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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 3
23. Para cada uma das proposic¸o˜es seguintes, determine uma interpretac¸a˜o onde a proposic¸a˜o seja ver-
dadeira e outra onde seja falsa.
(a) (∀x)(∀y)(p(x, y)⇒ q(y, x)) (b) (∀x)(p(x)⇒ (∃y)q(x, y))
24. Um Paradoxo matema´tico e´ uma afirmac¸a˜o que se conclui ser simultaneamente verdadeira e falsa.
Mostre que sa˜o paradoxos:
(a) p⇒∼ p .
(b) Ha´ em Sevilha um barbeiro que reu´ne as duas condic¸o˜es seguintes:
1) Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que na˜o fazem a barba a si pro´prias.
2) So´ faz a barba a quem na˜o fizer a barba a si pro´prio.
25. Justifique a validade dos seguintes argumentos
(a) (∃x)(∃y)p(x, y) ⇐⇒ (∃y)(∃x)p(x, y)
(b) (∀x)(∀y)p(x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x)p(x, y)
(c) (∃x)(∀y)p(x, y)⇒ (∀y)(∃x)p(x, y)
(d) (∀x)(∀y)(p(x, y)⇒ (∃x)(∃y)p(x, y)
26. Negue a seguinte afirmac¸a˜o: (∀x)(∃y)(∃z)(∀w)(p(x, y, w) ∨ q(y, z)⇒ r(x, y, z, w)).
27. Desafio1:
(a) Com base na definic¸a˜o de Cauchy, prove que lim
x→1
5−x
x2
= 4.
(b) Troque a posic¸a˜o dos quantificadores na definic¸a˜o de Cauchy e prove por contra-exemplo que e´
falso o valor lo´gico da proposic¸a˜o obtida.
(c) Use a definic¸a˜o de limite para provar que na˜o existe o limite lim
x→0
|x|
x .
Conjuntos e aplicac¸o˜es
28. Considere os conjuntos
R = {1, 3, pi, 4, 9, 10}, S = {{1}, 3, 9, 10}, T = {1, 3, pi}, U = {{1, 3, pi}, 1}
Indique, de entre as seguintes proposic¸o˜es, as que sa˜o falsas. Justifique.
(a) 1 ∈ S (b) T ⊆ R (c) S ⊂ R (d) T ⊆ U (e) {1} ⊂ S (f) T ∈ U
29. Sejam A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {x ∈ Z : 2 ≤ x < 5} subconjuntos de S={0,1,2,3,4,5,6,7}.
Determine:
(a) A ∪B e A ∩ C (b) A−B, S − C e A− S (c) (A ∩B)c
(d) (B −A)c ∩ (A−B) (e) (C ∩B) ∪Ac (f) (Cc ∪B)c
30. Sejam A, B e C subconjuntos arbitra´rios de um conjunto X. Indique quais das seguintes afirmac¸o˜es
sa˜o verdadeiras:
(a) ∅ ⊆ A (b) ∅ ∈ {∅} (c) Se A ⊆ B e B ⊆ A enta˜o A = B
(d) {{∅}} = {∅} (e) Se A 6⊆ B e B ⊆ C enta˜o A 6⊆ C (f) ∅ ∩ {∅} = ∅
(g)A−B = A ∩Bc (h) Se A ∩B = ∅ enta˜o A = Bc (i) (A−B) ∩ (B −A) = ∅
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31. Para A, B e C conjuntos arbitra´rios, indique quais as afirmac¸o˜es verdadeiras.
(a) Se A ⊆ B e B ⊆ A enta˜o A = B (b) ∅ ∈ {∅}
(c) {∅} ⊆ A (d) {∅} = {{∅}}
(e) Se A 6⊆ B e B ⊆ C enta˜o A 6⊆ C (f) Se A ∈ B e B 6⊆ C enta˜o A 6∈ C.
32. Para A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {x ∈ Z— 2 ≤ x < 5} subconjuntos de
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, determine:
(a) A ∪B (b) A ∩ C (c) A−B
(d) S −A (e) A− S (f) (A ∩B)c
(g) (B −A)c ∩ (A−B) (h) (C ∩B) ∪Ac (i) (Cc ∪B)c.
33. Sendo A e B subconjuntos arbitra´rios de um conjunto X, indique as igualdades verdadeiras.
(a) A ∪Ac = X (b) B ∩B = B
(c) (A ∩B)c = Ac ∩Bc (d) (Ac)c = A
(e) A−B = (B −A)c (f) (A−B) ∩ (B −A) = ∅
(g) Se A ∩B = ∅ enta˜o A = Bc (h) ∅ ∩ {∅} = ∅.
34. Sejam A,B,C subconjuntos de X. Prove que
(a) A ∪B = X se e so´ se Ac ⊆ B
(b) Se A ⊆ C e B ⊆ C enta˜o A ∩B ⊆ C
(c) Se A ⊆ B e A ⊆ C enta˜o A ⊆ B ∩ C
(d) Se A ⊆ C e B ⊆ C tambe´m A ∪B ⊆ C
(e) Se A ⊆ B e A ⊆ C enta˜o A ⊆ B ∪ C
(f) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∩B)
35. Para A e B subconjuntos arbitra´rios de X, prove que A ⊆ B se e so´ se X \B ⊆ X \A.
36. Prove ou refute que, sendo A,B e C subconjuntos arbitra´rios de X, se verificam as seguintes pro-
priedades:
(a) A− (B − C) = (A−B)− C (b) (A ∩B)− C = A ∩ (B − C)
(c) (A ∪B)− C = A ∪ (B − C) (d)(A−B)c = Ac −Bc;
(e) A ∪ (B −A) = A ∪B (f) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ C
(g) A−B = A ∩Bc; (h) A ∪B = A ∪ (B ∩ C) se e so´ se B ⊆ C
(i) (A−B)× C = (A× C)− (B × C) (j) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)
(l) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).
37. ∗ Seja A4B = (A− B) ∪ (B − A) a operac¸a˜o diferenc¸a sime´trica definida entre subconjuntos de um
conjunto X. Prove que:
(a) A4∅ = A (b) A4B = B4A
(c) (A4B) ∩ C = (A ∩ C)4(B ∩ C) (d) A4B = A4C se e so´ se B = C
38.
Definition 1. O conjunto das partes de A (ou conjunto poteˆncia de A) e´ o conjunto de todos os
subconjuntos de A, designado por P(A) ( ou por 2A).
Sendo A e B dois conjuntos, mostre que:
(a) se A ⊆ B, enta˜o P(A) ⊆ P(B) (b) P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B)
(c) 2A ∪ 2B ⊂ 2A∪B (d) 2A ∪ 2B 6= 2A∪B
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