aula 12 - Aplicações de integrais - Calculo 2

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5. Aplicações de Integrais 
� Momento de inércia e Centro de massa 
� Trabalho
� Forças e pressões de fluidos 
Momento de Inércia
Em Mecânica, o momento de inércia mede a dificuldade em se
alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente
da massa inercial (que é um escalar) o momento de inércia (que é um
tensor) também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de
rotação escolhido arbitrariamente.
Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais
difícil será fazê-lo girar. Contribui mais para a elevação do momento de
inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro.
Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um
disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia
menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é kg·m².
Por definição, momento de inércia, Mo de uma partícula de
massa m que gira em torno de um eixo, a uma distancia x, dele é dado por
�� =	��� 	�� 			
	
�
�
Momento de Inércia
A Rotação de um eixo em torno da origem, conhecido como
torque, é medido multiplicando-se a força mkg pela distancia xk, do
ponto de aplicação até a origem ( 0 ).
Para obtermos o equilíbrio do sistema ( torque = 0 ), temos que
encontrar o valor de �̅, que é dado por
Esse ponto 	�̅	é chamado de centro de massa do sistema.
Momento de Inércia
1) Momento, massa e centro de massa de barras ou faixas finas ao 
longo do eixo x em função da densidade (δ)
a) Mostre que o centro de massa de uma barra com
densidade constante encontra-se entre os extremos
da mesma
Solução:
Exemplos
b) Uma barra de 10m fica mais espessa da
esquerda para a direita, sendo sua densidade dada
por kg/m. Calcule o seu centro de
massa.
Solução:
Exemplos
Portanto, o centro de massa fica sendo
Momento de Inércia
2) Momento, massa e centro de massa de placas finas e planas em R2
Momento em x:
Momento em y:
Massa:
Centro de massa:
c) Na placa da figura ao lado, cuja densidade é de 3g/cm2, calcule o momento
My em torno do eixo y, a massa M da placa e a abcissa do centro de massa �̅ da
placa.
Solução:
Exemplos
d) Calcule o centro de massa da placa da figura ao
lado, cuja densidade no ponto (x,y) é δ = 2x2, ou
seja, duas vezes o quadrado da distancia do ponto
para o eixo y.
Solução:
Exemplos
A distribuição de massa é simétrica em torno do
eixo y e portanto �̅ = 0. Assim
Portanto,
E o centro de massa encontra-se em,
Trabalho
Quando um corpo percorre uma distancia d ao longo de uma
reta, como resultado da aplicação de uma forma constante no sentido do
movimento, calculamos o trabalho W realizado por uma força constante
sobre o corpo pela fórmula
W = F.d
Já o trabalho realizado por uma força variável F(x) na direção do
eixo x, de x = a a x = b é,
cuja unidade no SI é Newton-metro ( N.m ), conhecida também como
Joule.
Uma força pode ser medida pela Lei de Hooke, que diz que a
força necessária para comprimir ou esticar uma mola com x unidades de
comprimento, de uma posição original (não forçada ), é proporcional a
x, ou seja,
F = k.x
onde k é a constante de elasticidade da mola.
e) Uma mola tem comprimento original de 1m. Uma força
de 24N a estica até o comprimento de 1,8m.
a) Determine a constante de força K.
b) Quanto trabalho será necessário para esticar a mola
de 2m além de seu comprimento original?
c) Até onde uma força de 45N esticará a mola?
Solução:
Exemplos
a)
b) A lei de Hooke com k = 30N/m diz que
a força F = 30x. Então, o trabalho realizado
por F sobre a mola de x = 0 a x = 2m é:
Uma força de 24N estica a mola até
0,8m, portanto
24 = k.0,8 => k = 24 / 0,8
k = 30 N/m
c ) Substituindo F = 45N na
equação F = 30x, teremos
45 = 30 x
=> x = 1,5m
f) Um balde que pesa 5kgf é içado a partir do solo,
puxando-se com velocidade constante com uma corda com
20m de comprimento. A corda pesa 0,08kgf/m. Qual o
trabalho realizado para elevar o balde e a corda?
Solução:
Exemplos
g) Um tanque cônico esta cheio ate 2m do topo
com azeite de oliva cuja densidade é 57 N/m3.
Quanto trabalho será necessário para bombear o
óleo ate a borda do tanque?
Solução:
Exemplos
Imaginamos o azeite dividido em fatias finas por planos
perpendiculares ao eixo y nos pontos de partição do intervalo [0,8].
A fatia típica entre os planos em y e y+∆y tem um volume de
aproximadamente
A força F(y) necessária para elevar essa fatia é igual ao seu peso,
O trabalho necessário para elevar essa fatia é de
Exemplos – continuação 
Suponha que existam n fatias associadas a
partição [0,8] e que y = yk denote a k- ésima fatia de
densidade∆yk. Usando somas de Riemann, temos
Portanto, o trabalho para bombear o óleo até a borda do recipiente,
será dado por
Forças e pressões de fluidos 
Em um fluido que se mantém parado, a
pressão p em um profundidade h é o peso especifico
do fluido w vezes h:
P = wh
Já a força do fluido em uma superfície com base
constante fica:
F = p A = w h A
Peso especifico w ( N/m3 )
Fórmula da profundidade variável
Forças e pressões de fluidos 
Suponha que queiramos conhecer a força
exercida pelo fluido de peso especifico w contra um
lado de uma placa vertical nele submersa.
A pressão varia ao longo da faixa de cima
para baixo. A força exercida pelo fluido contra um
lado da faixa será de aproximadamente:
Suponha que haja n faixas associadas a partição de a ≤ y ≤ b e que
yk seja a borda inferior da k-esima faixa, tendo comprimento de L(yk) e
largura ∆yk. A força contra a placa toda será aproximadamente
Forças e pressões de fluidos 
A força exercida contra a placa é o limite das somas de Riemann
para uma função continua de [a,b], tais que a norma da partição tendam a
zero. Isto é,
F =
Exemplos
h) Uma placa triangular com 2 lados
iguais, base de 6m e altura de 3m, está submersa
verticalmente, com a base virada para cima, 2m
abaixo da superfície de uma piscina. Determine a
força exercida pela água contra um lado da placa.
Solução: