Aula 04 - Aplicação de integral definida - Calculo 2

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4. Aplicação da integral definida
¾ Áreas de figuras planas
¾Volumes de sólidos de revolução
¾Comprimento de arco
Área de figuras planas
Relembrando:
Volumes de sólidos de revolução
1. Volume por fatiamento:
Volumes de sólidos de revolução
Aqui definiremos volumes de sólidos cujas seções
transversais são regiões planas.
Volumes de sólidos de revolução
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 1: Volume de uma pirâmide
Uma pirâmide de 3m de altura tem uma base quadrada com 3m de
lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular a altura x metros abaixo
do vértice, ‘e um quadrado com x metros de lado. Determine o volume da
pirâmide.
Solução:
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 2: Volume de uma cunha
Uma cunha curva obtida por meio de um cilindro de raio 3 por dois
planos. Um deles ‘e perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o
primeiro, formando um ângulo de 45 graus no centro do cilindro. Determine o
volume da cunha.
Solução: Desenhamos a cunha e esboçamos uma seção transversal típica
perpendicular ao eixo x. A seção transversal em x ‘e um retângulo de área:
Volumes de sólidos de revolução
2. Rotação em torno de um eixo: método do disco
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 3: Um solido de revolução
A região entre a curva x = y2, 0 ≤ x ≤ 4, e o eixo x gira em torno desse
eixo para gerar um solido. Determine o seu volume.
Solução:
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 4: Volume de uma esfera
O circulo x2 + y2 = a2 e’ girado em torno do eixo x para gerar uma
esfera. Determine seu volume.
Solução: Imagine a esfera cortada em finas fatias por planos perpendiculares
ao eixo x. A área da seção transversal em um ponto típico entre –a e a ‘e:
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 5: Rotação em torno de uma reta y = 1.
Determine o volume do solido obtido com a rotação, em torno de uma
reta y = 1, da região definida por x = y2 e pelas retas y = 1 e x = 4.
Solução: Desenha-se a figura onde encontra-se a região, ou seja, um raio
típico e o solido gerado. O volume fica sendo:
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 6: Rotação em torno do eixo y.
Solução:
Volumes de sólidos de revolução
3. Rotação em torno de um eixo: método do anel
Volumes de sólidos de revolução
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 6: Seção transversal em forma de anel (rotação em 
torno do eixo x).
Solução:
Volumes de sólidos de revolução
Volumes de sólidos de revolução
Exemplo 7: Seção transversal em forma de anel (rotação em 
torno do eixo y).
Volumes de sólidos de revolução
Solução:
Exercícios ...