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Cálculo Vetorial ENGENHARIA: CICLO BÁSICO DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROF. M.Sc. ELIAS ARCANJO 1. PROFESSOR NA NET: professoreliasarcanjo@gmail.com 2. ENG. NASSAU NA NET: http://blogs.uninassau.edu.br/ 3. OPORTUNIDADES: http://carreiras.sereducacional.com 4. EMENTA: • Funções de várias variáveis; • Derivadas Parciais; • Campos escalares e vetoriais; • Gradiente; • Derivada Direcional; • Divergência; Rotacional; • Laplaciano; • Funções vetoriais; • Integrais Múltiplas; • Integral de linha; • Teorema da Divergência, de Green e Stokes. BIBLIOGRAFIA 5. LIVROS-TEXTOS: 1. STEWART, JAMES. “ Cálculo Vol. 2”; Cengage Learning 2. LARSON, HASTETLER e EDWARDS. “Cálculo com Aplicações”. Ed LTC. 3. MORETTIN, PEDRO A; HAZZAN, SAMUEL. “Cálculo- Funções de uma e várias variáveis”; Ed. Saraiva . 6. LIVROS COMPLEMENTARES: 1. Hamilton Luiz Guidorizzi, “Um Curso de Calculo” Vol II. Ed LTC. 2. Deborah Hughes, “Calculo Vol. 2 - a Uma e a Várias Variáveis” Ed LTC. 3. LEITHOLD, Louis. “O Cálculo com Geometria Analítica”. Ed Harbra, PROGRAMAÇÃO I UNIDADE 1. Funções de várias variáveis; 2. Derivadas Parciais; 3. Campos escalares e vetoriais; 4. Gradiente e Derivada Direcional; 5. Divergência 6. Rotacional e Laplaciano; II UNIDADE 7. Integrais Múltiplas; 8. Integrais polares; 9. Integral de linha; 10. Teorema da Divergência, de Green e Stokes DISCIPLINAS RELACIONADAS • GEOMETRIA ANALÍTICA; • ÁLGEBRA LINEAR; • CÁLCULO DIFERENCIAL; • CÁLCULO INTEGRAL ; CALENDÁRIO DAS AVALIAÇÕES Primeira Avaliação 4 a 11 de outubro Segunda Avaliação 27 de novembro a 4 dezembro Segunda chamada 05 a 12 de dezembro Avaliação Final 13 a 20 de dezembro OBSERVAÇÕES 1. A avaliação de segunda chamada será baseada em todo conteúdo da disciplina. 2. Avaliação Final: só poderá se submeter à avaliação final o aluno que obtiver somatório de notas (1ª e 2ª avaliações) igual ou superior a oito e ter participado de, pelo menos, 75% da carga horária da disciplina. 3. ALERTAS: a. Aluno com falta em número superior a 20 estará automaticamente reprovado. b. O aluno reprovado por falta não poderá fazer prova final. A reprovação por falta sobrepõe-se à aprovação por média. c. É terminantemente proibido falar ao celular, consumir alimentos e fumar na sala de aula. d. Nas avaliações o limite de tolerância para a entrada do aluno em sala será de 50 minutos. Se dentro deste intervalo algum aluno entregar a prova, prevalecerá este tempo como limite. e. Alunos não matriculados não poderão participar de qualquer atividade acadêmica. f. Alunos regularmente matriculados só poderão participar de prova de 2ª chamada se seus nomes constarem na ata fornecida pela Secretaria ou mediante autorização desta. OBSERVAÇÕES REVISÃO • Função de uma variável – Domínio – Imagem – Gráficos • Equação da Circunferência e Elipse – Gráficos • Produto escalas • Produto vetorial FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL • Função: é uma regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de outro conjunto B. Graficamente temos: A B X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3 f(x) Função de uma variável • f(x) Função • X Domínio • Y Imagem LEMBRANDO: O conjunto domínio é formado por todos os elementos que tornam a função possível. EXEMPLO1: • Dada a função f(x) = x² + 4, determine: a) O domínio da função; b) A imagem para x = 2; c) A imagem da função. Solução: a) Df=IR Graficamente: 0 b) Imf para x= 2: f(2)= 2² + 4 = 8 c) Imf= [4, ∞) EXEMPLO2: Dada a função f(x) = 1 , determine: x² + 4 a) O domínio da função; b) A imagem para x = 1; c) A imagem da função. Solução: a) Df=IR Graficamente: 0 b) Imf para x= 1: f(1)= 1 = 0,2 1² + 4 c) Imf= [0 , 0.25] EXEMPLO3: Dada a função f(x) = , determine: a) O domínio da função; b) A imagem para x = 2,5; c) A imagem da função. Solução: a) 2x – 4 ≥ 0 2x ≥ 4 x ≥ 2 Df= {X ε IR / x ≥ 2} b) Imf para x= 2,5: f(2,5)= (2*2,5-4)1/2= 1 c) Imf= [0 , ∞] 42 x 0 2 Graficamente: GRÁFICOS • Função do 1º grau: – f(x)= ax + b • a coeficiente angular (inclinação da reta) • b coeficiente linear Gráficos: y x a>0b y x a<0 b GRÁFICOS • Função do 2º grau: – f(x)= ax² + bx + c Gráficos: y x f(x)= ax² a>0 y f(x)= ax² + c a>0 0,c x EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA • x² + y² = r² Exemplo: x² + y² = 16 x y (r,0)(-r,0) (0,r) (0,-r) y (4,0)(-4,0) (0,4) (0,-4) r²=16 r = + 4 EQUAÇÃO DA ELIPSE • x² + y² = 1 a² b² y x (a,0)(-a,0) (0,b) (0,-b) exemplo2: x² + y² = 1 16 9 y (4,0)(4,0) (0,3) (0,-3) PRODUTO ESCALAR: “Chama-se produto escalar, ou produto interno, a operação na qual se obtêm um número(função escalar) real a partir de dois vetores (funções vetoriais).” zzyyxu vuvuvuvu kji kji zyx zyx vvvv uuuu :que talv e u vetoresos Sejam )kji()kji( zyxzyx vvvuuuvu PRODUTO VETORIAL “ Chama-se produto vetorial a operação entre dois vetores (funções vetoriais) na qual se obtêm um terceiro vetor (função vetorial) ortogonal a estes dois vetores.” kji kji zyx zyx vvvv uuuu :que tal v e u vetoresos Sejam zyx zyx vvv uuu kji vu det CALCULANDO O PRODUTO VETORIAL zyx zyx vvv uuu kji vu det yx yx vv uu ji vu )( jvu xz )( ivu zy )( kvu yx )( kvu xy )( ivu yz )( jvu zx kvuvu jvuvuivuvuvu xyyx zxxzyzzy )( )()( EXERCÍCIOS 1º) Dada a função f(x) = x² + 2, determine: a) O domínio da função; b) A imagem para x = 3; c) A imagem da função. 2º) Dada a função f(x) = 1 , determine: x² - 9 a) O domínio da função; b) A imagem para x = 2; c) A imagem da função. 4º Dado os vetores u= cosxi+exj+5k e v = 3i + xj + senxk, determine: a) u.v b) u x v EXERCÍCIOS 3º) Dada a função f(x) = , determine: a) O domínio da função; b) A imagem para x = 5; c) A imagem da função. 63 x
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