CAPÍTULO IV - Os Semicondutores em Equilíbrio - Semiconductor Physics And Devices 3rd ed. - J. Neamen

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A 
CAPÍTULO 
4 
 
Os Semicondutores 
em Equilíbrio 
 
 
PRÉ-VISUALIZAÇÃO 
 
 
 
té agora, consideramos um cristal geral e aplicamos os conceitos da mecânica 
quântica, a fim de determinar algumas das características dos elétrons em uma 
estrutura de cristal único. Neste capítulo, vamos aplicar esses conceitos 
especificamente a um material semicondutor. Em particular, vamos usar a densidade de 
estados quânticos na banda de condução e a densidade de estados quânticos na banda de 
valência, juntamente com a função de probabilidade de Fermi-Dirac para determinar a 
concentração de elétrons e buracos nas bandas de condução e de valência, 
respectivamente. Também vamos aplicar o conceito da energia Fermi ao material 
semicondutor. 
Este capítulo trata de semicondutores em equilíbrio. Equilíbrio, ou o equilíbrio 
térmico, implica que não há forças externas, tais como as tensões, os campos eléctricos, 
campos magnéticos, ou gradientes de temperatura estão agindo sobre o semicondutor. 
Todas as propriedades do semicondutor serão independentes do tempo neste caso. 
Equilíbrio é o nosso ponto de partida para o desenvolvimento da física de 
semicondutores. Teremos então ser capaz de determinar as características que resultam 
quando os desvios de equilíbrio ocorrer, por exemplo, quando uma voltagem é aplicada 
a um dispositivo semicondutor. 
Iremos considerar, inicialmente, as propriedades de um semicondutor intrínseco, 
que é, um cristal puro, sem átomos de impureza ou defeitos. Veremos que as 
propriedades elétricas de um semicondutor podem ser alteradas de forma desejáveis por 
adição de quantidades controladas de átomos de impureza específicos, chamado átomos 
dopantes, para o cristal. Dependendo do tipo de átomo dopante adicional, o portador de 
carga dominante no semicondutor será tanto electrões da banda de condução ou orifícios 
na banda de valência. A adição de átomos dopantes altera a distribuição de electrões 
entre os estados de energia disponíveis, de modo que a energia de Fermi torna-se uma 
função do tipo e concentração de átomos de impureza. 
Finalmente, como parte desta discussão, vamos tentar adicionar mais conhecimento 
sobre o significado da energia de Fermi. 
 
4.1 | PORTADORES DE CARGA EM SEMICONDUTORES 
 
A taxa de fluxos de carga é atual. Em um semicondutor, dois tipos de portadores de 
carga, o elétron eo buraco, pode contribuir para uma corrente. Uma vez que a corrente 
de um semicondutor é determinada em grande parte, por o número de electrões da 
banda de condução e o número de orifícios no lado de valência, uma característica 
importante do semicondutor é a densidade destes portadores de carga. A densidade de 
electrões e lacunas estão relacionadas com a densidade de estados de função e a função 
de distribuição de Fermi, ambos os quais temos considerado. A discussão qualitativa 
dessas relações vai: ser seguida por uma derivação matemática mais rigorosa da 
concentração de equilíbrio térmico de elétrons e buracos. 
 
4.1.1 Equilíbrio Distribuição de Elétrons E Buracos 
 
A distribuição (no que diz respeito à energia) de electrões na banda de condução é dada 
pela densidade de estados quânticos permitidos vezes a probabilidade de que um estado 
é ocupada por um electrão. Esta declaração é escrito em forma de equação como 
 
onde fF(E) é a função de Fermi-Dirac probabilidade e gc(E) é a densidade de estados 
quânticos na banda de condução. A concentração total de electrões por unidade de 
volume na banda de condução é, então, encontrada por meio da integração A equação 
(4.1) ao longo de toda a energia da banda de condução. 
Da mesma forma, a distribuição (em relação à energia) de furos na curva de 
valência é a densidade de estados de quantum permitidos no lado de valência 
multiplicado pela probabilidade de que um estado nem é ocupada por um electrão. 
Podemos expressar isso como 
 
A concentração total buraco por unidade de volume é encontrado integrando esta função 
ao longo de toda a energia valência-band. 
Para encontrar as concentrações de elétrons e buracos equilíbrio térmico, 
precisamos determinar a posição da energia Fermi EF, com relação ao fundo da energia 
da banda de condução Ec, e na parte superior da energia valência-band Ev. Para resolver 
esta questão, vamos inicialmente considerar um semicondutor intrínseco. Um 
semicondutor intrínseco ideal é um semicondutor puro, sem átomos de impureza e não 
há defeitos de rede do cristal (por exemplo, silício puro). Nós argumentamos no capítulo 
anterior que, para um semicondutor intrínseco a T = 0 K, todos os estados de energia na 
banda de valência são preenchidos com elétrons e todos os estados de energia na banda 
de condução são vazios de elétrons. A energia Fermi deve, portanto, estar em algum 
lugar entre Ec e Ev.(A energia Fermi não precisa corresponder a uma energia permitida.) 
À medida que a temperatura começa a subir acima de 0 K, os electrões de 
valência vai ganhar energia térmica. A poucos elétrons na banda de valência pode 
ganhar energia suficiente para saltar para a banda de condução. Como um elétron salta 
da banda de valência para a banda de condução, um estado vazio, ou um buraco, é 
criado na banda de valência. 
Em um semicondutor intrínseco, em seguida, os electrões e os furos são criados 
em pares pela energia térmica, de modo que o número de electrões da banda de 
condução é igual ao número de orifícios na banda de valência. 
 
 
 
Figura 4.1 | (a) Densidade de funções estados, função de probabilidade de Fermi-Dirac, 
e áreas que representam as concentrações de elétrons e buracos para o caso em que EF, 
está perto da energia midgap; (b) visão expandida perto da energia da banda de 
condução; e (c) vista expandida perto da energia da banda de valência. 
 
A Figura 4.la mostra um gráfico da densidade de estados funcionais na banda de 
condução gc(E), a densidade de estados de funcionar na banda de valência gv(E), e a 
função de probabilidade de Fermi-Dirdc para T > 0 K quando EF é aproximadamente a 
meio caminho entre Ec e Ev, Se partirmos do princípio, para o momento, que os elétrons 
e buracos eficaz massas são iguais, então gc(E) e gv(E) são funções simétricas sobre a 
energia midgap (a meio caminho de energia entre Ec e Ev). Observamos anteriormente 
que a função, fF(E) para E > EF é simétrica para a função 1 - fF(E) para E < EF sobre a 
energia E = EF. Isto também significa que a função fF (E) para E = EF + dE é igual à 
função. 1 - fF(E) para E = EF - dE. 
A Figura 4.1b é uma visão ampliada da trama na Figura 4.la mostrando fF(E) e 
gc(E) acima da banda de condução de energia Ec. O produto de gc(E) e fF(E) é a 
distribuição de electrões n(E) na banda de condução dada pela Equação (4.1). Este 
produto está representada na Figura 4.la. A Figura 4.lc é uma visão ampliada da trama 
na Figura 4.la mostrando [1 - fF(E)] e gv(E) abaixo da energia banda de valência Ev. O 
produto de gv(E) e [l - fF(E)] é a distribuição de furos p(E) na banda de valência dada 
pela Equação (4.2). Este produto também está representada graficamente na Figura 4. la. 
As áreas sob as curvas são, então, a densidade total de elétrons na banda de condução e 
a densidade total de buracos na banda de valência. 
Daí se vê que, se gc(E) e gv(E) são simétricas, a energia Fermi deve estar na 
energia midgap, a fim de obter concentrações iguais de elétrons e buracos. Se as massas 
eficazes do electrão e buracos não são exatamente iguais, então a densidade efetiva de 
funções estados gc(E) e gv(E) não será exatamente simétrica sobre a energia midgap. O 
nível de Fermi para o semicondutor intrínseco vai então deslocar ligeiramente a partir 
da energia midgap, a fim de obter concentraçõesiguais de electrões e buracos. 
 
4.1.2 As Equações n0 e p0 
 
Argumentamos que a energia de Fermi para um semicondutor intrínseco está perto 
midgap. Ao determinarem as equações para a concentração, o equilíbrio térmico dos 
elétrons n0 ea concentração de equilíbrio térmico de buracos p0, não vamos ser tão 
restritivo. Veremos mais tarde que, em determinadas situações, a energia de Fermi pode 
desviar-se desta energia midgap. Vamos supor inicialmente, no entanto, que o nível de 
Fermi permanece dentro da energia da banda proibida. 
A equação para a concentração de equilíbrio térmico de electrões pode ser 
encontrado através da integração da equação (4.1) através da banda de condução de 
energia, ou 
 
O limite inferior de integração é Ec, e o limite superior da integração deve ser o topo da 
energia da banda de condução permitida. No entanto, uma vez que a probabilidade da 
função Fermi rapidamente se aproxima de zero com o aumento da energia, como 
indicado na figura 4.la, podemos tomar o limite superior de integração a ser infinito. 
Estamos assumindo que a energia de Fermi está dentro da zona proibida de 
energia bandgap Para os elétrons na banda de condução, temos E > Ec. Se (Ec - EF) >> 
kT, em seguida (E - EF) >> kT, de modo que a função de probabilidade de Fermi reduz 
a aproximação de Boltzman,
1
 que é 
 
 
________ 
1
As funções de distribuição de Maxwell-Boltzrmann e Fermi-Dirac estão dentro de 5 por cento do outro 
quando E - EF =/ 3kT (veja a Figura 3.33). O >> notação é, então, um pouco enganador para indicar 
quando a aproximação Boltzrmann é válida, embora seja comumente usado. 
______________________________________________________________________ 
 
Aplicando a aproximação de Boltzmann a equação (4.3), a densidade de equilíbrio 
 
 
O integrante da equação (4.5) pode ser resolvido mais facilmente fazendo uma 
mudança de variável. Se deixarmos 
 
em seguida, a equação (4.5) se torna: 
 
 
A integral é a função gama, com um valor de: 
 
Em seguida, a equação (4.7) se torna: 
 
Podemos definir um parâmetro como Nc: 
 
de modo que a concentração de elétrons em equilíbrio térmico na banda de condução 
pode ser escrito como: 
 
O parâmetro Nc é chamado função densidade efetiva dos Estados na banda de 
condução. Se fôssemos supor que mn
*
= m0, então o valor da função densidade efetiva 
dos estados em T = 300k é Nc = 2.5x10
19
cm
-3
, que é a ordem de grandeza de Nc para a 
maioria dos semicondutores. Se a massa efetiva dos elétrons é maior ou menor do que 
m0, em seguida, o valor da função densidade efetiva dos Estados se altera conforme a 
variação sofrida pela massa, mas ainda é a mesma ordem de grandeza. 
 
 
Exemplo 4.1 | Objetivo 
 
Calcule a probabilidade de que um estado na banda de condução é ocupado por um 
elétron e calcular a concentração de elétrons equilíbrio térmico em silício a T = 300k. 
Assumindo que a energia de Fermi é 0.25eV abaixo da banda de condução. O 
valor de Nc para o silício em T = 300K é Nc = 2.8x10
19
cm
-3
. 
 
 Solução 
 
A probabilidade de que um estado de energia de E = Ec seja ocupada por elétrons é 
dada por 
 
ou 
 
A concentração de elétrons é dada por 
 
ou 
 
 Comentário 
 
A probabilidade de um estado ser ocupado pode ser bastante pequena, mas o fato de que 
há um grande número de estados significa que a concentração elétrons é um valor 
razoável. 
 
 
A concentração de equilíbrio térmico de orifícios na banda de valência é 
encontrada através da integração da equação (4.2) sobre a energia da banda de valência, 
ou: 
 
 
Podemos notar que: 
 
Para os estados de energia na banda de valência, E < Ev. Se (Ef-Ev) >> kT (a função de 
Fermi ainda é considerado dentro da banda proibida), em seguida, temos uma forma 
ligeiramente diferente da aproximação de Boltzmann. Equação (4.13a) pode ser escrita 
como: 
 
Aplicando a aproximação de Boltzmann da equação (4.13b) à equação (4.12), 
encontramos a concentração de equilíbrio térmico de buracos na banda de valência é: 
 
em que o limite inferior de integração é tomado como infinito negativo, em vez da parte 
inferior da banda de valência. O termo exponencial decai rápido o suficiente para que 
esta aproximação seja válida. 
A equação (4.14) pode ser resolvida mais facilmente novamente fazendo uma 
mudança de variável. Se deixarmos: 
 
 
Então a equação (4.14) se torna: 
 
 
onde o sinal negativo vem do diferencial dE=-kTdn'. Note-se que o limite inferior de n' 
tornar-se quando E = . Se mudarmos a ordem de integração, nós 
introduzimos outro sinal de menos. A partir da Equação (4.8). A equação (4.16) se 
torna: 
 
Podemos definir um parâmetro como Nv: 
 
o qual é chamado a função densidade efetiva dos Estados na banda de valência. A 
concentração de equilíbrio térmico de orifícios na banda de valência pode agora ser 
escrita como: 
 
A magnitude de Nv também é da ordem de 10
19
cm
-3
, a T = 300 K para a maioria dos 
semicondutores. 
 
Exemplo 4.2 | Objetivo 
 
Calcular a concentração de furos em equilíbrio térmico no silício a T = 400K. 
Suponha que a energia de Fermi é 0.27eV acima da energia da banda de 
valência. O valor de Nv para silício a T = 300K é Nv = 1.04x10
19
cm
-3
. 
 
 Solução 
 
Os valores de parâmetros em T = 400K são encontrados como: 
 
e 
 
a concentração de furos é então 
 
ou 
 
 Comentário 
 
Os valores dos parâmetros a qualquer temperatura pode ser facilmente encontrado 
usando os valores de 300K e a dependência da temperatura. 
 
 
A densidade efetiva dos estados de funções, Nc e Nv, são constantes para um 
determinado material semicondutor em uma temperatura fixada. A tabela 4.1, mostra os 
valores da densidades dos estados de função e as massas efetivas do silício, arsenato de 
gálio e germânio. Note que o valor de Nc para o arsenato de gálio é menor do que o 
valor típico 10^19 cm^-3. Esta diferença é devido a pequena massa efetiva do elétron no 
arsenato de gálio. 
As concentrações de equilíbrio térmico de elétrons na banda de condução e de 
buracos na banda de valência estão diretamente relacionados a densidade efetiva de 
estados constantes e do nível de energia de Fermi. 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E4.1: Calcular o equilíbrio térmico do elétron e a concentração de buracos no silício 
para T=300K para o caso em que o nível da energia de Fermi é 0,22 eV, abaixo da 
banda de condução de energia Ec. O valor de Eg é dado no apêndice B.4. 
 
E4.2: Determine o equilíbrio térmico do elétron e a concentração de buracos no GaAs 
em T=300 K para o caso quando o nível de energia de Fermi é 0,30 eV acima da energia 
da banda de valência Ev. O valor de Eg é dado no apêndice B.4. 
______________________________________________________________________ 
 
4.1.3 A Concentração De Portadores Intrínsecos 
 
Para um semicondutor intrínseco, a concentração de elétrons na banda de condução é 
igual a concentração de buracos na banda de valência. Nós podemos denotar Ni e Pi 
como as concentrações de elétrons e buracos, respectivamente, em um semicondutor 
intrínseco. Estes parâmetros são usualmente referidos como a concentração intrínseca 
do elétron e concentração intrínseca do buraco. Como as concentrações de elétrons e 
buracos, respectivamente, em um semicondutor intrínseco. Estes parâmetros são 
usualmente referidos como a concentração intrínseca do elétron e concentração 
intrínseca do buraco. Contudo, Ni = Pi, então normalmente nós simplificamos usando o 
parâmetro Ni como uma concentraçãode portador intrínseco, que se refere ou a 
concentração de de elétrons intrínsecos ou a concentração de buracos. 
 
 
Tabela 4.1| Densidade efetiva de estados de função e valores de massa efetiva 
 
O nível de energia de Fermi para os semicondutores intrínsecos é chamado de 
energia de Fermi intrínseco, ou Ef=Efi. Se nós aplicarmos as equações (4.11) e (4.19) 
para o semicondutor intrínseco, então nós podemos escrever 
 
e 
 
 
se pegarmos o produto das equações (4.20) e (4.21), nós obtemos 
 
 
ou 
 
 
onde Eg é a energia de banda proibida. Para obter um material semicondutor numa 
temperatura constante, o valor de Ni é uma constante, e independente da energia de 
Fermi. 
A concentração do portador intrínseco para o silício em T=300 K pode ser 
calculada pelo uso da densidade efetiva dos valores da função de estados na tabela 4.1. 
O valor comumente aceito de Ni para o silício em T=300 K é aproximadamente 
1,5x10^10 cm^-3. Esta discrepância pode surgir por diversas fontes. Primeiro, os 
valores das massas efetivas são determinados numa baixa temperatura onde as 
experiências de ressonância cyclotron são realizadas. Uma vez que a massa efetiva é um 
parâmetro determinado experimentalmente, e uma vez que a massa efetiva é uma 
medida do quão bem uma partícula se movimenta em um cristal, este parâmetro pode 
ser uma leve função da temperatura. A densidade dos estados de função para um 
semicondutor são obtidos por uma generalização do modelo de um elétron em um 
potencial infinito tridimensional. Esta função teórica pode não concordar exatamente 
com a experiência. Contudo, a diferença entre o valor teórico e o valor experimental de 
Ni é aproximadamente um fator de 2, que, em muitos casos, não é significante. A tabela 
4.2 lista os valores comumente aceitos de Ni para o silício, arsenato de gálio e germânio 
em T=300 K. 
 
 
Tabela 4.2| Valores comumente aceitos de Ni em T=300 K. 
 
A concentração dos portadores intrínsecos é muito forte em função da temperatura. 
________ 
2
Várias referências podem listar valores ligeiramente diferentes da concentração de silício intrínseca à 
temperatura ambiente. Em geral, eles são todos entre 1x10^10 e 1,5x10^10 cm^-3. Esta diferença é, em 
muitos casos, não significante. 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.3 | Objetivo 
 
Para calcular a concentração de portador intrínseco no arsenato de gálio em T=300 K e 
em T=450 K. 
Os valores de Ne e Nv em 300K para o arsenato de gálio são 4,7x10^17 cm^3 e 
7,0x10^18 cm^-3, respectivamente. Tanto Ne e Nv variam conforme T^3/2. Assume-se 
que a energia de banda proibida do arsenato de gálio é 1,42 eV e não varia com a 
temperatura dentro deste intervalo. O valor de kT em 450 K é 
 
 
 Solução 
 
Usando a equação (4.23), nós encontramos para T=300 K 
 
 
de modo que 
 
 
em T = 450 K, nós encontramos 
 
 
 
de modo que 
 
 
 
 
 Comentário 
 
Podemos observar a partir deste exemplo que a concentração dos portadores intrínsecos 
aumentou mais de quatro ordens de grandeza e que a temperatura aumentou de 150 °C. 
______________________________________________________________________ 
 
A figura 4.2 é um gráfico de Ni da equação (4.23) para o silício, arsenato de gálio e 
germânio em função da temperatura. Como pode ser visto na figura, o valor de Ni para 
estes semicondutores pode muito facilmente ao longo de várias ordens de grandeza ter 
mudanças de temperatura ao longo de um intervalo razoável. 
 
 
Figura 4.2 | Concentração intrínseca de portadores de condução do Ge, Si e GaAs como 
uma função da temperatura. 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E4.3: Encontrar a concentração de portadores de cargas no silício a (a) T=200K e (b) 
T=400K 
 
E4.4: Repetir o mesmo exercício para o GaAs 
 
E4.5: Repetir o mesmo exercício para o Ge 
______________________________________________________________________ 
 
4.1.4 A Posição Intrínseca De Nível Fermi 
 
Temos qualitativamente argumentos para afirmar que a energia de Fermi está localizada 
perto do centro da banda proibida (GAP) para o semicondutor conduzir. Podemos 
especificamente calcular a posição da energia de Fermi. Uma vez que as concentrações 
de elétrons e buracos são iguais, Equações de ajuste (4,20) e (4,21) iguais entre si, 
temos: 
 
 
 
Se tomarmos o log natural de ambos os lados desta equação e resolver para EFi, 
obtemos: 
 
A partir das definições para Nc e N0 dadas pelas equações (4.10) e (4.18), 
respectivamente Equação (4.25) pode ser escrita como: 
 
O primeiro termo, 1/2 (Ec + Ev), é a energia a meio caminho exatamente entre Ec e Ev, 
ou a energia média do GAP. Podemos definir: 
 
Assim : 
 
Se a quantidade de elétrons e buracos são iguais para que mp* = mn*, então a energia 
intrínseca de Fermi é exatamente no centro do GAP. Se mp *> mn *, a energia 
intrínseca de Fermi é um pouco acima do centro, e se mp * <mn *, é um pouco abaixo 
do centro do GAP. A função densidade de estados está diretamente relacionada com o 
transporte de massa efetiva; assim uma massa efetiva maior significa uma maior 
densidade de estados. A energia intrínseca de Fermi deve se afastar da banda com a 
maior densidade de estados, a fim de manter o mesmo número de elétrons e buracos. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.4 | Objetivo 
 
Para calcular a posição do nível de Fermi em relação ao centro da banda proibida no 
silício a T = 300K. 
A densidade dos portadores eficazes no silício são mn = 1.08m0 e mp = 0,56m0 
 
 Solução 
 
O nível de Fermi em relação ao centro da banda proibida é: 
 
ou 
 
 Comentário 
O nível de Fermi em silício é 12,8 meV abaixo da energia da banda proibida. Se 
compararmos 12,8 meV a 560 meV, que é a metade da energia da banda proibida do 
silício, em muitas aplicações, basta aproximar o nível de Fermi para estar no centro da 
banda proibida. 
_____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E4.6: Determine a posição do nível Fermi com respeito ao centro da banda proibida no 
GaAs a T=300K. 
______________________________________________________________________ 
 
4.2 |DOPAMENTO DE ÁTOMOS E OS NÍVEIS DE 
 ENERGIA 
 
O semicondutor pode ser um material interessante, mas o poder real de semicondutores 
é realizado por adição de quantidades pequenas, controladas de dopante específico, ou 
impureza. Este processo de dopagem, brevemente descrito no capítulo 1, pode alterar 
muito as características elétricas do semicondutor. O semicondutor dopado, é a principal 
razão de nós podermos fabricar os vários dispositivos semicondutores que 
consideraremos em capítulos posteriores. 
 
4.2.1 Descrição Qualitativa 
 
No capítulo 3, discutimos a ligação covalente de silício e considerando a simples 
representação bidimensional do reticulado de silício de cristal único como mostrado na 
figura 4.3. Agora consideraremos adicionando um elemento do grupo 5 (com cinco 
elétrons de valência). Quatro destes irá contribuir para a ligação covalente com os 
átomos de silício, deixando o quinto mais fracamente ligado ao átomo de fósforo. Este 
efeito é mostrado esquematicamente na figura 4.4. Referimo-nos ao quinto elétron de 
valência como um elétron doador.Figura 4.3 | Representação 
bidimensional do reticulado de silício 
intrínseco. 
Figura 4.4 | Representação 
bidimensional do reticulado de silício 
dopado com um átomo de fósforo. 
 
O átomo de fósforo, sendo o doador de elétrons é carregado positivamente. Em 
temperaturas muito baixas, o doador de elétrons é ligado ao átomo de fósforo. No 
entanto, por intuição, que deve parecer evidente que a energia necessária para elevar o 
doador de elétrons na banda de condução é consideravelmente menor do que para os 
elétrons envolvidos na ligação covalente. 
A figura 4.5 mostra o diagrama de banda de energia que seria de se esperar. O 
nível de energia, Ed, é o estado de energia do elétron doador. 
Se uma pequena quantidade de energia, tais como energia térmica, é adicionada 
ao doador de elétrons, que pode ser elevado para a banda de condução, deixando para 
trás um íon de fósforo de carga positiva. O elétron na banda de conduções, pode agora 
mover-se através da geração de uma corrente no cristal, enquanto o íon carregado 
positivamente é fixado no cristal. Este tipo de átomo de impureza doa um elétron para a 
banda de condução e por isso é chamado de átomo doador de impureza. Os átomos de 
doador de impureza adicionam elétrons para a banda de condução sem criar buracos na 
banda de valência. O material resultante é referido como um semicondutor do tipo n (n 
para o elétron carregado negativamente). 
Agora, considere a adição de um elemento do grupo 3, tal como o boro, como 
uma impureza de substituição de silício. O elemento grupo 3 tem três elétrons de 
valência, que são todos retomados na ligação covalente. 
 
Figura 4.5 | O diagrama de energia à mão mostra (a) o estado de energia doador 
discreto e (b) o efeito de um estado doador a ser ionizado. 
 
 
Figura 4.6 | Representação bidimensional de uma estrutura de silício (a) dopado com 
um átomo de boro e (b) mostrando a ionização do átomo de boro, resultando num 
buraco. 
 
 
 
Figura 4.7 | Mostrando o diagrama de banda energia (a) o estado de energia discreto 
aceitante e (b) o efeito de um aceitador de estado a ser ionizado. 
 
 
Como mostrado na Figura 4.6a, uma posição de ligação covalente parece estar 
vazio, se um elétron ocupar essa posição, sua energia teria que ser maior do que o dos 
elétrons de valência, uma vez que o estado de carga líquida do átomo de boro agora 
seria negativo. No entanto, o elétron ocupando esta posição "vazia" não tem energia 
suficiente para estar na banda de condução, de modo que sua energia é muito menor do 
que a energia da banda de condução. A figura 4.6b mostra como elétrons de valência 
podem ganhar uma pequena quantidade de energia térmica e mover-se no cristal. A 
posição "vazia" associada ao átomo de boro torna-se ocupada, e outras posições de 
elétrons de valência se tornam desocupadas. Estas outras posições desocupadas por 
electrons podem ser pensados como furos no material semicondutor. 
 Figura 4.7 mostra o estado de energia esperado da posição "vazia" e também a 
formação de um buraco na banda de valência. O papel pode mover-se através da 
geração de uma corrente de cristal, enquanto que o átomo de boro está carregado 
negativamente fixado no cristal. O átomo de grupo 3 aceita um electro n da banda de 
valência e por isso é referido como um átomo aceitador de impureza. O átomo receptor 
pode gerar buracos na banda de valência sem gerar elétrons em banda de condução.este 
tipo de material semicondutor, é referida como um material do tipo p (p para o buraco 
carregado positivamente). 
 O material semicondutor de cristal único puro é chamado um material intrínseco. 
Adição de quantidades controladas de átomos dopantes, quer doadores ou aceitadores, 
cria um material chamado um semicondutor extrínseco. Um semicondutor extrínseco ou 
terá uma preponderância de eletrons (tipo n) ou uma preponderância de orifícios (tipo 
p). 
 
4.2.2 Energia de ionização 
 
 Pode-se calcular a distância aproximada do doador de eletrons a partir do doador 
de íons de impureza, e também a energia aproximada necessária para elevar o doador de 
electrons na banda de condução. Esta energia é referida como a energia de ionização. A 
justificativa para a utilização deste modelo é que a distância mais provável de um 
eletron a partir do núcleo de um átomo de hidrogénio, determinada a partir de mecânica 
quântica, é o mesmo que o raio de Bohr. Os níveis de energia do átomo de hidrogénio, 
determinados pela mecânica quântica, também são os mesmos tal como obtido a partir 
da teoria Bohr. 
 No caso do átomo doador de impureza, podemos visualizar o doador de eletrons 
em órbita ao doador de ions, que é incorporado no material semicondutor. Teremos que 
usar a permitividade do material semicondutor nos calculos em vez da permissividade 
do vácuo, como é utilizado no caso do átomo de hidrogénio. Vamos todos usar a massa 
efetiva do elétron nos cálculos. 
 A análise começa por definir a força de Coulomb de atração entre o elétron e o 
íon igual a força centrípeta do electron que o orbita. Esta condição nos da uma orbita 
estável. Temos 
 
 (4.27) 
 
Em que v é a magnitude da velocidade e rn é o raio da órbita.se assumirmos que o 
momento angular também é quantificado, então podemos escrever. 
 (4.28) 
 
Onde n é um número inteiro positivo, resolvendo para v a partir da equação (4.28), 
substituindo na equação (4.27), e resolvendo para o raio, obtemos. 
 (4.29) 
 
O pressuposto de que o momento angular pode ser quantizado conduz para que o raio 
também possa ser quantizado 
O raio de Bohr é definido como 
 
 (4.30) 
 
Podemos normalizar o raio do orbital doador para o do raio de Borh, que da 
 
 (4.31) 
 
Onde Єr é a constante dielétrica relativa do material semicondutor, m0 é a massa em 
repouso de um electrão, e m* representa a condutividade da massa eficaz do elettron do 
semicondutor. 
 Se levarmos em conta o estado de mais baixa energia, em que E = 11,7 e a 
massa efetiva condutividade é m* / mo = 0,26, segue que 
 
 (4.32) 
 
ou r1 = 23.9 Å. Este raio corresponde a aproximadamente quatro estruturas constantes 
de silício. Recordamos que uma célula unitária de silício contém, efetivamente, oito 
átomos, de modo que o raio do eletron doador orbitando, engloba diversos átomos de 
silício. O eletron doador não está fortemente ligado ao átomo doador. 
A energia total do elétron que orbita é dada por 
 
 (4.33) 
 
em que T é a energia cinética e V é a energia potencial do elétron. a energia cinética é 
 
 (4.34) 
 
Utilizando a velocidade v a partir da equação (4.28) e o raio Rn partir da equação 
(4.29),a energia cinética torna-se 
 (4.35) 
A energia potencial é 
 (4.36) 
 
 A energia total é a soma das energias cinéticas e potenciais, de modo que a 
energia total é a soma das energias cinéticas e potenciais, de modo que 
 
 (4.37) 
 
Para o átomo de hidrogênio, m* = m0 e E=Eo.a energia de ionização do átomo de 
hidrogênio no estado de menor energia é então E = -13,6 eV. se considerarmos silício, a 
energia de ionização é E = -25,8 MeV, muito menor do que a energia da banda proibida 
do silício. Essa energia é a energia aproximada de ionização do átomo doador, ou a 
energia necessária para elevar o doador de eletrons na bandade condução. 
Para impurezas doadoras comuns tal como fósforo ou arsénico em silício ou 
germânio, este modelo hidrogenóide funciona muito bem e dá alguma indicação das 
magnitudes das energias de ionização envolvidas. Tabela 4.3 lista as energias de 
ionização medidas experimentalmente reais para algumas impurezas no silício e 
germânio. Germânio e silício têm diferentes constantes dielétricas relativas e massas 
eficazes; assim, esperamos que as energias de ionização sejam diferentes. 
 
4.2.3 Grupos III-V Semicondutores 
 
Nas seções anteriores, temos discutido sobre as impurezas doador e receptor em um 
grupo IV de semicondutores, como o silício. a situação do grupo III-V. 
 
 
 
Tabela 4.3| Energias de ionização de impurezas em silício e germânio 
 
 
Tabela 4.4| Energias de Ionização de impurezas em arseneto de gálio 
 
Compostos semicondutores, tais como arseneto de galio, é mais complicado. Os grupos 
de elementos como o: zinco e cadmio podem ser inseridos como rede de impureza 
substitucional, fazendo o elemento gálio do grupo III tornar-se um receptor de 
impurezas. Igualmente, os elementos do grupo VI, selênio e o telúrio, podem ser 
inseridos como rede de impureza substitucional, substituindo o grupo V elemento 
arsênio tornando-o doador de impurezas. 
As energias de ionização dessas impurezas são tão pequenas quantos as 
impurezas do silício. A energia de ionização para doadores no arseneto de galio são 
também tão pequenas quanto as energias de ionização dos receptores, por conta da 
massa efetiva do elétron comparada com a do buraco. 
 O grupo IV, elementos como silício e germânio, também podem ser átomos de 
impureza no arseneto de gálio. Se o átomo de silício substituir o de gálio, a impureza do 
silício agirá como doadora, mas, se o silício for substituído por átomos de arsênio, essa 
impureza agirá como receptora. Isso também vale para átomos de impureza como o 
germânio. Cada impureza é chamada de anfótero (possuem característica tanto de ácido 
como de base). Experimentalmente, o arseneto de gálio, é encontrado que o germânio é 
predominantemente um Receptor e o silício é um doador. A tabela 4.4 mostra as várias 
energias de ionização para as impurezas no arseneto de gálio. 
 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E.47: Calcule o raio (normalizado para o raio de Bohr) de um elétron doador no 
estado de energia mais baixo no GaAs (Resposta: 195,5) 
______________________________________________________________________ 
 
4.3 | OS SEMICONDUTORES EXTRÍNSECOS 
 
Nós definimos os semicondutores intrínsecos como um material sem nenhum átomo de 
impureza no cristal. Um semicondutor extrínseco é definido como um semicondutor que 
possui quantidades controladas de átomos dopantes ou impurezas específicas 
adicionadas assim que o equilíbrio térmico dos elétrons e os buracos de concentração 
sejam diferentes dos portadores intrínsecos. Um tipo de portador será predominante no 
semicondutor extrínseco. 
 
4.3.1 Equilíbrio de Distribuição de Elétrons e Buracos 
 
Adicionar átomos impurezas doadoras ou receptoras em um semicondutor, mudará a 
distribuição de elétrons e buracos no material. Ainda que a energia de Fermi esteja 
relacionada com a função de distribuição, a cada átomo dopante adicionado, a energia 
de Fermi mudará. Se a energia de Fermi for mudada perto de meio valor da energia do 
gap, a densidade de elétrons na banda de condução e a densidade de buracos na banda 
de valência serão modificadas. Esses efeitos são mostrados nas figuras 4.8 e 4.9. Figura 
4.8 mostra o caso de 𝐸𝐹 > 𝐸𝐹𝑖 e a figura 4.9 mostra o caso para 𝐸𝐹 < 𝐸𝐹𝑖. Quando 
𝐸𝐹 > 𝐸𝐹𝑖, a concentração de elétrons é mais larga que a concentração de buracos, e 
quando 𝐸𝐹 < 𝐸𝐹𝑖, a concentração de buracos é mais larga que a concentração de 
elétrons. 
 
 
 
Figura 4.8| Densidade de funções de 
estado. Fermi-Dirac função de 
probabilidade, e áreas representando 
elétron e buracos de concentração para 
o caso quando Ef acima da energia de 
Fermi intrínseca. 
Figura 4.9| Funções densidade de 
Estado, Fermi-Dirac função 
probabilidade, e áreas representando 
elétron e concentração de buracos para 
o caso quando Ef abaixo da energia de 
Fermi intrínseca. 
 
 
Quando a densidade de elétrons for muito maior que a densidade de buracos, o 
semicondutor é do tipo n; átomo de impurezas do tipo doador tem de serem adicionadas. 
Quando a densidade de buracos for muito maior que a densidade de elétrons, o 
semicondutor é do tipo p; átomo de impureza do tipo receptor tem de serem 
adicionadas. O nível de energia de Fermi em um semicondutor mudam à medida em que 
as concentrações de elétrons e de buracos mudam e, novamente, a energia de Fermi é 
modificada quando impurezas doadoras ou receptoras são adicionadas. A mudança no 
nível de Fermi como a função de concentração de impureza, serão consideradas na 
seção 4.6. 
As expressões anteriormente derivadas para o equilíbrio térmico de concentração 
de elétrons e buracos, dadas pelas expressões (4.11) e (4.19) são equações gerais para 
𝑛0 e 𝑝0 em termos da energia de Fermi. Essas equações podem ser expressas por 
 
𝑛0 = 𝑁𝑐𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹)
𝑘𝑇
] 
 
e 
𝑝0 = 𝑁𝑣𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝐹 − 𝐸𝑣)
𝑘𝑇
] 
 
Como foi discutida, a energia de Fermi deve variar de acordo com a energia do gap, que 
mudarão os valores de 𝑛0 e 𝑝0. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.5 | Objetivo 
 
Calcular o equilíbrio térmico de concentrações de elétrons para uma dada energia de 
Fermi. 
 Considere o silício a 𝑇 = 300𝐾, e 𝑁𝑐 = 2,8.10
19𝑐𝑚−3 e 𝑁𝑣 = 1,04.10
19𝑐𝑚−3. 
Assumindo que a energia de Fermi é 0,25 𝑒𝑉 abaixo da banda de condução. Se nós 
assumirmos que a energia de banda de gap do silício é de 1,12 𝑒𝑉, e que a energia de 
Fermi será 0,87 𝑒𝑉 abaixo da banda de valência. 
 
∎Solução 
 
Usando a equação (4.11), nós temos 
 
𝑛0 = (2,8.10
19)𝑒𝑥𝑝 [
−0,25
0,0259
] = 1,8.10−15 𝑐𝑚−3 
 
Da equação (4.19), podemos escrever 
 
𝑝0 = (1,04.10
19)𝑒𝑥𝑝 [
−0,87
0,0259
] = 2,7.104 𝑐𝑚−3 
 
∎Comentário 
 
A mudança no nível de Fermi é na realidade uma função de doador ou de receptor de 
impurezas que são adicionadas no semicondutor. Contudo, este exemplo mostra que o 
elétron e a concentração de buracos mudam de acordo com a magnitude do portador 
intrínseco como a energia de Fermi muda com alguns décimos de elétron-volt. 
______________________________________________________________________ 
 
 Neste exemplo, desde que 𝑛0 > 𝑝0, o semicondutor é do tipo n. Neste tipo de 
semicondutor, são referidos como a maioria e os buracos como a minoria. Em 
comparação relativa entre os valores de 𝑛0 e 𝑝0 no exemplo, é fácil ver motivo dessa 
denominação. Igualmente, para o semicondutor do tipo p, onde 𝑝0 > 𝑛0, buracos 
possuem maiores portadores e elétrons menos portadores. 
 Disso, nós derivamos outra forma para as equações para o equilíbrio térmico de 
concentrações de elétrons e buracos. Se somarmos e subtrairmos a energia intrínseca de 
Fermi a exponencial da equação (4.11), podemos escrevê-la 
 
𝑛0 = 𝑁𝑐𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹𝑖) + (𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖)
𝑘𝑇
] (𝟒. 𝟑𝟖𝐚) 
ou 
𝑛0 = 𝑁𝑐𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹𝑖))
𝑘𝑇
] 𝑒𝑥𝑝 [
(𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖))
𝑘𝑇
] (𝟒. 𝟑𝟖𝒃) 
 
O portador intrínseco é dado pela equação (4.20) 
 
𝑛𝑖 = 𝑁𝑐𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹𝑖)
𝑘𝑇
] 
 
Assim a equação para o equilíbrio térmico, pode ser escrita como𝑛0 = 𝑛𝑖𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖)
𝑘𝑇
] (𝟒. 𝟑𝟗) 
 
Igualmente, se somarmos e subtrairmos uma intrínseca energia de Fermi na exponencial 
da equação (4.19) obtemos 
𝑝0 = 𝑛𝑖𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖)
𝑘𝑇
] (𝟒. 𝟒𝟎) 
 
Como veremos, o nível da energia de Fermi muda quando os doadores e 
receptores são adicionados, mas as equações (4.39) e (4.40) mostram que, como os 
níveis de energia mudam de um nível intrínseco de Fermi, 𝑛0 e 𝑝0 de acordo com o 
valor de 𝑛𝑖. Se 𝐸𝐹 > 𝐸𝐹𝑖, então nós teremos 𝑛0 > 𝑛𝑖 e 𝑝0 < 𝑛𝑖. Uma característica do 
semicondutor do tipo n é que 𝐸𝐹 > 𝐸𝐹𝑖 sempre que 𝑛0 > 𝑝0. Para semicondutores do 
tipo p, 𝐸𝐹 < 𝐸𝐹𝑖, assim que 𝑝0 > 𝑛𝑖 e 𝑛0 < 𝑛𝑖; assim 𝑝0 > 𝑛0. 
Nós podemos ver a dependência de 𝑛0 e 𝑝0 com 𝐸𝑅 na figura 4.8 e 4.9. Como a 
energia está acima de 𝐸𝐹 ou abaixo de 𝐸𝐹𝑖, a superposição das funções de probabilidade 
com a função densidade de estados na banda de condução e na banda de valência 
modificadas. Como 𝐸𝐹 move abaixo da 𝐸𝐹𝑖, a função de probabilidade na banda de 
condução aumenta, enquanto a probabilidade, 1 – 𝑓𝐹(𝐸), do estado vazio (buraco) na 
banda de valência diminui. Se 𝐸𝐹 move abaixo de 𝐸𝐹𝑖, o oposto ocorre. 
 
4.3.2 O Produto de 𝒏𝟎𝒑𝟎 
 
Multiplicando as expressões de 𝑛0 por 𝑝0 dadas pelas expressões (4.11) e (4.19), 
respectivamente. Resulta em 
 
𝑝0𝑛0 = 𝑁𝑣𝑁𝑐𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹)
𝑘𝑇
] 𝑒𝑥𝑝 [
−(𝐸𝐹 − 𝐸𝑣)
𝑘𝑇
] (𝟒. 𝟒𝟏) 
 
Que pode ser escrito como 
 
𝑝0𝑛0 = 𝑁𝑣𝑁𝑐𝑒𝑥𝑝 [
−𝐸𝑔
𝑘𝑇
] (𝟒. 𝟒𝟐) 
 
A equação (4.42) foi derivada para o valor geral da energia de Fermi, os valores de 𝑛0 e 
𝑝0 não são necessariamente iguais. Contudo, a equação (4.42) é exatamente o mesmo da 
equação (4.43), que veio do caso para um semicondutor intrínseco. 
Temos então que, para o semicondutor em equilíbrio térmico 
 
A equação (4.43) indica que o produto de n0 e p0 é sempre uma constante para 
um dado material de semicondutor a uma dada temperatura. Embora esta equação 
pareça muito simples, é um dos princípios fundamentais de semicondutores em 
equilíbrio térmico. A importância dessa relação se tornará mais evidente nos capítulos 
que a frente. É importante ter em mente que a equação (4.43) foi calculado utilizando a 
aproximação de Boltzmann. Se a aproximação de Boltzmann não for válida, então, do 
mesmo modo, a equação (4.43) não é válida. 
Um semicondutor extrínseco em equilíbrio térmico ,não tem a rigor que conter 
uma concentração de portadores intrínseca, embora alguns portadores (gerados 
termicamente) estão presentes. As concentrações de elétrons e buracos transportadores 
intrínsecos são modificados pelo doador ou aceitador de impurezas. No entanto, 
podemos pensar no ni a concentração intrínseca na equação (4.43) simplesmente como 
um parâmetro do material semicondutor. 
 
*4.3.3 A integral de Fermi-Dirac 
 
Na derivação das equações (4.11) e (4.19) para as concentrações de elétrons e buracos 
em equilíbrio térmico, assumimos a aproximação Boltzmann como válido. Se a 
aproximação de Boltzmann não se sustenta, a concentração de elétrons equilíbrio 
térmico é escrito a partir da equação (4.3) 
 
Se voltamos a fazer uma mudança de variável 
 
E também definir 
 
Então, podemos reescrever a equação (4.44) como 
 
 
A integral é definida por 
 
 
Figura 4.10 | O Fermi-Dirac integral F1/2 a partir da energia de Fermi. 
 
Esta função, chamada de Fermi-Dirac integral, é uma função tabulada com nf variável. 
Figura 4.10 é um gráfico da Fermi-Dirac integral. Observe que, se nf> 0, então Ef> Ec; 
assim, a energia Fermi esta realmente na banda de condução. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.6 | Objetivo 
 
Calcular a concentração de elétrons utilizando a integral Fermi-Dirac. 
Deixe nF = 2, de modo que a energia de Fermi está acima da banda de condução 
por aproximadamente 52 meV e T = 300 K; 
 
∎Solução 
 
A equação (4.46) pode ser escrita como 
 
Para o silício a 300K, Nc = 2,8x10
19
 cm ³ e, a partir da Figura 4.10, o integrante de 
Fermi tem um valor de F1 / 2 (2) = 2,3. Em seguida 
 
∎Comentário 
 
Observe que se nós tivéssemos usado a Equação (4.11), o valor de equilíbrio térmico de 
𝑛0 seria 𝑛0 = 2.08𝑥10
20 𝑐𝑚−3, que é incorreto já que a aproximação de Boltzmann 
não é válida para esse caso. 
 
Podemos usamos o mesmo método geral para calcular o termo de equilíbrio de 
concentração de orifícios. Nós obtemos 
 
𝑝0 = 4𝜋 (
2𝑚𝑝
∗ 𝑘𝑇
ℎ2
)
3
2
∫
(𝑛′)
1
2𝑑 𝑛′
1 + exp(𝑛′ − 𝑛𝐹
′ )
 (𝟒. 𝟒𝟖)
∞
0
 
Onde 
 
𝑛′ =
𝐸𝑣 − 𝐸
𝑘𝑇
 (𝟒. 𝟒𝟗𝒂) 
 
 
𝑛𝐹
′ =
𝐸𝑣 − 𝐸𝐹
𝑘𝑇
 (𝟒. 𝟒𝟗𝒃) 
 
A integral na Equação (4.48) é a mesma integral de Fermi-Dirac definida pela Equação 
(4.47), muito embora as variáveis tenham pequenas diferenças de definição. Podemos 
notar que se 𝑛𝐹
′ > 0, então o nível de Fermi é na banda de valência. 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
E4.8: Calcule o equilíbrio térmico da concentração de elétrons do silício para quando 
𝐸𝐹 = 𝐸, e 𝑇 = 300 𝐾. (Res. 1.9𝑥10
19 𝑐𝑚−3) 
______________________________________________________________________ 
 
4.3.4 Degeneração e Não-Degeneração De Semicondutores 
 
Na nossa discussão de adição de átomos dopantes a um semicondutor, de forma 
implícita, considerando que a concentração de átomos dopantes adicionados é pequena 
quando comparada com a densidade de átomos do hospedeiro ou semicondutor. Os 
pequenos números de átomos de impureza estão distribuídos suficientemente afastados 
de modo que não existe qualquer interação entre elétrons doadores, por exemplo, em um 
material do tipo n. Partimos do princípio de que as impurezas introduzem diferenças, 
não interagem com estados de energia dos doadores no semicondutor do tipo 𝑛 e 
discreta. Não interagem com estados receptores no semicondutor do tipo 𝑝. Estes tipos 
de semicondutores são referidos como semicondutores não degenerados. 
Se a concentração de impurezas aumenta, a distância entre os átomos de impureza 
diminui a um ponto em que os elétrons doadores, por exemplo, começarão a interagir 
entre si. Quando isto ocorre, o único doador de energias discretas será dividido em uma 
banda de energias. À medida que aumenta a concentração de doador ainda mais, a 
banda dos estados doadores alarga-se e pode se sobrepor a parte inferior da banda de 
condução. Essa sobreposição ocorre quando a concentração do doador se torna 
comparável com a densidade efetiva dos estados. Quando a concentração de elétrons na 
banda de condução excede a densidade de estados N, a energia de Fermi encontra-se 
dentro do botão de condução. Este tipo de semicondutor é chamado um semicondutor 
degenerado tipo 𝑛. 
 
Figura 4.11 | Diagrama de energia de banda simplificado para o degeneramento de 
semicondutores contaminados do (a) tipo-n e do (b) tipo-p. 
 
 De modo similar, como um receptor contaminante a concentração aumenta em 
um semicondutor do tipo-p, um receptor discreto de estados de energia será divido em 
uma banda de energia e pode sobrepor a banda de valência superior. Uma energia Fermi 
se encontrará dentro da banda de valência quando a concentração de buracos excederem 
a densidade dos Nf estados. Essetipo de semicondutor é chamado de semicondutor 
degenerado do tipo-p. 
 Modelos esquemáticos de um diagrama de bandas de energia para o 
degeneramento de semicondutores contaminados do tipo-n e do tipo-p é mostrado na 
Figura 4.11. Os estados de energia abaixo de Ef são preenchidos principalmente com 
elétrons e os estados de energia acima de Ef são quase vazios. Na degeneração dos 
semicondutores do tipo-n, os estados entre Ef e Ec são principalmente preenchidos com 
elétrons; então, a concentração dos elétrons em uma banda de condução é muito larga. 
Analogamente, na degeneração dos semicondutores do tipo-p, os estados de energia 
entre Ev e Ef são quase vazios; então, a concentração vazia na banda de valência é 
bastante larga. 
 
4.4 | ESTATÍSTICAS DOS DOADORES E RECEPTORES 
 
No capítulo anterior, nós discutimos a função de distribuição Fermi-Dirac, no qual foi 
dada a probabilidade que um particular estado de energia será ocupado por um elétron. 
Nós precisamos considerar essa função e aplicar a probabilidade estatística para os 
doadores e receptores de estados de energia. 
 
4.4.1 Função Probabilidade 
 
Um postulado usado na derivação da função de probabilidade Fermi-Dirac era o 
princípio de exclusão de Pauli, que afirma que somente uma partícula é permitida em 
cada estado quântico. O princípio de exclusão de Pauli também se aplica aos estados 
doadores e receptores. 
 Suponha que nós temos Ni elétrons e gi estados quânticos, onde o subscrito i 
significa o número de leveis de energia. Há maneiras de escolher gi onde colocar a 
primeira partícula. Cada nível doador tem duas possibilidades da orientação do spin 
para um elétron doador; então, cada nível doador tem dois estados quânticos. A inserção 
de um elétron em um estado quântico, contudo, se opões a colocar um elétron em um 
segundo estado quântico. 
Adicionando um elétron, o requerimento de vaga do átomo é satisfeita, e um 
adicionamento de um segundo elétron em um nível doador não é possível. 
A função de distribuição de um elétron doador em um estado de energia de 
doadores é então ligeiramente diferente que a função Fermi-Dirac. 
 A função de probabilidade de elétrons ocupa o estado de energia do doador é 
 
 
 
onde Nd é a densidade de elétrons que ocupam o nível doador e Ed é a energia de um 
nível doador. O fator multiplicante ½ é um resultado direto do fator spin já mencionado. 
O fator ½ é as vezes escrito 1/g, onde g é chamado de fator degenerante. 
 A equação (4.50) pode ser escrita também da seguinte forma, 
 
 
onde Nd+ é a concentração dos doadores ionizados. Em muitas aplicações, nós iremos 
nos interessar mais nas concentrações dos doadores ionizados que nas concentrações 
dos elétrons restantes (remanescentes, que sobraram) do estado dos doadores. 
 Se nos fizermos o mesmo tipo de análise para os átomos receptores, nós 
obteremos a expressão, 
 
onde Na é a concentração dos átomos receptores, Ea é o nível de energia dos átomos 
receptores, Pa é a concentração dos espaços vazios dos estados dos receptores, e Na- é a 
concentração do receptores ionizados. Um buraco em um estado receptor corresponde a 
um átomo receptor com uma carga e ainda tem uma ligação de posição “vazia” como 
nós discutimos na secção 4.2.1. O parâmetro g é, mais uma vez, o fator degenerante. O 
fator degenerante no estado fundamental g é normalmente tomado como nível quatro 
dos receptores no Silício e no Arsênio de Gálio por causa da estrutura detalhada da 
banda. 
 
4.2.2 Ionização completa e Freeze-out “Fuga do frio” 
 
A função de probabilidade para elétrons em estados de energia de doadores eram 
apenas dado pela equação (4.50). Se nós assumirmos que então 
 
 
 
Se então a aproximação de Boltzmann é também válida somente para os 
elétrons da banda de condução de modo que, dado a equação (4.11) 
 
 
Nós podemos determinar o número relativo de elétrons do estado de doadores 
comparado com o número total de elétrons; portanto, nós podemos considerar a 
proporção de elétrons do estado dos doadores com o número total de elétrons em uma 
banda de condução de mais baixo estado. Usando as expressões (4.53) e (4.11), nós 
escrevemos 
 (4.54) 
 
A energia Fermi cancela essa expressão. Dividindo pelo termo do numerador, nós 
obtemos 
 
 (4.55) 
 
O fator (Ec – Ed) é justamente a energia de ionização dos elétrons doadores. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.7 | Objetivo 
 
Determinar a fração dos elétrons totais que ainda estão no estado dos doadores em T = 
300 K, em uma concentração Nd = 10^16 cm^-3. 
 
∎Solução 
 
Usando a equação (4.55), nós encontramos 
 
∎Comentário 
 
Esse exemplo mostra que existem muitos poucos elétrons do estado de doadores com a 
condução de banda. Essencialmente, todos os elétrons do estado dos doadores são da 
banda de condução e, desde somente 0,4% dos estados doadores contém elétrons, o 
estado dos doadores diz-se ser completamente ionizados. 
 
 
À temperatura ambiente, então, o estado dos doadores são essencial e 
completamente ionizados e para uma típica impureza de 10^16 cm^-3, quase todas os 
átomos doadores impuros tem doado um elétron à banda de condução. 
À temperatura ambiente, há também essencial e completamente ionização dos 
átomos receptores. 
Isso significa que cada átomo receptor tem aceitado um elétron da banda de 
valência de modo que Pa é zero. Em concentrações típicas de receptor impuro, um 
buraco é criado na banda de valência para cada átomo receptor. Esse efeito de ionização 
e a criação de elétrons e buracos na banda de condução e valência, respectivamente, são 
mostrados na Figura 4.12. 
 
 
Figura 4.12 | Diagrama de banda de energias mostrando a completa ionização dos (a) 
estados doadores e (b) dos estados receptores. 
 
 
Figura 4.13 | Diagrama de banda de energias em T= 0 K para semicondutores do (a) 
tipo-n e (b) tipo-p. 
 
O oposto da ionização completa ocorre em T = 0 K. Em absoluto grau zero, 
todos os elétrons estão em seus mínimos estados possíveis de energia; que é, para um 
semicondutor tipo-n, cada estado doador deve conter um eletro, portanto nd = Nd ou 
Nd+ = 0. Nós devemos ter em mente, então, que a equação (4.50) que exp[(Ed – Ef)/kT] 
= 0. Desde que T = 0 K, isso ocorrerá para o que significa Ef > Ed. O 
nível de energia Fermi deve está sobre o nível de energia doador em zero absoluto. 
Nesse caso, o semicondutor do tipo-p em temperatura de zero absoluto, os átomos 
impuros não conterão qualquer elétron, de modo que o nível de energia Fermi deve ser 
abaixo do estado de energia receptor. A distribuição dos elétrons em diferentes estados 
de energia, e, portanto, a energia Fermi, é uma função de temperatura. 
Uma detalhada análise, não é dada nesse texto, mostra que em T = 0 K, a energia 
Fermi está no meio do caminho entre Ec e Ed para o material do tipo-n e metade do 
caminho entre Ea e Ev material do tipo-p. A Figura 4.13 mostra esses efeitos. Sem 
elétrons do estado doador são termicamente elevado em uma banda de condução; esse 
efeito é chamado de freeze-out “fuga do frio”. 
Entre T = 0 K, quando não compensado, e T = 300 K, de ionização completa, 
temos ionização parcial dos átomos doadores ou aceitadores. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.8 | Objetivo 
 
Para determinar a temperatura à qual 90 por cento de átomos de aceitadores são 
ionizados. 
Considere p-type de silício dopado com boro a uma concentração de Na = 10
16
 cm
-3
. 
 
∎Solução 
 
Localizar a proporção de furos no estado aceitador para o número total de orifíciosna 
banda de valência mais estado aceitador. Levando em conta a aproximação Boltzmann e 
assumindo o fator de degenerescência g = 4, escrevemos: 
 
 
 
Para 90 por cento de ionização, 
 
 
 
Usando tentativa e erro, descobrimos que T = 193 K. 
 
 
∎Comentário 
Este exemplo mostra que a cerca de 100 ° C abaixo da temperatura ambiente, ainda tem 
90 por cento dos átomos ionizados aceitadores, em outras palavras, 90 por cento dos 
átomos aceitadores têm "doado" um buraco para a banda de valência. 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E4.9: Determine a fração do total de buracos ainda nos estados aceitadores de silício em 
T = 300 K para uma concentração de boro com impureza de Na = 10
17
 cm
-3
 
 
E4.10: Considere o silício com uma concentração de impurezas de fósforo de Nd = 5 x 
10
15
 cm
-3
. Plot a percentagem de átomos de impureza ionizados em função da 
temperatura ao longo do intervalo 
______________________________________________________________________ 
 
4.5 | CARGA NEUTRALIZADA 
 
Em equilíbrio térmico, o cristal semi-condutor é eletricamente neutro. Os elétrons são 
distribuídos entre os diversos estados de energia, criando cargas negativas e positivas, 
mas a densidade de carga líquida é zero. Esta condição de carga-neutralidade é utilizada 
para determinar o equilíbrio do eletron térmico e buraco de concentrações como uma 
função da concentração de impureza dopagem. Vamos definir um semicondutor 
compensados e, em seguida, determinar os elétrons e buracos concentrarions em função 
do doador e receptor concentrataions. 
 
4.5.1 Semicondutores Compensados 
 
Um semicondutor compensado é aquele que contém ambos os átomos de dadores e 
aceitador de impurezas na mesma região. Um semicondutor compensada pode ser 
formado, por exemplo, por difusão de impurezas aceitadoras em um material do tipo n, 
ou por difusão de impurezas doadoras em um material do tipo p. Um semicondutor do 
tipo n compensado ocorre quando Nd > Na, e semicondutor do tipo p ocorre quando Na 
> Nd. Se Na = Nd, temos um semicondutor completamente compensado, que tem as 
características de um material intrínseco. Semicondutores compensados são criados 
naturalmente durante a fabricação de dispositivos, como veremos mais tarde. 
 
4.5.2 Eletrons em Equilibrio e Concentrações no Buraco 
 
A figura 4.14 mostra o diagrama da banda de energia de um semicondutor em que 
ambos os átomos, dador e aceitador de impurezas são adicionados à mesma região para 
formar uma compensação do semicondutor. 
 
 
 
Figura 4.14 | Diagrama de banda de energia de um semicondutor compensado, 
mostrando doadores e receptores de ionizado e não ionizado. 
A figura mostra como os elétrons e buracos podem ser distribuídos entre os vários 
estados. 
A condição de neutralidade de carga é expressa pela equação da densidade de 
cargas negativas para a densidade de cargas positivas. Temos, então, 
 
 (4.56) 
 
ou 
 (4.57) 
 
Onde n0 e p0 são as concentrações-equilíbrio térmico de elétrons e buracos na banda de 
banda de condução e de valência, respectivamente. O parâmetro Nd é a concentração de 
elétrons na energia dono, assim Nd
+
 = Nd – nd é a concentração de estados doadores 
carregados positivamente. Da mesma forma, pa é a concentração de estados aceitadores 
netatively carregadas. Temos expressões para n0, p0, n0 e pa em termos de energia Fermi 
e temperatura. 
 Se partirmos do princípio de ionização completa, na e pa são ambos zero, e a 
Equação (4.57) torna-se 
 (4.58) 
 
Se expressarmos p0 como ni²/n0, a Equação (4.58) pode ser escrita como: 
 (4.59a) 
 
Que por sua vez pode ser escrita como: 
 
 (4.59b) 
 
 
A concentração de eletron n0 pode ser determinada usando a fórmula quadrática, ou 
 
 (4.60) 
 
O sinal positivo na fórmula quadrática deve ser utilizado, uma vez que, no limite de um 
semicondutor intrínseco quando Na = Nd = 0, a concentração de elétrons deve ser uma 
quantidade positiva, ou n0 = ni. 
 A equação (4,60) é usada para calcular a concentração de electrons num 
semicondutor do tipo n, ou quando Nd > Na. Embora a equação (4.60) seja derivada por 
um semicondutor compensada, é válida também para Na = 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.9 | Objetivo 
 
Determinar o equilíbrio térmico das concentrações de eletrons e buraco para uma 
concentração de dopagem. 
 Considere um semicondutor de silício do tipo n, quando T = 300 K, em que Nd = 
10
16
 cm
-3
, e Na = 0. A concentração de portadores intrínseca é assumida como sendo ni = 
1.5 x 10
10
 cm
-3
. 
 
∎Solução 
 
A partir da Equação (4,60), a maioria da concentração de eletrons é: 
 
A minoria da concentração do buraco é encontrada como: 
 
 
∎Comentário 
Neste exemplo, Nd >> ni, de modo que a maioria do equilíbrio de concentração dos 
eletrons portadores térmicos é essencialmente igual à concentração do doador da 
impureza. A maioria dos portadores minoritários e concentrações de equilíbrio térmico 
pode ser diferente por várias ordens de magnitude. 
______________________________________________________________________ 
 
Nós argumentamos em nossa discussão e podemos observar a partir dos 
resultados do Exemplo 4.9 que a concentração de elétrons na banda de condução 
aumenta acima da concentração de portadores intrínsicos à medida que acrescentamos 
átomos doadores de impureza. Ao mesmo tempo, a concentração de buracos portadores 
minoritários diminui abaixo da concentração transportadora intrínsica para adicionar 
átomos doadores. Devemos ter em mente que à medida que acrescentamos átomos de 
impureza dos doadores e os elétrons doadores correspondentes, há uma redistribuição de 
elétrons entre os estados de energia disponíveis. A Figura 4.15 apresenta um esquema 
desta redistribuição física. 
 
Figura 4.15 | Diagrama de Energia-banda mostrando a redistribuição dos elétrons 
quando os doadores são adicionados. 
Alguns dos elétrons doadores vai cair em estados vazios na banda de valência e, ao 
fazê-lo, vai aniquilar alguns dos buracos intrínsecos. A minoria da concentração de 
buracos portadores, vai diminuir como vimos no Exemplo 4.9. Ao mesmo tempo, por 
causa desta redistribuição, a concentração de líquida de elétrons na banda de condução 
não é simplesmente igual à concentração do doador de elétrons mais a concentração 
intrínseca. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 4.10 | Objetivo 
 
Para calcular o equilíbrio térmico das concentrações de elétrons e buracos em uma 
amostra de germânio para uma determinada densidade de doping. 
Considere-se uma amostra de germânio em T = 300K em que Nd = 5x10
13
 cm
-3
. 
Suponha que ni = 2,4x10
 13 
cm
-3
 
 
∎Solução 
 
Mais uma vez, a partir da Equação (4,60), a maioria da concentração de elétrons é 
portador 
𝑛₀ =
5𝑥1013
2
+ √(5𝑥1013)2 + +(2,4𝑥1013)2 = 5,97 × 1013𝑐𝑚⁻³ 
 
A minoria da concentração é buracos portadores 
𝑝₀ =
𝑛ᵢ2
𝑛₀
=
(2,4 × 1013)2
5,97 × 1013
= 9,65 × 1012 
 
∎Comentário 
Se a concentração do doador de impureza não é muito diferente em magnitude da 
concentração intrínseca do transportador, então o equilíbrio térmico da concentração da 
maioria dos elétrons transportador é influenciado pela concentração intrínseca. 
 
 
Vimosque q concentração de portadores intrínseca ni é uma função fortemente 
relacionada com a temperatura. Como a temperatura aumenta, os pares de elétrons-
buracos adicionais são geradas termicamente de modo que o ni
2
 termo na equação (4.60) 
pode começar a dominar. O semicondutor acabará por perder suas características 
extrínsecas. Figura 4.16 mostra a concentração de elétrons em função da temperatura 
em silício dopado com 5x10
14
 doadores por cm
3
. Como a temperatura aumenta, 
podemos ver onde a concentração intrínseca começa dominar. Também é mostrada a 
ionização parcial, ou o aparecimento de congelamento fora, com a baixa temperatura. 
Se reconsiderar equação (4.58) e expressar n0 como ni
2
/p0, então temos 
 
 
𝑛𝑖2
𝑝₀
+ 𝑁a = 𝑝₀ + 𝑁d (4.61a) 
 
Que podemos escrever como 
 𝑝₀2 − (𝑁𝑎 − 𝑁d)𝑝₀ − 𝑛𝑖2 = 0 (4.61b) 
 
 
Figura 14.16 | Concentração de elétrons em função da temperatura que mostra as três 
regiões: ionização parcial, extrínsecos e intrínsecos. 
 
Usando a fórmula quadrática, a concentração dos buracos é dada pela 
 
 𝑝₀ =
𝑁𝑎−𝑁𝑑
2
+ √
(𝑁𝑎−𝑁𝑑)2
2
+ 𝑁𝑖2 (4.62) 
 
em que o sinal de posição, de novo, deve ser utilizado. A equação (4.62) é usada para 
calcular o equilíbrio térmico da concentração majoritária de buracos em um 
semicondutor do tipo p, ou quando Na> Nd. Esta equação também se aplica para Nd = 0. 
 
Exemplo 4.11 | Objetivo 
 
A calcular o equilíbrio térmico da concentração de elétrons e buracos em um 
semicondutor do tipo p compensado. 
Considere-se um semicondutor de silício em T = 300K em que Na = 10
16
 ... e Nd 
= 3x10
15
 cm
-3
. Supor que ni = 1.5x10
10
 cm
-3
. 
 
∎Solução 
 
Desde Na > Nd, o semicondutor compensado é p-type e o equilíbrio térmico da 
concentração majoritária de buracos portadores é a dada pela equação (4.62) como 
 
 
 𝑝₀ =
1016−3×1015
2
+ √
(1016−3×1015)2
2
+ (1,5 × 1010)2 
 
De modo que 
 
𝑝₀ = 7 × 1015𝑐𝑚⁻³ 
 
 
A concentração de elétrons portadores minoritários é 
 
𝑛₀ =
𝑛ᵢ2
𝑝₀
=
(1.5 × 1010)2
7 × 1015
≈ 3.21 × 104𝑐𝑚⁻³ 
 
∎Comentário 
Se assumirmos ionização completa e se (Na - Nd) >> ni, em seguida a parte majoritária 
de buraco transportadores é, para uma aproximação muito boa, apenas a diferença entre 
a concentração do aceitador e do doador. 
 
 
Podemos notar que, para um semicondutor do tipo p compensado, a minoria da 
concentração de elétrons transportadores é determinada a partir 
𝑛₀ =
𝑛𝑖2
𝑝₀
=
𝑛𝑖2
𝑁𝑎 − 𝑁𝑑
 
 
Projeto – Exemplo 4.12 | Objetivo 
 
Para determinar a concentração de impurezas na dopagem necessário em um material 
semicondutor. 
Um dispositivo de silício com o material do tipo n é para ser operado em T = 
500K. A esta temperatura a concentração de portador intrínseca não deve contribuir 
mais do que 5 por cento da concentração total de elétrons. Determinar a concentração 
mínima de doadores necessários para atender a essa especificação. 
 
∎Solução 
 
Na T = 500K, a concentração intrínseca de portadores é encontrado a partir da Equação 
(4.23) como 
 
𝑛𝑖2 = 𝑁𝑐𝑁𝑒 exp (
−𝐸𝑔
𝑘𝑇
) = ( 2.8 × 101⁹)(1.04 × 1019)(
550
300
)³exp [
−1.12
0.0259
(
300
550
)] 
 
ou 
 
𝑛𝑖2 = 1.02 × 1029 
 
de modo que 
 
𝑛𝑖 = 3.20 × 1014𝑐𝑚−3 
 
Para a concentração intrínseca de portadores que contribui com apenas 5 por cento da 
concentração total de elétrons, definido n0 = 1.05Nd. 
A partir da equação (4.60), temos 
 
𝑛 =
𝑁𝑑
2
+ √[(
𝑁𝑑
2
)
2
+ (3.20 × 1014)2] 
ou 
1.05𝑁𝑑 =
𝑁𝑑
2
+ √[(
𝑁𝑑
2
)
2
+ (3.20 × 1014)2] 
 
 
que resulta 
𝑁𝑑 = 1.39𝑥10
15 𝑐𝑚−3 
 
 Comentário 
Se a temperatura se mantiver inferior a T = 550 K, então a concentração intrínseca de 
portadores irá contribuir com menos do que 5 por cento da concentração total de 
elétrons para esta concentração do doador de impureza. 
 
 
As equações (4.60) e (4.62) são utilizados para calcular a concentração de elétrons 
portadores majoritários numa concentração de lacunas no semicondutor do tipo n e dos 
transportadores majoritários em um semicondutor do tipo p, respectivamente. A 
concentração dos portadores minoritários de lacunas em um semicondutor do tipo n 
poderia, teoricamente, ser calculada a partir da Equação (4.62). No entanto, seria como 
subtrair dois números na ordem de 10
16
 cm
-3
, por exemplo, para obter um número da 
ordem de 10
4
 cm
-3
, que a partir de um ponto de vista prático não é possível. As 
concentrações de portadores minoritários são calculadas a partir 𝑛0𝑝0 = 𝑛𝑖
2 uma vez 
que a concentração de portadores majoritários tenha sido determinada. 
 
 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E4.11: Considerar um compensado semicondutor GaAs a T = 300K dopado em Nd = 
5x10
15
cm
-3
. Calcular a concentração de elétrons e lacunas no equilíbrio térmico. (Resp. 
𝑝0 = 1,5𝑥10
16𝑐𝑚3, 𝑛0 = 2,16𝑥10
−4𝑐𝑚−3) 
 
E4.12: Silício é dopado em N𝑑 = 10
15𝑐𝑚−3 e Nd = 0. (a) Traçar a concentração de 
elétrons em função da temperatura ao longo da gama 300 ≤ T ≤ 600K. (b) Calcular a 
temperatura a que a concentração de elétrons é igual a 1,1𝑥10−15𝑐𝑚−3. (Resp. 
T≈552K) 
 
 
4.6 | POSIÇÃO DO NÍVEL DE ENERGIA DE FERMI 
 
Discutimos qualitativamente na Seção 4.3.1 como as concentrações de elétrons e 
lacunas alteram o nível de energia de Fermi e se movem através da energia bandgap 
(energia da banda proibida). Em seguida, na seção 4.5, foi calculada e concentração de 
elétron e lacunas em função das concentrações de doador e receptor de impureza. 
Podemos agora determinar a posição do nível de energia de Fermi em função das 
concentrações de dopagem e como uma função da temperatura. A relevância do nível de 
energia Fermi será discutida após as derivações matemáticas. 
 
4.6.1 Derivação Matemática 
 
A posição do nível de energia de Fermi dentro da banda proibida pode ser determinada 
usando as equações já desenvolvidos para a concentração de elétrons e lacunas no 
equilíbrio térmico. Se assumirmos a aproximação de Boltzmann para ser válido, em 
seguida, a partir da Equação (4.11), temos n0 = Nc exp [- (Ec-EF) / kT]. Podemos 
resolver para Ec-EF a partir desta equação e obtemos 
 
𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛 (
𝑁𝑐
𝑛0
) (4.63) 
 
onde n0 é dado pela Equação (4.60). Se considerarmos um semicondutor tipo n em que 
Nd>> ni, então n0≈Nd, de modo que 
 
𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛 (
𝑁𝑐
𝑁𝑑
) (4.64) 
 
A distância entre a parte inferior da banda de condução e a energia de Fermi é 
uma função logarítmica da concentração do doador. Como a concentração do doador 
aumenta, o nível de Fermi se move para mais perto da banda de condução. Por outro 
lado, se o nível de Fermi se move para mais perto da banda de condução, em seguida, a 
concentração de elétrons na banda de condução é aumentada. Podemos notar que, se 
tivermos um semicondutor compensado, então o termo Nd na Equação (4.64) é 
simplesmente substituído por 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎, ou a concentração líquida efetiva dos doadores. 
 
Projeto – Exemplo 4.13 | Objetivo 
 
Para determinar a concentração do doador de impureza necessária para obteruma 
energia de Fermi especificada. 
Silício a T = 300K contém uma concentração de impurezas aceitante de 𝑁𝑎 =
 1016𝑐𝑚−3. Determinar a concentração de átomos doadores de impurezas que devem 
ser adicionados de modo que o silício é do tipo n e a energia de Fermi é de 0,20 eV 
abaixo da banda de condução. 
 
 Solução 
 
Da Equação (4.64) temos 
𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛 (
𝑁𝑐
𝑁𝑑 − 𝑁𝑎
) 
 
Que pode ser reescrita como 
𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 = 𝑁𝑐 exp [
−(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹)
𝑘𝑇
] 
então 
𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 = 2,8𝑥10
19 exp [−
0,20
0,0259
] = 1,24𝑥1016𝑐𝑚−3 
ou 
𝑁𝑑 = 1,24𝑥10
16 + 𝑁𝑎 = 2,24𝑥10
16𝑐𝑚−3 
 Comentário 
Um semicondutor compensado pode ser fabricado para proporcionar um nível de 
energia de Fermi especificado. 
Podemos desenvolver uma expressão ligeiramente diferente para a posição do nível de 
Fermi. Tivemos a partir da Equação (4.39), que 𝑛0 = 𝑛𝑖 exp [(𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖)/𝑘𝑇]. 
Podemos resolver para 𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖 como 
𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖 = 𝑘𝑇 ln (
𝑛0
𝑛𝑖
) (4.65) 
A Equação (4.65) pode ser usada especificamente para um semicondutor tipo n, onde n0 
é dado pela Equação (4.60), para encontrar a diferença entre o nível de Fermi e o nível 
de Fermi intrínseco como uma função da concentração dos doadores. Temos que notar 
que se a concentração líquida efetiva de doadores é zero, isto é, Nd – Na = 0, então n0=ni 
e EF = EFi. Um semicondutor completamente compensado tem características de um 
material intrínseco em termos de concentração de transportadores e posição do nível de 
Fermi. 
Podemos derivar os mesmos tipos de equações para um semicondutor tipo p. Da 
Equação (4.19), temos 𝑝0 = 𝑁𝑣 𝑒𝑥𝑝[− (𝐸𝐹 − 𝐸𝑣)/𝑘𝑇], de modo que 
𝐸𝐹 − 𝐸𝑣 = 𝑘𝑇 ln (
𝑁𝑣
𝑝0
) (4.66) 
Se assumirmos que 𝑁𝑎 >> 𝑛𝑖, a Equação (4.66) pode ser reescrita como 
𝐸𝐹 − 𝐸𝑣 = 𝑘𝑇 ln (
𝑁𝑣
𝑁𝑎
) (4.67) 
 
A distância entre o nível de Fermi e o topo da banda de valência para um 
semicondutor tipo p é uma função logarítmica da concentração de aceitadores: se a 
concentração de aceitadores aumenta, o nível de Fermi aproxima-se da banda de 
valência. Equação (4.67) ainda assume que a aproximação de Bolstzmann é válida. 
Novamente, se temos um semicondutor tipo p compensado, então o termo Na na 
Equação (4.67) é substituído por Na – Nd, ou a concentração líquida de aceitadores. 
Também podemos derivar uma expressão para a relação entre o nível de Fermi e 
o nível de Fermi intrínseco em termos da concentração de lacunas. Temos da Equação 
(4.40) que 𝑝0 = 𝑛𝑖 exp [−(𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖)/𝑘𝑇], que resulta 
 
𝐸𝐹𝑖 − 𝐸𝐹 − 𝑘𝑇 ln (
𝑝0
𝑛𝑖
) (4.68) 
 
A Equação (4.68) pode ser usada para encontrar a diferença entre o nível de Fermi 
intrínseco e a energia de Fermi em termos da concentração de aceitadores. A 
concentração de lacunas 𝑝0 na Equação (4.68) é dada pela Equação (4.62). 
Podemos notar novamente da Equação (4.65) que, para um semicondutor tipo n, 
n0>ni e EF>EFi. O nível de Fermi para um semicondutor tipo n está acima de EFi. Para 
um semicondutor tipo p, p0 >ni, e para a Equação (4.68) vemos que 
 
 
Figura 4.17 | Posição do nível Fermi para um semicondutor (a) tipo n (𝑁𝑑>𝑁𝑎) e (b) 
tipo p (𝑁𝑑>𝑁𝑎). 
 
𝐸𝐹𝑖 > 𝐸𝐹 . O nível de Fermi para um semicondutor do tipo p esta abaixo de 𝐸𝐹𝑖 . Onde é 
mostrado na figura 4.17. 
 
4.6.2 Variação de 𝑬𝑭 com concentração de dopagem e temperatura 
 
Podemos traçar a posição do nível de energia de Fermi como uma função de 
concentração de dopagem.A figura 4.18 mostra que o nível de energia de Fermi como 
uma função de concentração de doadores (tipo n) e como uma função de concentração 
de receptores (tipo p) para o silício T=300K.Como os níveis de dopagem aumentam,o 
nível de energia de Fermi aproxima-se da banda de condução para o material do tipo n e 
mais perto da banda de Valência para o material do tipo p. Manter em mente que as 
equações para o nível de energia de Fermi que temos pressupor que a aproximação de 
Boltzmann é valida. 
 
Figura 4.18 | Posição do nível de Fermi como uma função de concentração de doadores 
(tipo n) e de concentração de receptores (tipo p). 
 
 
______________________________________________________________________ 
Projeto – Exemplo 4.13 | Objetivo 
 
Determinar a posição e o nível de Fermi e a dopagem máxima para à qual a 
aproximação Boltzmann ainda é válido. 
Considerar o silício (tipo p), à T = 300k, dopado com boro.Podemos assumir 
que o limite da aproximação Boltzmann ocorre quando 𝐸𝐹 - 𝐸𝑎 = 3kT.(Ver seção 4.1.2). 
 
 Solução 
Da tabela 4.3, encontramos que a energia de ionização é 𝐸𝐹𝑖 -𝐸𝐹𝑖 =0.045 eV para o boro 
no silício.Se assumimos que 𝐸𝐹𝑖 ≈ 𝐸𝑚𝑖𝑑𝑔𝑎𝑝 ,em seguida , da equação (4.68), a posição 
do nível de Fermi para a dopagem máxima é dada por: 
 
ou 
 
Então podemos resolver para a dopagem como 
 
 
 Comentário 
 
Se a concentração de receptores (ou doadores) no silicone é maior do que cerca de 
3 𝑥 1017 𝑐𝑚−3, em seguida, à aproximação de Boltzmann na função de distribuição 
torna-se menos válidas e as equações para a posição de nível de Fermi já não são tão 
precisos. 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E.4.13: Determinar a posição do nível de Fermi em relação à energia da banda de 
valência no GaAs do tipo p à T=300k.As concentrações de dopagem são 𝑁𝑎= 
5 𝑥 1016𝑐𝑚−3 e 𝑁𝑑= 4 𝑥 10
15𝑐𝑚−3. 
Resposta: 𝐸𝐹 − 𝐸𝑣 = 0.130eV. 
 
E.4.14: Calcular a posição do nível de energia de Fermi no silício do tipo n, à T = 300K 
no que diz respeito à energia intrínseca do nível de Fermi. As concentrações de 
dopagem são e 𝑁𝑑 = 2 𝑥 10
17𝑐𝑚−3 e 𝑁𝑎 = 3 𝑥 10
16𝑐𝑚−3. 𝐸𝐹 − 𝐸𝐹𝑖 = 0.421eV. 
______________________________________________________________________ 
 
A concentração de portador intrínseco 𝑛𝑖 nas equações (4.65) e (4.68), é uma 
forte função da temperatura, de modo que 𝐸𝐹 também é uma função da temperatura. A 
figura 4.19 mostra a variação do nível de energia de Fermi no silício com a temperatura 
para várias concentrações de doadores e receptores. Com o aumento da temperatura, 𝑛𝑖 
, aumenta, e 𝐸𝐹 se aproxima do nível intrínseco de Fermi. 
Em altas temperaturas, o material semicondutor começa a perder suas 
características extrínsecas e começa a se comportar mais como um semicondutor 
intrínseco. Em temperaturas muito baixas, ocorre o congelamento, a aproximação de 
Boltzmann não é mais válido e as equações que derivou da posição do nível de Fermi já 
não são mais validas. Em temperaturas muito baixas onde o congelamento ocorre, o 
nível de Fermi vai para cima de 𝐸𝑑 no material do tipo n e abaixo de 𝐸𝑎 no material do 
tipo p . Em zero graus absolutos , todos os estados de energia abaixo de 𝐸𝐹 estarão 
cheios e todos os estados de energia acima de 𝐸𝐹 estarão vazios. 
 
Figura 4.19 | Posição do nível de Fermi como uma função da temperatura para várias 
concentrações de dopagem. 
 
4.6.3 Relevância da energia de Fermi 
 
Nós temos calculado a posição do nível de energia de Fermi em função das 
concentrações de dopagem e temperatura. Essa análise pode parecer um tanto arbitrária 
e fictícia. Contudo, essas relações se tornam significativos mais tarde na nossa 
discussão de junções pn e outros dispositivos semicondutores que consideramos. Um 
ponto importante é que, em equilíbrio térmico, o nível de energia de Fermi é uma