Logaritmos e Propriedades

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Logaritmos
Carlos Eduardo
Caruaru, 2013.
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Logaritmo como expoente
O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja:
2x = 8
⇒ x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
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Definição
Suponhamos dois números reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ ax = b
 a é a base;
 b é o logaritmando ou antilogaritmo;
 x é o logaritmo;
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Exemplos
Calcular log4 8.
log4 8 = x
⇒ 4x = 8
⇒ (22)x = 23
⇒ 22x = 23
⇒ x = 3/2
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Exemplos
Calcular log1/3 √9.
5 
 log1/3 √9 = x
5 
⇒ 
1
3 
x 
=
 √9
5 
⇒ (3–1)x = 32/5
⇒ 3–x = 32/5
⇒ –x = 2/5
⇒ x = –2/5
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Condição de existência do logaritmo
Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições:
 loga b = x ⇔ 
 b > 0
 a > 0
 a ≠ 1
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Condição de existência
Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos.
log2 (–4) = x
⇒ 2x = –4
impossível
log–2 8 = x
⇒ (–2)x = 8
impossível
log7 0 = x
⇒ 7x = 0
impossível
log1 6 = x
⇒ 1x = 6
impossível
log0 2 = x
⇒ 0x = 2
impossível
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Consequências da definição
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Conseqüências da definição
Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição.
loga 1 = 0
loga a = 1
loga ak = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
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Exemplos
log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
log3 39 = 9
log10 10–3 = –3
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Conseqüências da definição
Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade:
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Exemplos
log5 3
 5
= 3
1 + log2 6
 2
= 21.2
 log2 6
= 2.6 = 12
1 – log15 3
 15
=
 log15 3
151
15 
=
15
3 
= 5
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Sistema de logaritmos
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Sistema de logaritmos
Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:
O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x.
log x → logaritmo decimal de x (base 10)
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Exemplos
log 1000 = log10 1000 = 3
log 0,01 = log10 10–2 = –2
log 1 = log10 1 = 0
log 100 = log10 100 = 2
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Sistema de logaritmos
O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e.
Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828.
O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x.
Ln x → logaritmo natural de x (base e)
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Exemplos
Ln e = loge e = 1
Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3
Ln e3 = loge e3 = 3
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Observação
Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b.
cologb a = – logb a
 colog2 8 = – log2 8 = –3 
 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2 
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Mudança de base
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Fórmula de mudança de base
De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida.
logk a
logk b
Logb a = 
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Exemplos
Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6.
loge 6
loge 2
log2 6 = 
Ln 6
Ln 2
=
1,792
0,693
=
= 2,586
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Exemplos
Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
log 3
log 2
log2 3 = 
0,48
0,30
=
1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
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Generalizando
Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos:
loga a
loga b
logb a = 
1
loga b
logb a = 
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Propriedades dos logaritmos
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Logaritmo do produto
De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
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Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.
 log 26 = log (2.13)
= log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
 log 2000 = log (2.1000)
= log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
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Logaritmo do quociente
De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base.
Loga = loga x – loga y
 x
y
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Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log 
 10
2
= log 10 – log 2 
= 1 – 0,301
⇒ log 5 = 0,699
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pH
pH = -log[H+] pOH = -log[OH] 
pH+pOH = 14
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Exercícios
1- Qual o pH de uma solução de concentração hidrogeniônica igual a 10–5 ?
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Exercícios
2- Qual o pH de uma solução de HCl 0,01 M que está totalmente ionizada?
	 HCl  H+ + Cl
	10-2M    10-2M 10-2M
 
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Exercícios
3-Qual o pH de uma solução de HCN 0,02 molar que está 0,5% ionizada?
HCN    H+ + CN-
0,02 M  ------ 100%
X M        ------  0,5%
X = 10-4M
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4- Qual o pH de uma solução de H2SO4 0,000005 molar?
 H2SO4  2H+  + SO4-
 5.10-6M  2x5.10-6M 5.10-6M
  10-5M 
	[H+] = 10-5M
	pH = -log[H+]
	pH = -log10-5
	pH = 5
Exercícios
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5- Ao tomar água, um indivíduo diluiu seu suco gástrico (solução contendo ácido clorídrico), de pH = 2, de 50 mL para 500 mL. O pH da solução resultante, logo após a ingestão de água, é igual a?
Exercícios
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5- Resposta.
pH = 2 – log[H+] = 2 (– 1)  log[H+] = – 2 
[H+] = 10–2 mol/L Fazendo a diluição do suco gástrico: M . V = M’ . V‘ 10–2 · 50 =M’ . 500
M’ = 10–3 mol/L è concentração molar do H+ 
pH = – log[H+] pH = – log10–3 pH = 3 
Exercícios
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Obrigado!