v no
ponto (0, 0).
(b) Estude ∂h
∂x
quanto à continuidade em (0, 0).
(c) Prove que h é diferenciável em (0, 0).
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* Questões de Exames
*35. Considere a função f definida por
f(x, y) =

sin2(y − x) se y > x
0 se y = x
y2√
y2+x2
se y < x
.
(a) Estude f quanto à continuidade.
(b) Determine ∂f
∂v
(0, 0), com v = (1, 0).
(c) Estude f quanto à diferenciabilidade.
*36. Considere a função f : IR2 −→ IR definida por
f(x, y) =

sin(y − x) se y < |x|
0 se y = |x|
x−y√
x2+y2
se y > |x|
.
(a) Determine Dc, domínio de continuidade de f .
(b) Determine Dc, int(Dc) e fr(Dc).
(c) Estude f quanto à diferenciabilidade.
*37. Considere a função f : IR2 −→ IR definida por
f(x, y) =
{
xy se xy ≥ 0
x2√
x2+y2
se xy < 0 .
(a) Determine o domínio de continuidade de f .
(b) Estude f quanto à diferenciabilidade.
*38. Seja f : IRn −→ IRm tal que
∃M > 0 : ‖f (P )‖ ≤M ‖P‖2 , ∀P ∈ IRn.
Prove que f é diferenciável em P0 = 0 e que Df (P0) = 0.
*39. Sejam A : IRm −→ IRn uma transformação linear e f : IRm × IRn −→ IR tal que
f (x, y) = (Ax | y) ,
em que (· | ·) representa um produto euclidiano qualquer.
Mostre que f é diferenciável e que
Df (x, y) (v, w) = (Av | y) + (Ax | w) , ∀ (x, y) , (v,w) ∈ IRm × IRn.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 21
*40. Seja f : IR2 −→ IR tal que:
f(x, y) =

|x| y se y ≥ 0
ex(y+1)−y−1√
x2+y2
se y < 0
.
(a) Estude f quanto à continuidade em (0, 1) e em (0, 0).
(b) Determine os vectores v para os quais existe ∂f
∂v
(0, 1).
(c) Estude f quanto à diferenciabilidade em (0, 1) e em (0, 0).
(d) Indique, justificando, o valor lógico da seguinte proposição:
”O conjunto C =
{
(x, y) ∈ IR2 : f é diferenciável em (x, y)} é fechado”.
*41. Sejam f e g funções definidas em IR2 tais que:
g (x, y) = ex
2y
f(x, y) =
{
xy sin(xy)
x2+y2
se (x, y) 	= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(a) Estude f quanto à continuidade.
(b) Estude f quanto à diferenciabilidade.
(c) Sendo H (x, y) = (f(x, y), g(x, y)), estude H quanto à diferenciabilidade e calcule,
caso possível, DH (x, y).
*42. Considere as funções f : D ⊂ IR2 −→ IR e g : IR2 −→ IR definidas, respectivamente, por
f (x, y) =
y − 2√− ln (1− x2)
(y − |x|) e
√
y2−x
e g (x, y) =
{
f (x, y) se (x, y) ∈ D
2 se (x, y) /∈ D .
(a) Determine analiticamente e represente geometricamente o conjunto D, domínio da
função f . Determine int (D), D e fr (D).
(b) Estude a continuidade e a diferenciabilidade de g no ponto (0, 0).
(c) Usando a alínea anterior diga, justificando, qual o valor lógico da seguinte afirmação:
”Existe uma vizinhança de (0, 0) na qual ∂g
∂x
e ∂g
∂y
são funções contínuas”.
*43. Seja ϕ : D ⊂ IRn −→ IR uma função diferenciável, em que D representa um aberto.
(a) Prove que existe a derivada direccional, ∂ϕ
∂v
(P0) , ∀v ∈ IRn, P0 ∈ D.
(b) Suponha que ∂ϕ
∂vi
(P0), i = 1, 2, . . . , n, representam derivadas direccionais segundo n
vectores linearmente independentes, v1, v2,. . .,vn. Diga se é possível definir a aplicação
Dϕ (P0) em função destas derivadas direccionais.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 22
(c) Sendo ϕ (x, y) = x
2−y2
x2+y2
, determine em que direcção a derivada direccional de ϕ no
ponto (1, 1) é igual a zero.
*44. Considere a função f : IR2 → IR, definida por
f (x, y) =
{
y2 cos(x+π2 )
y2+(y−x)2 se xy 	= 0
4 sin
(
π
4
y
)
se xy = 0
.
(a) Estude a continuidade de f no conjunto A = {(x, y) : x = 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.
(b) Determine, se possível, ∂f
∂v
(0, 0), para v 	= 0.
(c) Estude a diferenciabilidade de f no conjunto A.
*45. Seja f a função real definida por
f (x, y) =
ln (|x|+ 1− y)
√
2− x2 − (y − 1)2√
y + x2 − 1
(a) Determine o domínio D de f e represente-o geometricamente.
(b) Considere a função real g definida em IR2 por
g (x, y) =
{
f (x, y) se (x, y) ∈ D
|x+ 1| y se (x, y) /∈ D .
i. Estude a continuidade de g nos pontos (0, 0) e (1, 0).
ii. Verifique que ∂g
∂v
(0, 0) = (∇g (0, 0) | v), ∀v ∈ IR2 \ {(0, 0)}
iii. Estude a diferenciabilidade de g nos pontos (0, 0) e (1, 0).
*46. Considere a função h definida por
h (x, y) =
{
(y−1)2√
x2+(y−1)2
se y < x+ 1
sin2 (y − 1− x) se y ≥ x+ 1
e o conjunto C = {(a, b) : b = a+ 1} .
(a) Estude a continuidade de h no conjunto C.
(b) Determine, caso existam, as derivadas parciais de h no ponto (0, 1).
(c) Analise a diferenciabilidade de h no conjunto C.
*47. Considere a função f , definida em R2 por
f (x, y) =
{
x2 sin y
x2+2y2
se (x, y) 	= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
Usando a definição, estude a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0).
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 23
*48. Seja f a função real definida por
f (x, y) =

(b−1) sin(x2+y2−1)
x2+y2−1 se x
2 + y2 < 1
3 se x2 + y2 = 1
a+ e
− 1|x2+y2−1| se x2 + y2 > 1
Determine os números reais a e b de forma que f seja contínua no conjunto
C =
{
(x0, y0) : x
2
0 + y
2
0 = 1
}
.
2.3.5 Derivada da Função Composta
⋆ Resultados Teóricos
Derivada da Função Composta
Sejam f : A ⊆ IRn −→ IRm e g : B ⊆ IRm −→ IRk com A e B abertos e f (A) ⊆ B. Se f é
diferenciável em P0 e g é diferenciável em f (P0) então g ◦ f é diferenciável em P0 e
D (g ◦ f) (P0) = Dg (f (P0))×Df (P0) .
49. Sejam f : IR2 → IR diferenciável e F : IR2 → IR definida por F (x, y) = f(sinx, cos y).
Sabendo que
∂f
∂x
(0, 1) =
∂f
∂y
(0, 1) = 1, calcule DF (0, 0).
50. Seja f uma função real de variável vectorial, diferenciável.
Sendo h (x, y) = f (x2 + y2, x+ y), calcule ∂h
∂y
(x, y) em função das derivadas parciais de f .
51. Seja f uma função real de variável real positiva e diferenciável, e h(x, y) =
y
f(x2 − y2)
Mostre que
y2
∂h
∂x
(x, y) + xy
∂h
∂y
(x, y) = xh(x, y).
52. Sendo f uma função real de duas variáveis reais diferenciável, prove que a função
F (x, y, z) = x3f
(y
x
,
z
x
)
, verifica no seu domínio a condição
x
∂F
∂x
(x, y, z) + y
∂F
∂y
(x, y, z) + z
∂F
∂z
(x, y, z) = 3F (x, y, z).
53. Seja h : IR3 → IR diferenciável em (0, e, 0), onde a matriz de Dh(0, e, 0) relativamente às
bases canónicas de IR3 e de IR é
[
e −1 e ] .
Mostre que a aplicação H definida, para (x, y) ∈ IR2, por
H(x, y) = h
(
sen(xy2), ey, log(1 + x2)
)
,
é diferenciável em (0, 1) e que
∂H
∂x
(0, 1) +
∂H
∂y
(0, 1) = 0.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 24
54. Sejam H : IR3 → IR3 diferenciável em (0, 0, 0) com
DH(0, 0, 0)(h1, h2, h3) = (h1 + h2, h2 − h3, h1 + 2h3),
e S : D ⊂ IR3 → IR3 definida por S(x, y, z) = (x+ y, cosx− z2, log(x+ y − z)).
Calcule:
(a) A matriz de DH(0, 0, 0) relativamente às bases canónicas de IR3.
(b) A matrizde D(H ◦ S)(0, 0,−1) relativamente às bases canónicas de IR3.
(c) D(H ◦ S)(0, 0,−1)(0, 0, 2).
55. Sejam g : IR2 → IR2 definida por g(x, y) = (exy, x2y) e f : IR4 → IR2 definida por
f(r, s, t, u) = (r2 + t2, 2su). Utilize o teorema da derivada da função composta para con-
cluir que g ◦ f é diferenciável em IR4 e calcular D(g ◦ f)(1, 1, 1, 1).
56. Duas estradas intersectam-se em ângulo recto. O automóvel A, movendo-se numa das
estradas, aproxima-se da intersecção a 100 km/h e o automóvel B, movendo-se na outra
estrada, aproxima-se da intersecção a 120 km/h. Com que taxa varia a distância entre os
carros, quando A está a 3 km da intersecção e B está a 8 km da intersecção?
57. Suponha que a parte de uma árvore que é utilizável como madeira é um cilindro circular
recto. Se a altura utilizável da árvore cresce a uma taxa de 6dm por ano e o diâmetro
utilizável cresce a uma taxa de 8dm por ano, com que velocidade cresce o volume da
madeira utilizável quando a altura utilizável da árvore for 60dm e o diâmetro utilizável for
de 80dm?
* Questões de Exames
*58. (a) Considere as funções G : IRm −→ IRn e H : IRn −→ IR.
Seja x0 ∈ IRm. Estabeleça condições que lhe permitam garantir a diferenciabilidade
de H ◦G em x0 e escreva uma expressão para D(H ◦G)(x0).
(b) Seja H : IR2 −→ IR diferenciável. Sabendo que H(x+y+xy2, log(x+1)) = 3x calcule
DH(0, 0).
*59. Seja f : IR −→ IR uma função de classe C1 tal que
f(1) = f ′(1) = 2 e f(2) = f ′(2) = 1.
Considere as funções h : IR2 −→ IR e g : IR3 −→ IR2 definidas por
h(x, y) = e8−x
2+y3, g(x, y, z) =
[
f(x2) + f(x2 + y2)
f 2(yz)
]
.
Prove que h ◦ g é diferenciável e determine as matrizes jacobianas Dg(x, y, z) e
D (h ◦ g) (1, 1, 2).
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*60. Seja ϕ : IR −→ IR uma função de classe C1 tal que ϕ (1) = ϕ′ (1) = 2. Considere ainda as
funções
f : IR2 −→ IR e g : IR3 −→ IR
definidas, respectivamente, por
f (u, v) = eu
2−v e g (x, y, z) = f
(
ϕ
(
x2 + y2
)
, ϕ2 (xz)
)
.
Determine ∂g
∂x
(1, 0, 1).
*61. Sejam ϕ : IR3 −→ IR2 e ψ : IR2 −→ IR3 tais que:
- ϕ é diferenciável em IR3;
- ψ (x, y) =
(
exy
2
, ex
2y, y
)
;
- ϕ (1, 1, 0) = (1, 0) ;
- Dϕ (1, 1, 0) (h1, h2, h3) = (h2 + h3, h1 + h2) .
Justifique que ϕ ◦ ψ é diferenciável e determine a aplicação D (ϕ ◦ ψ) (1, 0).
*62. A temperatura, em graus Celsius, num ponto (x, y), T (x, y) , é tal que
Tx (2, 3) = 4 e Ty (2, 3) = 3,
representando T uma função diferenciável. Um insecto desloca-se de modo que a sua
posição, depois de t segundos, é dada por
x =
√
1 + t e y = 2 +
1
3
t.
Determine a taxa de variação da temperatura no caminho do insecto, depois de
3 segundos.
*63. Sejam f uma função real de classe C1 em IR2 e G a função definida por
G (u, v) = f
(
u2 + v2,
u
v
)
.
Mostre que para w = (u, v), com v 	= 0, a derivada direccional ∂G
∂w
(u, v) existe e é dada por
∂G
∂w
(u, v) = 2
(
u2 + v2
) ∂f
∂x
(
u2 + v2,
u
v
)
.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 26
2.3.6 Plano Tangente e Recta Normal a uma Superfície
⋆ Resultados Teóricos
A. Sejam f : D ⊆ IR3 −→ IR, D aberto e (x0, y0, z0) ∈ D.
Suponhamos ainda que ∇f (x0, y0, z0) 	= 0 e que S é a superfície de IR3 definida por
S = {(x, y, z) ∈ D : f (x, y, z) = k, k constante} .
A equação cartesiana do plano tangente a S, em (x0, y0, z0), é dada por
(∇f (x0, y0, z0) | (x− x0, y − y0, z − z0)) = 0.
B. Como caso particular, consideremos que a superfície S é definida pela equação z = g (x, y).
Então a equação (1) toma a seguinte forma:
((gx (x0, y0) , gy (x0, y0) ,−1) | (x− x0, y − y0, z − z0)) = 0. (2)
A equação (2) pode ser reescrita da seguinte maneira:
z = g (x0, y0) + gx (x0, y0) (x− x0) + gy (x0, y0) (y − y0).
A aproximação
g (x, y) ≈ g (x0, y0) + gx (x0, y0) (x− x0) + gy (x0, y0) (y − y0),
é chamada aproximação linear de g em (x0, y0) (ou aproximação pelo plano tangente).
C. O vector gradiente, ∇f (x0, y0, z0), é perpendicular à superfície S, em (x0, y0, z0). Assim,
a equação vectorial da recta normal a S, em (x0, y0, z0), é dada por
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ∇f (x0, y0, z0) , λ ∈ IR.
64. Determine o plano tangente às seguintes superfícies nos pontos indicados:
(a) z = x2 + y2 no ponto P0 = (1,−2, 5)
(b) (x− 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 3 no ponto P0 = (0, 1,−1)
(c) x
2
16
+ y
2
9
= z
2
8
no ponto P0 = (4, 3, 4)
(d) x2 + y2 = 25 no ponto P0 = (3, 4, 2)
65. Determine os pontos do parabolóide z = 4x2 + 9y2 onde a normal à superfície é paralela à
recta que passa por P (−2, 4, 3) e Q (5,−1, 2).
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66. Considere a superfície S definida por
x2 + y2 − z2 − 2x = 0.
Determine os pontos de S nos quais o plano tangente a S é paralelo aos planos coordenados.
67. Seja G (u, v, w) uma função de classe C2 em IR3, tal que
G (0, 1, 1) = 0,
∂G
∂u
(0, 1, 1) = −2, ∂G
∂v
(0, 1, 1) = 2,
∂G
∂w
(0, 1, 1) = −1.
Considere a superfície S definida por F (x, y, z) = 0 com F (x, y, z) = G (xy, x+ y, z2).
Determine uma equação do plano tangente a S no ponto (1, 0,−1).
68. De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão
relacionados por
P = 8, 31
T
V
.
Suponha que V é medido em decímetros cúbicos (dm3), T é medido em kelvins (K) e P
é medido em atmosferas (atm). Determine a variação aproximada da pressão se o volume
aumenta de 12 dm3 para 12, 3 dm3 e a temperatura diminui de 310K para 305K.
69. Suponha que T (x, y) é a temperatura, em Fahrenheit, num ponto (x, y) sobre uma placa
de metal. Sabendo que T (1, 3) = 93◦F , Tx (1, 3) = 2◦F/cm e Ty (1, 3) = −1◦F/cm, use
uma aproximação linear local para estimar a temperatura no ponto (0.98, 3.02).
* Questões de Exames
*70. Sejam f, g : IR2 −→ IR , diferenciáveis, tais que
g(x, y) = f(3ex − ey, xy + 2)
e
Df(2, 2)(h1, h2) = h1 − h2,
para todo (h1, h2) ∈ IR2.
(a) Determine uma expressão para Dg(x, y) em função das derivadas parciais de f .
(b) Seja S a superfície definida pela equação z = g(x, y) e suponha que (0, 0,−1) ∈ S.
i. Determine o plano tangente a S no ponto (0, 0,−1).
ii. Uma partícula é ejectada a partir de (0, 0,−1), na direcção normal. Determine
em que ponto encontra a superfície definida por x2 + y2 + z2 = 100.
(c) Sejam f e F funções diferenciáveis em que f : IR2 −→ IR e F : IR −→ IR.
Defina-se G(x, y) = F (f(x, y)).
Prove que o gradiente de G é paralelo ao gradiente de f .
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 28
*71. Seja G : IR2 −→ IR diferenciável numa vizinhança do ponto (4, 8). Sabendo que
G(4, 8) = 1 e DG(4, 8)(5h2 − 2h1 − 3, 12h2 − 8h1 − 4) = h2 − h1,
determine a equação do plano tangente à superfície
z = x y G(1− x2 + 3y + y2, (1 + y)
3
x
)
no ponto (1, 1, 1).
*72 Considere f, g,H : IR2 −→ IR, tais que
f (1, 1) = 2 e g (x, y) = H
(
f (x, y) , x2
)
.
~Sabendo ainda que
∇g (1, 1) = (3, 4) e DH (2, 1) (h1, h2) = −2h2 − h1,
(a) Estabeleça condições que garantam a diferenciabilidade de g em (1, 1).
(b) Determine uma equação do plano tangente a Gf no ponto (1, 1, 2).
*73. Considere a função F : IR2 −→ IR, de classe C1 e tal que
F (2, 1) = 2 e DF (2, 1) = [1 1] .
(a) Determine a taxa de variação da função F , no ponto (2, 1) e na direcção do vector
(2, 3) .
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície
S =
{
(x, y, z) : (z − y)F (z2 + 2y, zx+ y) = −2}
no ponto (0, 1, 0).
*74. (a) Considere as superfícies de equações
f (x, y, z) = 0 e g (x, y, z) = 0,
em que f e g representam funções diferenciáveis. Indique, justificando, uma condição
necessária e suficiente para que as duas superfícies sejam perpendiculares num ponto
P pertencente à sua intersecção.
(b) Determine os pontos do elipsóide x2+ 2y2 + z2 = 1 nos quais o plano tangente é
paralelo ao plano x− y + z = 1.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 29
*75. Seja φ : IR3 → IR uma função definida por
φ (x, y, z) = g (x, sin x) f2 (yz)
em que g e f são funções de classe C1 e tais que:
f (2) = 1, f ′ (2) = 2, g (π, 0) = 2 e
∂g
∂v
(π, 0) = 3v1 + 2v2, v ∈ IR2.
Determine uma equação do plano tangente à superfície
S =
{
(x, y, z) ∈ IR3 : φ (x, y, z) = 2}
no ponto (π, 1, 2).
*76. Considere a função g definida por
g (x, y) = 1− x2 − y2
e seja π o plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, b, 1− a2 − b2).
(a) Identifique as curvas de nível e faça um esboço do gráfico de g.
(b) Determine uma equação do plano π.
*77. Considere a função g : R2
(u,v)
→
−→
R
g(u,v)
, de classe C1, tal que g (1, 0) = 2 e ∂g
∂v
(1, 0) = 4.
Sendo S a superfície definida pela equação
xy2 + g
(
ex+z, xy
)
= 2,
determine ∂g
∂u
(1, 0) de modo que o plano tangente a S no ponto (1, 0,−1) seja paralelo ao
plano de equação x+ 2y + z + 4 = 0.
2.3.7 Direcções de Maior e de Menor Variação de uma Função
⋆ Resultados Teóricos
Sejam f : D ⊂ IR2 −→ IR, D aberto e (x0, y0) ∈ D.
Seja ainda S a superfície de IR3 definida pela equação z = f (x, y).
A partir do ponto (x0, y0), a superfície S tem o sua inclinação máxima na direcção do vector
gradiente ∇f (x0, y0):
- O valor máximo de ∂f
∂v
(x0, y0) é ‖∇f (x0, y0)‖, quando v = ∇f(x0,y0)‖∇f(x0,y0)‖ .
- O valor mínimo de ∂f
∂v
(x0, y0) é −‖∇f (x0, y0)‖, quando v = − ∇f(x0,y0)‖∇f(x0,y0)‖ .
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 30
Assim, a função f cresce mais rapidamente na direcção e sentido do vector gradiente, e
decresce mais rapidamente na direcção e sentido contrários aos do vector gradiente.
A função f não varia na direcção perpendicular à do vector gradiente.
78. Seja f : IR2 −→ IR definida por
f (x, y) = x2 + y2 cosx.
Indique todos os vectores v̂ onde a derivada direccional atinge os seguintes valores:
(a) valor máximo de ∂f
∂v̂
(0, π) ;
(b) valor mínimo de ∂f
∂v̂
(0, π) ;
(c) ∂f
∂v̂
(0, π) = 0.
(d) Resolva as alíneas anteriores para o ponto P (π, 2π) .
79. A temperatura num ponto (x, y) de uma placa de metal é dada, em graus Celsius, por
T (x, y) =
xy
1 + x2 + y2
.
(a) Determine a direcção e sentido nos quais uma formiga, saindo do ponto (1, 1), se deve
deslocar, para que a temperatura baixe mais rapidamente.
(b) Considerando o seguinte "mapa topográfico" da função T , verifique geometricamente
o resultado que obteve na alínea anterior.
80. Num mapa topográfico de uma região montanhosa, faça coincidir a Rosa dos Ventos com
o referencial ortonormado usual xOy, por forma a que o semi-eixo positivo Oy tenha a
"direcção Norte". A altitude, em cada ponto (x, y) representado no mapa é dada, em
metros, pela função
h (x, y) = 3000− 2x2 − y2.
Suponha que o alpinista se encontra no ponto (30,−20, 800).
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 31
(a) Se o alpinista se mover na direcção sudoeste, estará a subir ou a descer?
(b) Em que direcção e sentido deverá o alpinista mover-se por forma a
i. ascender mais rapidamente;
ii. percorrer um caminho plano.
(c) Considerando o seguinte "mapa topográfico" da função h, verifique geometricamente
os resultados que obteve na alínea anterior.
81. Suponha que numa certa região do espaço o potencial eléctrico V seja dado por
V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
(a) Determine a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direcção do vector
v = i+ j − k.
(b) Em que direcção a função V varia mais rapidamente no ponto P?
(c) Qual a taxa máxima de variação em P?
2.3.8 Derivadas Parciais de Ordem Superior à Primeira
⋆ Resultados Teóricos
A. Seja f : D ⊆ IR2 −→ IR, com D aberto.Suponhamos que ∂f
∂x
e ∂f
∂y
existem.
As derivadas parciais de 2aordem da função f , ∂
2f
∂x2
, ∂
2f
∂y2
, ∂
2f
∂x∂y
e ∂
2f
∂y∂x
, são as derivadas
parciais das derivadas parciais de 1aordem. Assim,
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
,
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
,
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
,
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
.
As derivadas parciais ∂
2f
∂x2
, ∂
2f
∂y2
, ∂
2f
∂x∂y
e ∂
2f
∂y∂x
notam-se também por fx2 , fy2 , fyx e fxy,
respectivamente.
De modo análogo se definem as derivadas parciais de ordem superior à segunda.
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B. A função f diz-se uma função de classe Ck num conjunto A ou, simplesmente, f ∈ Ck (A),
se f admitir derivadas parciais até à ordem k, contínuas em A.
C. Teorema de Schwarz
Seja f : D ⊆ IR2 −→ IR uma função de classe C2em que D representa um conjunto aberto
e (x0, y0) ∈ D. Então
∂2f
∂x∂y
(x0, y0) =
∂2f
∂y∂x
(x0, y0) .
82. Calcule as derivadas de 2aordem das seguintes funções:
(a) f (x, y) = ln (x+ y) + ln (x− y)
(b) f (x, y, z) = x2eyz + y ln (z)
83. Sejam u e v funções de classe C2 em IR2 tais que
∂u
∂x
(x, y) =
∂v
∂y
(x, y) e
∂u
∂y
(x, y) = −∂v
∂x
(x, y).
Prove que
∂2u
∂x2
(x, y) +
∂2u
∂y2
(x, y) =
∂2v
∂x2
(x, y) +
∂2v
∂y2
(x, y) = 0.
84. Seja
f(x, y) =
{
xy3
x2+y2
se (x, y) 	= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
Mostre que ∂
2f
∂x∂y
(0, 0) = 0 e ∂
2f
∂y∂x
(0, 0) = 1.
85. Seja f de classe C2 num aberto de IR2 e g(t) = f(3t, 2t+1). Expresse g′′ (t) em função das
derivadas parciais de f .
86. Considere a função g(t) = t∂f
∂y
(2t, t3), em que f é uma função de classe C2 num aberto de
IR2. Verifique que
g′ (t) =
∂f
∂y
(
2t, t3
)
+ t
[
2
∂2f
∂x∂y
(
2t, t3
)
+ 3t2
∂2f
∂y2
(
2t, t3
)]
.
87. No estudo de infiltração do congelamento determinou-se que a temperatura T no instante t
(medido em dias), a uma profundidade x (medida em pés), pode ser modelada pela função
T (x, t) = T0 + T1e
−λx sin (ωt− λx) ,
onde ω = 2π
365
e λ é uma constante positiva.
(a) Determine ∂T
∂x
. Qual o seu significado físico?
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(b) Determine ∂T
∂t
. Qual o seu significado físico?
(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor, Tt = kTx2 , para uma certa constante k.
* Questões de Exames
*88. Seja F : IR2 → IR tal que F ∈ C1 (IR2) e
∂F
∂x
(x, y)× ∂F
∂y
(x, y) 	= 0, ∀(x, y) ∈ IR2.
Seja u : IR2 → IR outra função tal que u ∈ C2 (IR2) e
F
(
∂u
∂x
(x, y) ,
∂u
∂y
(x, y)
)
= k, ∀(x, y) ∈ IR2 (k ∈ IR) .
Mostre que (
∂2u
∂x∂y
(x, y)
)2
=
∂2u
∂x2
(x, y)
∂2u
∂y2
(x, y) , ∀(x, y) ∈ IR2.
*89. Seja g : IR→ IR uma função de classe C1 e tal que g (1) = 1. Diga, justificando, se existirá
uma função f : IR2 → IR, diferenciável, que verifique
Df (x, y) =
[
(x2 − y2) g (ex−y)
g (x2y − x2)
]T
, ∀ (x, y) ∈ IR2.
*90. Seja ψ : IR2 → IR uma função de classe C1 tal que(x
a
)n
+
(y
a
)n
+
(
ψ (x, y)
a
)n
= 1.
Mostre que ∂
2ψ
∂x∂y
(x, y) = − (n− 1) (xy)n−1
ψ2n−1(x,y)
.
*91. Seja g (u, v)= f (u− 2v, v + 2u), em que f é uma função de classe C2 num aberto D ⊂ R2.
(a) Diga, justificando, se ∂g
∂u
e ∂g
∂v
são funções diferenciáveis.
(b) Expresse ∂
2g
∂u2
(u, v) em função das derivadas parciais de f .
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2.3.9 Extremos
⋆ Resultados Teóricos
EXTREMOS LOCAIS
A. Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR , D aberto e (x0, y0) ∈ D.
� f atinge um máximo local (ou relativo) em (x0, y0) se
∃U ∈ V(x0,y0) : ∀ (x, y) ∈ U , f (x, y) � f (x0, y0) .
Neste caso, (x0, y0) diz-se um maximizante local e f (x0, y0) um máximo local.
� f atinge um mínimo local (ou relativo) em (x0, y0) se
∃U ∈ V(x0,y0) : ∀ (x, y) ∈ U , f (x,y) � f (x0, y0) .
Neste caso, (x0, y0) diz-se um minimizante local e f (x0, y0) um mínimo local.
� f atinge um extremo local (ou relativo) em (x0, y0) se f atinge um máximo local
ou um mínimo local em (x0, y0), o qual se designa por extremante local.
� f atinge um máximo global (ou absoluto) em (x0, y0) se
∀(x, y) ∈ D, f (x, y) � f (x0, y0) .
Neste caso, (x0, y0) diz-se omaximizante global (ou absoluto) e f (x0, y0) omáximo
global.
� f atinge um mínimo global em (x0, y0) se
∀(x, y) ∈ D, f (x, y) � f (x0, y0) .
Neste caso, (x0, y0) diz-se o minimizante global e f (x0, y0) o mínimo global.
� f atinge um extremo global em (x0, y0) se f atinge ummáximo global ou ummínimo
global em (x0, y0).
� Se f é diferenciável em (x0, y0), diz-se que (x0, y0) é um ponto crítico ou ponto
estacionário de f se
Df (x0, y0) = 0,
isto é, 
∂f
∂x
(x0, y0) = 0
∂f
∂y
(x0, y0) = 0
condições de 1aordem.
� Sendo f é diferenciável em (x0, y0), diz-se que (x0, y0) é um ponto sela de f se é um
ponto crítico mas não é um extremante local.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 35
B. Teste da Primeira Derivada (Condição Necessária de Existência de Extremo Local)
Seja f : D ⊆ IR2 −→ IR ,
uma função diferenciável em (x0, y0), com D aberto e (x0, y0) ∈ D. Se f tem um ex-
tremo local em (x0, y0) então Df (x0, y0) = 0.
C. Teste da Segunda Derivada (Condições Suficientes de Existência de Extremos Locais ou
Ponto Sela)
Sejam f : D ⊆ IR2 −→ IR ,
com D aberto, uma função de classe C3, (x0, y0) ∈ D um ponto crítico de f e
H =
∂2f
∂x2
(x0, y0)
∂2f
∂y2
(x0, y0)−
(
∂2f
∂x∂y
(x0, y0)
)2
.
Então:
(a) Se ∂
2f
∂x2
(x0, y0) > 0 e H > 0, f atinge um mínimo local em (x0, y0).
(b) Se ∂
2f
∂x2
(x0, y0) < 0 e H > 0, f atinge um máximo local em (x0, y0).
(c) Se H < 0, f tem um ponto sela em (x0, y0).
Se H = 0, o "Teste da Segunda Derivada" é inconclusivo, devendo então ser estudado o
comportamento da função nas vizinhanças do ponto (x0, y0).
Obs. Este estudo pode ser estendido a IRn :
Seja P0 = (x01, . . . , x
0
n) um ponto crítico de f e
H = |aij|i,j=1,...,n ,
com aij =
∂2f
∂xi∂xj
(P0), i, j = 1, . . . , n.
Sendo Ak = [aij]i,j=1,...,k , k = 1, . . . , n, então:
(a) Se |Ak| > 0, ∀k, f atinge um mínimo local em P0.
(b) Se
{ |Ak| > 0 se k par
|Ak| < 0 se k ímpar , f atinge um máximo local em P0.
(c) Se |A2k| < 0, f tem um ponto sela em P0.
Em qualquer outro caso (por exemplo, se H = 0), o "Teste da Segunda Derivada" é
inconclusivo, devendo então ser estudado o comportamento da função nas vizinhanças do
ponto P0.
D. Fórmula de Taylor com Resto de 2aOrdem
Sejam
f : D ⊆ IR2 −→ IR
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 36
com D aberto, uma função de classe C3 e (x0, y0) ∈ D. Então
f (x, y, z) = f (x0, y0, z0) +Df (x0, y0, z0) ((x, y, z)− (x0, y0, z0))+
+Hf (x0, y0, z0) ((x, y, z)− (x0, y0, z0)) +R2
em que
Df (x0, y0, z0) ((x, y, z)− (x0, y0, z0)) =
[
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
]
(x0,y0,z0)
 x− x0y − y0
z − z0
 .
e
Hf (x0, y0, z0) ((x, y, z)− (x0, y0, z0)) =
=
1
2
[
x− x0 y − y0 z − z0
] 
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂z
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y2
∂2f
∂y∂z
∂2f
∂z∂x
∂2f
∂z∂y
∂2f
∂z2

(x0,y0,z0)
 x− x0y − y0
z − z0
 .
EXTREMOS LIGADOS
D. Considere-se um problema do tipo {
opt f(x, y)
g(x, y) = k
,
em que se pretende optimizar (maximizar ou minimizar) a função f , sujeita à condição
g(x, y) = k. Esta condição denomina-se restrição ou condição de ligação do problema e a
função f designa-se por função objectivo. Considerando
S = {(x, y) : g(x, y) = k} ,
o que se pretende é optimizar f|S. O problema de optimização com restrições também se
designa por problema de extremos ligados ou condicionados.
Método dos Multiplicadores de Lagrange (Condição Necessária de Existência de Extremos
Ligados)
Sejam
f, g : D ⊆ IR2 −→ IR ,
funções de classe C1, D aberto, (x0, y0) ∈ D com g(x0, y0) = k e ∇g(x0, y0) 	= 0, e
S = {(x, y) ∈ D : g(x, y) = k} .
Suponhamos ainda que f|S tem um máximo ou um mínimo local em (x0, y0). Então
∃λ ∈ IR : ∇f (x0, y0) = λ∇g (x0, y0) .
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 37
E. Consideremos agora problemas do tipo
opt f(x1, . . . , xn)
g1(x1, . . . , xn) = k1
g2(x1, . . . , xn) = k2
...
gm(x1, . . . , xn) = km
,
em que se pretende optimizar a função objectivo no conjunto S definido por
S = {(x1, . . . , xn) : gi(x1, . . . , xn) = ki, i = 1, 2, . . . ,m} ,
designando-se as condições gi(x1, . . . , xn) = ki, i = 1, . . . ,m, por restrições.
Problemas deste tipo poderão ser resolvidos através da seguinte
Generalização do Método dos Multiplicadores de Lagrange
Sejam
f, gi : D ⊆ IRn −→ IR ,
com i = 1, 2, . . . ,m, funções de classe C1, D aberto, P0 ∈ D com gi(P0) = ki e∇gi(P0) 	= 0,
e
S = {P ∈ D : gi(P ) = ki, i = 1, 2, . . . ,m} .
Suponhamos ainda que f|S tem um máximo ou um mínimo local em P0. Então
∃λi ∈ IR,i = 1, . . . ,m : ∇f(P0) =
m∑
i=1
λi∇gi(P0).
F. Teorema de Weierstrass
Sejam D ⊆ IR2 compacto e f : D −→ IR contínua. Então f é limitada e admite, pelo menos,
um máximo e um mínimo, ou seja,
∃ (x1, y1) , (x2, y2) ∈ D : f (x1, y1) ≤ f (x, y) ≤ f (x2, y2) , ∀ (x, y) ∈ D.
92. Determine os pontos estacionários e depois, mediante o estudo do comportamento da
função nas vizinhanças desses pontos, os máximos, os mínimos locais ou os pontos sela
de cada uma das seguintes funções:
(a)f(x, y) = x4 + y6 (b)f(x, y) = 3xy + 4 (c)f(x, y) = x2 − y2
(d)f(x, y) =
(
4− x2 − y2)4 (e)f(x, y) = x+ y (f)f(x, y) = 1− y2
93. Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções
(a)f(x, y) = xyex−y (b) f(x, y) = (x− 2 + y2)(x− y2)
(c) f(x, y) = x2 − 2xy2 + y4 − y5 (d) f(x, y) = (x− y)2 − x4 − y4
(e)f(x, y) = e2x(x+ y2 + 2y) (f) f(x, y, z) = 2x2 + y2 + 4z2
(g) f(x, y, z) = x3 − y3 + z3 (h) f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy
(i) f(x, y, z) = xy + yz + xz + 1
4
(x2 + y2 + z2) (j) f(x, y, z) = xyz (8− x− y − z)
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 38
94. Em cada um dos casos, relacione os resultados que concluiu no exercício anterior, com os
"mapas topográficos" das respectivas funções:
(a) f (x, y) = (x− 2 + y2) (x− y2)
(b)
(c) f(x, y) = (x− y)2 − x4 − y4
95. Considere a função f : IR2 → IR definida por f(x, y) = x2 + (y − 2)2.
(a) Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais e os pontos sela de f em todo
o seu domínio.
(b) Seja D = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 = 1}. Utilizando o método dos multiplicadores de
Lagrange determine os extremos absolutos de f|D .
(c) Considerando o seguinte "mapa topográfico" da função f e o gráfico do conjunto D,
verifique geometricamente os resultados que obteve na alínea anterior.
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 39
96. Determine, caso existam, os extremos locais da função f definida por
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2,
(a) no conjunto A = {(x, y, z) ∈ IR3 : x− y + z = 1}.
(b) no conjunto B = {(x, y, z) ∈ IR3 : x− y + z ≥ 1}.
(c) no conjunto C = {(x, y, z) ∈ IR3 : x− y + z ≤ 1}.
97. Considere a função f : IR2 → IR definida por f(x, y) = x4 − 2x2y2 + y4 + 1.
(a) Mostre que f possui um mínimo absoluto.
(b) Calcule, caso existam, os extremos absolutos da função f |S, onde
S = {(x, y) ∈ IR2 : x4 + y4 ≤ 1}.
98. Considere a função real de duas variáveis reais definida por f(x, y) = x2 + x2y + y2 e o
conjunto compacto em IR2
D =
{
(x, y) ∈ IR2 : −2 ≤ y ≤ −x
2
2
}
.
(a) Determine os extremos locais de f no interior de D e classifique-os;
(b) Determine os extremos globais de f|D .
99. Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine a distância do ponto
(3, 1,−2) à recta de equação {
x+ y −2z = −1
3x− y + 4z = 10 .
100. Numa certa região dois rios passam perto um do outro. Supondo, para simplificar, que a
região é plana, verificou-se que, fixado um referencial cartesiano ortonormado, as trajec-
tórias dos rios podem ser aproximadamente descritas pelas equações x2 − 2x + y = 2 e
2x− y+ 8 = 0. Pretende-se construir um canal, rectilíneo e o mais curto possível, ligando
os dois rios. Entre que pontos dos dois rios deve ser construído e com que comprimento
ficará?
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 40
101. Determine as dimensões do cilindro (circular recto) cuja área de superfície, 2πb2 + 2πab, é
igual a 1 e cujo volume é máximo.
102. Uma companhia farmacêutica pretende produzir um novo medicamento para a gripe, de
modo a que ele minimize a duração dos sintomas da doença.
Se o medicamento for composto por x unidades do produto químico A e por y unidades
do produto químico B, e se a duração dos sintomas, para a média dos pacientes, for dada,
em dias, por
d (x, y) = x2 − 20x+ 2y2 − 26y + 2xy + 113,
que valores devem assumir x e y para minimizar a duração dos sintomas? Quanto tempo
duram os sintomas para a média dos pacientes que tomem este medicamento?
103. De um estudo biológico acerca da dieta alimentar de um certa espécie animal concluiu-se
que devem ser consumidas, diariamente, h calorias, obtidas pela ingestão de x unidades de
alimento A, ao preço de 2 euros por unidade, e de y unidades de alimento B, ao preço de
5 euros por unidade. Sabe-se ainda que
h (x, y) = 2x2 + 8xy + 17y2.
Se h = 612, determine os valores de x e y que minimizam o custo total da dieta.
104. Um gerador eléctrico usa dois tipos de combustível. O número de toneladas de poluentes
emitidos pelo aparelho é dado por
p (x, y) = 0, 06x+ 0, 03y + 0, 0001x2y,
em que x e y representam o número de toneladas de cada um dos combustíveis con-
sumidos. Que quantidade de cada combustível deve ser usado de forma a minimizar a
poluição emitida, se são utilizados 106 toneladas de combustível para gerar a quantidade
de electricidade requerida?
105. Uma família dispõe de 2400 euros para as suas férias. Não têm limite de tempo e gastarão
200 euros por semana se forem acampar e 400 euros por semana se optarem por um hotel.
Se x for o número de semanas de campismo e y for o número de semanas de permanência
num hotel, e se o seu índice de satisfação for medido por
s (x, y) =
√
x+
√
y
determine x e y de modo a que s (x, y) seja maximizado.
* Questões de Exames
*106. Seja f : D −→ IR, definida por f(x, y) = xy, onde
D = {(x, y) ∈ IR2 : 3x2 − 1 ≤ y ≤ x2 + 1}.
Determine os extremos absolutos de f .
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 41
*107. Seja P um ponto de uma superfície S de IR3 definida por h(x, y, z) = 1 em que h é de
classe C1. Suponha que P é tal que a distância da origem O a S é máxima. Prove que o
vector
−−→OP é ortogonal a S.
*108. Seja u : D ⊂ IR2 → IR uma função de classe C3 tal que ∂
2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
> 0.
Prove que u não atinge um máximo em D\FrD.
*109. Determine, justificando, a cota máxima dos pontos do plano z = 6 − 4x − 3y que se
encontram sobre o cilindro de equação x2 + y2 = 1.
*110. Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y) = x2y2(
1
2
− x− y).
*111. Seja f : IR2 −→ IR tal que
f (x, y) =
(
4y2 − x) (x− y2) .
Estude a existência de extremos locais da função f .
*112. Seja f : IRp × IRq −→ IR definida por
f (x, y) = (x | x)− (y | y) ,
em que (· | ·) representa um produto euclidiano, nos respectivos espaços vectoriais.
(a) Prove que f é diferenciável.
(b) Supondo que os produtos euclidianos considerados são os canónicos, analise a existên-
cia de extremos locais da função f , em função dos valores p e q.
*113. Sejam D =
{
(x, y) ∈ IR2 | 0 ≤ y ≤ 1− x2} e g : IR2 → IR definida por
g(x, y) = x2 + 2y2 − 1.
Determine os extremos absolutos de g|D .
*114. Sejam
h (x, y) = x2 + y2 − 2x
e
B =
{
(x, y) ∈ IR2 | y2 ≤ x ≤ 2− y} .
Determine os extremos globais de h|B .
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Infinitesimal III 42
*115. (a) Seja g : IRn −→ IR uma função de classe C3 que admite um ponto crítico em P0.
Suponha que Hg (P0) é definida positiva.
Deduza que P0 é um extremo local e caracterize-o.
(b) Considere a função u : IR2 −→ IR, de classe C2, tal que u (0, 0) = 1 e
∂u
∂x
(x, t) = t u (x, t) ,
∂u
∂t
(x, t) = x u (x, t) , ∀ (x, t) ∈ IR2.
Mostre que a origem é ponto crítico de u mas não é extremo local.
*116. Considere a função h definida por
h (x, y) =
(
x2 − y2)2 + 2 (x2 − y2) .
(a) Determine os pontos críticos de h.
(b) Classifique, utilizando as respectivas definições, os pontos críticos determinados ante-
riormente.
(c) Utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange, determine os extremos abso-
lutos de h|E, com
E =
{
(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} .
Representação gráfica de h Ilustração geométrica de c)